三角函數的概念（原卷）

5.2三角函數的概念

模塊一：基礎知識...................................................2

考點一：任意角三角函數的定義....................................2

考點二：三角函數的定義域和函數值的符號..........................2

考點三：誘導公式一..............................................3

考點四：三角函數線..............................................3

模塊二：題型分類...................................................3

題型一：單位留定義法求三角函數值...............................3

題型二：山終邊或終邊上點求三角函數值............................4

題型三：由三角函數值求終邊上的點或參數..........................5

題型四：三角函數值在各象限的符號...............................5

題型五：畫三角函數線............................................6

題型六：三角函數線的應用........................................7

模塊三：綜合鞏固...................................................8

5.2三角函數的概念

模塊一：基礎知識

y\

考點一：任意角三角函數的定義

1、單位圓定義法：

如缸設a是一個任意角，。,它的終邊0P與單位圓相交于點尸(x/)

①正弦函數：把點P的縱坐標y叫做a的正弦函數,記作Sina,即y=sina

②余弦函數：把點P的橫坐標x叫做a的余弦函數，記作cosa,即x=cosa

③正切函數：把點P的縱坐標與橫坐標的比值上叫做a的正切，記作tana,即上=tana(xw0)

xx

我們將正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數

2、終邊上任意一點定義法：

在再a終邊上任取一點P(x,v),設原點到P(x,y)點的距離為、

.的》\

〃二|。尸

0x

①正弦函數：sincr=-

-I

x

②余弦函數：COS6Z=-

③正切函數：tan<7=—(x0)

X

考點二：三角函數的定義域和函數值的符號

L三角函數的定義域

三角函數定義域

sina{?|aGR}

cosa{a\a^R}

tana{aATT+Z

2.三角函數值在各象限的符號

由于角的終邊上任意一點尸(工小)到原點的距離，?是正值，根據三角函數的定義，知

①正弦函數值的符號取決于縱坐標y的符號；

②余弦函數值的符號取決于橫坐標x的符號；

③正切函數值的符號是由xj的符號共同決定的，即xj，同號為正，異號為負.

因此，正弦函數(sin。)、余弦函數(COSQ)、正切函數(tana)的值在各個象限內的符號如圖所示.

考點三：誘導公式一

1.語言表示:終邊相同的角的同?三角函數的值相等.

2.式子表示：

?sin(a+2^^)=sin6if

②cos(a+2k兀)=cosa

③tan(a+2〃4)=tana其中％wZ.

考點四：三角函數線

設a角的終邊與單位圓相交點P；④由點。向x軸做垂線，垂足為點〃；⑤由點4作單位圓的切線與

終邊相交于點7。如下圖所示：

在.RtAOPM中：

.\PM\\PM\\PM\

\OP\r1

|PM|為正弦線，長度為正弦值。

\OM\\OM\\OM\......

cosa=------1=------L=-------L=()M

\OP\r1

|OM|為余弦線，長度為余弦值。

,\AT\\AT\\AT\,

在H/AO/r中：tana=\—}=^——l=

IOA|r1

|HT|為正切線，長度為正切值。

模塊二：題型分類

題型一：單位圓定義法求三角函數值

1.已知角。的終邊與單位圓交于點P(-弓,半)，則sinacosa=()

A.BB..巫C.D,"

3333

2.已知角。的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊在第三象限且與單位圓交于點尸一手，加

X

則sina=()

A.一立B.正C.一也D.述

5555

3.在平面直角坐標系xQr中，角6的頂點與原點。重合，它的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊0P交單位

圓。于點尸,貝ijtan，的值為

3

D.

4

4.設角a的終邊與單位圓的交點坐標為

A'，BfD.1

5.已知角。的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合,若。的終邊與圓心在原點的單位圓交于

力仁,〃，，且。為第四象限角，則sina=()

3344

A.B.C.D.

555

題型二：由終邊或終邊上點求三角函數值

1.已知角a終邊經過點P(2,l),貝ijsina=()

A.1B.gC.竽D.2

2.已知角。的終邊落在直線J，=2_r上，則sina的值為()

D.土邁

5

3.(多選)已知角。的終邊經過點。(-4/%3砌(〃?/0),則2sina+cosa的值可能為()

4.若月的終邊所在射線經過點P(1.2),則Sin/=,tan/?=

題型三：由三角函數值求終邊上的點或參數

I.若角a的終邊上有一點P(-2,?n)，且sina=—*,則m=()

A.4B.±4C.-1D.±1

2.已知角a的終邊上有一點尸(認6),且cosa=g^，則實數，〃取值為—

1

3.已知角。的終邊上一點尸卜〃,7句,且cosa=近〃,求/〃值.

