2026高考數(shù)學復習 空間直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（附解析）

空間直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

知識藺理-雙星自測

知識梳理

知識點一直線與平面垂直

I.直線與平面垂直

(1)定義：若直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,則直線/與平面a

垂直.

(2)判定與性質(zhì)

判定定理性質(zhì)定理

如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條

文字相交直線垂直，那么該直線與此平

垂直于同一平面的兩直線平行

語言面垂直

(線線垂直"線面垂直)

圖形z±b

語言y

aUa,

bUa,

符號。_La,

ILa,=>a//b

語言b-La

ILb,

aCb=P

過一點作垂直于已知平面的直線有且只有?條.

過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該

平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.

一條直線與一個平面平行時，這條直線上一任意一點到這個平面的距離，叫

做這條直線到這個平面的距離.

如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都

相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.

2.直線與平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜

線和這個平面所成的角.

若直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，直線與平面所成角為0,若直線與平

面垂直，直線與平面所成角為

0兀

(2)線面角。的范圍：夕仁］2_.

知識點二平面與平面垂直

1.二面角的有關概念

(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別

作與棱垂直的射線,則兩射線所成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角。的范圍：兀］.

2.平面與平面垂直

(1)定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是一直二面角，就說這兩

個平面互相垂直.

(2)判定與性質(zhì)

判定定理性質(zhì)定理

兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)

如果一個平面經(jīng)過另一個平面的

文字有一直線垂直于這兩個平面的交

垂線，那么這兩個平面垂直.(線

語言線，那么這條直線與另一個平面

面垂直O(jiān)面面垂直)

垂直.(面而垂直=＞線面垂直)

圖形

語言匕/^7

a邛,

符號aUa,aUa,

0a16=a_L8

語言waC尸b,

歸納拓展

1.若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

2.若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證

明線線垂直的一個重要方法).

3.垂直于同一條宜線的兩個平面平行.

4.一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直.

雙基自測

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“V”或“X”)

(1)直線/與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則/_La.()

(2)垂直于同一個平面的兩平面平行.()

(3)若直線a_La,b工a,則a〃6.()

(4)若a_L夕，a邛,則。〃a.()

(5)若直線a_L平面a,直線則直線Q與力垂直.()

(6)若平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面夕內(nèi)的無數(shù)條直線，則)

［答案］⑴X(2)X(3)V(4)X

(5)，(6)X

題組二走進教材

2.(必修2Pl64Tl5)如圖1,正方形SGiG2G3中，E,尸分別是GG2,G2G3的

中點，。是成的中點，如圖2,沿SE,SF,七尸將正方形折成一個四面體，使

)

C.G/_L平面SEFD.GO_L平面SEF

［答案］A

［解析］由題意知SG_LGESG工GE,6月03七=6.，56_1_平面6￡＞居故選

A.

3.(必修2P152例4)在棱長為1的正方體”CD—45CQ］中，點M,N分別

為AB,8C的中點，則直線MN與平面QC4所成角的大小為()

C.71D.兀

32

［答案］A

［解析］連接4Cm,設力。04。=",連HC,易知4〃_1_平面4DC,

AH1

MN〃AC、即為MV與平面OC4所成的角，且sinN〃C4==.，

AC2

MN與平面。。小所成角為7.故選A.

題組三走向考場

4.（2024?全國甲卷）i殳a、夕是兩個平面，加、"是兩條直線，且a□/?=〃?.卜.列

四個命題：

①若m〃〃，則n〃a或n//P

②若則〃J_a,〃_1_夕

③若〃〃a,旦n〃B，則〃?〃〃

④若〃與a和6所成的角相等，則加_1_〃

其中所有真命題的編號是（）

A.①③B.②④

C.①②③D.①③④

［答案］A

［解析］對①，當〃Ua,因為〃?〃〃，〃?u4，則〃〃尸，當〃UQ,因為〃1〃〃,

mUa,則"〃a,當〃既不在a也不在0內(nèi)，因為〃1〃〃，〃iUa.mUS，則〃〃a且

n〃八故①正確；對②，若〃?J_〃，則〃與a,夕不一定垂直，故②錯誤；對③，過

直線〃分別作兩平面與a,4分別相交于直線s和直線人因為〃〃a,過直線〃的

平面與平面a的交線為直線s,則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知〃〃s,同理可律〃〃

t,則s〃八因為K平面從fU平面夕，則s〃平面0,因為sU平面a,aCp=m,

則s〃〃7,又因為〃〃s,則〃?〃〃，故③正確；對④，若〃與a和夕所成的

角相等，如果〃〃a,〃〃從則〃?〃〃，故④錯誤；綜上只有①?正確，故選A.

