解題技巧6 分式不等式、高次不等式、根式不等式、絕對(duì)值不等式的解法（解析版）2027年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

解題大招06分式不等式、高次不等式、根式不等式、

絕對(duì)值不等式的求解

題型01解分式不等式題型05平方法解絕對(duì)值不等式

題型02解高次不等式分式不等式.高次不題型06去絕對(duì)值法解絕對(duì)值不等式

等式、根式不等式、

題型03解根式不等式絕對(duì)值不等式的解法題型07絕對(duì)值性質(zhì)法解絕對(duì)值格式

題型04公式法解絕對(duì)值不等式題型08零點(diǎn)分段討論法解絕對(duì)值不等式

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)01分式不等式的解法

解分式不等式的實(shí)質(zhì)就是講分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式.

/(x)

（1）>o=/(x)ga)>o

g(x)

/W

<0o/(x)g(x)v0

g(x)

fMf(x)-g(x)>0

(3)

g(x)g(x)/0

f(x)f(x)g(x)<0

(4)<()<=>-

gMg*)=()

【注意】當(dāng)分式右側(cè)不為。時(shí)，可過移項(xiàng)、通分合并的手段將右側(cè)變?yōu)?;當(dāng)分母符號(hào)確定時(shí)，可利用

不等式的形式直接去分母.

知識(shí)點(diǎn)02高次不等式的解法

如果將分式不等式轉(zhuǎn)化為正式不等式后，未知數(shù)的次數(shù)大于2,一般采用“穿針引線法”，步驟如下：

1.標(biāo)準(zhǔn)化：通過移項(xiàng)、通分等方法將不等式左側(cè)化為未知數(shù)的正式，右側(cè)化為0的形式；

2.分解因式：將標(biāo)準(zhǔn)化的不等式左側(cè)化為若干個(gè)因式（一次因式或高次因式不可約因式）的乘積，如

其中各因式中未知數(shù)的系數(shù)為正；

3.求根：求如（x—xj（x—/）???（工一天）=0的根，并在數(shù)軸上表示出來（按照從小到大的順序標(biāo)注）

4.穿線：從右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)，（奇穿偶回：經(jīng)過偶次根時(shí)應(yīng)從數(shù)軸的一側(cè)仍回到

這一側(cè)，經(jīng)過奇數(shù)次根時(shí)應(yīng)從數(shù)軸的一側(cè)穿過到達(dá)數(shù)軸的另一側(cè)）

5.得解集：若不等式“XT,貝!找“線”在數(shù)軸上方的區(qū)間；

若不等式“<0”，則找“線”在數(shù)軸下方的區(qū)間

知識(shí)點(diǎn)04絕對(duì)值不等式的解法

1.絕對(duì)值不等式的解集

<1)兇<。(。>0)的解集是｛x|-。,如圖1.

(2)國(guó)>a(a>0)的解集是-。或,如圖2.

圖1圖2

(3)\f(x)\<c(c>0)o-c</(x)<c.

(4)|/(x)|>c'(c>0)<=>/(x)>c或f(x)<-c

可簡(jiǎn)記為：大于找兩邊，小于找中間.

2.絕對(duì)值不等式的性質(zhì)

⑴||。|一|勿上。士勿04|十|0；

(2)|〃一切W|a-c|+|c一加.

知識(shí)點(diǎn)04根式不等式的解法

解根式不等式往往通過乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為不帶根號(hào)的不等式求解，下面以.二次根式不等式為例，總結(jié)其規(guī)

律：

°J/2(X)>片,

(1)>0)

f{x)<a\

(2)J/(工)<a(a>0)

/(x)>0.

型解析

“題型01解分式不等式

分式不等式往往化除為乘，轉(zhuǎn)化為整式不等式求其解集，在轉(zhuǎn)化時(shí)要注意分母不能為0這一隱含條件.

a

【典例1?1】(2026?重慶?二模)已知集合人=｛刈1082M<1｝,8=卜則Acb=()

A.加B.(1,2)

c-1嗎D-[?,)

【答案】D

【詳解】不等式即一1<1窕21<1，BPlog2l<log2x<log22,

解《得故A=(；,2),

不等式號(hào)>1可化為晝攝>°，即(—x+l)(x+2)>0,

解得一2口<1,故8=(—24)，

所以=

【典例1-2】(2026?寧夏銀川?二模)已知集合4={T0,2,6,7}W=1x|二<0

,則A13=()

X—6

A.{-1,0,2}B.{-1,0,2,6}C.[-1,6]D.[-1,6)

【答案】A

【分析】解集合3中分式不等式，再結(jié)合集合A求交集.

x+1(x+l)(x-6)<0

【詳解】分式不等式有《。，等價(jià)于:

x-6^0

解得—lWx<6,即8={.4-1?xv6},

已知A={-1,0,2,6,7},篩選出A中滿足一1?大<6的元素，為T0,2,

所以Ac3={-l,0,2）.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.（2026?廣西崇左?二模）已知命題〃：Vx<2,一二>1，命題入2l￥<0,T=—x,則（）

x-1

A.P和“都是真命題B.t7和q都是真命題

C.P和F都是真命題D.~和r都是真命題

【答案】B

【詳解】由一二>1,得’t一2

即上<0,解得l<x<2.

