2025-2026學年吉林省吉林市毓文中學高一下學期期中考試數學試題-含解析

/數學一、單項選擇題：本大題共8題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求．1.若復數，則復數在復平面內所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量，，若與共線，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.43.如圖，是水平放置的的直觀圖，，則原的面積為（）A. B. C.6 D.84.在空間中，，是不重合的直線，，是不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，則5.在中，，，所對的邊分別為，，，已知，，，則A. B. C. D.6.如圖，在所有棱長均為的正四棱錐中，以為頂點的圓錐在此正四棱錐的內部（含表面），則該圓錐體積的最大值為（）A. B.C. D.7.蜂巢的精密結構是通過優勝劣汰的進化自然形成的，若不計蜂巢壁的厚度．蜂巢的橫截面可以看成正六邊形網格圖，如圖所示．已知為圖中7個正六邊形（邊長為1）的三個固定頂點，則（）A.12 B. C.16 D.8.已知為所在平面內一點，并且滿足，過的直線與，邊分別交于，點，若，，則的最小值為（）A. B. C.2 D.4二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．9.下列命題正確的有（）A.長方體是平行六面體B.正四棱柱是正方體C.有一個面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐D.棱臺的側面是梯形10.在中，角、、的對邊分別為、、，下列說法正確的是（）A.若，則為等腰三角形或直角三角形B.若，則是銳角三角形C.若為銳角三角形，則D.若有兩解，，，則11.下列說法正確的是（）A.已知向量，，且，則B.向量，，則“，的夾角為銳角”是“”的充要條件C.若，、分別表示、的面積，則D.在中，向量與滿足，且，則為等邊三角形三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分．12.已知平面向量的夾角為，則___________13.已知正三棱柱，，，則其外接球表面積為______.14.已知是銳角的外接圓圓心,則實數的值為_____.四、解答題：共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.（1）若復數（其中）為純虛數，求的值；（2）已知，求；（3）已知是關于的一元二次實系數方程的一個根，求實數，的值．16.在中，角的對邊分別為，且．（1）求角的大小；（2）若，的面積為，求該三角形的周長（3）若，，為的平分線，求的長．17.如圖所示，在四棱錐中，平面，，是的中點．（1）求證：；（2）求證：平面；（3）在上是否存在點使得平面平面，若存在，求出點的位置并給以證明，若不存在，請說明理由．18.如圖，某區有一塊的空地，其中，．當地區政府計劃將這塊空地改造成一個旅游景點，擬在中間挖一個人工湖，其中，都在邊上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設兒童游樂場．為安全起見，需在的周圍安裝防護網．（1）當時，求防護網的總長度；（2）若要求人工湖用地的面積是假山用地面積的倍，試確定的大小；（3）如何設計施工方案，可使的面積最小？最小面積是多少？19.在平面直角坐標系中，為坐標原點，對任意兩個向量，，作，．當，不共線時，記以，為鄰邊的平行四邊形的面積為；當，共線時，規定．（1）分別根據下列已知條件求：①，；②，；（2）若向量（，，），證明：（3）若，，是以為圓心的單位圓上不同的點，記，，．當時，求的最大值．

數學一、單項選擇題：本大題共8題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求．1.若復數，則復數在復平面內所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：化簡復數為，結合復數的幾何意義，即可求解.解答過程：由復數，可得復數在復平面內所對應的點的坐標為，位于第一象限．故選：A.2.已知向量，，若與共線，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：D解析：解答過程：，因為與共線，故，故.3.如圖，是水平放置的的直觀圖，，則原的面積為（）A. B. C.6 D.8答案：A解析：思路：根據直觀圖得到平面圖，求出相關線段的長度，從而求出面積.解答過程：由直觀圖可得如下平面圖形，則，，，則原的面積為.故選：A.4.