浙教版八年級數學下冊期末兩周沖刺復習-平行四邊形常考題突破

浙教版八下數學期末兩周沖刺復習—平行四邊形常考題突破

一、多邊形

1.已知某正多邊形的一個內角比相鄰的外角大140。.

(1)求這個正多邊形每個外角的度數；

(2)求這個正多邊形的邊數.

2.如圖，四邊形ARCD的內角/RAD./CDA的平分線交于點F../ARC,/RCD的平分線交于

點F。

(1)若NF=80。，貝iJ/ARONRCD-,ZE-。

(2)探索NE與NF有怎樣的數量關系，并說明理由。

(3)給四邊形ABCD添加一個條件，使得NE=NF。你所添加的條件

是。

3.在△ABC中，ZACB=90°,D,E分別是邊AC,BC上的點，P是AB上的一個動點，設

NDPE=a.

圖3

(1)如圖1,若點P在線段AB上，a=50°,J則NADP+NPEB=°.

(2)如圖2,若點P在邊AB上，試判斷a,ZADP,NPEB之間的數量關系，并說明理由.

(3)如圖3,當點P運動到邊AB的延長線上時，直接寫出a,ZADP,ZPEB之間的數量關

系.

二、平行四邊形的性質與判定

4.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E,F是對角線AC上的兩點且AE二CF。

AD

B

(1)求證：四邊形DEBF是平行四邊形。

(2)若AB二CE,ZBAC=82°,ZABE=25°,求/EDF的度數。

5.尺規作圖問題：已知△ABC.NABC是鈍角，AB>BC,請用尺規作AC的中點P.

小聰：如圖1,以點A為圓心，BC長為半徑作弧，以點C為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧相交

于點Q，連接BQ交AC于點P,則點P為AC的中點.

小明：如圖2,作AB的中垂線，垂足為點M,作BC的中垂線，垂足為點N,以點M為圓心,

BN為半徑作弧，交AC邊于點P,則點P為AC的中點.

小聰：小明，你的作法有問題.

小明：哦…我明白了.

圖1圖2

(1)證明：小聰的作法是正確的.

(2)指出小明作法中存在的問題.

6.請完成證明中的三個填空.并參考小剛同學思考的方法，解決下列問題:

C

圖1圖2

(1)問題背景：

小剛遇到一個這樣問題：如圖I,兩條相等的線段交于點0/400=60。，連接XC,BD,求

證：AC+BD>CD.通過嘗試他發現通過平移可以解決這個問題.

證明：過點C作4BIICE且使=連接BE,

.??四邊形A8EC為平行四邊形，則AC=▲,

???AB||CE,

??.乙DCE=Z▲=60°,

又?：CD=AB=CE,

；.△DCE為等邊三角形,

CD=▲,

AC+BD=BE+BD>DE=CD,即AC+BDNCD.

(2)類比運用：

如圖2,4B與CD相交于點。，AC=3,BD=4,AB=5,44。。=30°,^ACD+/.ABD=

240。，求線段CO的長；

三、圖形的旋轉

7.如圖，在平面直角坐標系中，ABC三個頂點分別是A(-3,2),B(0,4),C(0,

(1)畫出△ABC繞點C順時針旋轉90。所得的△AiBiC比時點A,坐標為▲

(2)以點A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，此時點D坐標為▲

8.如圖，將△ABC繞點B沿順時針方向旋轉一定角度得到△DBE,具中點A的對應點D恰好落

在BC上，連結CE.已知AB=3,BE=5,ZABE=64°.

B

(1)求CD的長.

(2)求NBCE的度數.