1X-1x-1

Ifx-l>0x-l<0

方法二：由一->H得（.或《

x-lI>x-l\<x-\'

解得1cx<2.

所以P是假命題，f是真命題.

當(dāng)H=-l時(shí)，顯然成立，所以是真命題，f是假命題.

2.(2026?甘肅張掖?模擬預(yù)測(cè))設(shè)集合A={-1,0,123,4},8=卜6Z|喂工。|,則43=()

A.{1}B.{0,1}C.{0,1.2}D.{-1,0,1)

【答案】B

【分析】解分式不等式得集合8,然后根據(jù)交集的定義即可求解.

【詳解】分式不等式三“)等價(jià)于產(chǎn)=2：°,解得0。<2，又因?yàn)閤eZ,因此B={01},

x-2x-2±0

已知集合A={-1,0,123,4},所以AcB={0,1}.

2r

3.(2026?重慶?一模)+工-2<0"是"二"7<1"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】解不等式，利用集合之間的包含關(guān)系，充分條件、必要條件的概念即可得解

【詳解】因?yàn)閒+x—2<0,所以a+2)(x—l)v(),解得一2a<1,

OVv?1.0

由一^<1=----<0=>(X+2)(A-2)<0=>-2<%<2,

因?yàn)閧x|—2<X<1}是{x[—2<x<2}的真子集，

所以f+工一2<0是2=x;<】成立的充分不必要條件.

x-2

A題型02解高次不等式

(1)對(duì)于高次不等式一般用穿針引線法求解；

(2)對(duì)于高次不等式與分式不等式綜合的問題，往往先將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，再利用穿

例引線法求解.

【典例2?1】不等式("+1)(2一力之0的解集為()

x-3

A.{x|xWT或2Kxv3}B.{#4-1或2Kx43}

C.{小23或-l?x<2}D.{小>3或-l?x<2}

【答案】A

(X4-1)(X-2)<Q

【詳解】不等式“+叱7)之(),化為：<x-3

x-3

x-3^0

由穿根法可知：不等式的解集為：或2WXV3}.故選：A.

【典例2?2】解不等式(x+2)(A-1)9(x+1)12(x-3)>0.

【詳解】根據(jù)不等式標(biāo)根

所以原不等式的解為[-2,1]U[3,+OO).

故答案為：[-2,1]33,+8).

【跟蹤訓(xùn)練】

1.(2026?遼寧遼陽?二模)不等式生直21的解集是()

x

A.(一8』]D[4,+8)B.[1,4]C.[1,2)U(2,4]D.(0,l]L[4,-K?)

【答案】D

【分析】借助分式不等式與高次不等式的解法”算即可得.

[詳解](2x)_1_Y-4X+4-X_/-5x+4(xl)(x4)>0,

XXXX

故解得=4或—I,

|彳。0

故該不等式的解集為(0』」4,+8).

2.(25-26高一上?江蘇無錫?月考)函數(shù)3)的定義域是()

A.(YO,-2]J(2,3]B.(-oo,-2]u[2,3]

C.[-2,2)U[3,+OO)D.[-2,2]U[3,+OD)

【答案】C

【分析】利用具體函數(shù)定義域求法結(jié)合分式不等式解法計(jì)算即可得.

(x+2)(x-3)

【詳解】由題意可得一^2——，解得2,2)1!［3,位).

x-2^0

故選：C.

3.(25-26高二上?陜西咸陽?月考)滿足不等式卜―廣心-中小―3?)卜-10()2)工。的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為

()

A.100B.5000C.5100D.無窮多個(gè)

【答案】C

【分析】利用穿針引線法解不等式，求出不等式各個(gè)解區(qū)間內(nèi)整數(shù)解個(gè)數(shù)，再利用等差數(shù)列求和即得到答

案.

【詳解】利用穿針引線法解不等式，如圖示：

滿足不等式(X—切卜一22)卜一32)(x—10()2)40整數(shù)解有：

在［匕功有22一/+］=4個(gè);

在⑵⑷］有4、3?+1=8個(gè);

在［99?,100）有IO。?—99、1個(gè).

