第5章 特殊平行四邊形 單元演練卷-2025-2026學年浙教版八年級數學下冊

第5章特殊平行四邊形單元演練卷

（時間：90分鐘滿分：100分）

一、選擇題（本大題有10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的4個選項中，

只有一項是符合題目要求的）

1.b列命題是假命題的是（）

A.平行四邊形的對角線互相平分

B.矩形的對角線互相垂直

C.菱形的對角線互相垂直平分

D.正方形的對角線互相垂直平分且相等

2.如圖，四邊形ABCD各邊中點分別是E、F、G、H,兩條對角線AC與BD互相垂直，則四

邊形EFGH一定是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形

3.如圖，矩形ABCD中，AD=3,AB=4,M為線段BD上一動點，MPJ_CD于點P,MQ1BC

于點Q，則PQ的最小值是（）

A.12B.324D

2

4.如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉45。后，得到正方形ABCD，，邊BC與

DC交于點O,則NDOB，的度數為（）

c

A.125°B.130°C.135°D.140°

5.如圖，正比例函數y=kx（k*0）的圖象與矩形dBCD有公共點，AB=1,BC=2,BCIx軸,

且點A的坐標為（1.2），則k的值可能是（）

6.如圖，兩張對邊平行旦等寬的紙條交叉疊放在一起,重合部分構成的四邊形ABCD是（)

A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形

7.如圖：矩形ABCD,AB>AD,AB=4,AN平分/DAB,DMJ_AN于點M,CN1AN于點

C.26D.4

8.如圖，在正方形48CD中，E、F、H分別是4tBC、CD的中點，CE、川咬于點G,連接4G

下列結論中，不正確的是（）

AD

B.CELDF

D.△NOG是等邊三角形

9.如圖，在矩形4BC0中，E、尸分別是邊48、上的點，AE=CF,EF與對角線AC交于點O,

FC=6,則48的長為（）

C.4^3D.6

10.如圖，在正方形ABCD中，M、N是對角線AC上的兩個動點，P是正方形四邊上的任意一

點，且AB=4,MN=2,設AM二x,在下列關于△PMN是等腰三角形和對應P點個數的說法中，

①當x=0（即M、A兩點重合）時，P點有6個；

②當P點有8個時，x=2V2-2；

③當△PMN是等邊三角形時，P點有4個；

④當0VxV4&?2時，P點最多有9個.

其中結論正確是（）

A.①②B,①③C.②③D.③④

二、填空題（本大題有6個小題，每小題3分，共18分）

II.如圖，在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,E是CD邊上一動點，過點E分別作EF_LOC于

點F,EG_LOD于點G,連接FG,則FG的最小值為.

12.如圖，坐標系中四邊形ABCO是正方形，D是邊OC上一點，E是正方形邊上一點.已知B

（一3,3）,D（0,1）,當AD=CE時，點E坐標為.

13.如圖，在影△ABC中，LBAC?90S48,6,4c?8,『是斜邊上一動點，PE1

點￡?「_1人。于點尸，EF與4F相交于點。則OF的最小值為

14.如圖，在正方形ABCD口，△川”的頂點E,F分別在BC、CD邊上，高AG與正方形的

邊長相等，連BD分別交AE、AF于點M、N,若EG=4,GF=6,BM=3yli，AB=,

MN=

15.楊師傅要做一個長方形的桌面，做好后量得長為2m,寬為1.5m,對角線為2.15m,則這個

桌面.（填“合格”或‘不合格”）.

16.如圖，在Rt△/U/C中，4?=3,AC,Z.H4C?90°,BC的中垂線DE與乙BAC

的角平分線AF交于點E，則四邊形ABEC的面積為

三、解答題(17、18、19題每題6分，20、21題每題8分，22、23每題9分，共計52

分，要求寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.如圖，C是宜線1上的點，4CJ,，，點B是直線1上的一個動點，且在C點右側，以48為邊

在直線1的上方作OWOE,若4c=3,XE=12,B￡+CB=17.

(1)若四邊形為矩形時，求CO的長;

(2)若四邊形八80￡為菱形時，求C8的長.

18.如圖，方格紙上每個小正方形的面積為1.

B

⑴在方格紙上，以線段AB為邊畫正方形ABCD,并計算所畫正方形ABCD的面積.

⑵請你在圖上分別畫出面積為5正方形A.B^iDi和面積為10的正方形A2B2C2D2,正方形的

各個頂點都在方格紙的格點上.

