2027年中考數學復習：圓的綜合訓練（含答案）

2027中考數學培優專題圓的綜合訓練

一、選擇題（本大題共12道小題）

1.將圓心角為90。，面積為4〃的扇形圍成一個圓錐的側面，則此圓錐的底

面圓的半徑為（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

2.120。的圓心角所對的弧長是6〃，則此弧所在圓的半徑是（）

A.3及4C.9D.18

3.正八邊形的中心角是（）

A.45°B.135°C.360°D.1080°

4.如圖，0（9的直徑AB垂直于弦CD垂足是點E,NC4O=22.5。，OC=6,則

CO的長為（)

A.6也B.3啦D.12

5.如圖，AB是00的直徑，點C,D,E在。O上.若NAED=20。，貝ijNBCD的度數為（）

A.100°B.ll(rC.115°D.120°

6.己知。。的半徑為5cm,圓心。到直線/的距離為5cm,則直線/與。O的位置關系為

（）

A.相交B.相切

C.相離D.無法確定

7.（2026?婁底）如圖，邊長為26的等邊△A3。的內切圓的半徑為

c

B.5/3

C.2D.273

8.如圖，AP為。O的切線，P為切點,若NA=20。，C、D為圓周上兩點，且

NPDC=60。，則NOBC等于（）

4.55°B.65°C.70°D.75°

9.《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有下列問題：“今有勾八步，股

十五步，問勾中容圓徑幾何.”其意思是：”今有直角三角形（如圖），勾（短直角邊）長為8步,

股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形能容納的圓形（內切圓）的直徑是多少答案是

A.3步B.5步C.6步D.8步

10.如圖，一個邊長為4cm的等邊三角形ABC的高與。O的直徑相等.。。與

BC相切于點C,與AC相交于點E,則CE的長為（)

A.4cmB.3cmD.1.5cm

11.如圖，點A,B,S在圓上，若弦AB的長度等于圓半徑的色倍，則NASB的度數是（）

s

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

12.如圖，數軸上有A,B,C三點，點A,C關于點B對稱，以原點。為圓心作

圓，若點A,B,C分別在。。外、。。內、。0上，則原點。的位置應該在（）

4pg,

圖

A.點A與點B之間靠近點A

B.點4與點B之間靠近點B

C.點P與點。之間靠近點B

D.點B與點。之間靠近點C

二、填空題（本大題共12道小題）

13.如圖，A8為。。的直徑，圓周角乙48c=40。，當NBCD=。時，CD

為。。的切線.

14.（2026,福建）一個扇形的圓心角是90。，半徑為4,則這個扇形的面積為

（結果保留萬）

15.如圖，A8是。。的直徑，。。交8C于點。，DELAC,垂足為￡,要使OE

是的切線，則圖中的線段應滿足的條件是____________.

16.如圖，從。O外一點A引圓的切線AB,切點為B,連接AO并延長交。O于點C,連

接BC.若NA=26。，則NC的度數為.

17.（2026?荊門）如圖7所示的扇形AOB中，OA=OB=2,NAO8=90。，C為上

一點，乙4。。=30。，連接8C,過C作。A的垂線交A。于點。，則圖中陰影部

分的面積為.

0

18.（2026?婁底）如圖，C、D兩點在以AB為直徑的圓上，AB=2,ZACD=30°,

則AD=.

19.如圖所不，有一直徑是娘米的圓形鐵皮，現從中剪出一個圓心角是90。的最大扇形

ABC,則：

（DAB的長為米；

（2）用該扇形鐵皮圍成一個圓錐，所得圓錐的底面圓的半徑為米.

3

20.如圖，圓錐的母線長0A=6,底面圓的半徑為^一只小蟲在圓錐底面的點A

處繞圓錐側面一周又回到點A處，則小蟲所走的最短路程為.（結果保

留根號）

o

21.（2026?貴港）如圖，在扇形OAB中，半徑。4與03的夾角為120。，點A與點8

的距離為2有，若扇形OA〃恰好是一個圓錐的側面展開圖，則該圓錐的底面半

22.已知00的半徑為2,弦BC=2小，A是。O上一點，且a=/，直線AO與BC交

于點D,則AD的長為.

23.如圖，正方形A4CO的邊長為8,M是A6的中點，。是8c邊上的動點，連接PM,以

點P為圓心，PM長為半徑作。P.當。P與正方形人BCO的邊相切時，8P的長為.

