魯教（五四制）八年級數學下冊專項練習01 特殊平行四邊形中的折疊問題

專項01特殊平行四邊形中的折疊問題

類型一菱形中的折疊問題

1.如圖，在菱形紙片ABCD中,NA=60。,點E在BC邊上、將菱形紙片ABCD沿DE折疊，點C

的對應點為點。，且DC所在直線是AB的垂直平分線，則NDEC的大小為()

A.30°B.45°C.60°D.75°

2.在數學興趣小組活動中，同學們對菱形的折登問題進行了探究.如圖1,在菱形ABCD中,NB

為銳角，點E為BC的中點，連接DE,將菱形ABCD沿DE折疊，得到四邊形ABED,點A的對應

點為點A，,點B的對應點為點B'.

(1)【觀察發現】AD與BE是什么位置關系？

(2)【思考表達】連接RC,判斷NDEC與NBCE是否相等，并說明理由.

(3)如圖2,延長DC交AB，于點G,連接EGBC,已知DEVCB：請探究NDEG的度數，并說明理

山.

類型二矩形中的折疊問題

3.如圖，把一個長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點D、C分別落在D\C的位置，若NEFB=65。,

則NAED的大小為()

A.5。。B.55"C.60uD.65u

4.如圖,將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點B的對應點為點E,AE與CD交于點F.

⑴求證:△DAF^AECF.

⑵若NFCE=40。,求NCAB的度數.

5.如圖，將一張矩形紙片ABCD進行折疊，具體操作如下:第一步:先對折，使AD與BC重合，得到

折痕MN,展開，再折疊一次，使點A落在MN上的點A，處，并使折痕經過點B,得到折痕BO,同時

得到線段BA:OA；展開，如圖①;第二步:再沿OA所在的直線折疊，點B落在AD上的點B處，

得到折痕OF,同時得到線段BT,展開，如圖②.

(1)ZABO=°.

⑵求證:四邊形BFBX)是菱形.

圖①圖②

類型三正方形中的折疊問題

6.如圖，正方形ABCD的邊長為9,將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處,折痕為GH.

若BE：EC=2：1,求線段EC,CH的長.

I)

7,圖形變換是初中數學的重要內容，某興趣學習小組的同學利用所學知識，進行了一系列的圖

形變換操作實踐活動，讓我們一起來體驗他們的探究過程吧.

⑴軸對稱:將正方形紙片ABCD折疊，使邊AD、AB都落在對角線AC上，展開得折痕AE、AF,

連接EF,如圖1,求NEAF的大小.

⑵旋轉:將圖1中的NEAF繞點A旋轉,使它的兩邊分別交邊BC、CD于點H、G,連接GH,如

圖2,則線段BH、GH、DG之間存在的數量關系為，并證明你的結論.

⑶計算:在圖2中，連接正方形對角線BD,交NGAH的兩邊AH、AG于點M、N,如圖3,若

BM=3,DN=4,求正方形ABCD的面積.

圖1圖2圖3

專項01特殊平行四邊形中的折疊問題

答案全解全析

1.D連接BD,如圖,

???四邊形ABCD為菱形,

:.AB=AD,AB//DC,ZA=ZC,

???ZA=60°,

/.△ABD為等邊三角形,NADC=120)NC=60。，

???DC所在直線是AB的垂直平分線，

/.DP為NADB的平分線，即/ADP=NBDP=30。,

:,NPDO90。，

由折疊的性質可知ZCDE=ZPDE,

.*.ZCDE=ZPDE=45O,

???ZDEC=180°-(ZCDE+ZC)=75°.

故選D.

2.解析(1)AD〃BE

(2)ZDEC=ZB'CE.

理由:連接BB，(圖略)，由翻折可知EB=EB;

VE為BC的中點，.?.EC=EB=EB',

.*.ZBB'C=90°,

ABB'IB'C,

由翻折可知BB，J_直線DE,

???DE〃CB[??ZDEC=ZBCE.

