平面直角坐標系中的面積問題【八大題型】（人教版）解析版

專題9.2平面直角坐標系中的面積問題【八大題型】

【人教版2024]

＞題型梳理

【題型1與兩坐標軸圍成的圖形面積】............................................................1

【題型2一邊在坐標軸上的圖形面積】............................................................3

【題型3平行于坐標軸的圖形的面積】............................................................6

【題型4各邊都不在坐標軸上的圖形的面積】......................................................9

【題型5由面積之間的關系求坐標】..............................................................13

【題型6直線分面積求值】......................................................................16

【題型7新定義問題中的面積】.................................................................20

【題型8面積中的規律問題】...................................................................25

“舉一反三

【題型1與兩坐標軸圍成的圖形面積】

【例1】（24-25七年級?吉林長春期中）己知A（?,0）和8點（0,10）兩點，且AB與坐標軸圍成的三角

形的面積等于20,則。的值為（）

A.2B.4C.0或4D.4或-4

【答案】D

【分析】根據點A、B的坐標可找出04、08的長度，再根據三角形的面積公式即可得出關于。的含絕對值

符號的一元一次方程，解之即可得出結論.

【詳解】：人（小0）,B（0,10）,

：,OA=\a\,OB=lO,

/.SA10同=20,

解得：a=±4.

故選D.

【點睛】本題考查了坐標與圖形性質，根據三角形的面積公式列出關于a的含絕對值符號的一元一次方程是

解題的關鍵.

【變式1-1]（24-25七年級廣東清遠?七年級統考期末）已知A（0,4）,點B在x軸上，與坐標軸圍成的三

角形面積為2,則點8的坐標為（）

A.(1,0)B.(1,0)或(一1,0)C.(-1,0)D.(0,一1)或(0,1)

【答案】B

【詳解】???三角形的面積=；x4x|O8|=2,

???|。陰=1,

???B（I,0）或（-1,0）.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了平面圖形與坐標的關系，利用三角形的面積求出的長是關鍵，特別是要明確注

意：在x軸上到原點的距離為一個定值的點有兩個.

【變式1-2］（24-25七年級上?安徽安慶?期末）平面直角坐標系中，我們把點P（%,y）的橫坐標與縱坐標的絕

對值之和叫做點P（%,y）的勾股值,記為：fPj,即fPj=|x|+|y|.

（1）求點4（一1,3）的勾股值［AJ；

（2）若點8在第一象限且滿足「BJ=3,求滿足條件的所有8點與坐標軸圍成的圖形的面積.

【答案】⑴4；（2）I

【分析】（1）由勾股值的定義即可求解；

（2）設B點的坐標為（x,y）,由［BJ=3,得到方程|x|+|y|=3,得到y=—x+3,于是得到所有點B圍成

的圖形是邊長為3的三角形，則面積可求.

【詳解】解:（1）［AJ=|-1|+|3|=4；

（2）設BQ,y）,由fBj=3知,|x|4-|y|=3,

又8在第一象限，x>0,y>0,得X+y=3,

即y=-x+3（x>0,y>0）,

故所有點B組成的圖形與坐標軸交點坐標分別為：（3,0）,（0,3）,

故其面積為：1x3x3=^.

【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質，正確理解勾股值的定義是解題的關鍵.

【變式1-3](24-25七年級?江蘇南通?階段練習)已知點A(a,0)和點8(0,5),且直線48與兩坐標軸圍成的

三角形的面積等于10,則〃的值是()

A.4B.4或一4C.-4D.2

【答案】B

【分析】此題.主要考查了坐標與圖形的性質，需注意坐標軸上到一個點的距離為定值的點有2個.

根據三角形的面積公式和已知條件求解，注意Q取正負數都符合題意.

【詳解】解：直線4B與坐標軸圍成的三角形的面積等于10,4(a,0),B(0,5)

那么5x\OA\4-2=10,

解得：。4=4,

所以a=4或a=-4.

故選:B.

【題型2一邊在坐標軸上的圖形面積】

[M2](24-25七年級.江西南昌?期中)如圖是?塊不規則的四邊形地皮48C0,各頂點坐標分別為4(-2,6),

【答案】C

【分析】根據S四邊形A8C0=SA8CD+S梯形AUDE+S^AE0＞即可求解.