19.如圖，菱形48C0的對角線4?、B&ffi交于點O,過點心作OEIMC,且=連接0￡交

于點B連接"、CE.

(1)求證：OE?CD^

⑵若菱形必?。的邊長為4,UBC=60。，求先

2().如圖，在菱形4BC0中，對角線相交于點。過點C作CEI。。，過點。作DE||dC,CE

與0￡相交于點E.

(2)若人0=4，LABC=60S求C￡的長.

21.如圖，，4。是△,，取：的角平分線，?！辍F分別是2.480和二？1CD的高。

(1)求證：40垂直平分EF.

(2)若AB^AC*10,S^ABC?15,z￡4「,60,求AO的長。

22.如圖是俱樂部新打造的一款兒童游戲項目，工作人員告訴小敏，該項目48段和8c段均由不

銹鋼管材打造，總長度為26米，矩形AOCC和矩形。EF四為木質平臺的橫截面，點G在,48上,

點C在GF上，點D在dE上，經過現場測量得知C。=1米，AD二15米.

（1）求立柱的長度：

（2）為加強游戲安全性，俱樂部打算再焊接一段鋼索經測量米，請你求出

要焊接的鋼索OF的長.

23.在平面直角坐標系xoy中，對于點P（X1.y1），給出如F定義：當點。（不丫2）滿足勺寺=

時，稱點Q是點P的等積點.已知點p（12）.

y-

5-5-

-?尸-?P

[1]11]》]11]11]?

O.5X-5O.5X

-4-

備用圖

（1）在Q］（2.1）,Q2（-4.-1）,（?3（8.2）中，點P的等積點是.

（2）點Q是P點的等積點，點C在x軸上，以O,P,Q,C為頂點的四邊形是平行四邊形,

求點C的坐標.

（3）已知點8（1,；）和點M（5,m），點N是以點M為中心，邊長為2且各邊與坐標軸平

行的正方形T上的任意一點，對于線段8內上的每一點A,在線段上都存在一個點R使

得A為R的等積點，直接寫出m的取值范圍.

答案

一、選擇題（本大題有10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的4個選項中,

只有一項是符合題目要求的）

1.下列命題是假命題的是（）

A.平行四邊形的對角線互相平分

B.矩形的對角線互相垂直

C.菱形的對角線互相垂直平分

D.正方形的對角線互相垂直平分且相等

【答案】B

【解析】【解答】解：A、平行四邊形的對角線互相平分，不符合；

B、應該是矩形的對角線相等且互相平分，符合；

C、菱形的對角線互相垂直旦平分，不符合；

D、正方形的對角線相等且互相垂直平分，不符合；

故答案為：B.

【分析】利用平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質解題即可.

2.如圖，四邊形ABCD各邊中點分別是E、F、G、H,兩條對角線AC與BD互相垂直，則四

邊形EFGH一定是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形

【答案】A

【解析】【解答】解：設AC交BD于點O,EF交BD于點M,

???E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，

，EF〃AC且EF*C,GH//AC且GH少C,EH〃BD且EH=：BD,GF〃BD且GFqBD,

，EF〃GH,EH〃GF,

???四邊形EFGH是平行四邊形，

VAC1BD,

JZFEH=ZFPD=ZCQD=90°,

???四邊形EFGH是矩形，

故答案為：A.

【分析】根據三角形中位線定理可得EF〃AC且EF^AC,GH〃AC且GH=^AC,EH〃BD且

EH=：BD,GF〃BD且GF=^BD,進而得出四邊形EFGH是平行四邊形，再結合AC與BD互相

垂直即可得出結論.

3.如圖，矩形ABCD中，AD=3,AB=4,M為線段BD上一動點，MPJ_CD于點P,MQ1BC

于點Q，則PQ的最小值是（）

B

A.12B.324D.5

TT2

【答案】A

【解析】【解答】解：如圖，連接CM,

???MPJ_CD于點P,MQ_LBC于點Q,

???ZCPM=ZCQM=90°,

???四邊形ABCD是矩形，

ABC=AD=3.CD=AB=4,ZBCD=90°,

???四邊形PCQM是矩形，

APQ=CM,

由勾股定理得：BD==+5.,32.42=5,

當CM_LBD時，CM最小，則PQ最小,

BC-CD,

.CD3x4-12

?CM-P7r=-r-v

???PQ的最小值為號,

故答案為：A.

