用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)-2026蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊章節(jié)練（含解析）

2026蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊

14.4用樣本估計總體

14.4.1用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)

1.（2025江西萍鄉(xiāng)模擬）某中學(xué)有初中生600名,高中生200名，為保障學(xué)生的身心健康，學(xué)校

舉辦了“校園安全知識''競賽.現(xiàn)用分層抽樣的方法，分別抽取初中生m名,高中生n名的克

賽成績，經(jīng)統(tǒng)計,（m+n）名學(xué)生的平均成績?yōu)?4分淇中m名初中生的平均成績?yōu)?2分,n名

高中生的平均成績?yōu)閤分，則x=（）

A.74B.76C.78D.80

2.（2025江蘇鹽城射陽中學(xué)期中）一組數(shù)據(jù)1,7,5,2,x,2,且l<x<5,x￡N,若該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯

一，且眾數(shù)是中位數(shù)的|,則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

3.（2025湖北部分名校期中〕某學(xué)校的高一、高二及高三年級分別有學(xué)生1000人、1200

人、800人,用分層抽樣的方法從全體學(xué)生中抽取一個容量為30的樣本，若抽出的高一、

高二及高三年級學(xué)生的平均身高分別為165cm,168cmJ71cm,則估計該校學(xué)生的平均身

高是（）

A.166.4cmB.167.2cm

C.167.8cmD.170.0cm

4.（2025江蘇鹽城濱海中學(xué)期中）某校四個植樹小隊在植樹節(jié)當(dāng)天種下柏樹的棵數(shù)分別為

10,x10,8,若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，則x=（）

A.6B.8C.6或10D.8或12

5.（多選題）（2024四川雅安名山第三中學(xué)月考）為提高疫情防控意識，某學(xué)校舉辦了一次疫

情防控知識競賽（滿分100分），并規(guī)定成績不低于90分為優(yōu)秀.現(xiàn)該校從高一、高二兩個年

級分別隨機抽取了10名參賽學(xué)生的成績（單位:分），如表所示：

高一747884898993959799100

高二77788487889194949596

則下列說法正確的是（）

A.高一年級所抽取參賽學(xué)生成績的中位數(shù)為91分

B.高二年級所抽取參賽學(xué)牛成績的眾數(shù)為94分

C.兩個年級所抽取參賽學(xué)生的優(yōu)秀率相同

D.兩個年級所抽取參賽學(xué)生的平均成績相同

題組二頻率分布直方圖與平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的綜合應(yīng)用

6.（2025甘肅蘭州期中）平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的度量值，它

們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在如圖所示的分布形態(tài)中,a,b,c分別對應(yīng)這組數(shù)據(jù)

的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是（）

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b

7.（2025天津濱海新區(qū)期中）在雜交水稻試驗田中隨機抽取100株稻穗，統(tǒng)計每株稻穗的稻

谷數(shù)（單位:粒）得到如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作

代表），則下列說法錯誤的是（）

A.a=0.01

B.這100株稻穗的稻谷數(shù)的眾數(shù)約為250粒

C.這100株稻穗的稻谷數(shù)的平均數(shù)約為256粒

D.這100株稻穗的稻谷數(shù)的中位數(shù)約為252粒

8.（2025江蘇南通通州高級中學(xué)期中）對一批底部周長在［80,130］（單位：cm）內(nèi)的木頭進行

研究,從中隨機抽取200根木頭并測出其底部周長，得到頻率分布直方圖如圖所示,由此估

II這批木頭的底部周長的眾數(shù)是cm,中位數(shù)是cm,平均數(shù)是

cm.