4

4

4.已知角，的終邊經過點尸(-8〃53),且cosO=—w，則實數小的值是()

B.—

A.T32

c9T9

C.』或」D-袁或方

3

5.已知角a的終邊經過點(2a+l,a-2),且cosa=、，則實數”.

題型四：三角函數值在各象限的符號

1.已知sinJ<0,tan。V0,則角6的終邊位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.“sin。V0”是“。為第三象限角”的(

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.求Jl-2sin5cos5=()

A.sin5-cos5B.-sin5-cos5

C.cos5-sin5D.sin5+cos5

2sinxcosx

所有可能取值的集合為

?71-cos2x4\-sin2x

5.已知點P(cos。,-tan。)是第三象限的點，則。的終邊位于()

A.第一?象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6點.P(tan2022°,cos20220)位于第象限.

題型五：畫三角函數線

1.利用單位圓分別寫出符合下列條件的角?的集合:

1

(1)sina=-；

2

cosa=----；

2

(3)tana=-J3■

2.不等式COSX在區間［-肛句上的解集為.

3.利用三角函數線，寫出滿足下列條件的角x的集合:

(l)sinx>Kcos>；

(2)tanx>-l.

4.使sinxVcosx成立的x的一個變化區間是()

5.已知ae0,y,則sina+cosa的取值范圍是_____

乙）

題型六：三角函數線的應用

1.己知A是AJ8C的一個內角，Etan^-V3>0,則sin/l的取值范圍是（）

2.(1)設,試證明：s\na<a<tana：

(2)若試比較/sin/?與a-sine的大小.

3.如圖，已知點A是單位圓與工軸的交點，角口的終邊與單位圓的交點為P,尸A/_Lx軸于“，過點A作

單位圓的切線交角a的終邊于7,則角。的正弦線、余弦線、E切線分別是（）

A.麗，萬，礪

B.OM>訴，萬

C.折，萬，兩

D?聲，兩，萬

4.利用三角函數線，確定滿足不等式Wcos”<正的夕取值范圍.

22

模塊三：綜合鞏固

1.已知角。的終邊過點。（片2）,且cosa二一4,求sina及tana的值.

2.（多選）已知角。的終邊上有一點P（a,2a）,若。<0,則（）

A.sin/9=--B.sin^=-^^

55

C.tan0=：D.tan<9=2

2

3.角。的終邊經過點（—2,3）,則sin，=（）

A'o

A.——用B.——屈C.—V13D.

131313

4.角。的終邊經過點P（4,/））且sina二-±則力的值為（）

A.3B.-3C.±3D.5

5.（多選）已知cosO=-；,則。可能是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

6.（多選）若。是第四象限角，則點小》孑制吟在第（）象限.

\乙乙）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.已知點尸（4,一3〃?）角a的終邊上，且sina=（,求機，cosa,tana.

c?sincr八tana八r”口，、

8.若--->0,--------<0,則。是（）

tanacosa

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

9.已知P（sinl.cos2）.則點尸所在象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.角。的終邊上一點尸的坐標為（JJ/）,且sina=7"w0）,則tana=（）

A.iy/2B.+y/6C.y/2D.^6

n

11,若|cos"=cos￡,|tan6>|="tan^,則萬的終邊在（）

A.第一、三象限

B.第二、四象限

C.第一、三象限或在x軸的半負半軸上

D.第二、四象限或在x軸上

12,sinsin2?sin3?sin4的符號為（）

A.正B.0C.負D.無法確定

13在平面直角坐標系中，薪，而，涼；面是圓/+_/=1上的四段弧（如圖），點夕在其中一段上，角。

以。x為始邊，O夕為終邊，若lana<cosa<sina,則尸所在的圓弧是

14.質點P和。在以坐標原點O為圓心，半徑為1的圓周上順時針作勻速圓周運動，同時出發/的角速度

為3rad/s,起點為射線y=-6x（x2。）與圓的交點；。的角速度為5rad/s,起點為圓與x軸正半軸交點，

則當質點。與尸第二次相遇時，。的