2025-2026學年遼寧省沈陽市東北育才高三下學期考前模擬數學試卷-含解析

/數學滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設是平面內的一個基底，下列不可以作為平面內基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和3.已知雙曲線焦距為，頂點到漸近線的距離為，則離心率為（）A. B. C. D.24.已知數列是等差數列，且，，則（）A.1 B.2 C.3 D.55.已知直線與，則“”是“”的（）A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件6.已知，則下列說法正確的是（）A. B.C.除以5所得的余數是1 D.7.中，的對邊分別為，若且，則的形狀是（）A.頂角為的等腰三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.頂角為的等腰三角形8.在一次數學考試中，有一道滿分為15分的立體幾何題．某學習小組6名同學這題的得分為，且有，已知這6名同學的80%分位數和平均分都是12分，則該6名同學答題得分的極差為（）A.3 B.4 C.5 D.6二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數的實部為，則下列說法正確的是（）A.復數的虛部為 B.在復平面內對應的點位于第三象限C. D.復數的共軛復數10.已知函數，則下列結論正確的是（）A.是函數定義域內的極小值點. B.的單調減區間是.C.在定義域內無最小值，無最大值. D..11.在棱長為2的正方體中，點是棱的中點，點在正方形內部（不含邊界）運動，若平面，則（）A.點的軌跡經過線段的中點B.點的軌跡長度為C.直線與直線為異面直線D.三棱錐的體積為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若定義在上的奇函數滿足時，，則________．13.已知拋物線的焦點為，點在上.若，則到軸的距離為__________.14.已知數列滿足，，則________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設向量，，函數.（1）求的單調減區間；（2）在中，若角滿足，且邊，求周長的取值范圍.16.2026年是農歷馬年，在春晚舞臺上，宇樹機器人的精彩表演贏得了全國觀眾的喝彩.某企業為宇樹機器人生產一種關鍵部件，此企業生產的部件質量按等級劃分為六個層級，分別對應如下六組質量指標值：，，，，，．根據大量檢測結果，得到部件的質量指標值X服從正態分布，并把質量指標值不小于的產品稱為A等品，其它產品稱為B等品.現從該部件的生產線中隨機抽取100件作為樣本，統計得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據大量檢測結果，該部件質量指標值的標準差s的近似值為，用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差s作為的估計值.若從生產線中任取一個部件，試從質量指標值X服從正態分布的角度估計該部件為A等品的概率（保留小數點后面兩位有效數字）；①同一組中的數據用該組區間的中點值代表；②參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，．）（2）（ⅰ）從樣本的質量指標值在和的部件中隨機抽取3件，記其中質量指標值在的部件件數為，求的分布列和數學期望；（ⅱ）該企業為節省檢測成本，采用隨機混裝的方式將所有的部件按100件一箱包裝.已知一件A等品部件的利潤是元，一件B等品部件的利潤是元，根據（1）的計算結果，試求x的值，使得每箱產品的利潤最大.17.如圖，在中，是的中點，是上的點，.將沿折起，使點至點處，且二面角的大小為，設是上靠近的三等分點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.18.已知橢圓的離心率為，橢圓的左?右頂點分別為.過點的直線與橢圓的交點分別為，當直線垂直于軸時，.（1）求橢圓的方程；（2）直線的斜率與直線的斜率的乘積是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由；（3）直線與直線的交點為，過坐標原點作平行于直線的直線與直線相交于點，求的值.19.已知函數.（1）若，求的取值范圍；（2）當時，（i）若，求證：；（ii）記，求證：.數學滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.答案：A解析：解答過程：因為，，所以.2.設是平面內的一個基底，下列不可以作為平面內基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和答案：B解析：思路：由平面向量基底定義可判斷選項正誤.解答過程：平面內不共線的一組向量可作為一組基底，則不可以作為基底的兩向量共線.對于A，假設兩向量共線，則存在實數，使，顯然不存在，故這組向量可作為一組基底，A錯誤；對于B，假設兩向量共線，則存在實數，使，顯然滿足等式，故這組向量共線，B正確；對于C，假設兩向量共線，則存在實數，使，顯然不存在，故這組向量可作為一組基底，C錯誤；對于D，假設兩向量共線，則存在實數，使，顯然不存在，故這組向量可作為一組基底，D錯誤.3.