【分析】如圖，連接CM,結合已知根據有三個角是直角的四邊形是矩形可得四邊形PCQM是矩

形，由矩形的性質可得PQ=CM,在直角三角形BCD中，用勾股定理可求得BD的值，根據垂線

段最短可得：當CM_LBD時，CM最小，則PQ最小，在直角三角形BCD中，用面積法可求得

CM的值，即為PQ的最小值.

4.如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉45。后，得到正方形ABCTT,邊BC，與

DC交于點O,則NDOB，的度數為（）

A.125°B.130°C.135°D.140°

【答案】C

【解析】【解答】解：連接&C,如圖所示,

???四邊形ABCD是正方形，

AC平分/BAD,

???旋轉角NBAB，=45。，ZBAC=45°,

???B在對角線AC上，

AZB'CO=45°,

由旋轉的性質得:乙ABC=ZB=90%AB,=AB=h

?"OC=45，

:,乙DOB=180-45'=1354

故答案為：C.

【分析】連接BC由正方形的性質及旋轉的性質可得NBCO=45。，利用

三角形內角和求出乙B'OCr45。，由平角的定義即可求出NDOB，的度數.

5.如圖，正比例函數y二kx\k*0）的圖象與矩形48C0有公共點，dB=1,BC=2,BCIx軸,

且點A的坐標為（12），則k的值可能是（)

【答案】D

【解析】【解答】解：??,點/I的坐標為(1.2)，AB>bBC|x軸

--C(3.1),

把點/i的坐標代入卜二k乂得k二二，

把點C的坐標代入y=k*得〃=$

正比例函數'二kx(k豐0)的圖象與矩形-SCO有公共點，則:9k<2，

故答案為：D

【分析】先根據題意得到點C的坐標，再根據待定系數法求出函數k的值，進而結合題意即可求

解。

6.如圖，兩張對邊平行且等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構成的四邊形ABCD是()

A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】B

【解析】【解答】解：由圖可知，過A點作AE_L8C于E,AFLCO于R

???兩條紙條寬度相等,

,\AE=AF.

'：AB//CD,AD〃BC,

???四邊形ABC。是平行四邊形.

「SABCI產BOAE=CD?AF.

又?.?AE=A凡

：?BC=CD,

???四邊形ABC。為菱形.

故答案為:B.

【分析】首先可判斷重疊部分為平行四邊形，且兩條紙條寬度相同，再由平行四邊形性質可得鄰

邊相等，則重疊部分為菱形。

7.如圖：矩形ABCD,AB>AD,AB=4,AN平分NDAB,DMJ_AN于點M,CN_LAN于點

N.則DM+CN的值為（）

【答案】B

【解析】【解答】解：如圖，???四邊形ABCD是矩形,

.*.AB=CD=4,ZDAB=ZADC=90°,

TAN平分NDAB,DM1AN,CN±AN,

???ZADM=ZMDC=ZMED=ZNEC=ZNCD=45°,

AMD=ME,NE=NC,

222

-DE=v+ME=v'ZDM，CE=>/CN+EN=41CH，

VDE+CE=CD=4,

***\2DM+\~2CN=4，

ADM+CN=2、2.

故答案為：B.

【分析】根據“AN平分/DAB,DMIAN干點M,CNIAN于點N.”得到/ADM=/MDC=

NMED=/NEC=NNCD=45。，再利用三角函數求出DE和CN的長度，最后相加即可。

8.如圖，在正方形4BCD中，E、F、H分別是A&BC、CD的中點，CE>OF交于點G,連接4G

下列結論中，不正確的是（）

A.CE=DFB.CELDF

C.GH=\ADD.△A0G是等邊三角形

【答案】D

【解析】【解答】解：A、???四邊形<8。是正方形，

??AB=BC=CD=ADi=LDCF>

VE,F是中點,

U，

?BCESACDF(SAS)，

ACE二OF,乙BCE二ACDF,

故力不符合題意，A錯誤；

B、：LBCE+LDCG=90^

:?乙DCG+乙CDF=90%

，ZDGC=90%

:?CE1OF,

故H不符合題意，B錯誤；

C、TH是中點，

???G〃=；CD=；d0，

故c不符合題意，c錯誤；

D、:△CGD是直角三角形，

:?DG*CD,即。GwdO,

???△40C不是等邊三角形，

故。符合題意，D正確.

