2026年高考數學一輪復習講義：基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積（附答案）

第七章立體幾何與空間

向量

§7.1基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積

【課標要求】1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的

結構.2.知道球、棱（圓）柱、棱（圓）錐、棱（圓）臺的表面積和體積的計算公式，并能解決簡單的實際問題.3.能

用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖.

?落實主干知識?

1.空間幾何體的結構特征

（I）多而體的結構特征

（2）旋轉體的結構特征

互相平行且相延長線交

母線相交于____

等，____于底面于____X

軸截面

側面展開圖

2.直觀圖

(1)畫法：常用.

(2)規則:

①原圖形中x軸、)，軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x釉、產軸的夾角為45。或135。.

②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍,平行于x軸和z軸的線

段在直觀圖中保持原長度，平行于)，軸的線段，長度在直觀圖中變為原來的.

3.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式

側面積公式SS5陽臺但=

4.柱、錐、臺、球的表面積和體積

名稱

表面積體積

幾何體

柱體S表=5他+2s底v=____

錐體S&=S側+S收v=____

臺體S?=S?+S±+SFv=______

球s表二________v=______

B自主診斷

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打或"X”)

(1)菱形的直觀圖仍是菱形.()

(2)圓臺的母線長都相等.()

(3)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.()

（4）錐，體的體積等于底面積與高之積.（）

2.已知正三棱柱人3C-A出Ci中，AB=AA尸2,則該三棱柱的體積為（）

A.4V3B.3V3C.2V3D.V3

3.用斜二測畫法作一個水平放置的邊長為6的正方形的直觀圖，則直觀圖的面積為（）

A.36B.18V2C.9V2D.竽

4.已知圓錐尸。的母線長為2,。為底面的圓心，其側面積等于20兀，則該圓錐的體積為.

國微點提醒

1.掌握三個結論

（1）一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.

（2）（祖地原理）等高處的截面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等.

（3）直觀圖與原平面圖形面積間的關系：s在雙圖二￥§原圖形,Sm=2^Sc^.

4

2.關于幾何體的表面積和側面積的兩個注意點

（1）兒訶體的側面積是指（各個）側面面積之和，而表面積是側面積與所有底面面積之和.

（2）組合體的表面積應注意重合部分的處理.

---------------------------探究核心題型---------------------------

題型一基本立體圖形

命題點1結構特征

例1（多選）下列說法中正確的是（）

A.各側棱都相等的棱錐為正棱錐

B.長方體是直四棱柱

C.用一個平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺

D.球面可以看作一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面

命題點2直觀圖

例2用斜二測畫法得到一個水平放置的平面圖形OA8C的直觀圖為如圖所示的直角梯形其

中8c三07V,ABJ_O7T,若原平面圖形0A8C的面積為3V2,則。卬的長為（）

A.2B.x/2C.V3

命題點3展開圖

例3（2025?大同模擬）已知圓臺的上、下底面的圓心分別為Oi,5，母線48=1（點A位于上底面），且

I3O2=2AO^圓O2的周長為斗，一只螞蟻從點4出發沿著圓臺側面爬行一周到點以則其爬行的最短路

程為（）

A.lB.V3C.2D.V5

思維升華（1）辨別空間幾何體的兩種方法

①定義法：緊扣定義進行判定；

②反例法：要說明一個結論是錯誤的，只需舉出一個反例即可.

（2）在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段：平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于），軸的

線段平行性不變，長度減半.

（3）在解決空間曲線（段）最短問題時一般考慮其展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化.

跟蹤訓練1（1）下列說法正確的是（）

A.棱柱中相鄰兩個面的公共邊叫做側棱

B.底面是正多邊形的棱錐是正棱鋅

C.有兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺

D.直角三角形以其一邊所在直線為軸旋轉一周形成的幾何體不一定是圓錐

（2）如身，一個水平放置的平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖是邊長為2的菱形ABCD,且OD=2,

則原平面圖形的周長為（）

A.4V2+4B.4V6+4

C.8V2D.8

⑶如留在一根高為11cm,外圓周長為6cm的圓柱體外表面漉繞一根細鐵絲，組成10個螺旋，如果

鐵絲的兩端恰好落在圓柱的同一條母線的兩端，則鐵絲長度的最小值為（）

A.61cmB.V157cm

C.V2021cmD.T1037cm

題型二表面積與體積

命題點1表面積

例4（1）以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得圓柱的側面積等于

（）

A.8兀B.4兀C.8D.4

（2）（2025?棗莊模擬）已知圓臺的上、下底面半徑分別為I和3,側面展開圖是半個圓環，則圓臺的側面

積為（）

A.6兀D.16TCC.26兀D.32兀

命題點2體積

例5（1）（2024.武漢模擬）“極目一號”III型浮空艇（如圖1）是中國科學院空天信息研究院自主研發的，

它曾多次成功完成大氣科學觀測，彰顯了中國的實力.“極目一號”HI型浮空艇長55m,高19m,若

將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”IH型浮

空艇的體積約為（參考數據：9.5餐90,9.5M57,315X1005-316600,7^3.14）（）

—C萬----L立：m^2

k.卜】44一3L5—

圖1圖2

A.9064m3B.9004m3

C.8944m3D.8884m-

⑵木澳子在傳統木工中運用廣泛,它使得神卯配合的年度得到最大化滿足.如圖為一個木楔子，其中四

邊形A8CD是邊長為1的正方形,且△AOE,ABC尸均為正三角形,EF//CD,EF=2,則該木楔子的

體積為（）

EF

4B

A呼C.苧D弓

思維升華求空間幾何體的體積的常用方法

公式法規則幾何體的體積，直接利用公式

把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，或者把不

割補法

規則的幾何體補成規則的幾何體

通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，

等體積法

特別是三棱錐的體積

跟蹤訓練2（1）（2024.新課標全國I）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，旦它們的高均為