因此不等式在區(qū)間［(2〃-1尸,(2方］內(nèi)的解有(2〃尸-(2〃-1產(chǎn)+1=4〃個(gè),

所以不等式的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4+8+…小”5皿

故選:C

(x-2)(3-x)

4.(25-26高三上?上海徐匯?期中)分式不等式工°的解集為

山-以

【答案】｛x|0vx<l或1cxM2或

【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)為整式不等式(組)，高階不等式遵循："奇次穿針引線，偶次穿而不過”的整體

原則，得到不等式解集.

r￥加】2)(37)JA-(X-1)2(X-2){^-3)>0

【詳解】團(tuán)---：-F-&U,0^,

x(x-l)［傘-1)/0

團(tuán)卜|。<4<1或l<x42或3Wx}.

故答案為：卜|0<工<1或1<X42或3《x}.

崢題型03解根式不等式

對(duì)于根式不等式，往往通過乘方法化去根號(hào)，但此時(shí)還需注意被開方數(shù)的限制條件。

1>1則A-B=

【典例3-1]（25-26高三上?江西贛州?期末）己知集合4=k/二萬<2},集合B=X

()

A.（70,2]B.（0,5]C.[1,2]D.[1,5]

【答案】C

【分析】求出集合A、B,利用交集的定義可求得集合AC3.

【詳解】因?yàn)槿硕沸?^萬<2}=?"|03-144}={琲"<5},

?2r-9f211.、

由二可得1-￡=。40,解得0<x42,即8=—Nlb=x0<x<2,

XXXX

ttAn^={x|l<x<2}=[l,2].

故選：C.

【典例3-2】（2025?廣西模擬預(yù)測(cè)）不等式的解集是（）.

A.{x|x<3}B.{x|x<4}C.{x|3<x<4}D.{x|3<x<5}

【答案】B

f5-x>0[5-x>0

【分析】根據(jù)題意，分1,八和°、八，兩種情況討論，結(jié)合不等式的解法，即可求解.

[x-3<0[x-3>0

【詳解】當(dāng)I"：巴解得xv3,此時(shí)不等式7^二7八-3恒戌立；

x-3<0

當(dāng)；【八時(shí)，即3CW5時(shí)，不等式平方得5-x>(x—31，

x-3>0

即/一5X+4V0,BP(X-1)(X-4)<0,解得1<X<4,所以3WX<4,

綜上可得，不等式3的解集為{x|x<4}.

故選：B.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.(24-25高三上?山東德州?階段練習(xí))已知集合人={x|2〈而I<3},5={x|x=2k—l,kwN"},則

3=()

A.{1,3,5}B.{3,5)C.{3,5,7}D.{5,7,9)

【答案】B

【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合4,根據(jù)交集的概念求解即可.

【詳解】由A="|2vVm<3}={x|2vxv7},3={x|x=2k—1*€1<}={1,3,5,7,9一},

則A8={3,5}.

故選：B.

2.(25-26高三上?湖南長(zhǎng)沙?期末)已知全集U為實(shí)數(shù)集R,若集合A=W>/n<2},

fi={x|x2-2x-3<0},則AC3=()

A.[1,3)B.(-1,3)C.(1,3)D.(-1J)

【答案】A

【分析】解一元二次不等式求出集合8,解根式不等式求出集合A,再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.

【詳解】由/_2工_3<0，即(X+I)(X—3)<0,解得-1VX<3,

所以fi=|x|x2-2x-3<o|={x|-l<x<3),

由五口<2,可得0。-1<4,解得&<5,

所以A=Nx/7二?<21"|13<5},

所以Ac3={x|lWx<3}.

故選：A

3.(25-26高二上?陜西寶雞?期末)若關(guān)于x的不等式?+c<0的解集為。，2),則關(guān)于x的不等式

ax+b4x-\-a+c>0的解集為.

【答案】［l,2)u(5,y)

【分析】根據(jù)不等式"?+辰+c<0的解集求出)=—3a,c=2a,代入不等式ar+/?GT-〃+c>0,再解不

等式可得答案.

［詳解】因?yàn)椴坏仁郊?加+c<0的解集為。，2),

所以x=l,2是亦2+加+c=0的兩個(gè)根，且。>0,

bc

可得一2=3,上=2,所以b=-3a,c=2a,

aa

所以av+bjx-T-a+c>0得ar-3?Vx-l-a+2a>0,

即工+1>3)7^,由x—lNO得xNl,

所以(工十1)\9(x-l),所以1Wx<2或工:>5,

則不等式的解集為［1,2)D(5,E).