24.（2026?成都汝I圖，六邊形A8CQ竺是正六邊形，曲線?山心"日為…叫做“正

六邊形的漸開線”，FAV4瓦，8工1，cR,D^EV/i，…的圓心依次按A,

B,C,D,E,尸循環，且每段弧所對的圓心角均為正六邊形的一個外角.當A8

=1時，曲線曲閏GD化的的長度是.

三、解答題（本大題共6道小題）

25.如圖，在等腰三角形A8C中，A8=AC.以AC為直徑作。。交8C于點。，過

點。作力EJ_A8,垂足為E.

(1)求證:DE是。。的切線.

(2)若DE=小,ZC=30°,求小的長.

26.(2026.河北)如圖13,點。為中點，分別延長04到點C,08到點。，使

0C=0D,以點O為圓心，分別以040C為半徑在。上方作兩個半圓，點P

為小半圓上任一點(不與點4,B重合)，連接0P并延長交大半圓于點E,連

接AE,CP.

(1)①求證：△尸0C；

②寫出Nl,N2和NC三者間的數量關系，并說明理由.

(2)若OC=2OA=2,當NC最大時，直接指出。月與小半圓的位置關系，并求此

時S扇形EOO(答案保留江).

27.如圖，P是0O上的一點.

(1)在。O上求作一點B,使PB是。。的內接正三角形的一邊;

⑵在崩上求作一點A,使以是。。的內接正方形的一邊；

(3)連接0B,求NA08的度數；

(4)求作。。的內接正十二邊形.

28.(2026?內江)如圖，AB是。。的直徑，。是0。上一點，ODABC于點、D,

過點C作。O的切線，交O。的延長線于點E,連結8E.

(1)求證：BE是。O的切線；

(2)設OE交。O于點尸，若DF=2,BC=4x/3,求線段政的長；

(3)在(2)的條件下，求陰影部分的面積.

29.2025?天津如圖，已知是。。的直徑，弦C。與八8相交，Z/MC=38°.

(I)如圖①，若。為前的中點，求/A/3C和NA/D的大小；

(2)如圖②，過點。作。O的切線，與A8的延長線交于點P,DP//AC,求NOCO的大

小.

30.如圖，AB為。。的直徑，P點為半徑。4上異于點。和點A的一個點，過尸

點作與直徑A6垂直的弦8,連接A。，作BE_LA&OE//AD交BE于E點,連

接AE、DE,AE交CD于點、F.

(1)求證：。E為。。的切線；

(2)若。0的半徑為3,sinNAQP=；,求40；

(3)請猜想尸尸與")的數量關系，并加以證明.

2027中考數學培優專題圓的綜合訓練.答案

一、選擇題(本大題共12道小題)

90-n-R2

1.【答案】A【解析】設扇形的半徑為凡根據題意得360-411'解得

90.n?4

R=4,設圓錐的底面圓的半徑為廣，則2元,=.，解得r=1,即所圍成的

1oU

圓錐的底面圓的半徑為1cm.

nJlr120H?r

2.【答案】C【解析】由扇形的弧長公式/=不行可得：6兀=「八，解得

1oU1oU

r=9.

3.【答案】A

4.【答案】A［解析］???NA=22.5。，

，NCOE=45。,

,/OO的直徑AB垂直于弦CD,

???NCEO=90。，CE=DE.

'：NC(%=45°,

:.CE=OE/OC=3啦,

；?CD=2CE=6也,故選A.

5.【答案】B［解析］連接AC.：AB為。O的直徑，.?.ZACB=90°.VZAED=20°,AZ

ACD=20°,???ZBCD=ZACB+ZACD=110。.故選B.

6.【答案】B

7.【答案】A

【解析】設△ABC的內心為O,連接AO、BO,CO的延長線交AB于H,如圖,

???3c為等邊三角形，

???CH平分/8C4,A0平分/8C4,丁AABC為等邊三角形，

AZG4B=60°,CH1AB,：.ZOAH=30°,AH=BH」AB=6

2

CHF\

在RlAAOH中，VtanZOAH=——=tan30°,AOH=—xV3=l,

AH3

即△ABC內切圓的半徑為1.故選A.

8.【答案】B【解析】連接OP,如解圖，則0尸，八2???/。=60。，.??/。。2=

0

120°,VZ/l-20,ZAPO-90%工N八。0一70。，AZAOC~50°fYOB—OC,

/1800-50°

???ZOBC=-------------=65°.