V3,則圓錐的體積為（）

A.2V3nB.3V37T

C.6V371D.9遍冗

（2）（多選）如圖，在直三棱柱A8C-A山Q中，AB=2,8c=3,CC,=4,且48J_BC,尸為8G的中點，則

A.三棱錐A-BCCi的體積為4

B.三棱錐C-APG的體積為|

C.四棱錐的體積為8

D.三棱錐G-A8C的表面積為14+2V13

答案精析

落實主干知識

1.（1）立行全等平行相似平行且相等一點一點平行四邊形三角形梯形（2）垂直一點

一點矩形等腰三角形等腰梯形

圓矩形扇形扇環

2.（1）斜二測畫法（2）②分別平行于坐標軸不變一半

3.2兀”itrl兀（片+-2）/

4.Sh^Shgs上+S下+Js上S下)h

4兀R?匕R

3

自主診斷

1.⑴X(2)7⑶X(4)X

2.C3.C4.n

探究核心題型

例1BD【對于A,各側棱都相等，但無法保證底面為正多邊形，故A錯誤；

對于B,易知長方體的側棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正確；

對于C,根據圓臺的定義，用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分為圓臺，故C錯誤；

對于D,球面可以看作一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面，故D正確」

例2D［方法一如圖所示，根據斜二測畫法的規則，得到原幾何圖形04BC,

設O'A^x,可得,

貝ljOB=2O'B,=2y/2x,BC=BC*,O^O'A^x,

且05為原平面圖形中梯形的高，所以原平面圖形OA8C的面積為S=1（X+0X2V2.Y=3V2,

解得廣*

方法二由S直觀圖=牛§原圖形可得s直觀用,，

設O'A'=x,貝|JO'B'=yl2x,

BC土,A'B'=x,

根據直角梯形的面積公式得

解得得］

例3B［將圓臺的側面沿著母線剪開，展成平面圖形，延長84,用4交于點0,連接/Ui,A3,

如圖，

顯然弧防的長為警，弧M的長為、設NB0&=a,則aX0A=g,aXOB號,

貝ij0B=20A,即0A+\=20A,得0A=l,于是A是。8的中點，a=^,

因此AOB田是等邊三角形，有A8J_OB,且AE與弧AA相切，則4所在此側面展開圖內，

所以螞蟻爬行的最短路線為線段ABi,A￡?.M^an^V3.J

跟蹤訓練1(1)D［對于A,底面和側面的公共邊不是側棱，A偌誤；

對于B,底面是正多邊形的棱錐，頂點與底面中心的連線不一定垂直于底面，因此它不一定是正棱錐，B

錯誤；

對于C,兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體不一定是棱臺，還要滿足各側棱的延長線交于一

點，C錯誤；

對于D,直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉一周形成的幾何體是圓錐，以其斜邊所在直線為軸旋轉

一周形成的幾何體由兩個共底的圓錐組合而成，D正確」

(2)B［根據題意，把直觀圖還原成原平面圖形，如圖所示，

其中OA=2y12,00=4,

AB=CD=2,

貝ljAD=y/8+16=2x/6,

故原平面圖形的周長為

2+2+2V6+2V6=4A/6+4.］

(3)Ar??圓柱體的高為11cm,外圓周長為6cm,

又鐵絲在柱體上纏繞10圈，且鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一條母線的兩端,

則我們可以得到將圓柱側面展開后的平面圖形，如圖所示，其口每一個小矩形的寬為圓柱的外圓周長6cm,

高為圓柱的高11cm,則大矩形的對角線即為鐵絲長度的最小值，

此時鐵絲長度的最小值為Vil2+602=6l(cm).J

例4(1)A［以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，旋轉一周所得圓柱的底面半徑-2,高h=2,

，所得圓柱的側面積S=2nrh=2nX2X2=8兀.］

(2)B［圓臺的上底面圓半徑尸=1，下底面圓半徑尸3,

設圓臺的母線長為/,扇環所在的小圓的半徑為x,

依題意有+

(Z1TX1=TTX,

解啖二;‘

所以圓臺的側面積5=花(尸+廠)/=兀(1+3)X4=16兀］

例5(1)A［由題圖2得半球、圓柱底面和圓臺一個底面的半徑為R=募=9.5(m),而圓臺另一個底面的半

徑為r=\m,

則V半球71X9.53

1714.［、

?3)，

V圓柱=71X9.52XI4之126071(m3),

V圓臺二1X(9.52niV9.52TTXK+TI)X31.5^~^7r(m'),

所以V=V半球+V圓柱+Y圓臺^^+1260兀+年g9064(m3).］

⑵D［如圖，分別過點A,8作EF的垂線，垂足分別為G,”，

8

連接DG,CH,

由題意知等腰梯形全等于等腰梯形DCFE,

則EG二HF二等4,AG=GD=BH=HC=J12-(丁二冬

取A0的中點0,連接G。，

因為AG=GD,所以GOLAD,

則GOJ囹飛鴻.

所以S^.ADG=S^BCH=~X4X1=1.

224

因為AB//