人教A版高一數學暑假預習：基本不等式（練）-（人教A版必修第一冊）原卷版+解析

2.2基本不等式

【題型解讀】

【題型一對基本不等式的理解】

1.（多選題）（2022?無錫校級月考）下列結論成立的是（）

A.若〃，旄R,則小+3°2245b5

B.若x#0,則/+志工2

C.若E+222,則a>0,b>0

ba

D.3aER,使。2+9<6。

2.12022?衡水市第十三中學高一月考）已知x,），都是正數，且工工九則下列選項不恒成立的是（）

C.資〈而…+導2

3.（2022?秦淮區月考）《幾何原本》中的幾何代數法是以幾何方法研究代數問題，這種方法是后西方數學

家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證

明.下圖是我國古代數學家趙爽創作的弦圖，弦圖由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大

正方形.若直角三角形的直角邊長分別為。和4則該圖形可以完成的無字證明為（）

a+b

A.>yfab(a>0,d>0)

2

B.cT+b2^2tib(4>0,b>0)

C.>/ab>ij(a>0,b>0)

竽(a>0,b>0)

D.

4.（2022?河北?高一月考）下列不等式的推導過程正確的是

①若心>1,則艮=2；

②若xvO,則X+：=_［（_刈+（_?）］

③若a，/?￡R，則"2\^^=2.

【題型二直接法求最值】

1.12022?甘肅酒泉?高一期中）設x,y滿足葉產40,且x,），都是正數，則冷，的最大值是（）

A.400B.1（X）C.40D.20

2.（2022?河北?高一期末）已知。>0,b>0,則2而+：+*的最小值是（）

A.2B.4C.4V2D.6

3.（2022.湖北十堰期末）若"+人W0,則/+從+言仔的最小值為.

4.（2022?河北石家莊期中）（1）已知%>0,求〃x）=U+3x的最小值；

4

（2）已知x<3,求〃x）=-^+工的最大值.

X-J

【題型三湊配法求最值】

4（\\

1.[2022?山西懷仁市第一中學校月考）函數+X"的最小值為（）

3x-lV?）

A.8B.7C.6D.5

2.12022?上海虹口?高一期末）當x>l時，求2x+±r的最小值為

X-1--------

3.（2022?北京大興?高一期末）若則4（1—2。）的最大值是（）

4.（2022.全國?高一專題練習）已知x>—l,求函數y=x+」一的最小值是（）

x+l

A.4B.3C.2D.I

【題型四“1”的代換法求最值】

I3

1.（2022?河南?夏邑第一高級中學高i期末）若正數X,>滿足一+—=5,則3x+4），的最小值是

yx

（）

2428

A.—B.—C.5D.25

55

_14

2.12022?安徽?南陵中學高一月考）已知正數工、>滿足x+），=l,則一+;—的最小值為_____

xI+y

「，21

3.（2022?安徽?高一階段練習）正實數滿足：2x+y=l,則一+一的最小值為_____.

xy

4.（2022?全國高一課時練習）設/〃，〃為正數，且〃?+〃=2,則」一十小之的最小值為___________.

"2+1〃+2

【題型五二次商式求最值】

1.[2022?全國?高一課時練習）設XV-1,求（-+））（/卜2）的最大值

X+I

2.322?江西?寧岡中學高一月考）當~2時，函數戶石的最小值為-----------

3.（2022?全國?高一課時練習）函數），=三廠上+3x二+3。＞—1）的最小值為（）

尤+1

A.3B.2C.1D.-1

4.（2。22?全國?高一課時練習）若對任意之號恒成立'則實數〃的取值范圍是，）

A.B.13,+00）C.|收）D.S1]

【題型六基本不等式求參】

/[、

1.12022?全國?高一課時練習）已知不等式（X+），）-+-29對任意實數無、丁恒成立，則實數。的最

1%y）

小值為（）

A.8B.6C.4D.2

2.12022?南開區校級月考）已知。＞0,b＞0,若不等式一十一之」—恒成立，則〃的最大值為

ab2a+b

（）

A.9B.12C.16D.20

x

3.（2022?全國?高一課時練習）若對于任意工＞0，F~■——《。恒成立，則。的取值范圍是（）

X+3x+l

A.（g'+8）B.4,+8）C.（0,+oo）D.（5,+co）

4.（2022.全國高一課時練習）已知x,y?0收）,且x+y=l,若不等式/+9+口〉；〃?、；“恒成立,

則實數〃?的取值范圍是（)

f3]B.-1,1C.(-2,1)D.-oo,-|lu(l,+oo)

A.