故答案為：［｝

【分析】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，等邊三角形的

判定.先根據正方形的性質可推出48CD■ND,乙B■皿F,利用全等三角形的判定

定理可得：4BCE三4CDF,利用全等三角形的性質可得：CE=Dh乙BCE,bDF,據此可

判斷A選項；根據MCE+乙。CG=90。，利用等量代換可得：zDCG+ZTOF,90S進而可推

出CEL0F,據此可判斷B選項；利用中點的定義可推出：G〃=；G)=；4/)，據此可判斷C選

項；根據3儀；。是直角二角形，利用直角二角形的性質可得：DG*CD,進而可推出"GH4",

利用等邊三角形的定義可得：△AOG不是等邊三角形，據此可判斷D選項;

9.如圖，在矩形dBCO中，E、尸分別是邊dB、CO上的點，AE=CF,EF與對角線4C交于點O,

且rfiEF?2^BACFC=J5，則48的長為()

A.2^3B,3^3C.4GD.6

【答案】B

【解析】【解答】解：連接0B,如圖,

???四邊形ABCD為矩形，

AB/7CD,

???ZEAO-ZFCO,

???ZAOE=ZCOF,AE=CF,

J△AOE^ACOF(AAS),

.?.EO=FO,

,:BE=BF,

???NEBONFBO,ZBOF=90°,

???ZBEF=2ZBAC,ZBEF=ZBAC+ZAOE,

ZBAC=ZAOE,

:.AE=EO,

???OF=FC,

???RtABOF^RtABCF(HL),

:.NFBO=NCBF,

■:/卜BO+NCB卜+NEBO=90U,

???ZEBO=30°,

:.2E0=BE,SP2AE=2FC=BE=2\/3,

AB=AE+BE=3\，.

故答案為：B.

【分析】根據平行四邊形的性質可得AB〃CD,根據AAS判定△AOE且△COF推出EO=FO,

根據等腰三角形的性質可得NBOF=90。，ZEBO=ZFBO,依據外角的性質可推出NBAC=NAOE

得至ljOF=FC,根據HL判定RsBOFgRSBCF推出ZEBO=30°,計算出BE=2FC,即可求得.

10.如圖，在正方形ABCD中，M、N是對角線AC上的兩個動點，P是正方形四邊上的任意一

點，旦AB=4,MN=2,設AM=x,在下列關于△PMN是等腰三角形和對應P點個數的說法中，

①當x=0（即M、A兩點重合）時，P點有6個；

②當P點有8個時，x=242-2；

③當△PMN是等邊三角形時，P點有4個;

④當0VxV4日-2時，P點最多有9個.

其中結論正確是（)

B.①③C.②③D.③④

【答案】B

【解析】【解答】①如圖，當x=0（即M、A兩點重合）時，P點有6個；故符合題意;

②如圖，當P點有8個時，0<x<4-2,故不符合題意;

有兩個P點關于BD對稱的位置，共有4個：故符合題意;

④當0<x<4、，2-2時，P點最多有8個.故不符合題意.

故答案為：B.

【分析】利用圖象法即可解決問題；

二、填空題（本大題有6個小題，每小題3分，共18分）

II.如圖，在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,E是CD邊.上一動點，過點E分別作EF_LOC于

點F,EG_LOD于點G,連接FG,則FG的最小值為.

D

【解析】【解答】解：???四邊形ABCD是菱形

AAC1BD,AD=CD,

???EF_LOC于點F,EG_LOD于點G,

，四邊形OGEF是矩形，

連接0E,則OE=GF,

當OE_LDC時，GF的值最小，

VBD=6,AC=8,

A0D=3,0C=4,

?'?CD=^oc24.OD2=5，

??$“OD=；8-OD=；CDOF,

.“OCOD4X3li

?°E=Fr="r=M'

???FG的最小值為￥，

故答案為:

T?

【分析】由菱形的性質可得AC_LBD,AD=CD,可證四邊形OGEF是矩形，連接OE,貝UOE=GF,

當OE_LDC時，，OE的值最小，即GF的值最小，山勾股定理求出CD=5,再利用△COD的面積

求出0E的長，從而得解.

12.如圖，坐標系中四邊形ABCO是正方形，D是邊OC上一點，E是正方形邊上一點.已知B

(-3,3),D(0,1),當AD=CE時，點E坐標為.