I?題型04公式法解絕對(duì)值不等式

OOOfB

若一個(gè)絕對(duì)值不等式一邊為含絕對(duì)值的代數(shù)式，另一邊為正數(shù)，則一般可以類比以下絕對(duì)值不等式

套用公式求解：

(1)|/(x)|<c(c>0)<=>-c<f(x)<c.

(2)|/(x)|>c(c>0)<=>/(x)>。或f(x)<-c.

【典例4］(25-26高三下?重慶?階段檢測(cè))已知集合4={上一2|<2/€2},B=N|3x>?},則

AA=()

A.［0,4)B.(0,3)C.{0,123}D.{1,2,3)

【答案】C

【詳解】回x-2|<2,(3-2<x-2<2,解得0<x<4,

又xwZ,04={1,2,3}.

^3x>x2,即f_3x￡0,解得04x43,

又xwN,0B={0,l,2,3}.

0AuB={0,1,2,3).

【跟蹤訓(xùn)練】

1.(25-26高三上?廣東惠州?月考)設(shè)xwR,則“|x-2區(qū)3〃是“x(x-2)V0〃的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】記A為條件“1工一2區(qū)3〃,其解集為[T,5],

記8為條件“工(工一2)<()",其解集為[0,2],

因?yàn)椤?]q[—1,5],所以BnA成立，而A=8不成立，

因此，"|x-2區(qū)3〃是的必要不充分條件.

2.(2026高三?全國(guó)?專題練習(xí))不等式(1-|引(1+*)>。的解集是()

A.(x|-l<x<1}B.{小<1}

C.{x|.r>l[D.閭-1vxvl或KC-1}

【答案】D

【分析】應(yīng)用分類討論去絕對(duì)值符號(hào)，再應(yīng)用一元二次不等式的解法求解集.

【詳解】當(dāng)0時(shí)，(Jk|)(l+x)=1—x2>。，可得0W,

當(dāng)XV。時(shí)，(l-|,t|)(l+A)=(14-X)2>0,可得XV。且工工一1,

所以不等式的解集為{x|-1<X<1或X<-1}.

故選：D

3.不等式1<I-2^《3的解集是

【答案】[-l,0)U(l,2]

【詳解】不等式可化為l<|2x-1|W3,

.-.l<2x-l<3,或一3W2X-1V-1；

解之得：1<X<2或一IKxvO，

即不等式l<”2.v|W3的解集是[TO)(1,2].

?題型05平方法解絕對(duì)值不等式

對(duì)于絕對(duì)值不等式I4>|8|或I*<|8|（其中A,B為含未知數(shù)的代數(shù)式），一股利用平方法求

解，即轉(zhuǎn)化為A?〉#2或4、〈仁求解.

【典例5】?不等式1x7以x|的解集為（）

1D.卜8g

A.后一B.不，+8C.一8,不

22J

【答案】D

【分析】?jī)蛇吰椒胶罂汕蟛坏仁降慕?

【詳解】因?yàn)閘x—因月，故（工一爐之/,故_2X+120,故

故選：D.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.（2026高二?全國(guó)?課后作業(yè)）不等式卜-2|一上一1|>。的解集為

A.(-oo,|)B.S，平)

33

C.(-,-Ko)D.(--,-Ko)

乙

【答案】A

【分析】把不等式轉(zhuǎn)化為|x-2|>k-l|,平方即可求解.

【詳解】由不等式卜一2卜上一1|>0,可得上一2|>k一1|,

即（4一2『>（4一1『，整理得到2x<3,解得XV；,

3

所以不等式的解集為（F弓）.

故選:A.

2.不等式2|^<|x-2|的解集為；

【答案】-2,1

【分析】利用同時(shí)平方法求解絕對(duì)值不等式即可.

【詳解】左右兩側(cè)同時(shí)平方得4x24—2）2,

所以4—?/—43+4,故3/+4工-4?0,

化簡(jiǎn)得（3X-2）（X+2）W0,解得XW-2,-.

3.（2025高三?全國(guó)?競(jìng)賽）若10&（工+2封+1。&（工-2力=1,則閃一帆的最小值是.

【答案】巫

2

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得到討一4戌=5,國(guó)>2田，令〃=凡，=加〃=|乂—N，代入化簡(jiǎn)得到

3--2燈+（5-r）=0,利用根的判別式求出人半，進(jìn)而求出|乂一|），|的最小值.

【詳解】由1。&（1+2y）+1（世（“一2），）=1可得討_川乂2=5,國(guó)>2?］.

令〃=兇J=N，Z=NTN,則/-4/=5,A>。.方程（，+2『一45=5,即3/一2匕+（5-尸）=0有正實(shí)數(shù)

解.