頻率

9.（2025江蘇連云港東海第二中學(xué)期中）現(xiàn)在有越來越多的人注重自己的身材，其中體脂率

是一個很重要的衡量標(biāo)準(zhǔn)，女性體脂率的正常范圍是20%至25%,男性體脂率的正常范圍

是15%至18%,這一范圍適用于大多數(shù)成年人，可以幫助判斷個體是否肥胖.某市有關(guān)部門

對全市100萬名成年女性的體脂率進行了一次抽樣調(diào)查,抽取了1000名成年女性的體脂

率作為樣本，并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴求a;

⑵如果女性的體脂率超過30%屬于“過胖”，那么全市女性中“過胖”的約有多少萬人？

⑶小王說:“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)小張說:“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)

的平均數(shù)那么誰的體脂率更低？

能力提升練

題組數(shù)據(jù)集中趨勢的估計

1.（2024安徽安慶示范高中聯(lián)考）已知一組數(shù)據(jù)Xi,X2,...,X,n的平均數(shù)為

元，另一組數(shù)據(jù)yi,y2,…,yn的平均數(shù)為再豐歷.若數(shù)據(jù)xi,X2,…,Xm,yi,y2,…,yn的平均數(shù)為三，且

X藪+（1-a）＞,其中則m,n的大小關(guān)系為（）

A.m<nB.m>nC.m=nD.不確定

ioioc

2.（2025遼寧模擬）已知實數(shù)xo,xi,X2,…兇。,則使g|xi-k|和Z8-k）2最小的實數(shù)k分別為

/=0/=0

X0,Xl,X2,...,X10的（）

A.中位數(shù)，平均數(shù)B.中位數(shù)，中位數(shù)

C.平均數(shù)，平均數(shù)D.平均數(shù)，中位數(shù)

3.（多選題）（2025廣東佛山模擬）某市場監(jiān)督管理局對9家工廠生產(chǎn)的甲、乙產(chǎn)品進行抽查

評分，且評分的平均數(shù)分別為77,60,其中A工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品評分如下表：

分?jǐn)?shù)名次（按高分到低分排名）

甲產(chǎn)品754

乙產(chǎn)品666

則在此次抽查評分中（）

A.9家工廠甲產(chǎn)品評分的中位數(shù)一定小于平均數(shù)

B.9家工廠乙產(chǎn)品評分的中位數(shù)一定大于平均數(shù)

C.9家工廠甲產(chǎn)品評分中一定存在“極端高分?jǐn)?shù)”（高于平均數(shù)10分以上）

D.9家工廠乙產(chǎn)品評分中一定存在“極端低分?jǐn)?shù)”（低于平均數(shù)10分以上）

4.（多選題）（2024浙江金華十校模擬）從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量（單位:kWh）

調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50?350之間，進行適當(dāng)分組后（每組均為左閉右開區(qū)間），畫出

頻率分布直方圖如圖所示，記直方圖中六個小矩形的面積從左到右依次為Si（i=l,2,…,6）,則

（）

頻率/組距

0.0060..........---1—

0.0036-................

0.0024--I-----------------------

0.0012

°―—季一月用電量/（kW?h）

A.x的值為0.0044

B.這100戶居民月用電量的中位數(shù)為175kWh

C.月用電量落在區(qū)間[150,350）內(nèi)的戶數(shù)為75

6

D.若問組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代替，則這10（）戶居民月平均用電量為Z（50i+25）Si

Z=1

kW-h

5.（2025遼寧沈陽期末）已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個，剩下的六個數(shù)據(jù)分別是4,4,6,4,8,11,

若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的和是中位數(shù)的2倍，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能取值構(gòu)成的集合

為.

6.（2025江西吉安部分學(xué)校軼考）紅心掰猴桃因富含維生素C及K,Ca,Mg等多種礦物質(zhì)利

18種氨基酸,被譽為“維C之王”.某收購商為了了解某種植基地的紅心將猴桃品質(zhì),從該基

地的8000個紅心驕猴桃中隨機抽取100個來稱重,其質(zhì)量（單位:克）全部分布在區(qū)間

[60,120]內(nèi),將所得數(shù)據(jù)按[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100）,[100,110）,[110,120]分成6組，得到

頻率分布直方圖如圖所示.

（1）估計這8000個紅心娜猴桃中質(zhì)量不小于90克的狒猴桃個數(shù),并說明理由；

⑵若該收購商準(zhǔn)備收購這批舜猴桃，并提出了以下兩種收購方案：

方案一:所有掰猴桃均以1（）元/千克的價格收購；

方案二:小于90克的貓;猴桃以5元/千克的價格收購，不小于90克的驕猴桃以15元/千克的

價格收購.