9.【答案】C

10.【答案】B［解析］如圖，連接OC,并過點。作ObJ_CE于點F.

???△ABC為等邊三角形，邊長為4cm,

.,?△ABC的高為2小cm,：.OC=\［3cm.

又???。。與BC相切于點C,NACB=60°,

：.ZOCF=30°.

在RtAOFC中，可得FC=|cm,

：.CE=2FC=3cm,

11.【答案】C［解析］設圓心為0,連接OA,OB,如圖.

???弦AB的長度等于圓半徑的吸倍,

即AB=，k)A,???AB2=2OA2.

VOA=OB,.\AB2=OA2+OB2,

???△OAB為等腰直角三角形，ZAOB=90°,

，/ASB=g/AOB=45。.故選C.

12.【答案】C［解析］如圖.

二、填空題(本大題共12道小題)

13.【答案】50［解析］連接0C.

VOC=OB,：.ZOCB=ZABC=40°.

*：ZBCD=50°,：.ZOCD=90Q，

???CO為。。的切線.

14.【答案】4〃

90^-x42

【解析】本題考查了扇形面積的計算，s=：八二44.

360

15.【答案】8O=CO或A8=AC(答案不唯一)

［解析］(1)連接0D要使OE是。。的切線，結合。E_LAC,只需。O〃AC,根據

。是A8的中點，只需BQ=C。即可；

(2)根據(1)中探求的條件，要使則連接A。，由于NA06=9O°,只需

A8=AC,根據等腰三角形的三線合一即可.

16.【答案】32。［解析］連接0B,由切線的性質得OB_L

ZAOB=900-ZA=90°-26°=64°.

XVOB=OC,

，ZC=1ZAOB=5X64°=32°.

17.【答案】々兀一坐

【解析】VOC=OA=2fNAOC=30。，I.N30c=6()。，CD=1,OD=日：.

2

S明彰=SAOCO+S弓BC=JxGx］+一坐X2=々兀一有.

LJoU432

18.【答案】1

【解析】:AB為直徑，AZADB=90°fVZB=ZACD=30°,

AD=-AB=-x2=\.

22

故答案為：1.

19.【答案】(1)1(2)|［解析］⑴如圖，連接BC.

VZBAC=90°,

???BC為。。的直徑，即BC=，1

VAB=AC,AB2+AC2=BC2=2,

，AB=1(米).

⑵設所得圓錐的底面圓的半徑為r米.

根據題意，得2口=9玉0-7T/-1，

解得r=1.

20.【答案】仍6近［解析］圓錐側面展開圖圖示，則AA，為小蟲所走的最短路

徑.

TlJ

??,圓錐底面圓的半徑為米3

3

，圓錐的底面周長為2兀x/=3兀

設圓錐的側面展開圖圓心角為"。，則暇舁=3兀，解得〃=90,即NAOA，=90。.

IOU

又???0A=04=6,

：.AA,=y[2OA=6也

4

21.【答案】-

3

【解析】如圖，連接48,過。作QMJ_45于

34MB

VZAOB=120°,OA=OB,

：.ZBAO=30°,AM=0???OA=2,

..2407rx2..4口小生、14

?—r-：―=2"，-?r=T?故答案為：—?

1oU55

22.【答案】3或1［解析］如圖所示:

圖①圖②

TOO的半徑為2,弦BC=2小，A是。O上一點，且靠=公,

AAO1BC,垂足為D,

則BD=5BC=V3.

在RtZ^OBD中,

,?，BD2+OD2=OB2,

即（小）2+OD2=22,

解得OD=1.

，當點A在如圖①所示的位置時，AD=OA-OD=2-1=1；

當點A在如圖②所示的位置時，AD=OA+OD=2+1=3.

23.【答案】3或4［解析］如圖①，當0P與。邊相切時，設PC=PM=x.

在RtAPBM中,

???/=42+(8—1)2,

.??x=5,PC=5f

,BP=BC-PC=8-5=3.

設切點為K,連接PK,則四邊形

尸KDC是矩形,

:,PM=PK=CD=2BM,

PM=8,

在RIAPBM中，8尸=符二不=4小.

綜上所述，8。的長為3或44.

24.【答案】7兀

60?TT?11T

【解析】利用弧長公式計算即可解決問題.解：FA1的長=

60-TT?22n60-TT?33TT■?,,..60?TT?44TT

A]Bi的長=180=T,B￡i的長180=9,JDi的長=F5-=T

,,..60?TT-55K....60-TT-66TT

DIEI的長=180=予EFi的長=180=可，

...曲線FA1B1C1D1E1F1的長度=彳+可+…+了=亍=7兀，故答案為7兀.