9.如圖1所示，將一副三角板的直角頂點重合擺放在一起。

(1)圖2是由圖1抽象出的幾何圖形，fl.ZAOB=ZCOD=90°,若NAOC=130。，求NBOD

的度數。

(2)現在把含45。角的三角尺繞直角頂點，按逆時針方向轉動至圖3的位置(轉動的角度小于平

角)。

①請借助量角器和圓規，在圖4中補全由圖3所抽象出的幾何圖形，參照圖2標上相應的字

母。

②第①題中NAOC和NBOD有怎樣的數量關系?請說明理由。

四、三角形的中位線

10.如圖，在RSABC中，ZBAC=90°,E,F分別是BC,AC的中點，延長BA到點D,

使AD=義AB,連結DE,DF,DE交AF于點P.

(1)求證：AP二FP；

(2)若BC=10,求DF的長.

11.如圖，在△ABC中，DE是一條中位線，連結BE,過點D作DF〃BE交CB的延長線于點

(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形.

(2)若BF=3,求BC的長.

12.如圖，在JABCD中，對角線AC與BD交于點O,點E,F分別是AB,BC的中點.

(1)求證：四邊形EBFO是平行四邊形.

(2)若^AEO的面積是2,求四邊形ABCD的面積.

五、反證法

13.用反證法證明：等腰三角形的底角必定是銳角.

已知：如圖4,在△ABC中，AB=AC.

求證：NB,NC必為銳角.

證明：假設結論不成立，則/B,ZC……

請將證明過程補充完整.

14.已知D,E分別為AABC的邊AB,AC上的點，連結BE,CD交于點F.用反證法證

明：BE,CD不能互相平分.

證明：假設,連結DE,則四邊形BDEC是

???//,這與相矛盾，

???不成立，所以________________________

15.閱讀下列文字，回答問題.

題目:在RS48C中,NC=90°/4H45°,則ACH8C.

證明：假設=因為乙4H45°/C=90°,所以/AHa8.

所以ACHBC,這與假設矛盾，所以ACWBC.

上面的證明有沒有錯誤？若沒有錯誤，指出其證明的方法；若有錯誤，請予以糾正.

答案解析部分

1.【答案】(1)解：設該正多邊形的內角為X。，

由題意，得x-(180-x)=140,

解得x=160.

.?.180。-160°=20。,即這個正多邊形的外角是20°；

(2)解：因為多邊形的外角和是360。,所以360。+20。=18,

???這個正多邊形是十八邊形.

【知識點】多邊形內角與外角；正多邊形的概念；多邊形的外角和公式

【解析】【分析】本題主要考查多邊形的內角與外角的關系以及多邊形的外角和定理.

(1)根據多邊形的每個內角與相鄰的外角互補，即內角+外角=180。，結合“內角比相鄰的外角大

14。。”可列方程“x-(180-x)=140"，解出x=160,所以外角=180°-內角=180。-160。=20。；

(2)根據多邊形外角和定理“多邊形外角和為360。”，結合正多邊形的每個內角相等，每個外角也相

等，由第(1)問求出的外角度數，即可得出正多邊形邊數.

2.【答案】(1)200°；100°

(2)解：ZE+ZF=I80°,理由如下:

ZBAD+ZCDA+ZABC+ZBCD=360°,

又.??四邊形ABCD的內角/BAD,/CDA的平分線交于點E,ZABC,NBCD的平分線交于點F,

???ZDAE+ZADE+ZFBC+ZBCF=180°。

ZDAE+ZADE+ZE=180°,ZFBC+ZBCF+ZF=180°,

，ZDAE+ZADE+ZE+ZFBC+ZBCF+ZF=360°。

ZE+ZF=360°-(ZDAE+ZADE+ZFBC+ZBCF)=180°o

(3)AB〃CD(答案不唯一)

【知識點】三角形內角和定理.；三角形外角的概念及性質；角平分線的概念；多邊形的內角和公式

【解析】【解答】ft?：(l)VZF=80°,

???ZFBC+ZBCF=180°-ZF=100°.

VZABC,/BCD的平分線交于點F,

AZABC=2ZFBC,ZBCD=2ZBCF.

JZABC+ZBCD=2ZFBC+2ZBCF=2(ZFBC+ZBCF)=2(X)°.