n

5.(2024?新課標II卷)已知正三棱臺N8C—的體積為:，AB=6,A向

=2,則出力與平面力8。所成角的正切值為(

A-2B.1

C.2D.3

［答案］B

［解析］解法一：分別取4C,田G的中點D。】,則/。=33,AiDi=3,

可知Sy3c=1X6X6X3=93,543=1*2乂3=3,設正三棱臺48。一

222

AiBiCi的為h,則匕如g」(93+3+93X3)/?=52,解得力=43,如圖,

333

分別過4,作底面垂線，垂足為A7,N,設4V=x,

ti

則4小=4彳+4“=x2+16,DN=AD—AM—MN=23—x,可得QQi

3

6-2

(23—x)2+；,結合等腰梯形8CC山i可得8次=12J2+

血即/+\(23-必+：+4,解得I33,所以館與平面神所成角

的正切值為tanN44￡)=4M=1.

AM

解法二：將正三棱臺ABC-A向G補成正三棱錐P-ABC,

則44與平面/8C所成角即為PA與平面所成角，因為今="*=匕

PAAB3

%*向G

則匕-=:，可知匕，況=丫，則作一”c=18,設正三棱錐。一力8。

27273

I1a

的高為d,則Pp"8c=dxix6X6X'=18,解得d=23,取底面48c的中心

322

為O,則夕O_L底面/8C,且40=23,所以R1與平面力8C所成角的正切值tan

乙山。=00=1.故選8

AO

廠彎后突砥?巨曲探先一

看點】空間垂直關系的基本問題——自主練透

彳列I.（2026?廣東深圳光明區(qū)調(diào)研）已知出/?是兩個不同的平面，〃?，〃是兩條

不重合的直線，則下列命題正確的是（）

A.若G_1_￡,/〃Ua,則mA.ft

B.若〃?_La,〃?〃*則〃J_a

C.若〃i_La,ni.Ln,貝lj〃〃1

D.若a〃B，mUa,nUp,則〃?〃〃

［答案］B

［解析］由a_L夕，mUa,則"？與夕相交或〃zU夕或〃?〃伙〃7為兩個平面的交線

時），故A錯誤；由線面垂直的性質(zhì)知偌_La,〃7“〃時，w±a,故B正確；當〃7

_La,〃?_!_〃，則〃〃a或〃UQ,故C錯誤；若a〃￡,〃?Ua,〃U.,則〃？與〃無公

共點，則〃?〃〃或〃？與〃異面，故D錯誤.故選B.

2.（多選題）已知a,小>是三個不同的平面，/,m是兩條不同的直線，則（）

A.若a_L//,l//a>m//p>則/_!_/〃

B.若a_L夕，/?±y,則a〃y

C.若/_La,〃z〃￡,且a〃“，則/_L〃z

D.若/_La,m〃l、mU0,則0_1_4

［答案］CD

［解析］若口_1￡,設an￡=c,當/〃c〃血，且/Qa,〃?0時，/〃加，故A錯誤；

若〃_11，/?±y,貝i」a〃>或a,y相交，故B錯誤；曰/J_a,Q〃尸知/_L夕，又〃1〃尸,

.*./±/w,故C正確；若/_La,m〃I,則〃z_La,又,》nU￡,所以a_L/?,故D正確.故

選CD.

名師點撥：

解決這類線、面位置關系判定的問題一般是利用正方體模型或畫圖分析解決，

其實最好的辦法是筆當線，紙、手掌當面動態(tài)演示.

【變式訓練】

1.（多選題）已知直線/與平面a相交于點P,則（）

A.。內(nèi)不存在直線與/平行

B.。內(nèi)有無數(shù)條直線與/垂直

C.a內(nèi)所有直線與/是異面直線

D.至少存在一個過/旦與a垂直的平面

［答案］ABD

［解析］a內(nèi)的直線與/相交或異面，A對，C錯；直線/與它在平面a內(nèi)的射

影〃7所確定的平面.與平面。垂直，D對；平面a內(nèi)與射影〃7垂直的直線也與/垂

直，顯然這樣的直線有無數(shù)條，B對.故選ABD.