【詳解】解：如圖所示，[(一2,6),8(—5,4),C(-7,0),0(0,0)

=S4RCD+S梯形.DE+S^AEO

11z1

=,TX2X4+―(4+6)X3+,T,X6X2

=4+15+6

=25

?.?圖上一個單位長度表示10米，

.*.25x10x10=2500m2,

故選：C.

【點睛】本題考查了坐標與圖形，數形結合是解題的關鍵.

【變式2-1](24-25七年級?安徽亳州?階段練習)如圖，已知三角形ABC如圖所示放置在平面直角坐標系中,

其中C(-4,4).則三角形ABC的面積是()

4-

1.

????A???一、F

-4-3-2-1o1234x

-1-

-2-

-3■

A.4B.6C.8D.12

【答案】C

【分析】底AB=4,高是點C到x抽的距離，根據三角形面積公式求得即可.

【詳解】解：由圖象可知，A(0,0),B(4,0),

：.AI3=4

VC(-4,4),

點C到x軸的距離是4,△ABC的高就是4,

?FA3C=±x4x4=8,

故選：c.

【點睛】本題考查了坐標與圖形性質，三角形的面積，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

【變式2-2](24-25七年級?海南省直轄縣級單位?期中)如圖，已知：4(4,3),8(6,0),E(5,2),求AAOE的

面積()

C.6D.7

【答案】A

【分析】根據點的坐標，求得0cMe,OD,DE,C。，根據SAAOE=SAWC+S梯形“DE-SADOE進行計算即可求解?

【詳解】解：???4(4,3),8(6,0),￡(5,2),

0C=4,AC=3,0D=5,DE=2,

???CD=1

則SMOE=S*AOC+S梯形—S&DOE

=-2x4x32+-(2+3)x12--x5x2

=3.5

故選A

【點睛】本題考查了坐標與圖形，數形結合是解題的關鍵.

【變式2-3］（24-25七年級?安徽亳州?階段練習）已知點A（1,O）,B（0,2）,點P在％軸上，且三角形PAB的面枳

是3,則點P的坐標是（）

A.（0,-4）B.（-2,0）C.（0,一4）或（08）D.（4,0）或（一2,0）

【答案】D

【分析】根據三角形的面積求出AP的長，再分點P在點A的左邊與右邊兩種情況討論求解.

【詳解】解：?.?點B（0,2）,

*?,SAPAB--APx2=3>

解得力P=3,

若點P在點4的左邊，則OP=AP-OA=3-1=2,

此時，點P的坐標為（一2,0）,

若點P在點力的右邊，則OP=AP+OA=3+1=4,

此時，點P的坐標為（4,0）,

綜上所述，點P的坐標為（4,0）或（-2,0）,

故選：D.

【點睛】本題考查了坐標與圖形性質，三角形的面積，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀.

【題型3平行于坐標軸的圖形的面積】

【例3】（24-25七年級?湖北武漢?期中）如圖，在平面直角坐標系％Oy中，平行四邊形48CD的四個頂點4,

B,C,。是整點（橫、縱坐標都是整數），則四邊形48CD的面積是（）個平方單位.

A.yB.15C.10D.無法計算

【答案】B

【分析】根據平行四邊形在坐標系中的位置得到力。口軸，710=4-(-1)=5,高為1一(-2)=3,利用面

枳公式直接計算可得.

【詳解】解：???四邊形A8C。是平行四邊形，蟲一1,2),8(0,1),。(5,1),。(4,一2),

??"。|比軸,力。=4一(-1)=5,高為1一(-2)=3,

???平行四邊形力。C。的面積=5x3=15,

故選：B.

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質，坐標與圖形，正確理解平行四邊形的性質是解題的關鍵.

【變式3-1](24-25七年級?北京順義?階段練習)由坐標平面內的三點4(1,1),8(3,1),C(l,-3)構成的△ABC的

面積是.

【答案】4

【分析】根據4(1,1),5(3,一3)得47=2,48||%軸，AC=^,AC||yW，繼而得到直角三角形￡48,計

算面積即可，本題考查了點的坐標特征與坐標軸的關系，熟練掌握判定坐標與坐標軸的關系是解題的關鍵.

