集合與常用邏輯用語 全章綜合測試卷（基礎篇）-人教A版高中數學必修第一冊（解析版）

第一章集合與常用邏輯用語全章綜合測試卷（基礎篇）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）（23-24高一上.河北.階段練習）下列對象能構成集合的是（）

A.本班成績較好的同學全體B.與10接近的實數全體

C.絕對值小于5的整數全體D.本班興趣廣泛的學生

【解題思路】根據集合的概念逐項判斷即可.

【解答過程】對于A,成績較好不是一個確定的概念，不能構成集合，故A不符合；

對于B,與10接近的不是一個確定的概念，不能構成集合，故B不符合；

對于C,絕對值小于5的整數全體是個明確的概念，并且給定?個元素能確定是否屬于這個整體，故能構成

集合，故C符合：

對于D,興趣廣泛的不是一個確定的概念，不能構成集合，故D不符合.

故選：C.

2.（5分）（23-24高二下.江西贛州.期末）已知命題p:Vx>0,e”工x+1,則為（）

A.Vx<0,ex<%4-1B.Vx>0,ex<x+1

C.3x<0,ex<x+1D.3%>0,ex<%+1

【解題思路】全稱量詞命題的否定，首先把全稱量詞改成存在量詞，然后把后面結論改否定即可.

【解答過程】因為命題口："4>0,那工工+1是全稱量詞命題，則命題「p為存在量詞命題，

由全稱量詞命題的否定得，命題「p：3x>0,ex<x+l.

故選：D.

3.（5分）（23-24高二下.廣東梅州.期末）若％,y€R,則“x>y”是>丫2，，的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充分必要

【解題思路】舉反例可得結論.

【解答過程】由3>-4,得不出32>（—4）2,

所以七>y”是2>婷，的不充分條件，

又（-3）2>22,得不出一3>2,

所以氣>y”是2>y2，，的不必要條件，

所以">y”是"/>y2，，的既不充分也不必要條件.

故選:C.

4.（5分）（23-24高一上.廣東韶關.階段練習）若力={x|/=x},則下列說法正確的是（）

A.B.{1）=71

C.{-1,1}QAD.{0}QA

【解題思路】求出集合A后，根據集合間的關系逐項判斷即可.

【解答過程】4={%|=2=行={0,1},{0}是以空集為元素的集合，不是集合A的子集，故A錯誤；

{1}工[0,1},故B錯誤;-1{0.1},故C錯誤；0G{0,1},故D正確.

故選：D.

5.（5分）（23-24高三下.江西.階段練習）已知<={X|%2—QX+IWO},若2W/1,且3￡4則a的取值

范圍是（）

A?儲）B.（消C.生+8）D.（-哨

【解題思路】根據題目條件得到不等式，求山答案.

【解答過程】由題意得4一2。+1工0且9-3。+1>0,解得qWavg.

故選：A.

6.（5分）（23-24高二下?重慶?期末）已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={3,4,5],則力U（FAC）=（）

A.{3}B.{1,2,3,4}C.{1,235}D.{1,234,5}

【解題思路】利用集合的交集的運算得到Bnc,再由集合的并集運算得到AU（Bnc）.

【解答過程】因為2={234},C={3,4,5）,

所以8nC={3,4},又4={1,2,3},

所以AU（BnC）={l,2,3,4）.

故選：B.

7.（5分）（23-24高二下?內蒙古呼和浩特?期末）若命題“VxER,/一4%+Q裝0”為假命題，則實數Q的

取值范圍是（）

A.（—co,4]B.（—8,4）C.（—00,-4）D.[—4,H-oo）

【解題思路】依題意可得FxER,/一4%+。=0，，是真命題，根據A工0求出參數的取值范圍.

【解答過程】因為/-4X+QH0”為假命題，

所以FxWR,x2-4x+a=0”是真命題，

即方程/-4%+。=0有實數根，則A=（-4）2-4aN0,解得a44,

即實數a的取值范圍是（一8,4].

故選：A.