2.（多選題）（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾模擬改編）已知/,m是兩條不同的直線，a,

夕是兩個不同的平面，且/〃a,m邛,則下列四個結論正確的是（）

A.若a〃￡,則〃」aB.若/_!_〃?，則/〃0

C.若a_L￡,則/J_〃7D.若m〃a,貝iJa_L￡

［答案］AD

［解析］若口〃由于〃?_L￡,故〃?_La,A正確；若/_!_〃?，則/可能在少內(nèi)，

B錯誤；若cc_L/?,則/,〃［可能平行，C錯誤；若〃?〃a,則設過機的平面》與a交

于〃，則〃?〃〃，由于加_1_夕，故〃_1_H，而〃Ua,故a_L4，D正確，故選AD.

直線與平面垂直的判定與性質(zhì)——多維探究

角度1線、面垂直的判定

例（2024?湘豫名校聯(lián)考（節(jié)選））如圖.在分析1：

四棱錐S-A8C/）中,.。是等邊三角形片￥上方&

S。1千面A8CD（化面面

四邊影A4CO是矩形.平面SAO1平-面'垂直為線面垂直）

連鼓/、嚇，則￡1姒從

證明:SEJ.平面ME

而初J.4面山F；進而得到

SE1^,只需再證比J.優(yōu)

或￡J.若■即可

分析2:

證交1濟，SE1AF

故只需連犯、DE.M.AE=SA

即可（同理DE二$0）

［證明］證法一：取力。的中點O,連接SO,OE,OF.

因為四邊形49CQ是矩形，O,￡分別是力D8C的中點,

所以E。統(tǒng)所以EO_L4。.

因為△S4O是等邊三角形，所以SO_L4D

因為SOGOE=。，所以4OJ_平面5。￡

因為SEU平面SOE,所以/DJ_S￡

因為3s4=248,

722

所以OS=S%sinNSNO=SA=XAB=AB=（）E,

223

所以ASOE是等腰三角形.

因為b是SE的中點，所以Ob_LSE

因為。尸04。=。，

所以SEJ_平面力OE

證法二：不妨設/B=3,則S/4=/D=SQ=2.

如圖，連接4E,DE,

因為E為的中點,

所以4E=Z)E=2.

所以SO=Q￡,SA=AE.

又尸為SE的中點,

所以。ELSE,AFA.SE.

因為DFC\AF=F,

所以SE_L平面ADF.

證法三：由證法一易得40.0E,S。兩兩互用垂直.建立如圖所示的空間直

角坐標系。一切z,

不妨設48=3,則力。=2,OS=3,

則S(0,0,3),￡(0,3,0),

???欣=(0,-3,3),4°'2’2],又力(1,0,0),

...亦=mi

???欣?赤=0,即SE_L/R

同理SE_LQRDFCAF=F,，跖，平面4QE

角度2線、面垂直的性質(zhì)

例(2026?四川巴中診斷(節(jié)選))如圖所示，直三棱柱45c一力出G,ZABC=

90°,AAi=AB.

求證：AxCVABx.

［證明］證法一：在直三棱柱18C—48cl中，S8_L平面48C,8CU平面

ABC,貝I」8I8_LBC,

又N48C=90。，即48_L8C,

又B、BCAB=B,BiBU平面4BBi,

ABU平面ABBT,

所以4C_L平面435,

又43U平面為4田，所以3C_L45i,

在直三棱柱49。一力山Ci中，AAs=AB,

則四邊形力3囪4為正方形，連

所以又BSAiB=B,BCU平面4BC,48U平面4山C,

所以/e_L平面AiBC,

又小CU平面為8C,所以小CJ_4囪，

證法二：由題意易知44,BC,4囪兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系,

設力/I=/B=Q,BC=b,

則4（。,0,a）,C（0,仇0）,力伍,0,0）,囪（0,0,。）,

JiC—（—a,b,—a）yAB\=（—a,0,a）,

，疝？刀1=屋一層=0,：,A\CLAB\.

角度3直線與平面所成的角

例(2026?福建福州質(zhì)檢)在正三棱柱48C-4&G中，AB=AA、,則直線力81

與平面BCCB所成角的正弦值為()

A.6B.2

42

C.10D.15

45

［答案］A

［解析］解法一：如圖，取8C的中點。，連接力。、BiD,由正三棱柱的性

質(zhì)易知從而4D_L平面BCGBi,二乙/。即為/以與平面BCCB所

AD6

成的角，不妨令AB=4A、=2,則/。=3,ABT=22,：.s\nZAB}D==.

