2025-2026學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣第五中學(xué)高二下學(xué)期模塊綜合測(cè)評(píng)卷數(shù)學(xué)試題-含解析

/數(shù)學(xué)分值：150分時(shí)間：120分鐘一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合題目要求.1.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A.30 B.24 C.18 D.122.已知函數(shù)，則（）A. B.1 C. D.3.一個(gè)袋子中裝有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任選4個(gè)球，取到一個(gè)白球得1分，取到一個(gè)黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量，則為（）A. B. C. D.4.某學(xué)校寒假期間安排3名教師與4名學(xué)生去北京、上海參加研學(xué)活動(dòng)，每地要求至少1名教師與2名學(xué)生，且教師甲不去上海，則分配方案有（）A.36種 B.24種 C.18種 D.12種5.已知，則“”是“與相互獨(dú)立”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.函數(shù)在上的圖象大致是（）A. B.C. D.7.已知變量與變量線(xiàn)性相關(guān)，與的樣本相關(guān)系數(shù)為，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程可能是（）A. B.C. D.8.若函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題，本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知連續(xù)型隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，記函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若存在實(shí)數(shù)a，使得，，則（）（參考數(shù)據(jù)：若，則，）A. B.C. D.10.有三個(gè)相同的箱子，分別編號(hào)1，2，3，其中1號(hào)箱內(nèi)裝有4個(gè)綠球、1個(gè)紅球，2號(hào)箱內(nèi)裝有2個(gè)綠球、3個(gè)紅球，3號(hào)箱內(nèi)裝有5個(gè)綠球，這些球除顏色外完全相同.某人等可能從三個(gè)箱子中任取一箱并從中摸出一個(gè)球，事件表示“取到號(hào)箱”，事件表示“摸到綠球”，事件表示“摸到紅球”，則（）A. B.C. D.11.若函數(shù)在處取得極大值，則（）A. B.C.為的一個(gè)增區(qū)間 D.的極小值為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，且，則的方差為_(kāi)_______．13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)____.14.某芯片制造廠(chǎng)有甲、乙兩條生產(chǎn)線(xiàn)均生產(chǎn)7nm規(guī)格的芯片，現(xiàn)有2000塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙生產(chǎn)的芯片分別為1200塊，800塊，且乙生產(chǎn)該芯片的次品率為，現(xiàn)從這2000塊芯片中任取一塊芯片，若取得芯片的次品率為0.08，則甲廠(chǎng)生產(chǎn)該芯片的次品率為_(kāi)_____．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若在上恒成立，求k的取值范圍．16.鹽水選種是古代勞動(dòng)人民的智慧結(jié)晶，其原理是借助鹽水估測(cè)種子的密度，進(jìn)而判斷其優(yōu)良．現(xiàn)對(duì)一批某品種種子的密度（單位：）進(jìn)行測(cè)定，測(cè)定結(jié)果整理成頻率分布直方圖如圖所示，認(rèn)為密度不小于的種子為優(yōu)種，小于的為良種．自然情況下，優(yōu)種和良種的萌發(fā)率分別為和．（1）估計(jì)這批種子密度的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）（2）用頻率估計(jì)概率，從這批種子（總數(shù)遠(yuǎn)大于）中選取粒在自然情況下種植，設(shè)萌發(fā)的種子數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望（各種子的萌發(fā)相互獨(dú)立）．17.臺(tái)兒莊古城景區(qū)面向全國(guó)應(yīng)屆中、高考學(xué)生推出自2025年6月11日至2025年8月31日的免費(fèi)暢游古城活動(dòng).景區(qū)為了解這些學(xué)生游客對(duì)其開(kāi)展的“國(guó)風(fēng)畢業(yè)照”活動(dòng)的滿(mǎn)意度，隨機(jī)抽取400人進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：調(diào)查結(jié)果組別不滿(mǎn)意滿(mǎn)意合計(jì)高考生游客80120200中考生游客13070200合計(jì)210190400（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析滿(mǎn)意情況是否與學(xué)生的組別有關(guān)；（2）在高考學(xué)生游客的樣本中用分層抽樣的方法選出5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的訪(fǎng)談，求這3人中滿(mǎn)意人數(shù)X的概率分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.附：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.已知甲、乙、丙三個(gè)品牌的手機(jī)從1米高的地方掉落時(shí)，屏幕第一次未碎掉的概率均為，當(dāng)?shù)谝淮挝此榈魰r(shí)第二次也未碎掉的概率依次為，，，假設(shè)三個(gè)品牌的手機(jī)掉落后屏幕是否碎掉互不影響.（1）求這3個(gè)品牌的手機(jī)中至少有2個(gè)品牌第一次掉落屏幕未碎掉的概率；（2）設(shè)這3個(gè)品牌的手機(jī)掉落兩次后屏幕仍未碎掉的品牌個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列；（3）已知3個(gè)品牌的手機(jī)掉落兩次后恰有1個(gè)品牌的手機(jī)屏幕仍未碎掉，求該品牌手機(jī)是甲的概率.19.已知函數(shù).（1）求的值域；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）證明：當(dāng)且時(shí)，.

