高考數(shù)學：計數(shù)原理、概率及其分布 隨機事件與概率（學生版）

隨機事件與概率

激活思維

1.(教材經(jīng)典題)某人打靶時連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中

靶”互為對立事件的是()

A.至多一次中靶B.兩次都中靶

C.只有一次中靶D.兩次都沒中靶

2.(教材經(jīng)典題)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設事件A="第一枚硬幣正面朝

上”，事件8="第二枚硬幣反面朝上”，下列結論正確的是()

A.4與3互為對立事件B.A與8互斥

C.A與8相等D.P(A)=P(8)

3.(教材經(jīng)典題)已知P(A)=0.5,P(B)=0.3.

(1)如果B&A,那么P(AUB)=,P(AB)=；

(2)如果4,8互斥，那么P(AU8)=,P(AB)=.

4.(教材經(jīng)典題)從長度為1,357,9的5條線段中任取3條，則這三條線段

能構成一個三角形的概率是__________.

5.(教材經(jīng)典題)從0?9這10個數(shù)中隨機選擇一個數(shù)，則這個數(shù)的平方的

個位數(shù)字為1的概率是；這個數(shù)的四次方的個位數(shù)字為1的概率是

聚焦知識

1.樣本空間和隨機事件

(1)樣本點和有限樣本空間

①樣本點：隨機試驗石的每個可能的稱為樣本點，常用口表示.

全體樣本點的集合稱為試驗￡的樣本空間，常用。表示.

②有限樣本空間：如果一個隨機試驗有〃個可能結果3，①2,…，5,則

稱樣本空間。={⑦I,ft)2,…，助1}為有限樣本空間.

(2)隨機事件

①定義：將樣本空間。的稱為隨機事件，簡稱事件.

②表示：大寫字母4,B,C,….

③隨機事件的極端情形：必然事件、不可能事件.

2.兩個事件的關系和運算

含義符號表示

包含關系4發(fā)生導致區(qū)發(fā)生—

相等關系83A且—

并事件(和事件)A與8至少一個發(fā)生AU8或A+8

交事件(積事件)A與8同時發(fā)生AG8或A3

互斥(互不相容)A與8不能同時發(fā)生AC8=0

互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生____________,____________

3.古典概型

(1)有限性：樣本空間的樣本點只有;

(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性_________.

4.古典概型的概率公式

一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間。包含〃個樣本點，事件A包含

其中的％個樣本點，則定義事件4的概率為P(4)=)=嘿，其中，〃(A)和〃(0

分別表示事件A和樣本空間Q包含的樣本點個數(shù).

5.概率的性質(zhì)

性質(zhì)1：對任意的事件4,都有P(A)2O.

性質(zhì)2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(0=1,P(0)=

0.

性質(zhì)3：如果事件A與事件8互斥，那么尸(AU8)=.

性質(zhì)4：如果事件A與事件3互為對立事件，那么P(5)=1—P(A),P(A)=

性質(zhì)5：如果4GB,那么P(A)WP(B),由該性質(zhì)可得，對于任意事件4,因

為0NAq。，所以()WP(4)W1.

性質(zhì)6：設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，則P(AU3)=

題型突破思維拓展

舉題說法

目而SU隨機事件的關系與運算

視角1事件的運算

例1一1(多選)某家商場舉行抽獎活動，小聰、小明兩人共同前去抽獎，設

事件A="兩人都中獎”，B="兩人都沒中獎”，C="恰有一人中獎"，D=

“至少一人沒中獎”.下列關系正確的是()

A.BUC=DB.Anc/0

C.C^DD.BCD=B

＜總結提煉〉

事件間運算的方法：

(1)利用定義：列出試臉所有可能出現(xiàn)的結果；

(2)利用Venn圖：借助集合間運算的思想.

視角2事件的關系

例1一2(多選)從3名女生和2名男生中任選兩人組成學習小組，記“至

少1名女生”為事件4“至少1名男生”為事件“恰有1名女生”為事件

C,“2名都是男生”為事件Q,則下列結論正碓的有()

A.事件A和。是對立事件

B.事件B和。是對立事件

C.事件A和B是互斥事件

D.事件。和。是互斥事件

＜總結遑煉》

判斷互斥事件、對立事件一般用定義，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事

件；若兩個事件中有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件互為對立事件.對立事件一

定是互斥事件.

變式1-2（2025?濰坊期末）從裝有3個紅球和3個黑球的口袋內(nèi)任取3個

球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）

A.至少一個紅球和都是紅球

B.至少一個黑球和都是紅球

C.至少一個黑球和至少一個紅球

D.恰有一個紅球和恰有一個黑球

視角3利用事件的互斥、對立關系求概率

例1一3（多選）甲袋中有5個紅球，15個白球，乙袋中有5個紅球，5個

白球，從兩袋中各摸出一個球.下列結論正確的是（）

A.2個球都是紅球的概率為《

B.2個球不都是紅球的概率為］

C.至少有1個紅球的概率為1

O

3

D.2個球中恰有1個紅球的概率為&

O

?總結遑煉》

求復雜互斥事件的概率的兩種方法

（1）直接法

（2）間接法（正難則反，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解更簡

單）?