AB\4

故選A.

解法二：設三棱柱的棱長為1,以5為原點，以過〃作AC的垂線為x鈾，

以為y軸，8囪為2軸，建立空間直角坐標系，如圖，則以0,0,0),田(0,0,1),

^l23,:J,所以筋尸［-2'一；'"，易知平面8CC內(nèi)的一個法向量可取

為〃=(1,0,0),設直線43與平面8CG3所成角為0,0￡_0'2」，則sin〃=|cos

一3

〈〃,麗〉|」吧_2_6故選人

|〃|麗I24

8k----71G

A

［引申］本例中4囪與平面力3C所成角的正弦值為.

［答案］；

［解析］連接4C,不妨設48=44=2,則%w=展叫=%-械=2'=

匕「鵬，又/8i=8C=22,/C=2,??.S△嗎。=7,設小到平面8/C的距離為肌

則［〃=2J?.〃=2?1.記451與平面N8C所成角為仇則sin。=月=

337A\B\7

名師點撥：

1.證明線線垂直的常用方法

(1)利用特殊圖形中的垂直關系.

如：直徑所對圓周角是直角；菱形對角線互相垂直；等腰三角形底邊上的中

線、頂角平分線垂直底邊.等等.

(2)若知某些線段長度，常利用勾股定理的逆定理.

(3)利用直線與平面垂直的性質(zhì).

(4)向量法:a工b0ab=O.

2.證明線面垂直的常用方法

(1)線面垂直的判定定理：

/J_a,ILb,aUa,bUa,aC\b=P=>lLa.

(2)面面垂直的性質(zhì)定理：

al。,aCp=l,aUa,

(3)性質(zhì)：①a〃b、b±a^a.La；

aLp^aLa.

3.求直線與平面所成角的方法

(1)定義法：①作，在直線上選取恰當?shù)狞c向平面引垂線，確定垂足的位置是

關鍵；

②證，證明所作的角為直線與平面所成的角；

③求，通過解三角形，求角.

（2）公式法：sin0=：（其中〃為斜線上除斜足外的任一點到所給平面的距離，/

為該點到斜足的距離，0為斜線與平面所成的角）.

一I花?川

（3）向量法，sin^=|cos〈48,〃〉|=_（其中彳8為平面a的斜線，〃為平

\AB\\n\

面〃的法向量，。為斜線與平面a所成的角）.

【變式訓練】

1.（角度1、2）如圖，。為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，力E為底面直

徑，是底面的內(nèi)接正三角形，尸為。。上一點，P0=6D0.

證明：玄_1_平面P3C.

［證明］證法一：由題設，知△以￡為等邊三角形，設/￡=1,則。。=；,

CO=BO=［AE=\

22

所以夕。=6D0=2,

64

1

PC=P（fi+OC=6=pB=pA,

4

又為等邊三角形，則=204,

sin60

所以84=,PA1-\~PB2==AB2,

24

則NAPB=90。，所以為_LP8,

同理刃J_PC,又PCCPB=P,

所以平面PBC.

證法二：因為△48。是底面圓。的內(nèi)接正三角形，且/E為底面直徑，所以

AELBC.

因為。。（即尸O）垂直于底面，4c在底面內(nèi)，

所以PO.LBC.

又因為尸OU平面以E,力EU平面為E,POC4E=O,

所以8C_L平面PAE.

又因為R1U平面以E,所以以J_8c.

設AECBC=F,則尸為8C的中點，連接PE

設。。=〃，且。。=6。。，

6

則力產(chǎn)=4,PA=Q,

22

PF=Xa.

2

因此為2+P產(chǎn)=/產(chǎn)，從而玄_1_尸工

又因為PFCBC=F,所以以_L平面尸8c.

證法三：空間直角坐標系法

AD

不妨設48=23,則力￡=/。==4,

sin60°

由Z）O_L平面力5C,所以OO=AD2-AO2=23,

所以。。=6。。=2.因為。是。的外心，

6

因此4E_L8c在底面過。作8C的平行線與,48的交點為田，以。為原點,

旃方向為x軸正方向，曲方向為y軸正方向，次方向為z軸正方向，建立空間

直角坐標系。一平，

則4(0,—2,0),B(3,1,0),c(-3,1,0),E(020),尸(0。2),

所以善=(0,2,2),麗=(一3,-1,2),

CP=(3,-1,2).