數(shù)學(xué)分值：150分時(shí)間：120分鐘一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合題目要求.1.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A.30 B.24 C.18 D.12答案：D解析：思路：根據(jù)給定條件，利用組合計(jì)數(shù)問(wèn)題列式計(jì)算得解.解答過(guò)程：的展開(kāi)式中含的項(xiàng)是從6個(gè)多項(xiàng)式中取5個(gè)都用，余下1個(gè)用2相乘的積，即的展開(kāi)式中含的項(xiàng)是，所以所求系數(shù)為12.故選：D2.已知函數(shù)，則（）A. B.1 C. D.答案：A解析：思路：根據(jù)題意，由條件可得，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.解答過(guò)程：因?yàn)椋瑒t，所以.故選：A3.一個(gè)袋子中裝有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任選4個(gè)球，取到一個(gè)白球得1分，取到一個(gè)黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量，則為（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：結(jié)合組合、古典概型的概率公式，超幾何分布，由進(jìn)行求解即可.解答過(guò)程：由題意，從中任選4個(gè)球，除取到4個(gè)白球得4分外，其他取法的得分都不小于6，故.故選：C.4.某學(xué)校寒假期間安排3名教師與4名學(xué)生去北京、上海參加研學(xué)活動(dòng)，每地要求至少1名教師與2名學(xué)生，且教師甲不去上海，則分配方案有（）A.36種 B.24種 C.18種 D.12種答案：C解析：思路：分教師甲與2名學(xué)生去北京與教師甲與另一名教師及2名學(xué)生去北京兩種情況分類(lèi)討論可求分配方案的方法數(shù).解答過(guò)程：當(dāng)教師甲與2名學(xué)生去北京時(shí)，分配方案共有（種）；當(dāng)教師甲與另一名教師及2名學(xué)生去北京時(shí)，分配方案共有（種），綜上，分配方案共有（種）.故選：C.5.已知，則“”是“與相互獨(dú)立”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案：C解析：思路：根據(jù)條件概率公式、獨(dú)立事件的乘法公式可分析命題之間的充要性.解答過(guò)程：，，即與相互獨(dú)立；若與相互獨(dú)立，則，，綜上，“”是“與相互獨(dú)立”的充要條件.故選：C.6.函數(shù)在上的圖象大致是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：先判斷出函數(shù)的奇函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，求出的值，即可得答案.解答過(guò)程：解：因?yàn)椋裕院瘮?shù)為上的奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又因?yàn)椋手挥蠥選項(xiàng)才滿(mǎn)足.故選：A.7.已知變量與變量線(xiàn)性相關(guān)，與的樣本相關(guān)系數(shù)為，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程可能是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)以及經(jīng)驗(yàn)回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)逐項(xiàng)分析判斷.解答過(guò)程：因?yàn)榕c的樣本相關(guān)系數(shù)為，可知與為負(fù)相關(guān)，故A，B錯(cuò)誤；又因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，對(duì)于，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，則，故D正確．故選：D.8.若函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，由此列不等式組求得的取值范圍.解答過(guò)程：函數(shù)的定義域是，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)椋遥砸购瘮?shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則需，解得.