請你就這兩種方案，通過計算為該掰猴桃基地老板選擇最佳的出售方案.（同一組中的數(shù)據(jù)

用該組區(qū)間的中點值作代表）

7.（2024福建三明第一中學(xué)月考）某中學(xué)新建了學(xué)校食堂，每天有近2000名學(xué)生在學(xué)校食

堂用午餐，午餐開放時間約40分鐘，食堂制作了三類餐食,第一類是選餐，學(xué)生憑喜好在做

好的大約6種菜和主食米飯中任意選購;第二類是套餐，已按配套好的菜品盛裝好，可直接

取餐;第三類是面食，如煮面、炒面等.為了更合理地設(shè)置窗口布局，增加學(xué)生的用餐滿意度,

學(xué)校學(xué)生會在用餐的學(xué)生口對就餐選擇、各類餐食的平均每份取餐時長以及可接受的等

待時間進行問卷調(diào)查，并得到以下統(tǒng)計圖表：

類別選餐套餐面食

選擇人數(shù)5()3()20

平均每份取餐時長（單位:分鐘）20.51

已知食堂的售飯窗口一共有20個，就餐高峰期時有240名學(xué)生在等待就餐.

⑴根據(jù)以卜調(diào)查統(tǒng)計，如果設(shè)置12個選餐窗口,4個套餐窗口,4個面食窗口，就餐高峰期時,

假設(shè)大家在排隊時自動選擇較短的隊伍等待（即各類餐食的窗U前隊伍長度各自相同），求

選擇選餐的同學(xué)取到午餐的最長等待時間；

⑵取餐時至多等待多長時間能讓80%的同學(xué)感到滿意?(即在接受等待時長內(nèi)取到餐，結(jié)果

保留整數(shù))

⑶根據(jù)以上調(diào)查統(tǒng)計，從等待時長和公平的角度上考慮，應(yīng)如何優(yōu)化設(shè)置各類售飯窗口數(shù),

并給出你的求解過程.

答案與分層梯度式解析

14.4用樣本估計總體

14.4.1用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)

基礎(chǔ)過關(guān)練

m_600

可得簧=74,解得x=80.

(ni+n

2.B易得眾數(shù)為2,則中位數(shù)為

2x卜3,所以將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為l,2,2、x,5,7,則昔=3,解得x=4,則平均數(shù)為

；x(1+2+2+4+5+7)=3.5.

6

3.C依題意，容量為30的樣本中，高一年級的學(xué)生人數(shù)為…「案例戶0=10,

高二年級的學(xué)生人數(shù)為7^^X30=12,

高三年級的學(xué)生人數(shù)為7^穩(wěn)麗,30=8,

所以估計該校學(xué)生的平均身高為納空蒜竺3=167.8(cm).

4.D當(dāng)x<8時，將數(shù)據(jù)從小到大排列為x,8,10,10,

因為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以卓=字，解得x=8;

42

當(dāng)8Vx<10時，將數(shù)據(jù)從小到大排列為8,x,10,10,

則早=?,解得x=8,不滿足8Vx<10,故排除；

42

當(dāng)x>10時，將數(shù)據(jù)從小到大排列為8,10,10,x,

則好等，解得x=12.

4

綜上,x=8或x=12.

5.ABC對于A,高一年級所抽取參賽學(xué)生成績的中位數(shù)為與史=91(分),A正確；

對于B,高二年級所抽取參賽學(xué)生的成績中,94分出現(xiàn)了2次,出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)為94

分,B正確；

對于C,高一、高二年級參賽學(xué)生中成績不低于90分的都有5人,故優(yōu)秀率都為50%,C正

確；

對于D,高一年級所抽取參賽學(xué)生的平均成績?yōu)?/p>

—(74+78+84+89+89+93+95+97+99+100)=89.8(分)，

高二年級所抽取參賽學(xué)生的平均成績?yōu)?/p>

.(77+78+84+87+88+91+94+94+95+96)=88.4(分),D錯誤.