故辦協(xié)=0—2+2=0,亦而=0—2+2=0.

所以APLCP.

又BPCCP=P,故力尸_L平面尸8C

2.(角度3)(2025?江蘇部分學校聯(lián)合測評)已知正三棱錐P-ABC的側棱與底

面邊長的比值為3,則三棱錐的側棱與底面所成角的正弦值為()

［答案］B

［解析］如圖，△45C為等邊三角形，。為BC中點，作面4始垂足

為H,三棱錐P-ABC的側棱與底面所成角為N必凡設AB=a(a>0)f則PA=3a,

26a

根據(jù)正棱錐性質(zhì)，AH=%,PH=26訪所以sin/R4H=P"=3=22.故選

33PA3a3

B.

B

寫信7兩個平面垂直的判定與性質(zhì)——師生共研

例(2024?廣東省揭陽市二模)如圖，在四棱錐夕一48CO中，平面218，平面

ABCD,底面力8c。為菱形，ZABC=60°,AB=2PA=2PB=2,￡是。。的中

證明：平面08C_L平面為E.

［證明］連接力C因為底面ABCD為菱形，ZABC=60°.

所以△4。。是正三角形.

又￡為。。的中點，所以力E_LCZ),則4E_L43.

因為平面總8_1_平面ABCD,

平面以5n平面4BCD=AB,

所以力EJ_平面PAB.

因為PBU平面P4B,

所以4EUB.

因為48=2PA=2PB=2,

所以RP+P82=XB2,則為IJLPB.

因為以n%E=4所以尸8J_平面為E

又PBU平面PBC,所以平面尸8C_L平面均￡

名師點撥：

1.判定面面垂直的方法

(1)面面垂直的定義；

(2)面面垂直的判定定理m_L.,aUa=a>B).(一般在一個平面內(nèi)找交線的垂

線，證此線與另一面垂直.)

2.在已知面面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉化.在一個平面內(nèi)作交線的

垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直.

判定

性質(zhì)

【變式訓練】

（2026?遼寧大連濱城高中聯(lián)盟期中）如圖，在多面體力BCQE中，平面

平面8EJL平面ABC,△ABC和△ZCO均為正三角形，AC=2,BE=3,

點/為線段。。上一點.

求證：DELAM.

［證明J取4c中點O,連接。。、OB,

在正△AC。和正△45C中，AC=2,

貝1。OJ_4C,BOLAC,DO=BO=3,

而平面4CDJ_平面平面/CQG平面45C=/C,DOU平面/CD,BO

u平面ABC,

于是。。1.平面NBC,平面48,

又8后_1_平面/3。，即有DO〃EB,

而DO=EB=3.因此四邊形。08E是平行四邊形，貝IOE〃。&從而QE_L

平面ADC,

4WU平面4OC,所以。E_L4W.

名師濟布?素養(yǎng)段開

由我與牛面年竹、垂直到發(fā)打楹質(zhì)的保合應用

例1.（多選題）（2024?云南大理統(tǒng)測）如圖，在正方體力8C。一力山CQ中,

AAy=2,P為線段8G上的動點，則下列說法正確的是（）

A.B\DVA\P

D.。/〃平面

C.三棱錐P-/CDi的體積為定值2

D.4P+PC的最小值為3+1

［答案］ABD

［解析］由正方體性質(zhì)易知81OJL平面4BCi,

又小PU平面小8G,

：,BiDlAiPt故A正確；

由平面8OG〃平面力囪。，

OPU平面BDCi,

，DP〃平面力B】Di,故B正確；

9：AD\//BC\,4Z)|U平面力Cd,8GQ平面4CO,

???8G〃平面ACD\,

???點P到平面ACD\的距離等于點B到平面ACDy的距離，

11

Vp-ACD,=^-^0,=^-ACB=xx2X2X2=2,故c錯誤；將平面小4G

323

和平面8CG沿直線BG展開為一個平面，如圖：

H

△43G是正三角形，△4CG是等腰直角三角形，

且BG=2,BC=2,

Z/liCiC=105o,

7—A

JiC2=JiC?+CC?-2-JiCrCCrcosZJiCiC=4+2-2X2X2X/°=4

4

+23,

：,A\C=3+1,

即4P+尸。的最小值為3+1,故D正確.故選ABD.

