高中數學 加練 專題3　第29練　參數全分離

第29練參數全分離(分值：30分)由不等式恒(能)成立求參數的取值范圍問題的策略(1)求最值法.將恒(能)成立問題轉化為利用導數求函數的最值問題.(2)分離參數法.構造函數，直接把問題轉化為求函數的最值問題，a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.1.(15分)已知函數f(x)=a(x+2)2+blnx+1(a，b∈R).(1)當x=1時，函數f(x)的極值為10，求a和b的值；(6分)(2)設g(x)=f'(x)，若b=2，對于任意的x∈(1，2]，g(x)≥2恒成立，求a的最小值.(9分)解(1)f'(x)=2a(x+2)+b因為當x=1時，函數f(x)的極值為10，所以f解得a當a=1，b=-6時，f'(x)=2(x+2)-6x當x∈(0，1)時，f'(x)<0，函數f(x)單調遞減，當x∈(1，+∞)時，f'(x)>0，函數f(x)單調遞增，所以函數f(x)在x=1處取到極小值，符合題意，所以a=1，b=-6.(2)g(x)=f'(x)=2a(x+2)+b若b=2，對于任意的x∈(1，2]，g(x)=2a(x+2)+2x≥2恒成立即對于任意的x∈(1，2]，a≥1-1xx+2令h(x)=x-1x(x+2)，x∈(1，2]，則h'(又y=-(x-1)2+3在(1，2]上單調遞減，所以y=-(x-1)2+3在(1，2]上的最小值為-(2-1)2+3=2>0，可得h'(x)=-(x-1所以h(x)在(1，2]上單調遞增，所以h(x)在(1，2]上的最大值為h(2)=2-12×所以a的最小值為182.(15分)已知函數f(x)=ax-lnx，a∈R.(1)討論f(x)在區間[1，2]上的單調性；(7分)(2)若當x∈(0，e]時，不等式f(x)≤3有解，求a的取值范圍.(8分)解(1)函數f(x)=ax-lnx，則f'(x)=a-1由x∈[1，2]，得1x∈當a≤12時，f'(x)≤0當且僅當a=12，x=2函數f(x)在[1，2]上單調遞減；當a≥1時，f'(x)≥0，當且僅當a=1，x=1時取等號，函數f(x)在[1，2]上單調遞增；當12<a<1時，由f'(x)<0，得1≤x<由f'(x)>0，得1a<x≤2因此函數f(x)在1，1a上單調遞減，在綜上，當a≤12時，函數f(x)在[1，2]當12<a<1時，函數f(x)在1，1a上單調遞減當a≥1時，函數f(x)在[1，2]上單調遞增.(2)依題意，不等式ax-lnx≤3在x∈(0，e]上有解，即a≤3x+lnxx在x∈(0，e令g(x)=3x+lnxx，x∈(0求導得g'(x)=-3x2+1-ln由g'(x)>0，得0<x<1e由g'(x)<0，得1e2<x≤所以函數g(