【答案】(-3,2)或(-1,0)

【解析】【解答】解：①當點E在正方形的邊AB上時,

VAD=CE,如圖，

二點E是正方形AB邊上一點,

???四邊形ABCO是正方形，

：.0A?BC,ZAOD=ZB=90°,

在RtAADO和CEB中，

(AD=CE

lOA=RC

ARtAADOaRSCEB(HL),

ABE=OD,

VB(-3,3),D(0,1),

???點E的坐標為(?3,2).

②當點E在正方形的邊OA上時,

y

AuE0|x

同理可證：RtAAOD=RtACOE(HL),

.*.OD=OE,

???點E的坐標為(-1,0).

故答案為：(-3,2)或(-1,0).

【分析】分點E在在正方形的邊AB上或在正方形的邊OA上兩種情況，根據正方形性質及

AD=CE,利用“HL”證得RtAADO三RtACEB或RtAAOD=RtACOE,從而推出BE=OD或

OD二OE,即可求得點E的坐標.

13.如圖，在砧△ABC中，LBAC?90S48,6,P是斜邊UC上一動點，PE1

點￡?卜工/^于點尸，EF與4P相交于點。則OF的最小值為

【答案】2.4

【解析】【解答】解：???P￡?LAS，PF1AG

：.^PEA=LPFA=90S

?90S

.?.四邊形dEPF是矩形,

：.EF?AP,OE=OF=；EF，

???當U最小時,￡F最小，OF最小，即當時,

-AB=AC=8，

：-BC?10,

**AP=[=4R?

，線段EF的最小值為4.8,

???線段OF的最小值為2.4,

故答案為：2.4.

【分析】先證明四邊形dEPF是矩形，再利用矩形的對角線相等，可知當AP最小時，EF也最小,

再利用面積法，得到關于AP的方程求解.

14.如圖，在正方形ABCD口，△/1￡￡的頂點E,F分別在BC、CD邊上，高AG與正方形的

邊K相等，連BD分別交AE、AF于點M、N,若EG=4,GF=6,BM=3/，AD=,

MN=

【答案】12；5a

在Rt^ABE和Rt△AGE中,

AB=AG

AE=AE

：.Rt^ABE2/reAAGE(HL)，

同理Rt△ADF2/?r△AGF，

?'?BE=EG=4?FD=FC=6?

=4+6二10,

設AB則CE?x-4,CF?x-6?

在次中，CE?+CF?=E產，即("-4)2+“-6)2=1()2,

解得X]=12*x?=-2(舍去)，

--AB?12，

??BD=12V2，

?；Rt^ABE3Rt,

/.Z.BAM=Z.GAM，

在△48M和中，

ABsAG

LHAM=LGAM，

AM=AM

???△ABMSAAGM(SAS)，

-?BM=GM=3^2，ZJ18M=￡AGM，

同理AADN三△4GN,

:.ND>NG，UDN■2GV，

?."BA?+MDN=90*,

：-LAGM+LAGN-90」，

：4MGN是直角三角形，

設MN=y，貝iJGN=ON=12>/2-34-y=9近一j，

*-MG)+NC2=MN?，

.??（3、2）’+（隊2-），）2=/，

解得y=5V2?

??MN=5日?

故答案為：12,5、笈.

【分析】連接MG、NG,由題意用HL定理可證RIAABEgRMAGE,RsADF/RsAGE,

由全等三角形的性質可得BE=EG,FD=FG,ZBAM=ZGAM,結合線段的構成得EF=EG+GF

可求得EF的值；設AB=x,則CE=x-4,CF=x-6,在RtACEF中，用勾股定理可得關于x的方

程,解方程可求得x的值（即為AB的值）；于是BD=V12AB=X2X；用邊角邊可證△ABM空△AGM,

△ADN^AAGN,由全等三曲形的性質可得BM=GM,ZABM=ZAGM,ND=NG,

ZADN=ZAGN,結合已知易證△MGN是直角三角形，設MN=y,在直角三角形MGN中，用

勾股定理可得關于y的方程.解方程即可求解.

15.楊師傅要做一個長方形的桌面，做好后量得長為2m,寬為1.5m,對角線為2.15m,則這個

桌面.（填“合格”或“不合格”）.

【答案】不合格

【解析】【解答】解：如圖：

???2?+1S=6.25*2.152,

即：AD2+DC2HAC2,

???ZD工90°,

???四邊形ABCD不是矩形，

???這個桌面不合格.

故答案為：不合格.

【分析】只要算出桌面的長與寬的平方和是否等于對角線的平方，如果不相等，長、寬、對角線

構成的就不是直角三角形，可得此桌面不合格.