在空間中，，是不重合的直線，，是不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，則答案：C解析：思路：依據空間中線面平行、面面平行的判定定理與性質定理，逐一分析各選項的正誤.解答過程：對A：若，，，則與的位置關系為平行或異面，故A錯誤；對B：若，，則或，故B錯誤；對C：若，，，由線面平行的性質定理可得，故C正確；對D：若，，則與的位置關系為平行或相交，故D錯誤.5.在中，，，所對的邊分別為，，，已知，，，則A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用余弦定理求得a,再利用正弦定理即得結果.解答過程：由余弦定理：，得，由正弦定理：.故選A方法提示：本題考查正弦定理和余弦定理公式的應用，屬于基礎題型.6.如圖，在所有棱長均為的正四棱錐中，以為頂點的圓錐在此正四棱錐的內部（含表面），則該圓錐體積的最大值為（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根據正四棱錐的性質，求出棱錐的高，進而根據體積最大且高為定值得出最大半徑，進而利用圓錐的體積公式計算圓錐體積的最大值．解答過程：已知正四棱錐的所有棱長均為，則底面為邊長為的正方形，作在底面的投影，連接，則為圓錐底面的圓心和底面的中心，即為圓錐的高，，圓錐的高固定，當底面半徑最大時體積最大，底面半徑的最大值為，．7.蜂巢的精密結構是通過優勝劣汰的進化自然形成的，若不計蜂巢壁的厚度．蜂巢的橫截面可以看成正六邊形網格圖，如圖所示．已知為圖中7個正六邊形（邊長為1）的三個固定頂點，則（）A.12 B. C.16 D.答案：A解析：思路：建立如圖所示的平面直角坐標系，得，，再由平面向量的數量積運算即可求解．解答過程：建立如圖所示的平面直角坐標系：由于正六邊形的邊長為1，所以，，所以，所以，故選：A8.已知為所在平面內一點，并且滿足，過的直線與，邊分別交于，點，若，，則的最小值為（）A. B. C.2 D.4答案：B解析：思路：首先確定點是的重心，再根據線性運算，用基底表示，利用三點共線，表示，再根據基本不等式求最值.解答過程：如圖，連結接并延長交于點，由可知，點是的重心，則點是的中點，，因為點三點共線，所以，即，則，當時，即時，等號成立，所以的最小值為.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．9.下列命題正確的有（）A.長方體是平行六面體B.正四棱柱是正方體C.有一個面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐D.棱臺的側面是梯形答案：ACD解析：思路：根據各個幾何體的結構特征，逐項進行分析即可.解答過程：對于A，平行六面體的定義是六個面均為平行四邊形的棱柱，長方體的每個面都是矩形（屬于平行四邊形），且側棱與底面垂直，因此長方體是特殊的平行六面體，故A正確.對于B，正四棱柱要求底面為正方形且側棱與底面垂直，但未限定側棱長度必須等于底面邊長.若側棱長度與底面邊長相等，則為正方體，否則僅為長方體.因此，正四棱柱不一定是正方體，故B錯誤.對于C，側面均為相交于一點的三角形，底面為多邊形的幾何體為棱錐，根據底面的邊數，分為三棱錐、四棱錐等.若某棱錐有一個面為平行四邊形，由棱錐定義可知，該面一定為棱錐的底面，因此有一個面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐，故C正確.對于D，棱臺由平行于棱錐底面的平面截棱錐而得到，原棱錐的側面為三角形，截后變為梯形，故D正確.故選：ACD.10.在中，角、、的對邊分別為、、，下列說法正確的是（）A.若，則為等腰三角形或直角三角形B.若，則是銳角三角形C.若為銳角三角形，則D.若有兩解，，，則答案：ACD解析：思路：利用正弦邊角關系及二倍角正弦公式，結合三角形內角的性質判斷A；根據余弦定理即可判斷B；由已知得，結合正弦函數的性質判斷C；根據三角形解的個數有判斷D．解答過程：A：由正弦邊角關系得，又，所以或，則為等腰三角形或直角三角形，正確，B：若，則，即，所以為鈍角，則為鈍角三角形，錯誤；C：由三角形為銳角三角形，則，則，所以，正確，D：由有兩解，則，正確．11.下列說法正確的是（）A.已知向量，，且，則B.向量，，則“，的夾角為銳角”是“”的充要條件C.若，、分別表示、的面積，則D.在中，向量與滿足，且，則為等邊三角形答案：AD解析：思路：由平面向量垂直的坐標表示，即可判斷A，由向量的坐標運算即可判斷B，由向量的線性運算結合三角形重心的性質即可判斷CD.解答過程：對于A，由，故，故，故A正確；對于B，由的夾角為銳角，得且不共線，則，解得且，所以“，的夾角為銳角”是“”的充分不必要條件，故B錯誤；對于C，如圖設，，由，得，取的中點，連接，則有，所以，即，則點為的重心，設，，的面積分別為，則，，的面積分別為，由重心的性質可知，所以，則，故C錯誤；對于D，如圖，作的內角平分線與相交于點，因為為的單位方向向量，為的單位方向向量，所以，，所以，即，所以為等腰三角形，又因為，且，所以，即為等邊三角形，故D正確.