故選：B二、選擇題，本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知連續(xù)型隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，記函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若存在實(shí)數(shù)a，使得，，則（）（參考數(shù)據(jù)：若，則，）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性定義結(jié)合正態(tài)分布判定A，應(yīng)用概率公式結(jié)合正態(tài)分布計(jì)算求解參數(shù)判定B，C，D.解答過(guò)程：因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，，所以，A正確．因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕裕獾茫珺正確．因?yàn)椋裕越獾茫珻錯(cuò)誤．，D正確．故選：ABD.10.有三個(gè)相同的箱子，分別編號(hào)1，2，3，其中1號(hào)箱內(nèi)裝有4個(gè)綠球、1個(gè)紅球，2號(hào)箱內(nèi)裝有2個(gè)綠球、3個(gè)紅球，3號(hào)箱內(nèi)裝有5個(gè)綠球，這些球除顏色外完全相同.某人等可能從三個(gè)箱子中任取一箱并從中摸出一個(gè)球，事件表示“取到號(hào)箱”，事件表示“摸到綠球”，事件表示“摸到紅球”，則（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：根據(jù)條件概率公式計(jì)算判斷A，B，應(yīng)用全概率計(jì)算判斷C，應(yīng)用貝葉斯公式計(jì)算判斷D.解答過(guò)程：由題意可知，A正確，B錯(cuò)誤；，C正確；，D正確；故選：ACD.11.若函數(shù)在處取得極大值，則（）A. B.C.為的一個(gè)增區(qū)間 D.的極小值為答案：ACD解析：思路：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為0求解，可判斷AB，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值即可判斷CD.解答過(guò)程：因?yàn)椋裕驗(yàn)楹瘮?shù)在處取得極大值，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，取極小值，不是極大值，不符合題意．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，取極大值，符合題意．綜上，，故A正確，B錯(cuò)誤；由上可知，，為的一個(gè)增區(qū)間，的極小值為，故CD正確，故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，且，則的方差為_(kāi)_______．答案：.解析：思路：結(jié)合二項(xiàng)分布的方差的計(jì)算公式求出，進(jìn)而根據(jù)方差的性質(zhì)即可求出結(jié)果.解答過(guò)程：因?yàn)椋裕覄t，因此的方差為，故答案為：.13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)____.答案：解析：思路：求出展開(kāi)式中和的系數(shù)，然后由多項(xiàng)式乘法得結(jié)論．解答過(guò)程：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以所求的系數(shù)為.故答案為：.14.某芯片制造廠(chǎng)有甲、乙兩條生產(chǎn)線(xiàn)均生產(chǎn)7nm規(guī)格的芯片，現(xiàn)有2000塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙生產(chǎn)的芯片分別為1200塊，800塊，且乙生產(chǎn)該芯片的次品率為，現(xiàn)從這2000塊芯片中任取一塊芯片，若取得芯片的次品率為0.08，則甲廠(chǎng)生產(chǎn)該芯片的次品率為_(kāi)_____．答案：##解析：思路：運(yùn)用全概率公式進(jìn)行進(jìn)行求解即可.解答過(guò)程：設(shè)分別表示取得的這塊芯片是由甲廠(chǎng)、乙廠(chǎng)生產(chǎn)的，B表示取得的芯片為次品，甲廠(chǎng)生產(chǎn)該芯片的次品率為p，則有，由全概率公式可得：，故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若在上恒成立，求k的取值范圍．答案：（1）1（2）解析：思路：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用極值點(diǎn)求出并驗(yàn)證即可.（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出在上的最大值即可.（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，由在處取得極值，得，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，即函數(shù)在處取得極值，所以.