已知雙曲線焦距為，頂點到漸近線的距離為，則離心率為（）A. B. C. D.2答案：A解析：思路：由雙曲線的漸近線及點到直線距離公式得出，即可求解離心率．解答過程：設雙曲線的漸近線為，頂點坐標為，則頂點到漸近線的距離，所以離心率．4.已知數列是等差數列，且，，則（）A.1 B.2 C.3 D.5答案：D解析：思路：應用等差數列下標和性質結合等差數列求和公式計算求解.解答過程：數列是等差數列，且，，所以，則.5.已知直線與，則“”是“”的（）A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件答案：C解析：思路：借助直線平行的性質及充分條件與必要條件定義計算即可得.解答過程：若，則，解得或，當時，，兩直線重合，不符；當時，，符合題意；所以，即“”是“”的充要條件.6.已知，則下列說法正確的是（）A. B.C.除以5所得的余數是1 D.答案：C解析：思路：根據二項展開式的形式，結合選項，合理利用賦值法求解，即可得到答案.解答過程：對于A，令，可得，所以A錯誤；對于B，令，可得，因為，所以，所以B錯誤；對于C，由，所以除以5所得的余數是，所以C正確；對于D，由二項式展開式的通項為，可得為正數，為負數，所以，令，可得，因為，所以，所以D錯誤.7.中，的對邊分別為，若且，則的形狀是（）A.頂角為的等腰三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.頂角為的等腰三角形答案：C解析：思路：由向量條件可先證得，即是以為頂角的等腰三角形；再結合面積條件求出，故該三角形為等腰直角三角形.解答過程：由題意，，又因為，所以，展開得，因為，代入上式，得，即，整理得，由于三角形內角滿足，故，于是，即，所以是以為頂角的等腰三角形.由且，得另一方面，又由余弦定理，從而得到，解得，即，即，所以，因為，所以，故，于是，從而，因此是等腰直角三角形.8.在一次數學考試中，有一道滿分為15分的立體幾何題．某學習小組6名同學這題的得分為，且有，已知這6名同學的80%分位數和平均分都是12分，則該6名同學答題得分的極差為（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：C解析：解答過程：因為，所以，又，所以，即，因為，所以的值可能是13，14，15，當時，，因為，且為整數，所以不可能；當時，，因為，且為整數，所以不可能;當時，，因為，且為整數，所以當且僅當時，.此時.所以所求極差為.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數的實部為，則下列說法正確的是（）A.復數的虛部為 B.在復平面內對應的點位于第三象限C. D.復數的共軛復數答案：ABC解析：思路：利用復數乘法運算，復數相關的概念，復數對應點的坐標的特性，復數模的計算公式和共軛復數的概念逐項分析即可.解答過程：因為，且復數的實部為，所以，解得：，所以，對于A，由，所以復數的虛部為，故A正確；對于B，由復數在復平面內對應的點為，該點位于第三象限，故B正確；對于C，由，故C正確；對于D，由復數的共軛復數，故D錯誤.10.已知函數，則下列結論正確的是（）A.是函數定義域內的極小值點. B.的單調減區間是.C.在定義域內無最小值，無最大值. D..答案：ACD解析：思路：應用導函數計算單調性及極值判斷A，應用單調性判斷B，應用極值及數形結合判斷C，根據結合函數的單調性可判斷D.解答過程：對于A，定義域為，，令可得，當時，，為減函數；當時，，為增函數；所以是函數的極小值點，A正確；對于B，由A可知當時，，為減函數，所以的單調減區間是和，B不正確；對于C，由前面分析，的單調減區間是和，增區間為，極小值為e，當時，，當時，，當時，，簡圖如下，由圖可知，在定義域內無最小值，也無最大值，C正確，對于D，由題可得，由于增區間為，所以，故，即D正確.11.在棱長為2的正方體中，點是棱的中點，點在正方形內部（不含邊界）運動，若平面，則（）A.點的軌跡經過線段的中點B.點的軌跡長度為C.直線與直線為異面直線D.三棱錐的體積為定值答案：ACD解析：思路：取的中點，連接，根據條件可得點的軌跡為線段（不含端點），即可判斷出A和B的正誤；對C：根據異面直線的判定定理分析判斷；對D，利用等體積法，即可求解.解答過程：如圖，取的中點，連接，，則，且平面，平面，所以平面.又因為是中點，則，且平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.又平面，則平面，又點在正方形內部（不含邊界）運動，且平面平面，所以點的軌跡為線段（不含端點）.對于A，連接，由正方體的性質易知與相交，且交點為的中點，所以A正確；對于B，因為，所以點的軌跡長度為，故B錯誤；對于C，因為平面，平面，，所以直線與直線為異面直線，故C正確；對于D，因為平面，點是棱的中點，則，所以D正確；三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若定義在上的奇函數滿足時，，則________．答案：解析：思路：由奇函數的性質求出a，再利用函數的奇偶性及題中所給解析式進行求解.解答過程：由題意知，解得，因為，所以．故答案為：13.已知拋物線的焦點為，點在上.若，則到軸的距離為__________.