【詳解】???A(l,l),B(3,l),C(L-3)

：.AB=2,AB||%軸，AC=4,ACIIy軸,

???AS4B是直角三角形，

**><2X4=4,

故答案為:4.

【變式3-2](24-25七年級?福建龍巖?期末)在平面直角坐標系中，由點4(。，2),B(Q-2,2),C(8,-2)組

成的三角形48c的面積是()

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

【分析】根據A和B兩點的縱坐標相等，可得線段48的長，再根據點。的縱坐標，可得以48為底的△ABC的

高，從而△A8C的面積可求.

【詳解】解析：由點昧(a,2),1(*2,2),得4B=2,

點C在直線y=一2上，48與直線y=-2平行，且平行線間的距離為4,

*,*5=1x2x4=4.

故選：A.

【點睛】本題考查了三角形的面積計算，明確平面直角坐標系中的點的坐標特點及如何求相應線段的長，是

解題的關鍵.

【變式3-3](24-25七年級?福建原期中)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點4(2,九+2),8(k,n+2),

C(4,n+4),D(2,7i+k).則四邊形A8CD的面積=(用含有攵的式子表示)

【分析】本題主要考查了坐標與圖形，延長5A交y軸于點￡過點C作CFly軸于點尸，延長4。交CF于點從

過點C作CG1AG于點G,根據4(2,九+2),B(k,n+2),C(4,n+4)fD(2,n+k),得出CH=4-2=2,

AH=n+4—(n+2)=2,DH=n+4—(n+/c)=4—/c,BG=4—k,利用割補法求出四邊形的面積即

可.

【詳解】解：延長8A交y軸于點￡,過點。作CF_Ly軸于點八延長AD交CF于點H,過點。作。G1AG于點

VZ(2,n+2),B(k,n+2),。(4,幾+4),D(2,n+k),

???40||y軸，A8|比軸，

??"HIICG,CHWEG,

CH=4-2=2,AH=九+4—(n+2)=2,

DH=n+4-(n+/c)=4-/c,

BG=4-k,

???四邊形4BC0的面積為：

2x2-1x2x(4-/c)-|x2x(4-/c)

=4-4+女一4+〃

=2/c-4.

故答案為：2k—4.

【題型4各邊都不在坐標軸上的圖形的面積】

【例4】（24-25七年級?上海靜安?周測）如圖，三角形ABC的面積等于（）

【答案】D

【分析】過點AW-AD1X軸于D,利用S4A8c=S梯形B0DA-S^BOC-SAACD，求出S廨形和SdACD進

而進行求解即可.

AD=6,CD=3,

：.OD=6,

??^AABC=S梯形RODA~S^BOC~^AACD?

111

=-(BO+AD)-OD---BO-OC--^CD^AD

111

=—(3+6)x6——x3x3——x3x6

2k722

_54_9_18

=T-2-T

=:27，

即S4ABe=

故選：D.

【點睛】本題主要考查了利用和差法轉化求「角形的面積，正確讀懂題意是解題的關鍵.

【變式4-1](24-25七年級?重慶長壽?期末)已知點八(2,2),8(1。)，點C在坐標軸上，且三角形48。的面積

為2,請寫出所有滿足條件的點C的坐標.

【答案】(-1,0)或(3,0)或(0,2)或(0,-6)

【分析】本題考查了坐標與圖形性質及三角形的面積，根據點C位于不同的數軸分類討論是解題的關鍵.分

點C在％軸上和點C在y軸正半軸上和點C在y軸負半軸上上三種情況，利用三角形的面積公式求出BC或OC的

氏度，即可求解.

【詳解】解：若點C在X軸上，則So8c=[XBCX2=2,

解得BC=2,

所以，點C的坐標為(1+2,0)或(1一2,0),即(3,0)或(一1,0),

若點C在y軸正半軸上，貝%立加=1x(OC+2)x2-|xOCxl-|x(2-l)x2=2,

解得OC=2.

所以，點C的坐標為(0,2),

若點C在y軸負半軸上，則SACAB=1x(0C+2+OC)x1+1xOCx1-ix(2+OC)x2=2.