6.C眾數(shù)是最高矩形下底邊中點的橫坐標(biāo)，因此眾數(shù)c為從右往左數(shù)第二個矩形底邊的

中點的橫坐標(biāo)，

直線x=b左、右兩邊的矩形面積之和相等，而直線x=c左邊矩形面積之和大于右邊矩形面

積之和，則b<c,

又?jǐn)?shù)據(jù)分布圖左“拖尾”,所以平均數(shù)a小于中位數(shù)b,所以a<b<c.

規(guī)律總結(jié)一般地，在單峰的頻率分布直方圖中,如果直方圖的形狀是對稱的，那么平均數(shù)

和中位數(shù)大體相同,如果直方圖右“拖尾”，那么平均數(shù)大于中位數(shù)，如果直方圖左“拖尾”，那

么平均數(shù)小于中位數(shù).

7.D對于A,由題中頻率分布直方圖得(0.0050+0.0075+0.0175+a+0.0075+0.0025)x20=1,

解得a=0.01,故A中說法正確.

對于B,最高的矩形對應(yīng)的區(qū)間是［240,260),其下底邊的中點的橫坐標(biāo)為誓竺=250,故眾數(shù)

約為250粒，故B中說法正確.

對于C,稻谷數(shù)的平均數(shù)約為(210x0.0050+230x0.0075+250x0.0175+270x0.01+290x0.007

5+310x0.0025)x20=256(粒)，故C中說法正確.

對于D,稻谷數(shù)在［200,240)內(nèi)的頻率為(0.0050+0.0075)x20=0.25,

在［200,260)內(nèi)的頻率為(0.0050+0.0075+0.0175)x20=0.6,

因此中位數(shù)位于［240,260)內(nèi)，設(shè)這100株稻穗的稻谷數(shù)的中位數(shù)為x粒，貝IJ

0.25+(x-240)x0.0175=0.5,解得x七254,故D中說法錯誤.

8.答案105;]103.5

解析由題圖知,底部周長的眾數(shù)是吧羅=105(cm),

因為前兩組的頻率之和為10x(0.015+0.025)=0.4<0.5,

前三組的頻率之和為10x(0.015+0.025+0.03)=0.7>0.5,

所以中位數(shù)在[100,110)內(nèi)，設(shè)為xcm,則0.4+0.03(x-100尸0.5,解得x*,

平均數(shù)是0.15X85+0.25X95+0.3X105+0.2x115+0.1x125=103.5(cm).

9.解析(1)由題中頻率分布直方圖得5x2a+5x0.03+5x0.07+5x6a+5x2a=l,解得a=0.01.

⑵樣本中女性“過胖”的頻率為5x2x0.01=0.1,

故全市女性中“過胖”的人數(shù)約為1000000x0.1=100000,即全市女性中“過胖”的約有10萬

人.

⑶調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

12.5%x0.1+17.5%x0.15+22.5%x0.35+27.5%x0.3+32.5%x0.1=23.25%,

設(shè)調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x%,

因為體脂率在"0%』5%)內(nèi)的頻率為0.1,體脂率在[15%,20%)內(nèi)的頻率為0.15,體脂率在

[20%,25%)內(nèi)的頻率為0.35,且0.1+0.15=0.25<0.5,0.1+0.15+0.35=0.6>0.5,

所以20Vx<25,所以0.25+(x-2())x().()7=0.5,解得x=-y-23.57,

故調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為23.57%,

所以小王的體脂率約為23.57%,小張的體脂率為23.25%,因此小張的體脂率更低.

能力提升練

1.B由題意可知xi+X2+...+xm=mx,yi+y2+...+yn=ny,

xi+x2+...+xm+yi+y2+...+yn=(m+n)z,J?f以rrir+np=(m4-n)z,

又5=疝+(1-a)p,所以向+n產(chǎn)(m+n)K(m+n)[aJ+(1-a)到，

所以m=(m+n)a,n=(m+n)(l-a),兩式相減得m-n=(m+n)(2a?l)>0,所以m>n.

