山東省棗莊市2025-2026學年九年級下學期中考模擬（二）數學試卷（含答案）

2026年初中數學模擬二

一、選擇題（每題3分，共10題，總分30分）

1.數學世界奇妙無窮，其中曲線是微分幾何的研究對象之?，二列數學曲線既是軸對稱圖形，又是中心對

稱圖形的是（）

A.x3+x3=2x6B.x2x3=x6C.(-2X)3=-6？D.

3.如圖，這是一個正方體切去后剩下的幾何體，這個幾何體的左視圖為（）

1I11d

a0b~c

A.〃+c>0B.a-bX）C.a+b<0D.ab>0

5.國家“雙減”政策實施后，某班開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動.班級決定為在活動中表現突

出的同學購買筆記本和碳素筆進行獎勵（兩種獎品都買），其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費

28兀，則共有幾種購買方案（）

A.5B.4C.3D.2

6.《九章算術?盈不足》載，其文曰：“今有共買物，人出十，盈六；人出九，不足十.問人數、物價各幾

何？”意思為：幾個人一起去買東西，如果每人出10錢，就多了6錢；如果每人出9錢，就少了10錢.問

一共有多少人？這個物品的價格是多少？設共有4人，物品的價格為，錢，則可列方程組為（）

lOx-y=6Iy-1Ox=610y-x=6lOx-y=6

A.B.〈C.D.,

y-9x=10[9x-y=10[x-9v=10[x-9y=10

7.如圖，將出48c先向下平移3個單位，再繞原點。按逆時針方向旋轉90。，得到則點。的

對應點。'的坐標是（）

A.(1,-3)B.(0,-2)C,(0,2)D.(-1,3)

8.如圖，四邊形48co內接于G。，力B是。。的直徑，點E在。。上，且/4。。=125。，則N8EC

的度數是（）

A.25°B.55°C.45°D.35°

9.如圖，在矩形48CQ中，分別以點以。為圓心，大于1協長為半徑作弧，兩弧相交于點N,作直

2

線MV與8C,4。分別交于點E,F,連接EZ）.已知[8=2,BC=4,則BE的長為（）

7

A.2D.

2

10.如圖①，力，8是OO上的兩定點，圓上一動點P從點/出發，按逆時針方向勻速運動到點8,運動時

間是x(s),線段〃的長度是y(cm),圖②是N隨X變化的關系圖象.①。。的半徑為1cm；②4,8兩

7T

點間的距離為1cm；③點P的運動速度為一cm/s；④/力。8的度數為45。.以上說法正確的是()

3

A.①@③B.①②④C.①③④D.②③④

二、填空題(每題3分，共6題，總分18分)

11.計算：因式分解：ay-ab2=.在函數y=W=中，自變量x的取值范圍是

12.為備戰笫19屆亞運會，甲、乙兩名運動員進行射擊訓練.在相同的條件下，兩人各射擊10次，成績如

圖所示，則運動員的成績更加穩定.

環數環數

101……….........................+............iol——?............................................

9.................~.................................9---------------------■--------------?------

8-.......................................................8..........................................................

7-..............................?.............—7—?-------?一-―---------?------------

6------------------------------------------6;----------------------------------------------

°L_____1______1______I_____i_1______I______1:______I______I______6I______i1o-次、J數也//°L____i_1___5___1______31______1_____1______I______?______1______I______iQod次?J數

甲乙

13.如圖，點A在V軸的正半軸上，以。/為邊在04左側作菱形。43C，且N4OC=60。，反比例函數

歹=4（上工0.＜0）的圖象經過點c,若菱形0/8。的面枳是12,則女的值為^

X

14.如圖，在扇形404中，。4=2,/力03=90"，點。在勿上且C。垂直平分線段。4,。為垂足，

以。為圓心，。。為半徑作弧交08于點E,則陰影部分面積等于.

15.如圖，在RtZ\ABC中,/ACB=90°,AC=6,BC=7,點M為平面內一動點，連接AM、BM、CM,若/

AMC=45°,則BM的最小值為

第15題

16.二次函數y=ad+bx+c（Q{0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（-1,0）,對稱軸為直線x=2,下列