解得0C=6,

所以，點C的坐標為(0,-6),

綜上所述，點C的坐標為(一1,0)或(3,0)或(0,2)或(0,-6),

故答案為：(一1,0)或(3,0)或(0,2)或(0,-6).

【變式4-2](24-25七年級?湖北鄂州?期中)如圖，直角坐標系中，三角形的頂點都在網格點上，其中

點、C的坐標為(1』).

(1)寫出點A,8的坐標A(),B()；

⑵將三角形為BC先向左平移2個亙位長度，再向下平移I個單位長度，得到三角形4夕L,則點4,夕，U的

坐標分別是4(),B'(),C()；

(3)計算三角形4BC的面積.

【答案】(1)(2,—2),(4,2)

⑵(0,-3),(2,1),(-1,0)

(3)5

【分析】本題考查了坐標與圖形、平移等知識點，掌握相關結論即可.

(I)根據直角坐標系中48,。三點的位置即可求解；

(2)根據平移方向和距離即可求解；

(3)利用“割補法”即可求解;

【詳解】⑴解:根據直角坐標系中4SC三點的位置可得:4(2,-2),8(4,2),

故答案為：(2,-2),(4,2)；

(2)解：???將三角形ABC先向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，

???4(2-2,-2-1),夕(4—2,2-1),

即：4(0,-3),)(2,1),CX-1,0),

故答案為:(0,-3),(2,1)?(—1,0);

(3)解：三角形4BC的面積=3x4-gxlx3-gxlx3-gx2x4=5.

【變式4-3](24-25七年級?湖北武漢?期中)如圖在平面直角坐標系中，點4(2,3),點8(-3,-2),點C(4,一3),

則三角形48c的面積是()

20C.21D.21.5

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的面積，坐標與圖形的性質.過點人作0E||無軸，過點8作EF||y軸，過點。作

CD||y軸，過點C作。尸II%軸，根據題意可得40=2,CD=6,AE=5,BE=S,BF=1,CF=7,即可求解.

【詳解】解：如圖，過點A作。E||x軸，過點8作斯||y軸，過點C作611y軸，過點C作"II%軸,

：,AD=2,CD=6,AE=5,BE=5,BF=1,CF=7,

:.三角形力8C的面積是：6x7-；x2x6-^x5x5-^xl7=42-6-^-^=20.

幺NNNN

故選：B

【題型5由面積之間的關系求坐標】

【例5】(24-25七年級?北京西城?期中)在平面直角坐標系％0y中，已知三角形的三個頂點坐標分別是皿0,1),

雙1,0),C(l,2),點P在)，軸上，設三角形48P和三角形/BC的面積相等，那么點P坐標是.

【答案】(0,—1)或(0,3)

【分析】本題考查了坐標與圖形，熟練掌握點坐標的性質是解題關鍵.設點P坐標是(0,。)，先分別求出三角

形和三角形A8C的面枳，再根據三角形力BP和三角形48。的面枳相等建立方程，解方程即可得答案.

【詳解】解:如圖，由題意，設點P坐標是(0,a),

：.BC=2,AP=|a-1|,三角形ABC的BC邊上的高為I,

???三角形ABC的面積為3x2xl=l,三角形ABP的面積為:xl|a-l|=眠，

???三角形A8P和三角形力"的面積相等，

?MT_1

??2-X，

解得Q=-1或Q=3,

則點P坐標是(0,-1)或(0,3),

故答案為：(0,-1)或(0,3).

【變式5-1](24-25七年級?江西南昌?期中)已知點4(3,0),8(0,4),點C在％軸上，且△BOC的面積是△48C的

面積的3倍，那么點C的坐標可以為.

【答案】go)或?0)

【分析】本題主要考查圖形與坐標，解題的關鍵是理解題意；設點C(x,0),則有4。=忱-3|,。8=4,然

后根據△BOC與二ABC的面積關系可進行求解.

【詳解】解：設點C(%0),則有4：=|%-3|,0B=4,OC=|x|

V480C的面積是448c的面積的3倍，

x4x|x|=3x|x4x|x-3|

解得：不二或(

,點eg°)或信°)；

故答案為G，o)或G，。).