（2）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，因此，，不等式在上恒成立，則在上恒成立，，所以k的取值范圍是.16.鹽水選種是古代勞動(dòng)人民的智慧結(jié)晶，其原理是借助鹽水估測(cè)種子的密度，進(jìn)而判斷其優(yōu)良．現(xiàn)對(duì)一批某品種種子的密度（單位：）進(jìn)行測(cè)定，測(cè)定結(jié)果整理成頻率分布直方圖如圖所示，認(rèn)為密度不小于的種子為優(yōu)種，小于的為良種．自然情況下，優(yōu)種和良種的萌發(fā)率分別為和．（1）估計(jì)這批種子密度的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）（2）用頻率估計(jì)概率，從這批種子（總數(shù)遠(yuǎn)大于）中選取粒在自然情況下種植，設(shè)萌發(fā)的種子數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望（各種子的萌發(fā)相互獨(dú)立）．答案：（1）（2）分布列見(jiàn)解析；解析：思路：（1）求出每組的中點(diǎn)值然后即可求解.（2）根據(jù)題意從這批種子中選取粒在自然情況下種植萌發(fā)的種子數(shù)符合二項(xiàng)分布，從而可求出分布列，求出期望值.（1）估計(jì)種子密度的平均值為；（2）由頻率分布直方圖知優(yōu)種占比為，任選一粒種子萌發(fā)的概率．因?yàn)檫@批種子總數(shù)遠(yuǎn)大于2，所以萌發(fā)的種子數(shù)符合二項(xiàng)分布，所以可取的值為，，，所以，，，所以的分布列為：012所以期望，故期望值為.17.臺(tái)兒莊古城景區(qū)面向全國(guó)應(yīng)屆中、高考學(xué)生推出自2025年6月11日至2025年8月31日的免費(fèi)暢游古城活動(dòng).景區(qū)為了解這些學(xué)生游客對(duì)其開(kāi)展的“國(guó)風(fēng)畢業(yè)照”活動(dòng)的滿(mǎn)意度，隨機(jī)抽取400人進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：調(diào)查結(jié)果組別不滿(mǎn)意滿(mǎn)意合計(jì)高考生游客80120200中考生游客13070200合計(jì)210190400（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析滿(mǎn)意情況是否與學(xué)生的組別有關(guān)；（2）在高考學(xué)生游客的樣本中用分層抽樣的方法選出5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的訪(fǎng)談，求這3人中滿(mǎn)意人數(shù)X的概率分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.附：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828答案：（1）滿(mǎn)意情況與學(xué)生的組別有關(guān)（2）答案見(jiàn)解析解析：思路：（1）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想即可判斷；（2）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，結(jié)合古典概型公式、數(shù)學(xué)期望和方差的公式進(jìn)行運(yùn)算求解即可.（1）零假設(shè)為：滿(mǎn)意情況與學(xué)生的組別無(wú)關(guān).因?yàn)椋鶕?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即滿(mǎn)意情況與學(xué)生的組別有關(guān)，該推斷犯錯(cuò)概率不超過(guò)；（2）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知：選出5人中，滿(mǎn)意人數(shù)為，不滿(mǎn)意人數(shù)為，由題意可知：，，，，所以這3人中滿(mǎn)意人數(shù)X的概率分布列為：，.18.已知甲、乙、丙三個(gè)品牌的手機(jī)從1米高的地方掉落時(shí)，屏幕第一次未碎掉的概率均為，當(dāng)?shù)谝淮挝此榈魰r(shí)第二次也未碎掉的概率依次為，，，假設(shè)三個(gè)品牌的手機(jī)掉落后屏幕是否碎掉互不影響.（1）求這3個(gè)品牌的手機(jī)中至少有2個(gè)品牌第一次掉落屏幕未碎掉的概率；（2）設(shè)這3個(gè)品牌的手機(jī)掉落兩次后屏幕仍未碎掉的品牌個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列；（3）已知3個(gè)品牌的手機(jī)掉落兩次后恰有1個(gè)品牌的手機(jī)屏幕仍未碎掉，求該品牌手機(jī)是甲的概率.答案：（1）（2）答案見(jiàn)