【題型七基本不等式的實際應用】

1.12022.全國?高一課時練習）某公司一年需要購買某種原材料400噸，計劃每次購買X噸，已知每次的運

費為4萬元/次，一年總的庫存費用為4X萬元，為了使總的費用最低，每次購買的數量1為

2.（2022?山東濟寧.高一月考）經觀測，某公路段在某時段內的車流量），（千輛/小時）與汽車的平均速度V

92（）v

（千米/小時）之間有函數關系：）,=丁一;——（v>0）.

u"+3v+1600

（1）在該時段內，當汽車的平均速度丫為多少時車流量最大？最大車流量為多少？（精確到0.01）

（2）為保證在該時段內車流量至少為10千輛/小時，則汽車的平均速度應控制在什么范圍內？

3.（2U22?全國?高一課時練習）為響此國家擴大內需的政策，呆廠家擬在2022年舉行促銷活動，經調管測

算，該產品的年銷量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用t（G0）萬元滿足>4-鼻（k為常數）.如果不搞

促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件.已知2022年生產該產品的固定投入為6萬元，每生產I萬件

該產品需要再投入12萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的L5倍（產品成本包括固定

投入和再投入兩部分）.

（1）將該廠家2022年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數；

⑵該廠家2022年的年促銷費用投入多少萬元時廠家利潤最大？

2.2基本不等式

【題型解讀】

【題型一對基本不等式的理解】

1.（多選題）（2022?無錫校級月考）下列結論成立的是（）

A.若a,bER,則J0+/2245b5

B.若xWO,則，+當42

ab

C.若二+-N2,則b>（）

ba

D.使J+9<6。

【答案】AB

【解析】解：對于選項A：???/°+心227^麗=2|/胡|22〃5分（當且僅當〃=6時取”=

“），???選項A正確；

對于選項8：1當xWO時，f+/N2卜.g=2（當且僅當x2=爰時取"=“）,???選項8

正確；

對于選項C：當。=》=?1時滿足￡+工2,但。V0,〃<0,???選項C錯誤：

ba

對于選項。：Va2+9-6a=（a-3）2^01即于+926〃恒成立,?,?選項。錯誤.

故選：AB.

2.（2022彳期水市第十三中學高一月考）已知「），都是正數，且工工九則下列選項不恒成立

的是（）

A.受,向

C.工向D.母+卷＞2

【答案】D

【解析】X，都是正數，

由基本不等式，彳之而，上+土之2,金:或苧=而，這三個不等式都是當且僅當

2vX)，x+y2Qxy

x=y時等號成立，而題中xwy,因此等號都取不到，所以ABC三個不等式恒成立；

町+,22中當且僅當孫=1時取等號，如x=!，y=2即可取等號，D中不等式不恒成立.

xy2

故選：D.

3.(2022?秦淮區月考)《幾何原本》中的幾何代數法是以幾何方法研究代數問題，這種方法

是后西方數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數公理或定理都能夠通過圖

形實現證明，也稱之為無字證明.下圖是我國古代數學家趙爽創作的弦圖，弦圖由四個全等

的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.若直角三角形的直角邊長分別為。和

b,則該圖形可以完成的無字證明為()

a+b/—

A.>7ab(a>0,b>0)

2

B.a2+h2^2ab(〃>0,/?>())

C.ab>]2](0>0,b>0)

a+b

nQ2+/J2Q+b,.

D.I—2———2-(a>02b>0)

【答案】B

【解析】解：因為直角三角形的直角邊長分別為。和人

所以斜邊即大正方形的邊長為VHr不宜，大正方形面積J+房，

由題意得。2+戶24乂2帥=2岫，當且僅當。=〃時取等號，故選：B.

4.(2022?河北?高一月考)下列不等式的推導過程正確的是

①若x>l,則X+：22\艮=2；

②若大<0,則x+(=一](一/)+(一9)

―人(-刈?(-9=-七

③若4,8WR,貝碌+注2'g1=2.

【答案】②

【解析】①中忽視了基本不等式等號成立的條件，

當x=；,即X=1時，等號成立，

因為x＞l,所以x+±＞2；

③中忽視了利用基本不等式時每一項必須為正數這一條件.

【題型二直接法求最值】

1.（2022.甘肅酒泉?高一期中）設x,），滿足x+y=40,且x,y都是正數，則孫的最大值是

（）

A.400B.）00C.40D.20

【答案】A

【解析】?.?，耳〈甘々%＞（）,）＞0）,

當且僅當x=y=20時，等號成立.

2.（2022?河北?高一期末）已知。＞0,b＞0,貝IJ2而+：+1的最小值是（）

A.2B.4C.4&D.6

【答案】B

【解析】解：〈。〉。，》＞0,???2竭+1+1之2而+卷之4當且僅當。=8=1時，取等

號.