【變式5-2](24-25七年級?福建福州?期中)在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，點A、B、C的坐標分別

為(m—2,n),(m—2,n+2023),(5,t+2022),若△430的面積為△43。面積的2倍，則m的值為

【答案】12或g

【分析】由48點的橫坐標相等，得出力B||y軸，AB=2023,點C到A8的距離為|加一7|,根據△ABO的面積

為△力8C面積的2倍，建立方程，解方程即可求解.

【詳解】解：:小B、I的坐標分別為（7n-2,n）,（m-2,n+2023）,（5,￡+2022）,

???/18||y軸，AB=n+2023-n=2023,

點C到48的距離為-Z-5|=|m-7|

???若△AB。的面積為448C面積的2倍，

?《x2023x|m-2|=2x^x2023x|m-7|

即M—2|=2x—7|

解得m=12或771=y

故答案為：巾=12或血=^.

【點睛】本題考查了坐標與圖形，兩點之間的距離，點到直線的距離，正確建立方程是解題的關鍵.

【變式5-3]（24-25七年級?四川達州?期中）如圖，在平面直角坐標系中，點4在），軸正半軸上，點8在x

軸正半軸上，04=2,。8=1,點C是第一象限內一點且4CII%軸，將線段經過一定的平移得到線段CD,

點A的對應點為點D,點8的對應點為點C,連接40,S“CD=6,點尸為y軸上一動點，當SAP.=：SMOD

時，點夕的坐標為.（注：SMCO表示的面積）

【答案】（0,_J或（0,?.

【分析】根據三角形的面積求出力。=6,然后利用平移的性質可求點/）坐標，由三角形的面積公式可求解.

【詳解】解：如圖，過點。作于點E,在y軸取點P,連接P8,

VACM，將線段A8經過一定的平移得到線段C。，0A=Z,

：.DE=0/1=2,

^￡^ACD=6,

/.^ACDE=6,

.\AC=6,

?,?點C(6,2),

???將線段A8進行適當的平移得到線段CD,0B=l,

：,CE=OB=1,

???點。(5,4),

?■1

?^APAB=[SMOD>

：,-APx1=-x-x2x5,

242

：,AP=-

2t

???點4(0,2),

???P(0,-J或尸(0,*

故答案為：(0，-3或(。，??

【點睛】本題考查了作圖-平移變換，平面直角坐標系，三角形面積公式，坐標的平移等知識，掌握平移的性

質是解題的關鍵.

【題型6直線分面積求值】

【例6】(24-25七年級.湖北十堰.期中)如圖，1(-2,0)、8(0,3)、C(2,4)、0(3,0),點P在%軸上,直線CP將

四邊形48。。的面積分成1:2兩部分，則OP的長為

yc

4

【答案】1

【分析】本題考查了坐標與圖形，三角形的面積，作CE1》軸，CP與x軸交于點P,用分割法求出四邊形的

面積，分類討論求出△POC的面積，再求出PD的值，進而可得GP的值，根據坐標與圖形的性質，用分割法

求出不規則圖形的面積，再進行計算是解本題的關鍵.

【詳解】解：如圖，作軸，CP與％軸交于點P,

AO\：PEDx

I?

由題意可得，S^AB0=^0AOB=^x2x3=3

S悌形+以）?OE="（3+4）x2=7,

S&EDC=：ED-CE=|xlx4=2,

，S四邊形ABCD=SAABO+S梯形0"B+S&EDC=3+7+2=12

■:SNCD=?CE=^PDx4=2PD,

:?SAPCD:S四邊形48CD=2PD：12=PD：6,

①當SgcD:S四邊形.BCD=1:3時,即PD：6=1：3,

解得產。=2,

???點尸的坐標為（1,0），

：.0P=1；

②當SMCD:S四邊形48C。=2:3時，即PD：6=2：3,

解得PO=4,

???點P的坐標為（一1,0）,

：.0P=1：

綜上所述，OP=1,

故答案為：1.

【變式6-1](24-25七年級?遼寧葫蘆島?期中)如圖，平面直角坐標系中的圖案是由六個邊長為1的正方形

組成的，8(3,3),4(a,0)是x軸上的動點，當A8將圖案分成面枳相等的兩部分時，。等于()

A.1B.-C.-D.-

323

【答案】A

【分析】根據三角形面積公式，結合題意列出方程SUBC=[AC?BC=：(3-a)x3=：x6xy并求解即可.