故A=4/-12（5-公”0,4公之15次之手.

當(dāng)廣羋時(shí)1=半,〃=半.因此，兇一卜|的最小值為半.

?題型06去絕對(duì)值法解絕對(duì)值不等式

對(duì)于形如|A|>B或|A|<B的不等式（其中A,B）中都含有未知數(shù)，常利用絕對(duì)值的意義對(duì)A與0

的大小分類討論，從而脫去絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式求解.

此外，這類不等式其解集具有規(guī)律性，最終也可總結(jié)成如下公式，利用公式法簡(jiǎn)解：

|A|>BoA>B,或A<-B,|A|<B<=>-B<A<B,

【典例6］解關(guān)于x的不等式：|3x-4|>l+2x；

4

【詳解】解法一：由題意，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為版-4〉1+2%,解得x>5；

43

當(dāng)了41時(shí)，原不等式可化為4-3工>1+2］，解得

所以不等式的解集為卜k>5或x<|}.

解法二：原不等式等價(jià)于3x-4>1+2x,或3x-4<-l-2x,

3

解得|x>5或r<一,

5

所以原不等式的解集為卜k>5或TVg

【跟蹤訓(xùn)練】

1.（25-26高三上?江蘇蘇州?期末）已知集合4={-1,0,1,2},5={琲.-則A「3=（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

【答案】C

【分析】求出集合8,利用交集的定義可求得集合Ac8.

【詳解】因?yàn)?=卜卜—1區(qū)17}={鄧一血0}={小金},A={T,0J2},

所以，Ac4={T0,l}.

故詵：C.

2.解不等式：

⑴2<|21-5歸7；

（2）|X-2|>2X+4.

【分析】（1）利用絕對(duì)值不等式的解法求解即可；

（2）法一：分x-2N0和x-2<0兩種情況求解即可.（2）利用絕對(duì)值不等式的解法求解即可.

f|2x-5|>2

【詳解】（1）原不等式等價(jià)于?2%_547'

*73

由|2工-5|>2可得2x-5>2或2A?-5〈-2,解的工>］或工<］；

由|2工一5佰7可得一7<2工一5<7,解的一1<x46.

37

綜上所述，原不等式的解為-=,或;<x<6.

27.

（2）解法一：當(dāng)X—2N0,即x22時(shí)，不等式可化為x—222x+4,

解得xW-6.不存在滿足條件的x.

當(dāng)了一2<0,即xv2時(shí)，不等式叮化為一（x-2）22x+4,解的工工―（，...xw—三,

綜上所述，原不等式的解為匯《一：2，

解法二：原不等式可化為x-222r+4或x-2W-（2x+4）,

22

即x<-6或BPx<-j

???原不等式的解為-土2

A題型07絕對(duì)值性質(zhì)法解絕對(duì)值不等式

對(duì)于不少于2個(gè)絕對(duì)值的不等式，有時(shí)可利用以下性質(zhì)能轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式：

\\a\-\h\\<\a±h\^a\+\b\,從而去掉了絕對(duì)值,轉(zhuǎn)化為常見的不等式求解.

【典例7】21.（2025?上海?三模）不等式兇+|2025-4工2025的解集為.

【答案】[0,2025]

【分析】根據(jù)絕對(duì)值三角不等式|4+網(wǎng)之|。+4及題干可得可+|2025-聞=2025,等式成立需要X,2025T

同號(hào)，列不等式求解即可得解.

【詳解】因?yàn)閲?guó)+|2025-1|之卜+2025-目=2025,又兇+|2025-才42025,

所以國(guó)+|2025一目=2025,則x（2025-x）>0=>X€[0,2025].

【跟蹤訓(xùn)練】

1.（25-26高三上?上海?階段練習(xí)）存在實(shí)數(shù)x使得不等式〃斗-5|+卜-3|成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

為.

【答案】[2,+8）

【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為。“|工-5|+k-3|）（面，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得〃之（上一5|+|l-3|）

X|X-5|+|X-3|=|X-5|+|3-X|^|A:-5+3-X|=2,

當(dāng)且僅當(dāng)（%-5）（3-X）N0時(shí),即3JK5時(shí),等號(hào)成立,

所以。之2,

即實(shí)數(shù)”的取值范圍為[2,+8）.

2.(24-25高三上?上海?期中)若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)盯卜-2|+k+1,〃恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為?

【答案】

【分析】根據(jù)絕對(duì)值三角不等式求得k-2|+|x+l|的最小值，由此列不等式來求得〃的取值范圍.