16.如圖，在Rt^ABC中，48=3,XC?4,Z.BAC?90°,BC的中垂線DE與Z.BAC

的角平分線4''父于點E,則四邊形AUEC的面積為

【答案】苧

【解析】【解答】解：過點E作EG_LAB交AB延長線于G,作EH_LAC于H,

TAE是NBAC的角平分線,

AEG=EH,

〈DE是線段BC的垂直平分線,

，EB=EC,

在RtAEGB和RtAEHC中,EH

EC

ARIAEGB^RtAEHC(HL),

BG=CH,SAEGB=SAEHC,

在RtAAGE和RtAAHE中，｛案：*

ARtAAGE^RtAAHE(HL),

AAG=AH,

.\AB+BG=AC-CH,

???3+BG=4-BG,

ABG=3,

7

???AG=AB+BG=2

,/ZGAC=ZAGE=NAHE=90。,

???四邊形AGEH是矩形，

VAG=AH,

???矩形AGEH是正方形,

49

?'?S四電形ABEC=S四邊形ABEH+SA三HC=S四邊彩ABEH+SAEGB=S正方形AGEH=AG?=

T

故答案為：芋

【分析】過點E作EG_LAB交AB延長線于G,作EH_LAC于H,根據角平分線的性質和線段

垂直平分線的性質得到EG=EH,EB=EC,然后證明RtAEGB^RtAEHC,RtAAGE^RtAAHE,

7

=2

求出SAEGB=SAEHC?BG=2>得到AG然后證明I四邊形AGEH是正方形，根據四邊形

ABEC的面積等于正方形AGEH的面積計算即可.

三、解答題(17、18、19題每題6分，20、21題每題8分，22、23每題9分，共計52

分，要求寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.如圖，C是直線1上的點，點B是直線1上的一個動點，且在C點右側，以48為邊

在直線1的上方作OA8DE,若4c=3,AE=12,B￡+CB=17.

E

(1)若四邊形人8?！隇榫匦螘r.，求C8的長;

(2)若四邊形八為菱形時，求C8的長.

【答案】(1)解：???矩形

???曲￡=90。

設CB?x，貝切￡?17-x>

由勾股定埋得：X-+3=（17-x）-12\

解得：x=4,

：.CB=4.

（2）解：,?,菱形4BDE

：-AB二A￡

設G?=x,

由勾股定理得:X2+32=122，

解得：JC=3/E（負值舍去），

-*<￡?=3\15.

【解析】【分析】（1）設C8a%則"￡*17-*,利用勾股定理可得/+32=（17-x）2-12?，

再求出x的值即可；

（2）設C8=X,利用勾股定理可得/+3=12］，再求出x的值即可.

（1）解：???矩形

"BAE=90。，

設=17-x,

由勾股定理得：

/+3?=（17-I）?-12'，

解得x=4,

：.CB=4：

（2）解：???菱形人80￡

*'?AB-4￡?

設CO二x,

由勾股定理得:

??/?3?=12。

解得：*=（負值舍去），

:心=3V15-

18.如圖，方格紙上每個小正方形的面積為1.

⑴在方格紙上，以線段AB為邊畫正方形ABCD,并計算所畫正方形ABCD的面積.

⑵請你在圖上分別畫出面積為5正方形A.BiCiDi和面積為10的正方形A2B2C2D2,正方形的

各個頂點都在方格紙的格點上.

【答案】解：（1）由網格可得：

AB==275'

則正方形ABCD的面積為（2、弓）'=20，正方形ABCD如圖所示：

（2）由面積為5正方形A.B.C.D）和面積為10的正方形A2B2C2D2,可得正方形A.B.GD）的邊

長為行，正方形A?B2c2D2的邊長為、而，則如圖所示

【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB,根據正方形的性質及網格特點畫出正方形并求出

其面積即可；

（2）先分別求出正方形A6IGDI的邊長為，正方形A2B2c2D2的邊長為710,根據正方

形的性質及網格特點分別畫出正方形即可.

19.如圖，菱形48co的對角線dC、BD相交于點O,過點0作DEII4C,且；4C，連接0￡交

C0于點凡連接4F、CE.