8.（5分）（2024?新疆?三模）如圖，集合4,B均為U的子集，（Qmn（QB）表示的區域為（）

【解題思路】根據補集的運算性質及維恩圖得解.

【解答過程】因為（Q4）n（QB）=QUUB）,

由維恩圖可知，QG4U8）表示的區域為L

故選:A.

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）（23-24高一上?陜西漢中?期中）下列說法中不正確的是（）

A.。與｛0｝表示同一個集合；

B.集合｛1,2,3｝與｛3,2,1｝是兩個相同的集合；

C.方程（無-l）2（x-2）=0的所有解組成的集合可表示為｛112｝；

D.集合以14VXV5｝可以用列舉法表示.

【解題思路】根據集合與元素的關系及集合的表示一一判斷即可得結論.

【解答過程】0是元素不是集合，｛0｝表示以0為元素的一個集合，故A錯誤：

集合｛1,2,3｝與｛3,2,1｝的構成元素完全相同，所以是兩個相同的集合，故B正確：

方程1）2（%-2）=0的所有解組成的集合可表示為｛1,2｝,集合中的元素是不同的，故C錯誤；

集合｛x|4<%V5｝表示大于4小于5的全體實數，有無數個且無法一一列舉出來，故不可以用列舉法表示,

故D錯誤.

故選：ACD.

10.（5分）（23-24高.一上?內蒙占呼倫貝爾?期末）（多選題）下列命題是假命題的有（）

A.VxGR,x3>0B.3%GR,x3=3

C.3%€｛-2,-1,0,1,2）,|X-2|<2D.Va,b€R,方程ax+Z?=0恰有一解

【解題思路】根據全稱量詞命題和存在量詞命題，代入數值，即可判斷選項.

【解答過程】Aa=-1,（-1）3=-1<0,故A錯誤；

B.x3=3,得％=V3,故B正確；

C.當％=1和2時，滿足|%-2|<2成立，故C正確；

D.當。=0/=1時，方程為1=0,無解，故D錯誤.

故選：AD.

II.（5分）（23-24高二下.山東泰安?期末）下列敘述中不正確的是（）

A.若a,b,cwR,則“不等式a/+bx+cN0恒成立”的充要條件是“非一4ac<0"；

B.若a,b,cWR,則憶/>的2”的充要條件是“a>c”；

C."Q<1”是“方程/+%+a=0有一個正根和一個負根”的必要不充分條件；

D.“a>1”是是<1”的充分不必要條件.

a

【解題思路】對于AB,舉例判斷即可，對于C,當方程有一正根和一負根時，求出a的范圍，然后根據充

分條件和必要條件的定義分析判斷，對于由求出的范圍，然后根據充分條件和必要條件的定義分

D,aa

析判斷.

【解答過程】對于A,當Q<0時，若〃一4碇工0,則a/+bz+cW0恒成立，所以A錯誤，

對于B,當b=0時，由Q>c推不出ab?>”2,所以B錯誤，

對于C,當方程/+%+。=0有一個正根和一個負根時，有，石彳=。<、（\，解得av。，

<△=1-4a>0

因為a<0能推出a<1,而a<1不一定有Q<0,

所以“a<1”是“方程/+%+。=0有一個正根和一個負根”的必要不充分條件，所以C正確，

對于D,由2VI,得U<0,得aV0或a>1,

aa

所以“a>1”是a<「的充分不必要條件，所以D正確，

a

故選：AB.

12.（5分）（23?24高三上?河北衡水?階段練習）水知集合A={0,l},B={%|--2%+a=0,QeA},若集

合C滿足CcB且Cn400,則下列說法正確的是（）

A.8={1,2}B.B={0,1,2）

C.集合。的個數為6D.集合C的個數為5

【解題思路】解集合4中的方程，得集合3,由已知列舉出集合C,驗證選項即可.

【解答過程】a64當。=0時，方程/-2x+a=0的解為％=0或%=2；

當a=l時，方程為2一2x+a=0的解為％=1,

得8={0,1,2},A選項錯誤，B選項正確；

由且Cn4，0,則/={0},{1},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},共6個.