結論：（1）4〃+6=0；（2）4Q+C＞2/?；（3）若點/（-2,%），點必），點在該函數圖

象上，則必＜為＜必；（4）若加w2,則〃?（〃"?+〃）＜2（2。+/））,其中正確的結論的序號是

三、解答題（共7題，總分72分）

4（x+l）<7x+10

17.（8分）（1）解不等式組：，uX-8

x-5<-----

3

a-24、

⑵化簡求值：，其中〃=近一2,

。+2,

18.（8分）為了貫徹落實健康第一的指導思想，促進學生全面發展，某校積極提高同學們的身體素質.現

對該校七、八年級部分學生每周的鍛煉時間（單位：h）進行統計，按照每周鍛煉時間分成四組：A：0<x<3；

B：3<x<6：C：6cx<9：D：9Vx<12,并繪制了如圖①、②兩幅不完整的統計圖，清你根據圖中

所提供的信息，完成下列問題：

（1）該校此次調查共抽取了名學生，扇形統計圖中“C”組對應的扇形圓心角的度數為度,

并補全條形統計圖；

（2）若該校八年級共1000名學生，請估“八年級每周鍛煉時間達到6小時及以上的學生人數：

（3）若“D”組中七年級和八年級各有2名同學報名市區的運動比賽，學校打算從這4名同學中挑選2名

參賽，請用列表法或樹狀圖法求恰好選中同一年級兩名同學的概率.

19.（10分）在“鄉村振興”行動中，某企業用4夕兩種農作物為主要原料開發了一款有機產品，/原

料的單價是8的1.5倍,用相同資金9000元收購A原料比B原料少1000kg.生產1件產品需A原料2kg和

8原料4kg,每件還需其他成本9元.市場調查發現：產品每件售價是60元時，每天可銷售500件；每降

價I元，每天多銷售20件.

（1）求每件產品的成本；

（2）求每天的利潤力（元）與產品的售價單價是x（整數元）的函數解析式（不用寫自變量的取值范圍）；

（3）若每件產品的售價為〃元（不低于成本，不高于60的常數、整數），確認每天的最大利澗.

20.U0分）如圖①是某型號家用轎車后備箱開啟側面示意圖，將其簡化成如圖②所示模型，其中力產〃BE，

4

sinZBAF=-,箱蓋開啟過程中，點8,E繞點力沿逆時針方向轉動相同角度，分別至點8,，E'的位置,

且點￡在線段E8的延長線上，BEA.BE.

圖①

（1）求旋轉角的度數；

（2）若48=30cm,求BE'的長度.

21.（12分）閱讀與思考

下面是項目學習小組學習報告的部分內容，請認真閱讀并完成相應的任務.

(1)連接。4,求證：/EAO=2/ADC.

(2)若tanN4Z)C=；,求4c的長.

22.(12分)當幾何圖形中，兩個共頂點的角所在角度是公共大角一半的關系，我們稱之為“半角模型”，

通常用“旋轉的觀點”看待圖形的幾何變換，使得兩個分散的角變換成為一個三角形，相當于構造出兩個

三角形全等.

【問題初探】

(1)如圖1,在四邊形45CQ中，AD=CD,ZA=ZADC=ZBCD=90°,E、/分別是48、BC邊

上的點，且NEDF=45。,求出圖中線段￡/，AE，R?之間的數量關系.

如圖1,從條件出發：將a1OE繞著點。逆時針旋轉90。到電7MZ位置，根據“旋轉的性質”分析C/W與

/E之間的關系，再通過全等的性質得到線段之間的數量關系，可證得結論.

【類比分析】

(2)如圖2,在四功形力AC。中，AR=AD./R4D=/RCD=90。,Z.EAF=45°,=

DC=14,CF=8,求的長.

【學以致用】

(3)如圖3,在四邊形48CO中，AB=AD,與44DC互補，點￡、尸分別在射線CB、DC

上，RAEAF=-ZBAD.當3C=4,DC=9,b=2時，求出△"產的周長.

2

23.(12分)在平面直角坐標系中，點力(-2,1)在函數y=ax2+bx+l(q>0)的圖象上.

(1)求該函數圖象的對稱軸及頂點坐標：

(2)當一3KxV加時，該函數的最小值為一。+1,最大值為3〃+1,求”的取值范圍：

⑶若該函數圖象與x軸的兩個交點的橫坐標為演，x2(x,<x2),滿足gvx2一玉<2,求。取值范圍.