⑵若菱形A8C。的邊長為4,U8C,6（T,求噌

AE

【答案】（1）解：（1）證明：四邊形40CD是菱形，ZDOC=90°

?.04=0C=；4C，

?DE=34。

DE=OC，

DEIIAC

二四邊形OC￡D是平行四邊形,

DE||4CNEDO=ND0090。

???四邊形"EC是矩形，

:.0E=CD;

（2）連接4逢

??ACJL80，

四邊形是矩形,

%CF=DF,

??,在菱形40CD中，乙，18c=60'，

三角形ACD是的等邊三角形

AAC■AB*CD?AD?4

?.AF1CD,

：?AF=ijAC2-CF2=<42-22=2^3

在三角形ACD中，CE=OD=y/ADr-AO^=2^3

在Rt△4（?￡中，/￡=JAC??CE?=J42+（2VS）2=26

AF2y5歷

.?灰=訂=丁

【解析】【分析】（1）根據菱形的性質，先證明四邊形"￡。是平行四邊形，再證四邊形OC￡。是

矩形，從而得到OE=CD

（2）先證三角形ACD是等邊三角形，求出AF。同理求巴OD即CE,在直角三角形ACE中利

用勾股定理求出AE。龍問題得到解決。

（I）證明：四邊形4BCD是菱形，

04=OC=；4C，AD=CD,

'：DEIMC且。/T=；AG

DE=0A■OC,

四邊形0小?！?、四邊形OCEO都是平行四邊形，

OE■AD,

.OE=CD；

(2)解:連接AE.

???四邊形OCE0是矩形,

.?.CF,DF,

,?在菱形4SCD中，乙18c,60。，

AC=ABsCDAD=4?

?.AF1CD,

?.AF=4AC-CFZ=V4z-22=26

在矩形OC￡D中，CE=OD=^AD2-AO2=26，

在山△ACt+=^AC2fCE2=J42+(2可=26

AF275721

'而Ff

20.如圖，在菱形AHCO中，對角線AC,8。相交于點。過點。作以I01),過點。作IMG

與?！晗嘟挥邳c￡

(2)若40=4,ZJI8C?6O。，求C￡的長.

【答案】（1〉證明；VCE//OD,DE〃AC

，四邊形OCED是平行四邊形，

又?.,四邊形ABCD是菱形，

AAC1BD

:.ZCOD=90°

,四邊形OCED是矩形.

（2）解：二四邊形ABCD是菱形，

AAB=BC=CD=4

???ZABC=60°,

???△ABC是等邊三角形，

AAB=AC=4,

=2，

???在RtAOCD中，0〃=\4-22=2\

???四邊形OCED是矩形，

/.CE=OD=2v,3.

【解析】【分析】

本題考查平行四邊形的判定、菱形的性質、矩形判定與性質、等邊三角形的判定和性質、勾股定

理等知識，熟知矩形的判定方法及菱形的性質是解題的關鍵.（1）根據平行四邊形的判定定理:

兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可知：四邊形OCED是平行四邊形；再由菱形的性

質：對角線互相垂直可得：AC1BD,即NCOD=90。，最后根據矩形的判定定理：有一個角是直

角的平行四邊形是矩形可得：四邊形OCED為矩形，即可證得結論；

（2）根據菱形的性質：四條邊相等可知：AB=BC=CD=4,再根據等邊三角形的判定定理：有一

個角是60。的等腰三角形是等邊三角形可得：△ABC是等邊三角形；從而得到AC=4,再由菱

形的性質：對角線互相垂直平分可得：OC=；AC=2,再根據勾股定理：在RsOCD中，

0D=、第二￥=26,最后根據矩形的性質：對邊相等可知：CE=OD=2V5，由此即可得到答

案.

(1)證明：?:CEROD,DE||AC,

???四邊形OCE0是平行四邊形，

乂,四邊形40CD是菱形，

AC±BD,即zT0D,9(T,

.??四邊形OCED是矩形；

(2)解：?,在菱形4BCD中，48=4,

?.AH=8C=CD=4，

又48c?60、，

??.△ABC是等邊三角形，

:.ACa4,

OC=；"=2，

??OD=6二22=2、月，

.?在矩形OC￡￡中，CE二。。二2Vq.