C選項正確，D選項錯誤.

故選：BC.

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）（23-24高一上?云南曲靖?階段練習）用描述法表示圖中的陰影部分（不含邊界）可以是_

【解題思路】看圖得出x，y的取循范圍，用集合的描述法表示出來即可.

【解答過程】由圖如，0<k<2,0<y<l,所以由集合的描述法可知（Q,y）|0<尤<2,0<y<1}.

故答案為：{（x,y）|0<x<2,0<y<1}.

14.（5分）（23-24高二下?重慶?階段練習）若不等式優—3|Wa成立的一個充分不必要條件是-1WxW7,

則實數a的取值范圍為（4.+8）.

【解題思路】根據絕對值不等式的解法，結合充分不必要條件的性質進行求解即可.

【解答過程】由1%-3|4Q=3-Q工工43+Q,

因為不等式1%-31<a成立的一個充分不必要條件是-1<x<7,

所以有等號不同時成立，a2%

當a=4時，一1三%工7是不等式3-3|Wa成立的充要條件，不符合題意，

所以a>4,實數Q的取值范圍為（4,+8）.

故答案為：（4,+00）.

15.（5分）（23-24高一上?福建莆田?階段練習）已知命題p：”VxG[1,2],x2-a>0”，命題q:“比￡R,/+

2ax+4=O'\若命題「p和命題q都是真命題，則實數a的取值范圍是[2,+8）.

【解題思路】根據題意，分別求得命題「p和命題q都是真命題時，實數a的取值范圍，列出不等式組，即可

求解.

22

【解答過程】由命題p:“VxG[1,2],x-a>0”,可得a<（x）min=1,

因為命題「p為真命題，所以a>l：

又由命題CR,x2\2ax14=0"，可得△=4a2-16>0,解得a>2或a<-2,

因為命題「p和命題q都是真命題，所以{a>2或QV_2，解得a之2,

所以實數a的取值范圍為［2,4-00）.

故答案為：［2,+8）.

16.（5分）（23-24高二下?浙江寧波?期末）已知集合用={2,0,-1},N={xI|x-a|<1}.若MnN的真

子集個數是3,則實數a的取值范圍是—l<avO.

【解題思路】MnW的真子集個數是3,所以共有2個元素?，分MC\N={-1,。}和時n/v={。,24兩種情況即

可解出答案.

【解答過程】MnN的真子集個數是3,MCN共有n個元素，所以2n-1=3,n=2.

N={x\|x-a|<1}={xIa—1<x<1+a］

若MCN={—1,O},則有，T<QVO；

若MrA={0,2},則有［T&J=1：°,無解.

綜上所述：實數a的取值范圍是一1<Q<0.

故答案為：—1<aV0.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）（2024高一上?全國?專題練習）用描述法表示下列集合：

（1）不等式2%-3<1的解組成的集合人

（2）被3除余2的正整數的集合8；

（3）（?={2,4,6,8,10）；

（4）平面直角坐標系中第二象限內的點組成的集合D.

【解題思路】（1）先確定集合A中的代表元素是數相再確定集合中代表元素滿足的條件2%-3<1即可解

答.

（2）先確定集合8中的代表元素是數x；再確定集合中代表元素滿足的條件工=3n+2,nWN即可解答.

（3）先確定集合。中的代表元素是數*再確定集合中代表元素滿足的條件％=2n,n<5,nGN*即可解答.

（4）先確定集合。中的代表元索是點（%,y）；再確定集合中代表元素滿足的條件》<0,y>0即可解答.

【解答過程】（1）因為不等式2%-3<1的解組成的集合為4

則集合力中的元素是數.

設代表元素為X，

則上滿足2%-3V1,

所以A={x\2x—3<1},即4=[x\x<2}.

(2)設被3除余2的數為x,

則x=3n4-2,neZ.

又因為元素為正整數，

故x=3n+2,neN.

所以被3除余2的正整數的集合B={x\x=3n+2,nGN)

(3)設偶數為x,

則％=2n,nGZ.