參考答案

一、選擇題

1.【答案】C伯努利雙紐線既是軸對稱圖形，乂是中心對稱圖形。心形線(卡爾?琴線)僅軸對稱而非中心

對稱；阿基米德螺線不具有這兩種對稱性。

2.【答案】D分析各選項：A.x3+x3=2xV2x%錯誤；B.x2xJ=xVx6,錯誤；C.(-2x)3=-8xV-6x3,錯誤；D.x6-x3=x\

正確。

3.【答案】B正方體切去一角后，左視圖應該是一個矩形，其中有一條從左上到右下的對角線(或從左下到

右上，取決于切去的位置)。

4.【答案】C由|a|=|c|可知a與c關于原點對稱，即a=-c。由數軸位置可知a<O〈b〈c,且同=|c|〉b。A,a+c=O

不是>0,錯：B.a-b<0(a在b左邊)，錯：C.a+b<0(|a|>|b|,負數絕對值大)，正確：D.ab<0(異號)，錯

誤。

5.【答案】B設買m本筆記本、n支碳素筆，則3m+2n=28。由m=(28-2n)/3多，i侖1,且m為整數。經檢驗：

n=2時m=8；n=5時m=6；n=8時m=4；n=U時m=2。共4種方案。

6.【答案】A由題意：每人出10錢多6錢-l()x-y=6；每人出9錢少十錢一y-9x=100方程組為選頁A。

7.【答案】C將4ABC先向下平移3個單位，再繞原點逆時針旋轉90。。設原C坐標為(x,y),平移后為(x,y-3),

旋轉90。后C為(3-y,x)。結合圖中原坐標可得答案。

8.【答案】D四邊形ABCD內接于圓O,AB為直徑。由P］內接四邊形對角互補：ZABC=180°-125o=55°o

ZABC對弧ADC,弧ADC=2X55C=1I0°O弧ABC=360°-l10°=250°,又AB為直徑弧AB=180°,故弧BC=70%

NBEC對弧BC=70。，故NBEC=35。。

9.【答案】B由作圖可知MN是BD的垂直平分線，則EB=EDo設BE=x,則EC=4?x。在RtAECD

EC2+CD2=ED2,^(4-x)2+22=x2,展開得16-8x+x2+4=x2,20-8x=0,x=5/2.

10.【答案】A分析圖象可得：&0半徑為1cm；A、B之間距離可通過圖象最大值或終值判斷；運動速度=

弧長/時間；NAOB的度數通過圓心角與圈周角關系或弧長公式求解。結合四個結論的正誤判斷即可。

二、填空題

11.【答案】a(a+b)(a?b)；x，3且x=2因式分解：a3-ab2=a(a2-b2)=a(a+b)(a-b)：函數y=(x-l)/(x-2)中，分母x-2#),

故自變量x的取值范圍是xR2。

12.【答案】2觀察圖中甲、乙兩名運動員的10次射擊成績分布情況，計算或估算兩人的平均分和方差。方

差越小，成績越穩定。

13.【答案】-6菱形OABC面積=OA2xsin600=12,即OA?*心/2=12,OA-843。點C在反比例函數y=k/x上，

2

C的坐標為(-OAxsin60。,OAxCos600)ok=x-y=-0Axsin600xcos6C0=-8^3x^3/2x1/2=-6o

14.【答案】加12+也/2扇形AOB中，OA=2,ZAOB=90°oCD垂直平分OA,D為OA中點，OD=1。以

O為圓心OD為半徑的扇形ODE面積=兀/4。陰影面積=/\(^：口面積十弧CE對應的弓形面積-小扇形面積，

經計算得Ml2+43/2。

15.【答案】5?3a由NAMC=45。可知M在以AC為弦、圓心角為90。的圓上。圓心P在AC的垂直平分線

上，半徑r=AC/Y2=3Y2°BP2=(AC⑵2+(BC-r)2=9+(47-342)2或利用坐標計算得BP=5°BM最小值=BP-r=5--3<2。

16.【答案】①④對稱軸x=-b/2a=2,得4a+b=0,①正確。由過點(-1,0)得a-b+c=0,結合b=>4a得5a+c=0,

即c=-5a。@4a+c=4a-5a=-a?2b=-8a?需判斥-a>-8a即a>0時成立，否則不成立。③根據各點到對稱軸距

離判斷函數值大小。④化簡為m(am+b)<2(2a+b),即a(m-2)y),當a<()時成立。

三.解答題

17.計算與化簡

(1)解不等式組：

解不等式①：4(x+l)<7x+10

4x+4<7x+10

-3x<6

x>-2

解不等式②：x-5<(x-8)/3

3(x-5)<x-8

3x-15<x-8

2x<7

x<3.5

綜合得：-2Wx<3.5

(2)化簡求值：

原式=(a-2)/(a2+4a+4)-(1-4/(a+2))

=(a-2)/(a+2)2+((a+2-4)/(a+2))

=(a-2)/(a+2)2x(a+2)/(a-2)

=l/(a+2)

當a="2-2時：

原式=1/(42-2+2)=1/^2=<2/2

18.統計分析題

(1)由A組人數和所占百分比可求總人數80人：再由C組占比求圓心角。

總人數=A組人數+A組所占百分比

C組圓心角=C組占比x360°=72°

(2)每周鍛煉6小時及以上即C組和D組。

估計人數=1000x(c組占比+D組占比)=350(人)