三、解答題（本大題共6道小題）

2s.【答案】

解:⑴證明:如圖，連接O。,

*：OC=OD,AB=AC,

AZ1=ZC,ZC=ZB.

：.Z\=ZB.

〈DE工AB,：.Z2+ZB=90°,

AZ2+Z1=9O°,

???ZODE=90°f.,?QE為。。的切線.

（2）連接AD,

VAC為OO的直徑，，ZADC=90°.

TAB=AC,ZB=ZC=30°,BD=CD.

：.ZAOD=60Q.

,:DE=?

；.BD=CD=25

??.OC=2,

.---'rJ[/602

??ADH勺長二談x2二§兀

26.【答案】

解：解：（1）①證明：?.?OA=OB,OE=OC,ZAOE=ZPOC,/.AAOE^APOC：

&N1+NON2.理由：VAAOE^APOC,AZE=ZC.VZ1+ZE=Z2,AZ

1+ZC=Z2.

（2）相切.

如圖，TCP與小半圓相切，???CP_LOP.

在RtZ\OPC中，VOP=1,OC=2,ACOSZCOP=2,ZCOP=60°.

120^-x224乃

-------------=—

???/口0￡=120。.???5扇形￡0口=3603.

【解析】本題考查了平行四邊形的性質、垂直的性質、三角形內角和定理、平行

線的性質和全等三角形的判定和性質等知識.（1）在aAOE中，由NAEO和N

AOE的度數求得NEAO的度數，再由AC平分NDAE求得NOAD的度數，進而由

AD〃BC得到NACB=NOAD,問題得解；(2)先根據AAS證明△AEO絲△CFO,

再根據相似三角形對應邊相等得到AE=CF.

27.【答案】

解：(1)如圖①，以點P為圓心，OP長為半徑畫圓弧交。O于點M,再以點M

為圓心，。歷長為半徑畫圓弧交。。于點B,連接PB,則PB即為所求.

(2)如圖①，作直徑依7,再過圓心作直徑P"的垂線交崩于點4連接以，則

PA即為所求.

(3Y：PA是。。的內接王方形的一邊，

：.ZAOP=90°.

?；PB是。。的內接正三角形的一邊，

；./BOP=120°,：.ZAOB=30°.

(4)如圖②，以點P為圓心，0尸長為半徑在。。上依次截取5個點，這5個點連

同點P是。。的六等分點，再作各弧的中點，順次連接12個點，得到。。的內

接正十二邊形.

28.【答案】

(1)證明：連接OC,如圖，???ODJ_BC,??.CD=BD,???OE為BC的垂直平分

線，

AEB=EC,.e.ZEBC=ZECB,VOB=OC,AZOBC=ZOCB,

AZOBC+ZEBC=ZOCB+ZECB,即NOBE=NOCE,〈CE為。O的切線,A

OC1CE,AZOCE=90°,

AZOBE=90°,AOBIBE,...BE與。0相切.

(2)設。0的半徑為R,則OD二R-DF=R-2,OB二R,在RlZ\OBD中，

BD弓BC=2百

VOD2+BD2=OB2,A(/?-2)2+(2^)2=/?2,解得R=4,AOD=2,0B=4,

.e.ZOBD=30°,AZBOD=60°,???在RtZ^OBE中，ZBEO=30°,OE=2OB=8,

EF=OE-OF=8-4=4,艮EF=4:

(3)由NOCD=NOBD=30。和OD_LBC知：ZCOD=ZBOD=60°,

.-.ZBOC=120o,XBC=4>/3,OE=8,

S陰影二S四邊形OBE。-S由形08c=gx8x4A/3-?

=166-％

【解析】本題考查了切線的判定與性質、垂徑定理、扇形面積的計算、含30。角

的直角三角形邊角關系、勾股定理等知識，熟練掌握每個知識點是解答的關鍵.

(1)連接OC,如圖，根據垂徑定理由OD_LBC得到CD二BD,則OE為BC的

垂直平分線，所以EB二EC,根據等腰三角形的性質得NEBO/ECB,加上/

OBONOCB,則NOBE=NOCE；再根據切線的性質得NOCE=90。，所以/

OBE=90°,然后根據切線的判定定理得BE與。O相切；

(2)設。。的半徑為R,則OD=R-DF=R-2,OB=