故選：B.

3.（2022.湖北十堰期末）若則―一7的最小值為.

【答案】V2

【解析】由題意，/+…2+/）+（/+六）22+2嘰二,當且僅當

222

。=8時等號成立，

所以/+/+—二2（。"1+—」》2、口=也,當且僅當

（〃+力22（a+b）2V2

(a+b)2_1

時取等號‘所以當"此2-沛，取得最小值

~2~~(a+b)2

12

4.（2022?河北石家莊期中）（1）已知x>0,求〃x）=一+31的最小值;

JC

4

（2）已知rv3,求==+x的最大值.

【答案】(1)12;(2)-1.

【解析】（I）vx>0,

12I?

/.f(x)=—+3x>2—3x=12，

x

12

當且僅當一=3x=x=2時取等號:

x

所以/⑴的最小值為⑵

(2)vx<3=>3-x>0?

/、44,、

〃x)=-^+工-3+3=---------F3-x+3W—2.(3-x)+3=-l,

Xr53—x-----)JX

當且僅當｝二3-xnx=l時取等號，所以/（x）的最大值為一1.

D人

【題型三湊配法求最值】

4

L（2。22?山西?懷仁市第一中學校月考）函數尸的最小值為（)

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

【解析】因為所以3x—1>0,

所以k3Hs=（3、7）+3+.2，（3］一】）?3+1=5

4

當且僅當3x-1=；；-即x=l時等號成。：，

3x-\

故函數），=3X+Q「>9的最小值為5.

故選：D.

2.（2022?上海虹口?而一期末）當4>1時，求2%+白的最小值為.

【答案】10

【解析】解：當%>1時，21+=2（x-1）+-^-+2^22（x-l）--^r+2=10,

x-1x—1\'X—1

（X>1o

當且僅當8，即x=3時等號成立，所以2x+目的最小值為10.

（2（x-1）=^%T

故答案為：10.

3.（2022?北京大興?高一期末）若0va<g,則-2a）的最大值是（）

D.1

【答案】A

【解析】。<。<:，故1一2。>0,則

2

當。=，時取“=”，所以正確選項

a(l-2a)=g(2a)(l—之"；2〃)="

4

為A

4.（2022.全國?高一專題練習）已知了〉一1,求函數y=x+」一的最小值是（）

X4-1

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】由x>-l,即x-l>0,所以

y=x+—=（x+l）+——一1>2J（X4-1）<--1=1,x=0時取“="，所以正確選

A+1'）x+\V）x+l

項為D

【題型四“1”的代換法求最值】

13

1.（2022?河南?夏邑第一高級中學高一期末）若正數X,）'滿足一+二二5,則3x+4y的

最小值是（）

24

A.——B.一C.5D.25

55

【答案】C

13「

【解析】??正數］，>滿足一+—=5,則

用

力1

11313+7+-

3x+4y=-(3A-+4y)(-+-)=-5當且僅當

x=2），=l時取等號..一了+外，的最小值是5.故選：C.

14

2.（2。22安徽.南陵中學離一月考）已知正數X、y滿足=L貝咚+,的最小值

為.

9

【答案】萬

【解析】，x+y=l,所以，x+（i+y）=2,

4十」）=生十山十5.24x1+y

則)=[A+(I+J)](-+5=9,

1+,,1+），1+yxi+y

149

所以，1+=…3

2

4x_l+yx=—

3

當且僅當〈1+yx,即當<；時，等號成立,

x+y=\y=-

-3

149

因此，一十;-的--最小值為一，故選：B.

x1+y2

21

3.（2022?安徽?高一階段練習）正實數x，y滿足：2x+y=l,則一+一的最小值為.

【答案】9

21(2x+y)=5+至+生

【解析】-+-=—I—>5+2>5+2^=9,當且

v））Xy)大>,

僅當X=）,=g時取等號.故答案為：9.

n+3

4.（2022?全國高一課時練習）設〃?，”為正數，且〃z+〃=2,則的最小值

rn+1〃+2

為.

9

【答案】一

5

【解析】令。=加+1/=〃+2,則。+/?=5，且2<〃<4,

1n+311,

又-----+-----=-+--1,

〃？+1〃+2ab

111,1(ba}2+2

而一+：==xx\a+b)=—2+―+―4()4

ab551abJ

當且僅當。=〃=2時等號成立,

2

1〃+39

故-----+-----的最小值為不

tn+\〃+2-J

9

故答案為：

【題型五二次商式求最值】

1.(2022?全國?高一課時練習)設xv—1,求(八+5).+2)的最大值

x+]

【答案】1

【解析】Vx<-1,AX4-1<0A-(X+1)>0

所以廣(x+5)(x+2)_/+7.+10=(%+1>+5(/+1)+44今

x+1x+\x+1x+l

4"I

=--(x+\)+-------+5<-2V4+5=l

當且僅當(R+1)2=4,即x=—3時等號成立

所以(x+5)(x+2)的最大值為i

X+1

=八以+6的最小值為___________.