(3)列表法或樹狀圖法：

從4名同學（7年級a、b,8年級c、d）中選2名，共有以下6種等可能情況:

ab、ac^ad、be、bd>cd

其中ab和cd為同年級，共2種。

P（恰好同年級）=2/6=1/3

19.應用題(鄉村振興)

⑴設B原料單價為m元/kg,則A原料單價為1.5m元/kg。

用9000元購B原料重量=9000/m

用9000元購A原料重量=9000/(1.5m)=6000/m

由題意:9000/m-6000/m=1000

3000/m=1000,m=3

B單價=3元/kg,A單價=4.5元/kg

每件成本=2x4.5+4x3+9=9+12+9=30(元)

(2)售價為x元(x為整數)，則每件利潤=(x-30)元。

每天銷售量=500+20(60-x)=500+1200-20x=1700-20x

W=(x-3())(l700-20x)=-20x2+2300x-51000

(3)W=-20n2+2300n-51000,30<n<60,n為整數。

對稱軸n=-2300/(2x(-20))=2300/40=57.5

V-20<0,開口向下，在n=57.5時取最大值。

???n為整數,無論n=57還是58,都能使W最大。

W_max=-20x572+2300x57-51000=15120(元)

20.后備箱開啟問題

1.【答案】

乙BA8'=90。；

【詳解】

解：由旋轉得，=ZABE,

ZABE+ZABE=180°,

LB+ZABF=180°.

BE1BE,

f

???在四邊形ABE'6‘中，ZBAfi'=3600-180。-90°=90。;B'E

2.【答案】

BE’的長度為42cm.

過點A作AP1BE于點P,過點作B’H1AP于點H.在Rt△ABP

中，利用三角函數的定義求得AP=24,BP=18,證明△BPAwA

AHB',求得PA=H8'=24,進一步計算即可求解.

【詳解】

解：如圖，過點A作APIBE于點P,過點8作如H_LAP于點H.

:AF||BE,

E

:Z.ABP=Z.BAF.

在RtZkABP中，々APB=90°

4APAP

:sin乙ABP=sinz.BAF=—=—=——.

5AB30

:AP=24.

:BP=V302-242=18.

由⑴知,4BAB'=90°,即(BAP+Z.PAB=90%

zABP+zPAB=90",

???乙BAP=Z.ABP,

由旋轉,得AB=AB',

BPA^AAHfi',

PA=HF=24,

???BE1BE,

:.Z.BEP=Z.FHP=/APE'=90°,

???四邊形8'E'PH是矩形.

:.PE'==24,

BE'-BP+PE'-18+24-42.

所以，BE'的長度為42cm.

21.量筒讀數幾何問題

(1)證明：連接DO并延長，交。0于點M,連接AM,如圖所示:

???CD為。0的切線，

AOD1CD,

ZADC+zADM=90".

???DM為。。的直徑，

匕MAD=90°,

4M+4ADO=90°,

???zADC=Z.M,

zAOD=2zADC,

vCD1CE,OD1CD,

:.CE//OD,

:.zEAO=Z.AOD,

???Z.EAO=2Z.ADC.

(2)解：設AC=x,

由三角函數可得，tan^ADC=

CD=3x,

,:EA=18-9=9(mm),

EC=x+9,

vAD=AD,

Z.M=Z.AED,

量簡Y

vz.M=Z.ADC,

???Z.AED=zADC?

tan^AED=即段=

3EC3

3x_1

，*"x+9-3,

解得：x=l

o

經檢驗，x=9是分式方程的解，且符合題意.

O

???AC的長為，m7TL

8

22.半角模型解：(1)EF=FC+AE.理由如下:

在四邊形ABCD中，AD=CD,zA=ziADC=zBCD=90°,

ADE繞點D逆時針旋轉90。得到△CDM,

ZADE=ZMDC,DE=DM,AE=CM,B,C,M三點共線。

vZEDF=45°,AzADE4-zCDF=45°,

zlMDC+乙CDF=4MDF=45。。

DE=DM,

在ADEF和△DMF中，\z.EDF=LMDF,

DF=DF,

DEF^ADMF,:.EF=MF=FC+CM=FC+AE。

(2)如圖，在DC上取點G,使得DG=BE,連接AG。

???4ABC+ZD=180°,zABC+々ABE=180°,

:.zD=zABEo

(AB=AD,

在△ABE和△ADC中,\z.ABE=ZD,