四邊形ABCD的內角和為360°,

/.ZBAD+ZCDA=360°-(ZABC+ZBCD)=160°.

???四邊形ABCD的內角/BAD,

ZCDA的平分線交于點E,

11

:.Z,DAE=Z.BAD,Z.ADE=-^Z-CDA.

111

匕乙

ZZ4E+Z-ADE=5乙BAD+乙="乙乙BAD+Z.CDA)=80°,

/.ZE=180°-(ZDAE+ZADE)=180°-80°=100°,

故答案為：200°.100°.

(3)?.?AB〃CD,

AZBAD+ZADC=180°,

???四邊形ABCD的內角/BAD,ZCDA的平分線交于點E,

???NDAE=1血。,NADE=，AOC,

???NDAE+ADE=9()。，

.\ZE=90°,

同理NF=900,

.,.ZE=ZF；

故答案為：AB〃CD.

【分析】(1)根據角平分線的定義得到NABC=2NFBC,ZBCD=2ZBCF,然后根據三角形的內角

和定理和多邊形的內角和定理解答即可；

(2)求出四邊形的內角和為36()。,然后根據角平分線的定義得到

ZDAE+ZADE+ZFBC+ZBCF=180°,然后求出NE+NF的度數解答即可；

(3)根據平行可得NBAD+NADO180。，然后根據角平分線的定義得到NDAE+ADE=90。，求出

NE和NF的度數解答即可.

3.【答案】(1)140

(2)解：NADP+NPEB=900+a.理由如下：

*.?ZADP=180°-ZCDP,ZPEB=180°-ZCEP,且NCDP+NCEP=360°-NC-NDPE=360。-90。-a=270°-

a,

.,.ZADP+ZPEB=900+a.

(3)ZADP=90°+ZPEB+a

【知識點】三角形外角的概念及性質；多邊形的內角和公式

【解析】【解答】解：(1)①如圖1中，連接PC.

E

APB

圖1

VL\=乙DCP+zDPC,z2=乙ECP+zCPE,

???Z1+Z2=乙DCP+Z-DPC+乙ECP=Z.ACB+乙DPE=Z-ACB+乙a,

???乙4cB=90°,za=50°,

???Z1+Z2=90°+50°=140°.

故答案為：140。.

(3)解：NADP=90°+NPEB+a.理由如下：

由外角的性質可知，NADP=NC+NCMD,ZCMD=ZPEB+ZDPE,

???NADP=90°+NPEB+a,

【分析】⑴如圖1中，連接PC證明zl+z2=Z.ACB+/DPE即可.

(2)利用(1)中結論解決問題.

⑶利用三角形的外角的性質解決問題即可.

4.【答案】(1)證明：證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

，AD=BC,AD〃BC,

AZDAF=ZBCE,

在AADF和^CBE中，

(AD=BC

]ADAF=^BCE,

(AF=CE

/.△ADF^ACBE(SAS),

???NAFD=NCEB,DF=BE,

，DF〃BE,

???四邊形DEBF是平行四邊形

(2)解：???四邊形ABCD是平行四邊形,ZBAC=82°,

.,.AB=CD=CE,AB/7CD,

AZDCA=ZBAC=82°,ZABD=ZCDB,

AZCED=ZEDC=1(180°-ZDCE)=49°,

乙

四邊形DEBF是平行四邊形,

AZEBD=ZFDB,

/.ZABD-EBD=ZCDB-ZFBD,

.,.ZCDF=ZABE=25°,

AZEDF=EDC-ZCDF=24°.

【知識點】平行四邊形的判定與性質；三角形全等的判定-SAS：等腰三角形的性質-等邊對等角

【解析】【分析】（1）根據平行科邊形的性質，利用SAS得到△ADFWACBE,即可得到=

乙CEB,DF=BE,進而可得OFIIBE,即口J證明結論；

（2）根據平行四邊形的性質可得48=CO=",AB||CD,根據兩直線平行，內錯角相等得到

LDCA=Z.BAC=82°,乙ABD=ADB,然后根據等邊對等角和三角形的內角和求得4CEZ）=

^EDC=49°,然后根據平行四邊形的獨角相等得到NEBD=NFDB,再根據角的和差解答即可.