變式1—3(1)(2025?汕尾、肇慶二模)小王數(shù)學期末考試考了9()分，受到

爸爸表揚的概率為今受到媽媽表揚的概率也為今假設小王受爸爸表揚和受媽媽

表揚獨立，則小王被表揚的概率為()

3

-

4

(2)高一年級某同學為了豐富自己的課外活動，參加了學校“文學社”“詠

春社”“音樂社”三個社團的選拔，該同學能否成功進入這三個社團相互獨

立.假設該同學能夠進入“文學社”“詠春社”“音樂社”三個社團的概率分別

為。，b，該同學可以進入兩個社團的概率為小且三個社團都進不了的概率為

卷則ab=()

A,

A.20To

目幀同古典概型

例2(1)(2023?全國乙卷文)某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽

同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的概

率為()

A-6B.|

C.；D.

(2)(2025?武漢二模)一個不透明的袋中裝有2個紅球，2個黑球，1個白球，

這些球除顏色外，其他完全相同.現(xiàn)從袋中一次性隨機抽取3個球，則這3個球

的顏色各不相同的概率為()

1

A.?

2BTo

-32

D.

仁55

＜總結提爆》

求古典概型的概率的關鍵是求試驗的樣本點的總數(shù)和事件A包含的樣本點

的個數(shù)，這就需要正確列出樣本點，樣本點的表示方法有列舉法(列表法、樹狀圖

法)以及排列、組合法.

變式2(1)(2025?鄭州二檢)某高校計劃安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名

教師到4所不同的高中學校進行宣講，每個學校至少安排1人，其中甲、乙必須

安排在同一個學校的概率為()

2「2

A-13B-TT

(2)(2025?廣州二模)一個袋子里有大小和質(zhì)地相同的4個球,標號為1,23,4,

從中有放回地隨機取球，每次取1個球，共取4次，把每次取出的球的標號排成

一列數(shù)，則這列數(shù)中恰有3個不同整數(shù)的概率為.

隨堂內(nèi)化

1.已知隨機事件A和B互斥，且P(AU8)=0.7,P(B)=0.2,則P(A)=

()

A.0.5B.0.1

C.0.7D.0.8

2.口袋中裝有編號為1,2的兩個紅球和編號為123,4,5的五個黑球，小球

除顏色、編號外，形狀、大小完全相同，現(xiàn)從中取出1個小球，記事件A為“取

到的小球的編號為1”，事件8為“取到的小球是黑球”，則下列說法正確的是

A.A與8互斥B.A與8對立

C.+D.P（AB）=^

3.（2025-安陽三模）某校從2名女生和4名男生中選出3人去參加一項創(chuàng)

新大賽，則選出的3人中至少有1名女生的概率為（）

4.（2025?茂名一模）在一個箱子中放5個白球，3個紅球，搖勻后采用不放

回方式隨機摸球3次，每次一個，第3次摸到紅球的概率是（）

3

A

?8一3

-

5176

CB.

?D.

2824

配套精練

一、單項選擇題

I.（2023-全國甲卷文）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2

名.從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的

概率為（）

A-6B-I

12

C--

2D.3

2.（2025?佛山二模）學校舉辦籃球賽，將6支球隊平均分成甲、乙兩組，則

兩支最強的球隊被分在不同組的概率為（）

12

A--

5B.5

3.（2025?遼寧省二調(diào)）設集合S中有1（）個元素，從S中每次隨機選取1個

元素，取出后還放回到S中，則取5次后所取出的元素有重復的概率是（保留兩

位有效數(shù)字）（）

A.0.50B.0.55

C.0.70D.0.85

4.（2025?石家莊三模）己知隨機事件4,B,B表示事件B的對立事件，P（A）

=0.4,P（B）=0.6,則下面結論正確的是（）

A.事件A與8一定是對立事件

B.P（AUB）=1

C.P（AB）=0.24

D.若事件A,8相互獨立，則P（AE）=0.16

二、多項選擇題

5.有甲、乙兩種報紙供市民訂閱，記事件E為“只訂甲報紙”，事件尸為

“至少訂一種報紙”，事件G為“至多訂一種報紙"，事件”為“不訂甲報紙”，

事件/為“一種報紙也不訂”.下列說法正確的是（）

A.E與G是互斥事件

B.尸與/是互斥事件，且是對立事件

C.b與G不是互斥事件

D.G與/是互斥事件

6.某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表:

投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)

10()5518

記該籃球運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件4,投中三分球為事件8,

沒投中為事件C,用頻率估計概率，則下述結論正確的是（）

A.P(A)=().55B.P(5)=().18

C.P(C)=0.27D.P(區(qū)+0=0.55

三、填空題

7.（2025?八省聯(lián)考）有8張卡片,分別標有數(shù)字123,4,5,6,7,8,現(xiàn)從這8張

卡片中隨機抽出3張，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字

之和相等的概率為.

8.（2025?保定期末）隨機數(shù)選擇器每次只能從1,2,3,4,5,678,9這九個數(shù)字

中選一個數(shù)，且以相等的概率做選擇，那么在2次選擇后，選出的2個數(shù)的乘積

能被1（）整除的概率為.

9.（2025?威海期末）已知甲、乙兩人投籃命中率分別為小并且他們投籃

互不影響，現(xiàn)每人投籃2次，則甲比乙進球數(shù)多的概率為.

10.（2026?蘇州期初）在1,2,3,???,9中隨機選出一個數(shù)處在一1,-2,

—3,…，-9中隨機選出一個數(shù)4