【詳解】解：如下圖，當將圖案分成面積相等的兩部分時，

即*3-a)x3=3，解得a=l.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形的性質，根據題意列出方程是解題關健.

【變式6-2](24-25七年級?四川涼山?期末)如圖，在平面直角坐標系中，點A在“軸上，點。在y軸上，CB||0A,

且04=12,0C=BC=4.

(1)直接寫出點4,B,C的坐標；

(2)若動點P從原點0出發沿無軸以每秒2個單位長度的速度向右運動，當直線PC把四邊形04BC分成面積相

等的兩部分時，求點〃的運動時間；

⑶在(2)的條件下，在y軸上是否存在一點Q,連接PQ,使△口(2的面積與四邊形。力BC的面積相等？若存

在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)A(12,0),B(4,4),C(0,4)；

(2)4

(3)Q/0,20),Q2(0,-12)

【分析】此題是三角形綜合題，主要考查了線段長的求法，點的坐標的確定，三角形四邊形面積的計算，解

本題的關鍵是△OPC面積的計算.

(I)根據線段的長和線段的特點確定出點的坐標;

(2)先求出S四邊形OABC=32,從而得到：0Px4=16,求出OP,即可得到答案;

(3)根據四邊形OABC的面積求出ACPQ的面積是32,最后求出點Q的坐標.

【詳解】(1)解：丁點A、C在x軸上，0A=12.

，A（12,0）,

IC在y軸上，0C=4,

，C（0,4）,

VCBIIOA,CB=4,

AB(4,4)；

X32,

⑵解：.?飛四邊形0人1?：=—'z~~

設運動時間t秒,

AOP=2t,

.《x2tx4=32x?

.t=4；

(3)解：設Q(O,y)，

?；SACPQ=S四邊形OABC'

Aily-4|x4=x(4+12)x4=32

Ayj=20,y2=—12,

AQi(O,20),Q2(0,-12).

【變式6-3](24-25七年級?北京西城?期中)在平面直角坐標系xOy中，己知三角形的三個頂點坐標分別是

71(0,1),8(1,0),C(l,2),點P在y軸上，設三角形和三角形力8C的面積相等，那么點P坐標是.

【答案】(0,-1)或(0,3)

【分析】本題考查了坐標與圖形，熟練掌握點坐標的性質是解題關鍵.設點P坐標是(0,a)，先分別求出三角

形88P和三角形力8c的面積，再根據三角形4BP和三角形ABC的面積相等建立方程，解方程即可得答案.

【詳解】解—：如圖，由題意，設點P坐標是(0,a),

-------1----------------------1-----?

-2-1O12x

-1-

V>4(0,1)，。(1,2),

:?BC=2,AP=\a-l\,三角形/18C的BC邊上的高為1,

???三角形48c的面積為；x2x1=1,三角形ABP的面積為:xl.|a-l|=一,

???三角形48P和三角形48。的面積相等，

?17_1

解得Q=-1或Q=3,

則點P坐標是(0,-1)或(0,3),

故答案為：(0,-1)或(0,3).

【題型7新定義問題中的面積】

【例7】(24-25七年級?廣東河源?開學考試)在平面直角坐標系xOy中，對于任意三點4B,C的“矩面積”,

給出如下.定義："水平底’七：任意兩點橫坐標差的最大值，“鉛垂高”九：任意兩點縱坐標差的最大值，則“矩

面積"S=a九.例如:三點坐標分別為4(1,2),B(-3,1),C(2,-2),則“水平底”a=5,“鉛垂高’力=4,

“矩面積"S=aZi=20.若。(1,2)、E(-2,1)、尸(0,￡)三點的“矩面積”為18,則￡的值為()

A.-3或7B.-4或6C.-4或7D.-3或6

【答案】C

【分析】根據題意可以求得a的值，然后再對t進行討論，即可求得t的值.