5.【答案】（1）解：由尺規作便可知：AQ=BC,AB=CQ,

???四邊形ABCQ是平行四邊形，

AP=CP=/AC,即點P為AC的中點

（2）解：以點M為圓心，BN為半徑作弧，與AC邊可能交于兩點P”P2,如圖所示，

【知識點】平行四邊形的判定與性質；尺規作圖-垂直平分線

【解析】【分析】⑴由作圖可得，AQ=BC,AB=CQ,則可得四邊形ABCD為平行四邊形，進而可得

點P為AC的中點；

⑵以點M為圓心，BN為半徑作弧，與AC邊可能交于兩點P,P?,即可得出答案.

6.【答案】（1）BE,AOC,DE

（2）解：過A作AF//CD,過D作DF//AC,兩直線交于F,連接BF,

???四邊形AFDC是平行四邊形，

AZFAB=ZAOC=30°,ZC=ZAFD,AC=DF=3.

VZABD+ZC=240°,

.-.ZABD+ZDFA=240°

???ZFDB=360o-240°-30o=90°

??.△FDB是直角三角形

VDF=3,BD=4.

?..由勾股定理得：FB='BD2+DF2=5,

???AB=FB,

AZBAF=ZAFB=30o

過點B作BEJ_AF于點E,

**?AE=EF,BE=^BF=4

???由勾股定理得：BF2=BE2+EF:,

?

■?s&〃=5—7^3―

乙

A.4F=AE+EF=2EF=573

???四邊形AFDC是平行四邊形，

：.CD=AF=6收

【知識點】等邊三角形的判定與性質：勾股定理；平行四邊形的判定與性質；兩直線平行，內錯角相等;

等腰三角形的性質-三線合一

【解析】【解答］解：（1）過點C作/8IICE且使4B=CE,連接BE,

四邊形4BEC為平行四邊形，則4C=BE,

AB||CE,

乙DCE-4Aoe—60°,

又；CD=AB=CE,

.?.△OCE為等邊三角形，

CD=DE,

.%AC+BD=BE+BD>DE=CD,即4c+Z?D>CD.

故答案為：BE,AOC,DE.

【分析】（1）根據平行四邊形的性質、平行線的性質及等邊三角形的性質求解即可；

⑵作AF//CD,DF//AC,兩線交于F,連接BF,證△FDB是直角三角形，得FB=5,過點B作

BE_LAF于點E,根據三線合一，勾股定理得EF=挈，則AF=5g，根據四邊形AFDC是平行四

邊形可得答案.

7.【答案】（1）解：如圖，△ABC繞點C順時針旋轉90。所得的

（2）解：（-3,4）或（-3,0）或（3,4）

【知識點】平行四邊形的性質：坐標與圖形變化■旋轉：作圖?旋轉

【解析】【解答】（1）解：點4坐標為4（0,5）.

故答案為：（0,5）.

（2）解：如圖，四邊形4CD1&四邊形4CBD2,四邊形3cB都是平行四邊形,

???點。坐標為〃1（3,4）,。2（-3,4）,〃3（-3,U）.

故答案為：（-3,4）或（-3,0）或（3,4）.

【分析】（1）根據旋轉的性質作出點A,B關于點C的對應點，然后連接得到△4/1。，即可寫出

點Ai坐標;

（2）作出以點A、B、a。為頂點的平行四邊形，寫出點。必坐標即可.