2.(2022?江西?寧岡中學高一月考)當x>-2時，函數y

x+2

【答案】2&

x2+4x+6(x+2)2+2.2

【解析】因為x>-?,則.r+2>(),則==''=(xI2)1

y7

A+2x+2'x+2

刊(》2)-2二2。，

當且僅當工=應-2時，等號成立，

所以，當*>-2時，函數[，='+41+6

的最小值為2VL

x+2

故答案為：2VL

3.(2022?全國?高一課時練習)函數y=土土竺二(x>-1)的最小值為()

X+1

A.3B.2C.1D.-1

【答案】A

【解析】x>-l,則x+l>0,

_x2+3x+3_(x+1)+(x+1)+1

Gn+—+1>3?當犬=0時取"="，所乂正

X+1-X+1=\+7X+1

確選項為A.

4.(2。22?全國?高一課時練習)若對任意恒成立’則實數。的取值范圍是

()

A.[-1,-KC)B.f3,4-oo)C.D.(-00JI

【答案】C

2x2,22

------=------4——=—1

【解析】解：因為x>o,所以v+x+iv+i+1~2rr+13,當且僅當即x=i

時取等號,因為心焉恒成立,所以即。年收

故選：C

【題型六基本不等式求參】

1.(2022,全國,高一課時練習〉己知不等式+對任意實數X、)，恒成

lxy)

立，則'實數。的最小值為()

A.8B.6C.4D.2

【答案】c

【解析】?.(x+y)-+-=—+—+674-1.

axV

若冷，<(),則2<0,從而一+二+。+1無最小值，不合乎題意;

X八

若9>°，則上>0,—>0

Xy

axV

①當。vO時，一+=+〃+1無最小值，不合乎題意；

yx

②當。=0時，竺+)+。+1=)+1>1,則(x+y)不恒成立;

Xxxy)

③當。>0時，

(1、

/、1aaxv

(x+y)-+—=—+—+a+l>2竺.2+4+1=〃+2&+1=(6+1),

(xy)yx

當且僅當y=JZx時，等號成立.

所以，(6+1『29,解得。24,因此，實數。的最小值為4.故選：C.

2In

2.（2022?南開區校級月考）已知。>0,。>0,若不等式一十一之------恒成立，則〃的

ab2a+b

最大值為（）

A.9B.12C.16D.20

【答案】A

【解析】因為。>0,b>0,所以2。+/?>（）,—I—2---------=>（2〃+份（—I—）之〃，

ab2a+bab

（2f/4-/）（-+-）=5+—+—>5+2J—?—=9（當且僅當。二6時，取等號），要想

?abba\ba

G1

不等式±+上之一^恒成立，只需〃W9,即〃的最大值為9,故本題選A.

ab2a+b

x

3.（2022?全國?高一課時練習）若對于任意K>0,————恒成立，則。的取值范圍

x+3x+l

是()

A.Q+8

B.[-,+co)C.(0,+O0)D.(5,+00)

【答案】B

X_1

【解析】因為x〉0,所以Y+3X+]=1

5+X+—

X

因為1>0,所以x（當且僅當x=l時取等號），

x

1<-Ll

則3+X+；3+2=5,

x

即一:一；的最大值為!，故

+3x+l55

故選：B

4.（2022.全國高一課時練習）已知x.ye（O.-Fw）,且x+y=l.若不等式

x2+y2+g,>J/+?”恒成立，則實數〃?的取值范圍是（）

二13

B.C.(-2,1)D.—00,——5入+8）

2’2

【答案】A

【解析】因為X,je(O,-K?),且x+y=l,

所以J+V+^=(x+y)2-xy=>1-

214

當且僅當x=y=g時，等號成立；

又不等式x2+y2+^>l而+；m恒成立，

3113

所以只需W>/"r+7〃，即2〃『+〃L3<0,解得一5Vm<1.

故選：A.

【題型七基本不等式的實際應用】

1.（2022?全國?高一課時練習）某公司一年需要購買某種原材料400噸，計劃每次購買工

噸，已知每次的運費為4萬元/次，一年總的庫存費用為4x萬元，為了使總的費用最低，

每次購買的數量x為；

【答案】20噸

【解析】由題意，總的費用）'=%x4+4x=4（%+1］之160,當x=20時取“=”，

所以答案為20噸。

2.（2022