21.如圖，4謁△A8C的角平分線，DE、OF分別是AABD和△AC。的高。

(1)求證：40垂直平分EF。

(2)若48+AC■10,&UBC*15,MAF?60,求人0的長。

【答案】(1)證明：二〕。是△4BC的角平分線，DE1AB,DF1AC,

:.DE-DF,

在次△XEO和a△XF0中，r?="J,

=DF

；?Rt△AED￡*△XFD(//L),

?'-AE=",

而OE=OF,

???,4O垂直平分EF

(2)解：VDE-DF,

??S￡JK■3￡MD+SA4CT

1

=*(/IP4/1C)=15

：AB+?10,

；?；x】QxDE=15，

ADE=3,

V/.E4F=6Q",

?"。,什=LEAD=3俏

二?T。=2DL-6

【解析】【分析】(1)先利用角平分線的性質得。￡二0E利用“/〃”證明&LMED三取4"。得

到dE=AF,然后根據線段垂直平分線的判定方法即可得到結論；

(2)先利用三角形的面積和可求得?！甑拈L，根據(1)中的全等可得，=30。，可

得30的長.

22.如圖是俱樂部新打造的一款兒童游戲項目，工作人員告訴小敏，該項目48段和BC段均由不

銹鋼管材打造，總長度為26米，矩形dOCC和矩形DEFC均為木質平臺的橫截面，點G在,48上，

點C在GF上，點D在4E匕經過現場測量得知CD=1米，AD=15米.

(1)求立柱A8的長度：

(2)為加強游戲安全性，俱樂部打算再焊接一段鋼索BF,經測量米，請你求出

要焊接的鋼索Of的長.

【答案】(1)解：由題意得AG=CO=1米，GC=AO=15米，AB+BO26米..

設BG二』米，貝=(26—1—幻米，

■:在初△8GC中，BG+CG=C8'，

???/+152=(26-lr)?，

解得：x=8.

：.BG=8米.

=8G+G4=9米.

???立柱AB的長度為9米.

(2)由題意得CF二二3米，

:?GF=GC+CF=18米.

在Rt△8GF中，BF=、仇2+G尸s48?+?=2西米?

【解析】【分析】(1)根據題意得dG=C0=1米，GC=4D=15米，設BG=x米，則

BC二(26-1-幻米，在RtABGC中利用勾股定理，可得出關于x的方程，求解得BG的長，

即可求出AB的長.

(2)由題意得CF二0E二3米，從而可求出GF二18米.在RsBGF中利用勾股定理，即可求

出BF的長.

(1)(1)由題意得4G=CO=1米，GC?AD15米,

設8G,4米，則BC?(26-1-x)米，

在々△8GC中，由勾股定理得BG?+C(r=CB，

即/?1512=(26-1-Jr)"解得x?8.

：.BG=8米.

：.AB=8G+G4=9米.

???立柱48的長度為9米.

(2)由題意得CF=0/：=3米，

:?GF=GC+CF=[咪.

在中，由勾股定理得8F=J8G2?GF2=+⑹=2歷米?

23.在平面直角坐標系中，對于點。（勺,月），給出如F定義：當點Q3,）2）滿足町*='

時，稱點Q是點P的等積點.己知點p（12）.

y八y-

5-5-

-?尸-?P

]1」11]》]11]11]?

O.5X-5O.5X

-4-

備用圖

（1）在Q］（2,l）,Qz（-4.-l）,Q3（8,2）中，點P的等積點是.

（2）點Q是P點的等積點，點C在x軸上，以O,P,Q,C為頂點的四邊形是平行四邊形,

求點C的坐標.

（3）已知點和點M（5,rn）,點N是以點M為中心，邊長為2且各邊與坐標軸平

行的正方形T上的任意一點，對于線段OALt的每一點A,在線段上都存在一個點R使

得A為R的等積點，直接寫出m的取值范圍.

【答案】(1)Q,(Z.l)

(2)解：設點QCr.y),

???尸(12),點Q是P點的等積點,

?*?x=2yWy=

故點Q在直線y二;jf卜.，

?'?點Q(jr,；x)，

當點0平移得到點P時，平移規律是向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度,

VO,P,Q,C為頂點的四邊形是平行四邊形，

???點向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度得到點C,

*,*點C(.r+1.；jr+2)?

:點C(x+L；x+2)在x軸上，

二點;jr+2=0，

解得X?-4,

???點Q(TO)；

當點P平移得到點O時，平移規律是向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度,

VO,P,Q,C為頂點的四邊形是平行四邊形，

，點Q(Z；x)向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度得到點C,

**?點、C--2)，

:點C(x—1,；*-2)在乂軸上，

**,點;x-2=0，

解得x=4，

???點G(3,o)；

綜上所述，點C(一3,0威C(3。).

(3)4<rn<7

【解析】【解答】解：(1)??P(t2),Q](2.1),Qz(-4,-l)