【詳角笨］卜_2|+卜+1|=|2—工|+,_1|習(xí)2—丫+*+1|=3,

當(dāng)且僅當(dāng)一1<x<2時(shí)等號(hào)成立，

所以解得一6《々!6

I?題型08零點(diǎn)分段討論法解絕對(duì)值不等式

對(duì)于不少于兩個(gè)絕對(duì)值的不等式，可先求出使各絕對(duì)值等于0的X的值(簡(jiǎn)稱為零點(diǎn))，再針

對(duì)這些零點(diǎn)將x的范圍分割成若干部分，通過分類討論去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式求解.

【典例8】(2026高三?全國(guó)?專題練習(xí))若不等式卜+1|-卜-。|23-24的解集不是空集，則〃的取值范圍是

2

【答案】?>j

【分析】由題意得k+l|23-2a,分類討論解不等式即可得解.

【詳解】因?yàn)椴?1|-卜-。閆1-(-a)|=|a+l|,不等式1+1|一卜-。|，3-2〃的解集不是空集,

所以|a+l|N3—%，

(i)當(dāng)3-2aW0,即時(shí)，顯然有|。+1|2023-%成立，

(ii)當(dāng)3-2a>0,即4<彳時(shí)，|c7+l|>3-2r/>0=>?2+2^+1>9-12fz+4^2

9

所以3片一14々+8=(34-2)伍一4)00,解得

393

結(jié)合可知

232

2

綜上所述，〃的取值范圍是。之§.

2

故答案為：a~^'

【跟蹤訓(xùn)練】

1.（2026?上海浦東新?三模）"-2<x<2”是小+2|+卜-2K4〃的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】求出|x+2|+k-2]W4的解集，根據(jù)充要條件的定義即可得到結(jié)論.

—2x,xW—2

【詳解】令/（x）=|x+2|+|x—2|=4,—2<x<2,所以f（x）?4佗解集為：

2x,x>2

所以“一2vxv2"能推出"|工+2|+,一2K4,

而“卜+2|+卜-2區(qū)4不能推出"一2<工<2"即"一2〈工<2",是“卜+2|+卜-2K4”的充分不必要條件:

故選：A

2.（25-26高三上?遼寧?期末）|2.r|—11—>—的解集為

【答案】（+8）

【分析】分類討論絕對(duì)值內(nèi)的數(shù)后即可求解.

【詳解】原不等式等價(jià)于疝卜|2尤-1|4

當(dāng)了<0時(shí)，原不等式等價(jià)于-2x+（2x-l）?g,即得一后3不成立，不等式無解；

當(dāng):時(shí)，原不等式等價(jià)于2x+（2x-l）2:，解得kN1，不等式的解集為《士）；

22882

當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于2x-（2x-l）N?，即得14，不等式的解集為+00）；

2222

綜上所述，原不等式的解集為戒,內(nèi)）.

O

3

故答案為：[石,+8）

O

3.（25-26高三上?上海?期中）不等式|x-l|+W>l的解集為.

【答案】（,,0）51,P）

【分析】討論去絕對(duì)值求解不等式.

【詳解】當(dāng)x<（）時(shí),原不等式變?yōu)?,得x<0；

當(dāng)0GW1時(shí)，原不等式變?yōu)閘-x+x>l,不等式無解；

當(dāng)工>1時(shí)，原不等式變?yōu)閤-l+x>1,得X>1；

綜上,不等式的解集為(7,o)5i，y)?

故答案為：(TO,0)U(l,+8).

鞏固提升

A..重慶.三模)已知集合人中告

3.8={2,3,4,5},則（。A）c8=（）

A.{5}B.{4,5}C.{3,4,5}D.{2,3,4}

【答案】C

【洋解】由不等式得Mx—3)?0且xw3,解得0W工<3,

則A=(x|Oqxv3),而"={2,3,4,5},

所以（QA）c8={3,4,5}.

2.（2026?云南曲靖?一模）已知集合人={-312,3},集合8=則A「3=（）

2-x

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3}

【答案】A

【詳解】由3>屋得5；2+X>（）,即（工+3）（2-力>0,解得：一3。<2,

2-x2-x

則集合4={X—3<X<2},所以人08={1}.

3.(25-26高三上?河南南陽?月考)不等式(V—2.r—3)(f+4x+4)<0的解集是()

A.{x|x<-l或x>3}B.{x|-l<x<2或2cx<3}

C.{x|-l<x<3}D,{.r|-2<x<3}

【答案】C

【分析】先因式分解，然后分x=-2和xw-2求解即可.

［詳解］(x2-lx-3)(x2+4x+4)<0o(x—3)(x+l)(x+2尸<0,

當(dāng)了=-2時(shí)，不等式顯然不成立.；

當(dāng)工4-2時(shí),(x+2『>0,所以原不等式0(工一3)(/1)<0,

解得一l<x<3.