2.（多選題）（2026?福建泉州質(zhì)監(jiān)）在直三棱柱.48C—H夕C中，NABC=

90°,BB'=2AB=ZBC,M為BB'的中點，則（）

A.A'C//CfM

B.A,C〃平面4WC

C.AMA.B1C

D.平面//CJ_平面/'MC

［答案］BCD

［解析］如圖，設/C,A1C中點分別為。，。'，連接MQ,，BD.

因為⑷CU平面44'CC,CMU平面RB，CC,平面/HCCG平面

BB'CC=CC,A'CnCC'=C,CM^CC=C',所以力'C,C’〃

為異面直線，故A錯誤;在直三棱柱/8C—H"C中,HC〃AC,又A，C

Q平面4MC,4CU平面4WC,所以4C〃平面4MC,故B正確；在直三棱

柱48。一力'B'C中，BB'平面//B'C,貝LB'C,又NABC

=90。，所以/力'B'C=90。，即"C_L4‘B1,又BB'AHB'=Bf,

BB',ArB'u平面BrB,所以"C_L平面44,B'B,又4WU平面

AAfB'B,所以"CLAM,故C正確；因為BB'=2AB=2BC,不妨設

9o

BB'=2AB=2BC=2,：ZABC=90f：.AC=AB2+BC=2,BDqAC=1,

2

在直三棱柱/8C—H夕C中，易知BMLBD,WJMD=BD2~\~BM2=2,同

理可得=2,又。。=BB'=2,所以。。'2=/切＞+何。’2,即A〃）_L

MD',又"AB2-MB-=3=MC,。為/C中點，所以又,4C〃

A'C,所以A/O_L⑷’C,又MD'DA1C=Q'，MD「A1CU平面

A'MC',所以平面/TMC',又"DU平面4WC,所以平面4必。，平

面HMC,故D正確.故選BCD.

名師點撥：

空間兩點“路徑”最短問題通常“展平”化為兩點間距離問題.注意“垂直”

與“平行”的互證.

【變式訓練】

（2024?陜西漢中模擬）如圖，在正方體中，點”，N分別為

AC,48的中點，則下列說法中不正確的是（）

A.〃平面力。》出

B.MNLAB

C."N與CG所成角為45。

D.MN_L平面43

［答案］D

［解析］連接4。，則”為3。的中點，又N為B4的中點、，：?MN〃

4。，從而MN〃平面4QS4,A正確；又/5_L平面4￡＞口4,：.ABA.A\Dy從

而4B上MN,B正確；//4。=45。為MN與CC所成的角，C正確；故選D.事

實上，若D正確，貝ijMV_L4C,從而4O_L4G

提能訓練練案［42］

A組基礎鞏固

一、單選題

1.（2024?黑龍江哈爾濱香坊區(qū)期末）已知直線機，〃，平面a,}tn"

aCQ=［,貝【J是0_1_/?的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

［答案］B

［解析］依題意，由〃7J_/,，〃_!_〃，當〃〃/時，不能證得〃?_L夕，從而不能證

得當夕，m_1_/時，由已知及面面垂直的性質(zhì)知"?_1_夕，而〃UQ,因此〃?

■L”，所以〃zJ_〃是的必要不充分條件.故選B.

2.（2026?貴州貴陽一中月考）已知〃7,〃為異面直線，加，平面。，〃，平面夕，

若直線/滿足/，〃7,則下列說法一定錯誤的是（）

A.aC\p=l

B.a與p相交，且交線平行于/

C.a±/?,且交線平行于/

D.a//pyI//a

［答案］D

［解析］A：如圖，可滿足題干要求：

BC：如圖，可滿足題干要求:

D:若a〃夕，則〃7〃〃，與根，〃為異面直線矛盾，故D錯誤，故選D.