三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分．12.已知平面向量的夾角為，則___________答案：解析：思路：由向量的數量積運算及運算律可求得答案.解答過程：，所以．故答案為：.13.已知正三棱柱，，，則其外接球表面積為______.答案：解析：思路：設底面外接圓半徑為，正三棱柱外接球的半徑為，利用正弦定理求出，再根據求出，進而得到表面積．解答過程：設底面外接圓半徑為，正三棱柱外接球的半徑為，則，解得，，則其外接球表面積為．14.已知是銳角的外接圓圓心,則實數的值為_____.答案：解析：解答過程：設的中點為D，則有，代入，可得（*），由得，將（*）式兩邊同乘以，化簡得，即，由正弦定理及上式得，因為，所以，所以====，故答案為.四、解答題：共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.（1）若復數（其中）為純虛數，求的值；（2）已知，求；（3）已知是關于的一元二次實系數方程的一個根，求實數，的值．答案：（1）；（2）；（3），解析：解答過程：（1）由于為純虛數，故且，解得，（2）,則，（3）由于是關于的一元二次實系數方程的一個根，故，即，則，因此且，解得，16.在中，角的對邊分別為，且．（1）求角的大小；（2）若，的面積為，求該三角形的周長（3）若，，為的平分線，求的長．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根據題意，由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得到，求得，即可求解；（2）利用三角形的面積公式，，再由余弦定理，求得，即可求解；（3）根據題意，得到，利用，列出方程，即可求解.（1）解：因為，由正弦定理，可得，整理得，所以，即，又因為，可得，所以，因為，可得，所以，即，又因為，所以.（2）解：由（1）知：且的面積為，可得，可得，因為，由余弦定理知，可得，可得，解得，所以的周長為.（3）解：因為為的平分線且，可得，由，可得，又因為，可得，整理得，所以.17.如圖所示，在四棱錐中，平面，，是的中點．（1）求證：；（2）求證：平面；（3）在上是否存在點使得平面平面，若存在，求出點的位置并給以證明，若不存在，請說明理由．答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，當點是的中點時滿足題意，證明見解析．解析：思路：(1)根據線面平行的性質：如果一條直線與一個平面平行，那么過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行，進行證明；(2)根據中位線和平行四邊形中的平行性質，利用線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行，通過線線平行，證明線面平行；(3)根據面面平行的判定定理，找動直線與面內直線平行時的位置，進行證明判斷即可．（1）證明：平面，且平面；又因為平面平面，根據線面平行的性質可得，；（2）證明：取PA的中點G，連接EG，BG；因為E，G，為PD，PA中點，所以，且；又因為，，所以，且；所以為平行四邊形；所以；又因為平面，平面，所以平面；（3）在上存在的中點使得平面平面，證明如下：取的中點，連接CF，EF；因為E，F，為PD，AD中點，所以；又因為平面，平面，所以平面；又因為平面，且，平面；所以平面平面；在上存在點使得平面平面．18.如圖，某區有一塊的空地，其中，．當地區政府計劃將這塊空地改造成一個旅游景點，擬在中間挖一個人工湖，其中，都在邊上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設兒童游樂場．為安全起見，需在的周圍安裝防護網．（1）當時，求防護網的總長度；（2）若要求人工湖用地的面積是假山用地面積的倍，試確定的大小；（3）如何設計施工方案，可使的面積最小？最小面積是多少？答案：（1）；（2）；（3）時，的面積最小，最小值為.解析：思路：（1）由已知可得，在中根據余弦定理求出，并得到為直角三角形，進而求出是正三角形，即可得出結論；（2）設，由結合面積公式，以及在中由正弦定理，分別求出，從而得到關于的方程，求解即可；（3）設，由（2）將用表示，在中根據正弦定理，將用表示，面積可表示為關于的函數，利用三角恒等變換，結合正弦函數的有界性，即可得出結論.解答過程：解：（1）因為，所以．在中，，，，由余弦定理，得，即．因為，所以，，所以是正三角形，其