綜上，原不等式的解集為{x|T<x<3}.

故選：C

4.(25-26高三上?安徽?期末)設(shè)集合八二卜|岳二1<11,8=1隧21+1>0},則A04=()

A.(別B.(OJ)。?32)D.(0,2)

【答案】A

【分析】解不等式求得集合48,然后利用集合交集定義運(yùn)算的結(jié)果.

【詳解】由二Tvl可得0W2x-l<l,則即A=—

又由log2X+l>0可得log2X>T，則X>g，即B=?XX>g?,

①Ac8={x[g<x<l}=&l).

故選：A.

5.(24-25高三上?河北?期末)集合用=1,一4<0},N=卜|77^萬<2},則McN=()

A.[-2,2]B.[1,2]C.[-2,5)D.[1,5)

【答案】B

【分析】解一元二次不等式、根式不等式求集合，再由集合的交運(yùn)算求結(jié)果.

【詳解】由/一4?00—24142,X/7^T<2=>1<X<5-

所以M={x|-2KxK2},N={x\\<x<5},故MN=[1.2].

故選:B

6.(2026?安徽?模擬預(yù)測(cè))已知集合A={X||X+1|21},4={X|-2KX<0},則()

A.4aBB.B^AC.41B=0D.AB=R

【答案】D

【詳解】由|x+l|之1,得x+121或x+IK-l,解得xNO或工￡一2,所以A=(Yo,-2]U[0,y),

所以A?B,A錯(cuò)；B幺A,B錯(cuò)；AAB={-2},C錯(cuò)；Au5=R,D對(duì).

7.(2026?河南開封?模擬預(yù)測(cè))已知集合村={-1,0,1},B={J]\X-\\<2},則A(JB=()

A.[—1,0)B.[-1,3)c.{0.1}D.[0,1)

【答案】B

【詳解】B={.x\-l<x<3],所以A=8=[T3)

8.(25-26高三上?遼寧鞍山?開學(xué)考試)不等式2|x-3|+|x+l|W7的解集是()

A.[-1,3]B.[-1,4]C.[0,4]D.(-oo,0]U[4,+oo)

【答案】C

【分析】通過xWT,-1<x<3,x23討論去絕對(duì)值求解即可.

【詳解】當(dāng)X4—1時(shí)，不等式為2[37)-(X+1)W7,解得：北-：且1,即為空集，

當(dāng)-I<xv3時(shí)，不等式為2(3-x)+(x+l)W7,解得：04x<3,

當(dāng)工23時(shí),不等式為2(X-3)+(X+1)W7,解得3W4,

綜上不等式的解集為[0,4],

故選:C

9.(25-26高三上?陜西榆林?階段檢測(cè))不等式把二G的解集為__________.

x-2

【答案】匚

-L/

【詳解】由"K1,得主二1一1二次七￡二4二生出40,

x-2x-2x-2x-2

則產(chǎn)丁尸。，解得為口

|工一2h02

則不等式在三K?的解集為.

x-2L2J

10.(2026?上海普陀?二模)設(shè)〃ER,若關(guān)于x的不等式號(hào)W1的解集是(y』)u[2,y),則。的值為

X—1

【答案】1

【分析】將分式不等式化為等價(jià)的二次不等式，根據(jù)“三個(gè)二次〃的關(guān)系求解.

【詳解】由不等式號(hào)<1可得”一工0,等價(jià)于[("："；)('一"°，

x-lx-1x-lw0

因?yàn)樵坏仁降慕饧?-8,1)32,陵)，所以1，2是方程(〃+lr)(x-l)=0的兩根，

所以4+1=2,解得。=1.

11.(2026,江蘇宿遷?二模)設(shè)函數(shù)0(x-3(x-c),其中若不等式

/(l+x)/(2-x)W0對(duì)任意xwR恒成立，則a+b+c=.

91

【答案】

22

【分析】先設(shè)屋式)=-7(2-耳，代入函數(shù)詳解式計(jì)算得出根，再對(duì)應(yīng)相等計(jì)算求解.

【詳解】若/(l+x)/(2-x)<0,取g(x)—),所以/(l+x)g(x)NO,

j|lljf(14-X)=(14-X-?)(l+A-/?)(l-l-X—C)，5(X)=-(2-X-6/)(2-X-^)(2-X-C),

所以〃l+x)=O的根為。-1,8一l,c-l且lvc—1,g(￡l=o的根為2-42-a2」、且

2-c<2-b<2-ci,

由Ff(l+x)與g(“)均為首項(xiàng)系數(shù)為正的三次多項(xiàng)式,要使其乘積f(l+x)g(x)N0恒成立，則它們的零點(diǎn)

必須完全相同，

所以只有當(dāng)4-l=2-c/_l=2-友-1=2~時(shí)，〃l+x)g(x)2()成立，

39

所以4+C=3,/?=二，所以4+Z?+C=—.