3.（2025?江蘇淮安十校聯(lián)考）已知a,4是兩個不重合的平面，〃?，〃為兩條不

同的直線，給出下列命題，其中是真命題的個數(shù)是（）

①若“7〃a,n〃p,mln,則a_1_尸

②若a〃夕，〃a,n〃B，則〃?〃〃

③若，〃_La,〃J?夕，加JL〃，貝

④若a_L夕，，n邛,則〃i_L〃

A.1B.2

C.3D.4

［答案］B

［解析］①若〃z〃a,〃〃夕，加_L〃，則a,夕可能平行或相交，故①為假命題；

②若a〃夕，ni//a,〃〃人則用和〃可能平行、相交或異面，故②為假命題；③若

〃_!_￡,〃?_!_〃，則a_L￡,故③為真命題；④若□_!_￡,〃7_La,則〃z_L〃,

故④為真命題.故選B

4.已知六棱錐。一力8。。石廠的底面是正六邊形，Ri_L平面NBC,PA=2AB,

則下列命題中正確的有（）

①平面為8_L平面PAE；②PBL4D；③直線CD與尸尸所成角的余弦值為；；

④直線產(chǎn)。與平面力BC所成的角為45。；⑤CO〃平面以￡

A.①④B.①③④

C.②③⑤D.①②④⑤

［答案］B

［解析］???巴，平面48。，J.PAVAB,在正六邊形力BCDER中，4BL4E,

以0月七=力，???力3_1_平面HE,且力BU平面總民.??平面以3J_平面以E,故①

成立；?.】。與P8在平面的射影48不垂直，，②不成立；???CO〃/凡直線CD

與PF所成的角為/PE4,在b中，PA=2AF,：.cosZPE4=，③成

立；在RtZVHD中，PA=AD=2AB,：.ZPDA=45°t故④成立；,:CD〃AF,

CO〃平面均憶顯然4F與平面均￡相交，:.CQ與平面刃E相交，即⑤不戌立，

故選B.

5.（2026?江蘇徐州一中檢測）在正方體中，下列結論錯誤的

是（）

A.平面GB。

B.4C_L平面C\BD

C.存在過4c的三面。，使得48〃a

D.存在過4C的平面￡,使得

［答案］D

［解析］對于A,因為力。何平面C歸。，4GU平面。山。，所以

401〃平面C歸。，故A項正確；

對于B,易證8D1平面4CG小，又小CU平面力CG/i,所以80_L4C,同

理可得GQ_L4C,又GO,8DU平面G8Q,GOG8Q=O,所以4C_L平面CiBD,

故B項正確；

5C,

對于C,由力歸〃0c48a平面4CO1,O|CU平面/CQ］,得4歸〃平面ACDif

所以平面力CDi即為平面a,故C項正確；

對于D,假設44_L夕，因為力CU￡,所以48_L4C,又A】B_LBC,AC,BC

u平面45C。，4Cn，C=C,所以44_L平面45CO,這明顯錯誤，所以假設不

成立，故D項錯誤.故選D.

6.(2022?全國乙卷)在正方體48CZ)—44iGD1中，E,尸分別為力8,BC的

中點，貝火)

A.平面囪￡7口_平面

B.平面囪E〃_L平面力山。

C.平面囪石產(chǎn)〃平面4ZC

D.平面平面小G。

［答案］A

［解析］正方體中。。i_LEF,

又AC1BD,EF〃AC,：.BD上EF,；.EF上口而BDDT,ERU平面SEP,從

而平面6|E幾L平面6m,?\A正確；君平面囪￡7口_平面43。，則6OJ_平面

BiEF,：.BD工B、E,又BBILBD,二〃。，平面又/O_L平面BBIE,：.AD

〃BD這與AD、3。相交矛盾，，B錯誤；

取小囪的中點，，則力，〃aE,由于力H與平面小力C相交，故平面BiEF

〃平面4/C不成立，C錯誤；取/。的中點M,很明顯四邊形力歸尸M為平行四

邊形，則小/〃8尸，由于小M與平面小GO相交，故平面8|七/〃平面4G。

不成立，D錯誤.故選A.

7.（2024?江蘇常州中學檢測）設〃7,〃是兩條不同的直線，?,夕是兩個不同的

平面，則下列命題中正確的是（）

A.若rn_Ln〃〃處則〃」a

B.若m〃B,￡_La,則〃?_La

C.若〃i_L〃，R上p,夕_LG,則m_LG

D.若m邛,〃_1_6〃J_a,則〃7_La

［答案］D

［解析］對于A,若m_L〃,n//a,則〃?Ua或者〃7〃a或者〃?，a相交，故A

錯誤；對于B,若〃?〃仇fi-Lar則〃z或者或者〃z,傘相交，故B錯誤;

對于C,若〃〃_1_仇B(yǎng)工a,則〃zUa或者〃或者〃?，a相交，故C錯誤;

對于D,若加_1_夕，〃_LB,則〃〃〃?，又〃_1_0，所以〃zJ_a,故D正確.故選D.