⑶NDEG=90。.

理由:如圖，連接DB,DB；BB,

由翻折的性質可知NBDE二NBDE,

設NBDE=NB'DE=x,ZA=ZA'=y.

???四邊形ABCD是菱形，

???ZADB=ZCDB=ZA,DB',

.*.ZA'DB,-ZB'DG=ZBDC-ZB'DC,

.,.ZA'DG=ZBDB'=2x,

???NDGA'=1800-2x-y,

*/ZBEB=ZEBD+ZEBD+ZBDB1,

.?.ZBEB'=180°-y+2x,

VEC=EB;

???NEB'C=NECB'=g/BEB'=90°Ty+x,

???NGB'C二NABE-NEB'C=1800-y」9()o-；y+xJ=9()°-；y-x,

.*.ZCGA'=2ZGB'C,

VZCGA^ZGB'C+ZGCB;Z.ZGB^ZGCB',

.,.GC=GB',

VEB^ECAEGICB',

???DE〃CB',???DEJ_EG,???ZDEG=90°.

3.A由折疊可知,NDEF=NDEF,

???AD//BC,???ZD'EF=ZDEF=ZEFB=65°,

:.ZAED^180°-ZDEF-ZD'EF=50°.

故選A.

4.解析⑴證明:由題意可得AD=BC=EC,ZD=ZB=ZE=90°,

在仆DAF和仆ECF中，

Z.DFA=(EFC、

乙D=匕E,.,?△DAF^AECF(AAS).

DA=EC,

1△

(2iVDAF^AECF,?.ZDAF=ZECF=40°,

???四邊形ABCD是矩形,JZDAB=90°,

???ZEAB=ZDAB-ZDAF=90°-40°=50°,

由折疊可知NEAC=/CAB,.*ZCAB=25°.

5.解析(1)30.

⑵證明:由(1)知NABO=30。,???ZA'BO=30°,

ZABC=90°,Z.ZA'BC=30°.

;沿ON所在的直線折疊，點B落在AD上的點B，處，

.*.BO=B'O3F=B'F,

由折疊可知NOA'B=NA=90。,，NFA'B=90。，

ZA'BO=ZA,BF=30°,A'B=A'B,

/.△A'BO^△ABF,AOB=BF,

???BOB'OB'F二BF,

???四邊形BFB。為菱形.

6.解析VBC=9,BE：EC=2：1,AEC=3.

設CHnx,貝ijDH=9-x,

由折疊可知EH=DH=9-x,

在RsECH+,ZC=90°,

.\EC2+CH2=EH2,

即32+x?=(9-x)2,解得x=4,ACH=4.

7.解析⑴:四邊形ABCD是正方形,???ZBAD=90°,

由折疊得NCAF=/BAF二』NBAC,NCAE二NDAE二乙/DAC,

22

???ZEAF=ZCAF+ZCAE=1(ZBAC+ZDAC)=1x90°=45°.

(2)BH+DG=GH.

證明:如圖，將△ADG繞點A順時針旋轉90。得到△ABI,

由旋轉可知AI=AG,BI=DG,ZBAI=ZDAG,ZABI=ZD=90°,

???NABI+NABC=180。，

???【、B、H三點在同一條直線上，

???ZBAD=90°,ZGAH=45°,

???N1AH=NBAI+NBAH=NDAG+NBAH=NBAD-NHAG=9O0-45°=45°,???N1AH=NGAH,

,:AH=AH,:.△IAH絲△GAH(SAS),.*.IH=GH,

??TH;BH+BI=BH+DG,

ABHiDG=GH.

⑶如圖，將△ADN繞點A順時針旋轉90。得到△ABJ,連接JM,

由旋轉可知AJ二AN,BJ=DN=4,/BAJ=NDAN,

VAB=AD,ZBAD=90°,

/.ZABD=ZADB=45°,/.ZABJ=ZADN=45°,

???ZMBJ=ZABJ+ZABD=90°,

■:ZBAD=90°