但元素是2,4,6,8,10,

所以％=2n,n<5,nEN*.

所以C={x\x=2n,n<5,nEN*}.

(4)因為平面直角坐標系中第二象限內的點(x,y)的摘坐標為負，縱坐標為正，即尤<0,y>0,

故第二象限內的點的集合為。={i：x,y)|x<0,y>0}.

18.(12分)(23-24高一上.新疆.階段練習)寫出下列命題的否定，并判斷其真假：

(l)p:VxGR,x2+x+1>0；

(2)p：有些三角形的三條邊相等；

(3)p：菱形的對角線互相垂直；

(4)p:3%eN,x2-2x4-1<0.

【解題思路】根據特稱命題的否定是全稱命題，全稱命題的否定是特稱命題進行求解判斷即可.

【解答過程】(I)易知原命題的否定為：->pT%ER/2+%+1工0,

2

顯然/+%+1=(%+3+^>0?故為假命題；

(2)易知原命題的否定為：」p：所有的三角形的三條邊不都相等，

因為正三角形的三條邊相等，則命題〃是真命題，則」p是假命題；

(3)易知原命題的否定為：「p：存在一個菱形，則它的對角線互相不垂直，

顯然原命題是真命題，則是假命題；

(4)易知原命題的否定為：[p:VxEN,/-2%+1>0.

顯然當％=1時，%2-2x+1=。-I)2=0,則命題」p為假命題.

19.(12分)(23-24高一上?安徽馬鞍山?階段練習)已知集合力={燈-2Vx<6},8={x|a<%Vb},其

中a,b(a<b)是關于x的方程(x3m)(x+m)=0(m>0)的兩個不同的實數根.

(1)若4=8,求出實數m的值：

(2)若AG8,求實數771的取值范圍.

【解題思路】(1)先根據4=8得到。=-2/=6,結合方程的兩根得到方程，求出血=2；

(2)AQB,故。工一2,匕26,結合方程的兩根得到不等式，求出m工2.

【解答過程】(1)因為4=B,故Q=-2,b=6,

乂(x-3m)(x+m)=0(?n>0)的兩根分別為-m,3m,

故一m=—2,3m=6,

故血=2；

(2)因為故QW-2,b\6,

又(x-3m)(x+TH)=0(m>0)的兩根分別為-m,3m,

故門篇Z解得

故實數m的取值范圍是[2,+8).

20.(12分)(23-24高一下?陜西榆林?階段練習)已知p：實數丫滿足集合A={x|aWxWQ+2},q：實數

x滿足集合B=[x\x<-1或%>4).

(I)若Q=-2,求力UB；

(2)若p是q的充分不必要條件，求實數Q的取值范圍.

【解題思路】(1)利用并集概念及運算即可得到結果；

(2)因為p是q的充分不必要條件?，所以4是B的真子集，列出條件即可求解.

【解答過程】(1)因為。=-2,所以A={%|-2WxWO},又8=卜優￡一1或％24},

所以力UB=[x\x<0或%>4]：

(2)因為p是q的充分不必要條件，所以4是B的真子集，所以Q+24一1或

所以a<一3或a>4.

21.(12分)(23-24高二下?江西南昌?期中)設集合力={萬一1WxW2},B={x\2m<x<3],

(1)若加=1,求4U8,(1力)C8；

(2)若Bn(0力)中只有一個整數，求實數機的取值范圍.

【解題思路】(1)根據條件得到B={x|2VXV3},再利用集合的運算即可求出結果；

(2)由(1)知CRA={x|xV-l或%>2},根據條件，借助數軸，即可求出結果.

【解答過程】(1)因為m=1,所以8=(x\2<x<3},

又H=(x\-1<x<2],所以CR/I={x\x<-1或%>2},

所以AUB={x|-1<x<3},"）nB={x|2<x<3].

（2）由（1）如CRA={x|x<-1或%>2},又BC（CRA）中只有一個整數，

由圖知，B手。,且一3W2mV-2,+

1B[-口

-32加-2-101