10

2.Ag|xi-k|=|xo-k|+|xi-k|+|K2-k|+…+|xio-k|,表示11個絕對值之和,

/=0

根據(jù)絕對值的幾何意義知，絕對值的和的最小值表示距離和的最小值，

10

因為11為奇數(shù)，所以k取xo,xi,…,xio的中位數(shù)時,￡|x『k|有最小值；

/=0

1010

222

X(^/-1<)=￡(x？-2kxi+k)=(Ao4-xf+X2+...o)-(2xo+2x14-2xz+...+2xio)k+11k,

t=0/=0

工工工i0、

結(jié)合二次函數(shù)可知當(dāng)k=時、za廣

11/=0

10c

有最小值，即k為XO,XI,...,XIO的平均數(shù)時,Z(x/k尸有最小值，

/H)

故A正確.

3.ABD9家工廠甲、乙產(chǎn)品的抽查評分按從低到高的順序排列的第5位都是中位數(shù)，

由75是甲產(chǎn)品評分從高到低的第4位即從低到高的第6位,得中位數(shù)小于或等于75,因為

甲產(chǎn)品評分的平均數(shù)為77,所以甲產(chǎn)品評分的中位數(shù)一定小于平均數(shù),A正確；

由66是乙產(chǎn)品評分從高到低的第6位即從低到高的第4位,得中位數(shù)大于或等于66,

因為乙產(chǎn)品評分的平均數(shù)為60,所以乙產(chǎn)品評分的中位數(shù)一定大于平均數(shù)，故B正確；

甲產(chǎn)品評分可以為82,81,80,75,75,75,75,75,75,此時不存在“極端高分?jǐn)?shù)”，故C錯誤；

對于乙產(chǎn)品,前六名的得分均大于或等于66,假設(shè)前六名所有評分都為66,則后三名總分為

60x9-66x6=144,所以后三名的評分中必定有小于或等于48的情況，故必存在“極端低分?jǐn)?shù)”,

故D正確.

4.AD對于A,由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，

(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)x5()=l,解得x=0.0044,故A正確；

對于B,因為(0.0024+0.0036)x50=0.3<0.5,(0.0024+0.0036+0.0060)x50=0.6>0.5,

所以這100戶居民月用電量的中位數(shù)落在區(qū)間［150,200)1從設(shè)其為mkW.h,

則0.3+(m-150)x0.006=0.5，解得mR83,故B錯誤；

對于C,月用電量落在區(qū)間［150,350)內(nèi)的戶數(shù)為(0.0060+0.0044+0.0024+0.001

2)x50x100=70,故C錯誤；

對于D,由題意可知，這100戶居民月平均用電量為

6

(50+25)SI+(50X2+25)S2+…+(50x6+25)S6=Z(50i+25)SikW-h,故D正確.

i=l

5.答案{-9,5,19}

解析設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為x,則這七個數(shù)的平均數(shù)為一,眾數(shù)為4,

因為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的和是中位數(shù)的2倍，用以可分以下三種情況討論：

若X",則中位數(shù)為4,此時可+4=2x4,解得x=-9;

若4<x<6,則中位數(shù)為x,此時—+4=2x,解得x=5;

若xN6,則中位數(shù)為6,此時手+4=2x6,解得x=19.

綜上，丟失數(shù)據(jù)的所有可能取值構(gòu)成的集合為{-9,5,19}.

6.解析⑴由題中頻率分布直方圖可知，這100個舜猴桃中，質(zhì)量不小于90克的頻率為

(0.()3+().025+().005)x10=0.6,

所以估計這8000個紅心物猴桃中質(zhì)量不小于90克的個數(shù)為8000x0.6=4800.

⑵由題中頻率分布直方圖可得，這批物猴桃的平均質(zhì)量為

65x0.1+75x0.1+85x0.2+95x0.3+105x0.25+115x0.05=91.5(克)，

故若按方案一進行收購，則驕猴桃基地老板的收入為鬻x91.5xl0=7320(元).

由題中頻率分布直方圖可得，質(zhì)量小于90克的每個舜猴桃的平均質(zhì)量為

0.1x65+0.1x75+0.2x85

=77.5（克）,

01+01+02

質(zhì)量不小于克的每個掰猴桃的平均質(zhì)量為=罷(克),

90八二-二；1r

故若按方案二進行收購，則舞猴桃基地老板的收入為色竺戛迎吧=15200(元).