【詳解】由題意可得，

“水平底”a=1-(-2)=3,

當2時，h=t-l,

則3?-1)=18,

解得，t=7,

故點”的坐標為(0，7)；

當lWtW2時，九=2—1=1。6,

故此種情況不符合題意；

當tv1時,h=2-t,

則3(2-。=18,

解得"-4,

故選：C.

【點睛】本題考查坐標與圖形的性質，解答本題的關鍵是明確題目中的新定義，利用新定義解答問題.

【變式7-1](24-25七年級,北京?期中)中國結是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢

族悠久的歷史，符合中國傳統裝飾的習俗和審美觀念，故命名為中國結，中國結有著復雜曼妙的曲線，卻

可以還原成最單純的二維線條，其中的八字結對應著數學曲線中的雙扭線在平面直角坐標系中如圖所示，

①雙扭線圍成的面積小于6；

②雙扭線內部（包含邊界）包含11個整數點（橫坐標、縱坐標都是整數的點）；

③雙扭線上任意一點到原點的距離不超過3；

④假設點尸為雙扭線上的一個點，A,8為雙扭線與％軸的交點，則滿足三角形248的面積等于3的0點有

4個.

A.①②③B.②③C.②③④D.①②③④

【答案】C

【分析】本題考查了坐標與圖形，①根據SAOPB=：X3X1=|、雙扭線圍成的面積＞4SAOPB即可判斷；②

由圖即可判斷；③48兩點與原點距離最大，即可判斷；④設△P/8的高為九，可得九=1即可判斷；

【詳解】解?：如圖所示：

S^OPB=5*3x1=

由對稱性可知：雙扭線圍成的面積＞4S/P8=6,故①錯誤；

由圖可知：雙扭線內部包含4個整數點，邊界上有7個整數點，共II個，故②正確;

由圖可知：4,8兩點與原點距離最大，為3,故③正確；

設的高為兒

：.k=1

由圖可知：點Q,P,M,N均滿足題意，故④正確；

故選：C

【變式7-2］（24-25七年級?福建廈門?期末）在平面直角標系中，將橫、縱坐標之和為6的點稱為“吉祥點”,

現有以卜結論：

①第一象限內有無數個“吉祥點”；

②第三象限內不存在“吉祥點”；

③已知點力（一2,1）,5（-2,-3）,若點P是“吉祥點”且在坐標軸上，則點尸到直線48的距離為8：

④已知點D(3,-l),若點Q是第一象限內的“吉祥點”三角形QCD的面積記為S,則2<5V14.其

中正確的是()

A.①②B.①②③C.③④D.①②④

【答案】D

【分析】根據平面直角標系中象限的特點，逐一判斷即可.

【詳解】由橫、縱坐標之和為6的點稱為“吉祥點”，

則①第一象限內有無數個“吉祥點”，故說法①正確；

②,??第三象限的橫、縱坐標都為負數，

???第三象限內不存在“吉樣點”，故說法②正確；

③???力(-2,1),8(—2,—3),

||y軸，

???點P是“吉祥點”且在坐標軸上，

，點P(0,6)或P(6,0),

則P到直線48的距離為2或8,故說法③錯誤；

④D(3,-l),

：,CD||xffl,CD=4,

???點Q是第一象限內的“吉祥點”，

，設Q(6—a,a),則有:0<a<6,

根據題意可知：ShQCD=|xCDx(a+1)=2a+2,

則：2<S<14,故說法④正確；

綜上可知，說法①②④正確：

故選D.

【點睛】此題考查了各象限內點的坐標的符號特征，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵.

【變式7-3](24-25七年級嘿龍江牡丹江?期中)在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點。(%,%)，Q(x2,y2),

定義兩點的“分解距離”為：若反1-.12則%-小1為P，Q的“分解距離”，即d分解(P,Q)=

乂一32卜若1%一M1<1%-、21，則僅1一月1為P，Q的“分解距離”，即d分解(P,Q)=從-yah定義兩點

的“和距離”為：氏一小1與1%-比1的和，即d和(P,Q)=%-+|乃-yzh

根據以上材料，解次下列問題;

(I)已知點4(2,1),則d分解(4,0)=,d和(4。)=

(2)若點8(%4-%)在第一象限，且d分解(8,。)=3,求點4的坐標；

(3)若點C(x,y)(“NO,yNO),且d和(C,0)=3,寫出三個符合條件的點。的坐標，并判斷這些點是否在

一條直線上，若在一條直線上，請直接寫出這條直線與坐標軸圍成的面積；若不在，請說明理由.