答案：1解析：思路：首先求出拋物線的準線方程，利用拋物線定義得到點到準線的距離，計算到軸的距離.解答過程：拋物線的準線方程為，點在上.若，設，所以點到準線的距離為，即，，到軸的距離為.14.已知數列滿足，，則________．答案：解析：思路：構造數列，根據遞推關系，可得，利用等比數列通項公式求出，分組求和即可得解.解答過程：因為，所以，令，則，所以，則，所以，又，所以是以為首項，公比為的等比數列，所以，即，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設向量，，函數.（1）求的單調減區間；（2）在中，若角滿足，且邊，求周長的取值范圍.答案：（1）的單調減區間為，.（2）解析：思路：（1）先利用向量數量積坐標運算求出表達式，再用三角恒等變換把式子化成的形式再結合正弦函數單調遞減區間列不等式，解出的范圍即可得到單調減區間.（2）先代入求出角的大小，再由已知邊結合正弦定理把另外兩邊轉化為角的正弦形式，將周長整理為單一三角函數形式，最后根據角的范圍求出三角函數值域，進而得到三角形周長的取值范圍.（1）.由，，解得，.所以的單調減區間為，.（2）由，得，即.因為，所以，即.已知，由正弦定理.所以，.又，，則周長.由，得，所以.即周長的取值范圍是.16.2026年是農歷馬年，在春晚舞臺上，宇樹機器人的精彩表演贏得了全國觀眾的喝彩.某企業為宇樹機器人生產一種關鍵部件，此企業生產的部件質量按等級劃分為六個層級，分別對應如下六組質量指標值：，，，，，．根據大量檢測結果，得到部件的質量指標值X服從正態分布，并把質量指標值不小于的產品稱為A等品，其它產品稱為B等品.現從該部件的生產線中隨機抽取100件作為樣本，統計得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據大量檢測結果，該部件質量指標值的標準差s的近似值為，用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差s作為的估計值.若從生產線中任取一個部件，試從質量指標值X服從正態分布的角度估計該部件為A等品的概率（保留小數點后面兩位有效數字）；①同一組中的數據用該組區間的中點值代表；②參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，．）（2）（ⅰ）從樣本的質量指標值在和的部件中隨機抽取3件，記其中質量指標值在的部件件數為，求的分布列和數學期望；（ⅱ）該企業為節省檢測成本，采用隨機混裝的方式將所有的部件按100件一箱包裝.已知一件A等品部件的利潤是元，一件B等品部件的利潤是元，根據（1）的計算結果，試求x的值，使得每箱產品的利潤最大.答案：（1）（2）（ⅰ）分布列見解析，期望；（ⅱ）時利潤最大.解析：思路：（1）根據直方圖先算出平均值，進而得到正態分布，利用正態曲線的對稱性求出概率即可；（2）（ⅰ）求出指標值在和的總件數，在的件數，然后根據步驟結合超幾何分布的公式計算；（ⅱ）設設每箱產品的利潤為，其中有件等品，用表示出的關系式，得到利潤表達式，最后利用導數的工具求出關于利潤函數時取最大值時的取值.（1）根據直方圖可得，，由題知，，則，等品的質量指標值不小于，即.（2）（ⅰ）指標值在和的總件數為，指標值在的件數是，由題知，可能的取值是.，，，，分布列為：.（ⅱ）設每箱產品的利潤為，其中有件等品，由題知，，由（1）知，等品的概率為，則，于是，，記，則，則遞增，遞減，故當時利潤最大.17.如圖，在中，是的中點，是上的點，.將沿折起，使點至點處，且二面角的大小為，設是上靠近的三等分點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.答案：（1）證明如下：如圖，在中，取中點，連接，因為，所以，又，所以是的中點，因為是的中點，所以，且，因為是上靠近的三等分點，所以，所以，由，平面，平面知平面，由，平面，平面知平面，因為，，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面；（2）解析：（1）略（2）在中，作，垂足為，在中，由是中點，，可得，將沿折起，使點至點處，且二面角的大小為，則，所以是二面角的平面角，，所以，因為平面，所以平面，又平面，所以平面平面，所以平面，如圖，以為原點，過平行于的直線為軸，分別為軸和軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，設平面的法向量為，因為，，所以，，取得．同樣可求得平面的一個法向量，設平面與平面所成二面角為，則，故．18.已知橢圓的離心率為，橢圓的左?右頂點分別為.過點的直線與橢圓的交點分別為，當直線垂直于軸時，.（1）求橢圓的方程；（2）直線的斜率與直線的斜率的乘積是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由；（3）直線與直線的交點為，過坐標原點作平行于直線的直線與直線相交于點，求的值.答案：（1）（2）是，（3）24解析：思路：（1）由直線垂直于軸時知橢圓經過點，結合離心率列出關于的方程組，解得即得橢圓方程；（2）設直線的方程為，代入并根據韋達定理求得，再求出kA1M?kA1N，將（3）由（2）中韋達定理可得到，分別求出直線、并聯立得到，解得，設點的坐標為，根據點在和上，求出直線和的方程，進而求出點的坐標，即可求得.（1）因為橢圓的離心