8.【答案】（1）解：山旋轉可得△ABC義ADBE,

AAB=BD=3,BC=BE=5,

ACD=BC-B5-3=2；

(2)解：VAABC^ADBE,

???NABC=NCBE=1々ABE=32。,

又TBOBE,

1800—“BE180；32。=7用

:?乙BCE=2

【知識點】三角形內角和定理；旋轉的性質；全等三角形中對應邊的關系；全等三角形中時應角的關系;

等腰三角形的性質-等邊對等角

【解析】【分析】（I）根據旋轉的性質得到△ABC0ADBE,根據對應邊相等得至IJAB=BD=3,

BC=BE=5,利用線段的和差解答即可;

（2）根據全等可得NCBE=32。，然后根據等腰三角形的性質和三角形的額內角和定理解答即可.

9.【答案】（1）解：因為Z■。為局角,

所以匕力08+乙BOD+乙COD+LAOC=360°,

因為匕/。8=乙COD=90°：

所以48。0+/AOC=180°,

BP：LBOD=180°-130°=50°

（2）解：①：如圖4

AD

c

（圖4）

②：LAOC+LBOD=180°

理由如下：因為所以，/?。「+/。。。=9。。,

因為乙A0C4-乙BOD=^AOB4-乙B0C+乙B0D,

而乙力OB+AB0C+乙BOD=Z.A0B+乙COD=900+90°=180°,

H|1乙40C+4B00=180°.

【知識點】角的運算；旋轉的性質；尺規作圖?作一個角等于已知角

【解析】【分析】（1）根據周角的定義和角的和差可得N80D+乙A0C=180。，然后代入數值計算即

可■；

（2）①根據題意畫出圖形即可；

②根據4B0C+乙B0D=90°,然后根據角的和差解答即可.

10.【答案】（1）證明：連接EF,AE.

??,點E,F分別為BC,AC的中點，

1

.%EF||AB,EF=2AB.

又：AD=|AB,

AEF=AD.

XVEFUAD,

???四邊形AEFD是平行四邊形.

???AF與DE互相平分，

，AP=FP；

（2）解：在RSABC中，

TE為BC的中點，BC=10,

1

???AE=?BC=5.

乙

又丁四邊形AEFD是平行四邊形，

ADF=AE=5.

【知識點】平行四邊形的判定與性質；三角形的中位線定理；直角三角形斜邊上的中線

【解析】【分析】（I）連接EF、AE,根據三角形的中位線定理得到EF〃AB,EF=AD,即可證明結

論；

（2）根據直角三角形斜邊上的中線性質求出AE長，然后根據平行四邊形的對邊相等解答即可.

11.【答案】（1）證明：因為DE是△ABC的中位線，

所以DE〃FC.

又因為DF〃EB,

所以四邊形BEDF是平行四邊形.

（2）解：因為DE是△ABC的中位線，

所以BO2DE.

因為四邊形BEDF是平行四邊形，

所以BF=DE,

所以BC=2DE=2BF=6.

【知識點】平行四邊形的判定與性質；三角形的中位線定理

【解析】【分析】⑴由三角形中位線定理得DE〃BC,再由平行四邊形的判定即可得出結論；

⑵由平行四邊形的性質得DE=BF=3,再由三角形中位線定理解答即可.

12.【答案】（1）證明：???□ABCD,

，AB=CD,AB〃CD,OA=OC,

???點E,F分別是AB,BC的中點，

11

???BE=^AB,EF=^AB,EF||AB,

/.BE=Eb,

???四邊形EBFO是平行四邊形

（2）解：YE是AB的中點，S“EO=2,

?t,S&ABO=2s"EO=2X2=4,

S㈣邊彩?\BCD=4SAABO=4X4=16.

【知識點】平行四邊形的判定與性質：三角形的中位線定理；利用三角形的中線求面積

【解析】【分析】（1）根據平行四邊形的性質得到OF是△ABC的中位線，根據三角形中位線的性質

得至歸尸IIBE=EF,即可證明結論;

（2）根據三角形斜邊中線的分出的兩個三角形的面積相等得到△ABO的面積，然后根據S