22

9

故答案為：

12.(25-26高三上?河南南陽?期內(nèi))若小wR,對(duì)Vx?0,回，不等式T](XT)W0恒成立，則實(shí)

數(shù)優(yōu)的取值范圍是__________.

【答案】(°，誓1

,

【分析】分類討論/的范圍，結(jié)合因式解高次不等式計(jì)算即可.

【詳解】若氏0,則(工一1)2-f之0恒成立，此時(shí)不等式[(1一1)27](4-/)40的解集為工金，

與440,相矛盾，舍去；

若/>0,則不等式[(工一1)2-1](工一/)40n(x—l—〃)[一1+〃)(1—/)(0,

①當(dāng)/<1-?,即時(shí)，

此時(shí)原不等式的解集為(口用=[1一"」+"]，

(_/7\

要滿足題意需(區(qū)間」1—+恒正)，即機(jī)W°，三3匕；

-8,1+間,

時(shí),

此時(shí)不等式的解集為（-8,1-1+e],

1-">0

要滿足題意需（區(qū)間C』+〃]恒正），

l-\ft>m

3—垂>廠

即止---」時(shí)，m<\-\[t

3—石）(3-5

易知y=\"單調(diào)遞減，可知），€。，二整,即，〃e0.^^-

。/M+&%

④當(dāng)，=1+〃，即/=檸5,此時(shí)不等式的解集為卜8,

而要滿足題意需0<1-〃，顯然不符合題意，舍去,

⑨>1+山,即經(jīng)三盧，此時(shí)不等式的解集為（二,1-?卜［1+〃，4

同上需滿足0<1-〃，仍不符合題意，舍去，

綜上：實(shí)數(shù)/〃的取值范圍是。，當(dāng)匚.

.

故答案為：（°，與。.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)高次不等式的解法，分類討論三個(gè)根的大小關(guān)系，結(jié)合題意分析即可，要注意討

論不重不漏.

13.（25-26高三上?上海?期末）已知關(guān)于人的不等式JX2-2X-2WT+”的解集是其中

，〃,，eR,則（〃-,n）2的值為.

【答案】1+26

【分析】由二次根式的非負(fù)性求x的取值范圍，然后兩邊同時(shí)平方解不等式，討論。的不同取值得到不等

式的解集，根據(jù)題意列方程，解得科巴即可求得結(jié)果.

【詳解】團(tuán)/一2?220,-6或xNl+G

0-v+?>O,^x<a,

0\/x2-2x-2<>-x+a0x2-2x-2<x2-2ax+a2,

即（2a-2）x?/+2,

當(dāng)4=1時(shí)，0W3恒成立,

團(tuán)不等式^X2-2X-24-x+“的解集是xG-G不符合題意，舍去.

當(dāng)時(shí)，x>"+2

2a-2

2c

例不等式y(tǒng)jx2-2x-2<.-x+a的解集是"+~<x<1-V3?

2a-2

+2

-----=m

即2a-2,BP-

l-V3=/n+lm=-J5

則+2\Z5a+2-2\^=0，〃=—、石+"1+2>/^或a=--Jl+2>/^（舍去），

則（a-=卜6+Jl+2。+G[=1+2后.

當(dāng)a<1-6時(shí)，不等式V?二17^工M-x+a的解集是，

2a-2

|/+21）

.?------=mr,a~+2,

即Hri2cl—2,即n------n—1>

\a=in?2a—2

0?:+2=2t72-4?+2，即。2_4〃=0,則。=0（舍去）或。=4（舍去）

當(dāng)〃>1時(shí)，X4土土2,

la-1

當(dāng)a<°+2,a2-2a-2<0t即lvavl+6時(shí)，

2a-2

不等式爪7二五二x+a的解集是xWl-G，不符合題意，舍去.

20

當(dāng)〃之士—二，a2-2a-2>0,即。之1+6時(shí)，

2a-2

,（〃）=-=（。-1）72（，1）+3=口+^_^+⑶+2”x^^=l+S

八）2"22（a-l）22（a-l）]/22（a-l）

ci-13廠

當(dāng)且僅當(dāng)；一二詆刁，即。=6+1時(shí)取等號(hào)，

團(tuán)當(dāng)〃之1+6時(shí)，￡^>1+石，

2a-2

不等式足五二+〃的解集是X4I-6或1+6?工<《^，不符合題意