8.在正方體48。一小囪CQ1中，M,N,尸分別為48,4G,4。的中點,

則下列結論中錯誤的是（）

A.MN//AD\

B.平面MNP〃平面8GQ

C.MNICD

D.平面MA"_L平面48。

［答案］D

［解析］對A,在△小BG中，因為A/,N分別為小從小G的中點，所以

MN〃BCi.又BC\〃AD\,所以MN〃AD\,A正確；對B,在△48。中，因為例,

產(chǎn)分別為力山，小。的中點，所以用尸〃8D因為MR平面BC、D,8OU平面BGD,

所以用尸〃平面8GD因為MV〃8G,MVQ平面8G。，8Gu平面8G。，所以

MV〃平面8GD又因為MPnMV=M,MP,MNU平面MNP,所以平面MV0〃

平面8G。，B正確；對C,因為MV〃/。I,AD\LCD,所以MN_LC。，C正確；

對D,取8。的中點E,連接4E,EG,則N4EG是二面角4一4。一。1的平面

間J；"）?

127+12尸一（2〃）~

角.設正方體棱長為a,則cosN/liECi=（61=|工0，又

212啡3

N4￡G<180。，則N4i￡GW90。，所以平面48。與平面3G。不垂直.又平面

MNP〃平面BGD,所以平面MVP與平面48。不垂直，D錯誤.故選D.

二、多選題

9.（2025?新課標I卷）在正三棱柱4BC—小SG中，D為BC中點,貝女）

A.ADLA\CB.BC_L平面/小。

C.AD//A\B\D.CG〃平面4小。

［答案］BD

［解析］解法一：在正三棱柱43G中，44i_L平面49C,又4QU平

ABC,貝i|44i_L4。，則油?疝=0,因為△力8c是正三角形，D為BC中點、,

則力。，8。，則金?在=0,又疵=易+疝+反，所以汞?疝=（血+在+

及7）?用=W＞疝+疝?+比?歷=在2￡（），則4。_L4c不成立，故A錯誤；因

為在正三棱柱/8C—481G中，44」平面力8C,又8CU平面48C,則力418C,

因為△/18C是正三角形，D為BC中點、,則4D_LBC,又力為C40=4,AA］tAD

u平面44］。，所以8C_L平面44i。，故B正確；因為在正三棱柱48C—48C］

中，CG〃44i,又平面力小。，CCQ平面440,所以CG〃平面44。，

故D正確；因為在正三棱柱/出。一481G中，假設小小，則力。

"AB、這與400/8=4矛盾，所以4。〃力山1不成立，故C錯誤.故選BD.

解法二：如圖，建立空間直角坐標系，設該正三棱柱的底邊為2,高為隊

則。(0,0,0),A(3,0,0),4(3,0,A),C(0,-1,0),Ci(0,-1,h),B(0,l,0),

5i(0,l,A),AD=(-3,0,0),ZC=(-3,-1,-/?),則疝Zt=(—3)X(-

3)+0=370,則4O_L4c不成立，故A錯誤；於=(0,-2,0),CCi=(0,0,

h),筋i=(0,0,h),AD=(—3,0,0),設平面/小。的法向量為〃=(x,y,z),

—?

AA\n=hz=0,一

則'_得x=z=0,令歹=1,則〃=(0,1,0),所以比=(0,—

ADn=-3x=0,

2,0）=—2〃，CCin=O,則8C_L平面44。，CG〃平面44。，故BD正確；AD

=（-3,0,0）,^i=（-3,1,0）,則一顯然力。〃4田不成立，故C錯

誤.故選BD.

10.（2025?浙江強基聯(lián)盟聯(lián)考）已知四面體力一5CQ,AB=2,48J_平面BCD,

BE上AC,垂足為石，BFLAD,垂足為凡則下歹J結論正確的是（）

A.若BCLCD,pjijACA.EF

B.若BC工CD,則4DJ_平面BE/

C.若BC=BD,?ljEF//CD

D.若BC=BD=2,則四面體/一8后尸體積的最大值為土：

27

［答案］BCD

［解析］BCLCD,CDLAB.CQ_L平面ABC,即CD1BE,即平面ACD,

BELAD,由題意得刃LL4。，???/。_1平面3。\???力。_1￡/?,即4c與Eb不垂

AUAT

直，故A不正確，B正確；BC=BD,△48cg△48。，A=,EF//CD,