【答案】(1)2；3

(2)(3,1)或(1,3)；

(3)(1,2),(0,3),(3,0)；符合條件的點C在一條直線上；這條直線與坐標軸圍成的面積為］

【分析】本題主要考查坐標系下兩點間的距離.理解并掌握d分解和d和的定義，是解題的關鍵.

(1)根據d分陰和d和的定義，進行計算即可；

<2)分㈤=3或|4一出=3兩種情況討論求解即可；

(3)①根據％j(C,。)=|%|+|y|=3,x>0,y>0,得出x+y=3,說明符合條件的點C在一條直線上，

求出與坐標軸圍成的三角形的面積即可.

【詳解】(1)解：,.?|2-0|>|1-0|,

???d分解(4。)=|2-0|二2；

d和(4。)=|2-0|+|1-0|=2+1=3；

故答案為:2；3.

(2)解：Yd分解(B,0)=3,

/.\x\=3或|4—%|=3,

,1B點在第一象限，

:.X=3或4—x=3,

:.x=3或％=1?

即點4的坐標為(3,1)或(1,3)：

(3)解：?.?d和(C,0)=|%|+|y|=3,

又?.”？()，y>0,

??x+y=3,

當％=1時，y=2,即此時C(l,2),

當x=0時，y=3,即此時C(0,3),

當x=3時，y=0,即此時C(3,0),

:符合條件的點。的橫縱坐標符合％+y=3,即y=—x+3,

???符合條件的點。在一條直線上，如圖所示：

這條直線與坐標軸圍成的面積為S=1x3x3=1.

【題型8面積中的規律問題】

【例8】(24-25七年級?遼寧撫順?期中)如圖，在平面直角坐標系中，一動點按照圖中箭頭所示的方向運動,

第I次從原點運動到點P(l,-1)，第2次運動到點4(2,0),第3次運動到點4(3,2),第4次運動到點4(4,0),

第5次運動到點4⑸-1)，…，按照這樣的規律運動下去，則三角形0P4023的面積是.

【分析】根據圖形可得，當點A的下標為奇數時，該點在x軸上，再依次計算出△OP4,△OP&，△OPAs的

面積，總結出一般規律，即可求解.

【詳解】解：根據題意可得：

4(2,0),4(4,0),力式6,0),47(&0)……42n+1(2n+2,0),

,?SAOPA]=-x2x1=1,

^￡,OPA3=-x4xl=2,

^AOPA5=~x6xl=3,

S^UPAT=1x8xl=4,

s

^oPA2n+x=|x(2n+2)xl=n+l,

當2九+1=2023時，解得：n=1011,

???W42023=1011+1=1012,

故答案為：1012.

【點睛】本題主要主要考查了點的坐標變化規律，解題的關鍵是根據圖形和題意，總結出各個三角形面積變

化的一半規律.

【變式8-1](24-25七年級?浙江寧波?期末)如圖，在一單位長度為1cm的方格紙上，依如所示的規律，設

定點41、A2.心、44、45、4、％7、…4，連接點0、&、&組成三角形，記為41，連接。、&、力3組

成三角形，記為42…，連。、/、4+1組成三角形，記為(英為正整數)，請你推斷，當〃為50時，4幾的

面積=()cm2

A.1275B.2500C.1225D.1250

【答案】A

【分析】根據圖形計算發現：第一個三角形的面積是1x2=1,第二個三角形的面枳是2x3=3,第

三個圖形的面積是3x4=6,即第九個圖形的面積是:幾5+1),即可求得，△九的面積.

【詳解】由題意可得規律：第九個圖形的面積是3幾(九+1)，

所以當n為50時，

△71的面積=1x50x(50+1)=1275.

故選：A.

【點睛】此題主要考查了點的坐標變化規律，通過計算前面幾個具體圖形的面積發現規律是解題關鍵.

【變式8-2](24-25七年級?湖南邵陽?期中)在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到如下指令：從原點

O出發，按向右、向上、向右