小學(xué)二年級(jí)數(shù)學(xué)（人教版2024）上冊(cè)第五單元知識(shí)清單：乘除法解決問題全景解讀

小學(xué)二年級(jí)數(shù)學(xué)（人教版2024）上冊(cè)第五單元知識(shí)清單：乘除法解決問題全景解讀一、?核心概念體系：從運(yùn)算意義到數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)（一）【基礎(chǔ)】乘法的本質(zhì)：求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算??乘法是加法的一種特殊形式，只有當(dāng)加數(shù)都相同時(shí)，才能用乘法計(jì)算。這是判斷是否使用乘法解決問題的根本依據(jù)。例如，計(jì)算“5個(gè)3相加”可以寫作3+3+3+3+3，但更簡便的是用乘法3×5或5×3來表示。在2024版新教材中，特別強(qiáng)調(diào)對(duì)乘法意義的理解，而非僅僅背誦口訣。乘法算式各部分的名稱在解決問題中具有實(shí)際意義：乘號(hào)前后的兩個(gè)數(shù)分別代表“每份數(shù)”和“份數(shù)”，乘得的結(jié)果代表“總數(shù)”。【非常重要】（二）【基礎(chǔ)】除法的本質(zhì)：平均分的兩種具體情境??除法是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算，它與乘法互為逆運(yùn)算。在解決實(shí)際問題時(shí)，除法主要涵蓋以下兩種情形，這是本單元最難也是最核心的辨析點(diǎn)：??1.?等分除（求每份數(shù)）：已知總數(shù)和要平均分成的份數(shù)，求每一份是多少。例如：把12個(gè)蘋果平均放到3個(gè)盤子里，每個(gè)盤子放幾個(gè)？這里的“平均放”就是平均分成3份，求每份數(shù)，用除法12÷3=4（個(gè)）。【高頻考點(diǎn)】??2.?包含除（求份數(shù)）：已知總數(shù)和每份的數(shù)量，求總數(shù)里面包含幾個(gè)這樣的每份數(shù)，即能分成幾份。例如：有12個(gè)蘋果，每個(gè)盤子放4個(gè)，需要幾個(gè)盤子？這是求12里面有幾個(gè)4，也用除法12÷4=3（個(gè)）。【高頻考點(diǎn)】【難點(diǎn)】（三）【重要】乘除法的互逆關(guān)系在解決問題中的體現(xiàn)??乘除法的互逆關(guān)系不僅是檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果正確性的工具，更是構(gòu)建連續(xù)問題鏈條的橋梁。在例題“先坐摩天輪，再玩碰碰車”中，用乘法求出摩天輪上的總?cè)藬?shù)（4×3=12），這個(gè)總?cè)藬?shù)隨即成為第二個(gè)除法問題（12÷2=6）中的被除數(shù)。這種“先乘后除”或“先除后乘”的結(jié)構(gòu)，是本單元思維訓(xùn)練的關(guān)鍵點(diǎn)。9二、?三大基本數(shù)量關(guān)系模型（口訣模型）（一）【基礎(chǔ)】模型一：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)??這是乘法解決問題的基本模型，也是除法問題的源頭。在此模型中，兩個(gè)乘數(shù)的意義不同：一個(gè)表示“每份有多少”，一個(gè)表示“有這樣的幾份”。學(xué)生在初學(xué)時(shí)容易混淆兩個(gè)乘數(shù)的位置，雖然在乘法計(jì)算中由于口訣相同結(jié)果一樣，但在表述意義時(shí)完全不同。例如：“每行有6棵樹，4行一共有多少棵樹？”應(yīng)列式為6×4=24（棵），表示4個(gè)6是多少。【非常重要】（二）【重要】模型二：總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)??這是“等分除”的數(shù)學(xué)模型。已知總數(shù)和份數(shù)，求每份數(shù)。在應(yīng)用題中，常出現(xiàn)的關(guān)鍵詞有“平均分給……”“平均放在……”“分成……組”等。例如：“有24棵樹，平均栽成4行，每行栽幾棵？”直接對(duì)應(yīng)24÷4=6（棵）。【高頻考點(diǎn)】（三）【重要】模型三：總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)??這是“包含除”的數(shù)學(xué)模型。已知總數(shù)和每份的數(shù)量，求能分成這樣的幾份。關(guān)鍵詞有“每幾個(gè)一份”“可以裝幾袋”“需要幾輛車”等。例如：“有24棵樹，每行栽6棵，能栽幾行？”對(duì)應(yīng)24÷6=4（行）。【高頻考點(diǎn)】三、?解決問題四步閉環(huán)策略（PBL教學(xué)法）（一）【非常重要】第一步：閱讀理解，篩選有效信息??這是解決問題的起點(diǎn)，也是最容易出錯(cuò)的環(huán)節(jié)。學(xué)生需要從情境圖中或文字中找出“已知條件”和“所求問題”。新教材強(qiáng)調(diào)圖文結(jié)合，有時(shí)信息隱藏在圖中（如物體的數(shù)量、價(jià)格標(biāo)簽等）。建議引導(dǎo)學(xué)生用筆圈出數(shù)字和關(guān)鍵詞語，如“一共”“平均”“每份”“還剩”等。特別要注意“隱含條件”，如例題中“先坐摩天輪，再玩碰碰車”意味著玩碰碰車的人數(shù)就是坐摩天輪的人數(shù)。9（二）【非常重要】第二步：分析關(guān)系，多元表征（畫圖策略）??這是本單元重點(diǎn)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)思想方法——數(shù)形結(jié)合。學(xué)生應(yīng)學(xué)會(huì)用簡單的圖形（如○、△、□）或線段圖來表示題意。??1.?畫圖表示乘法：如“4個(gè)3”，可以畫4組，每組畫3個(gè)○。??2.?畫圖表示等分除：如“把12平均分成3份”，可以畫12個(gè)○，然后圈出3份，每份個(gè)數(shù)相同。??3.?畫圖表示包含除：如“12里面有幾個(gè)3”，可以每3個(gè)○圈一圈，看能圈出幾份。??通過畫圖，抽象的“份”“每份”“總數(shù)”變得直觀可見，這是建立數(shù)學(xué)模型的有效途徑。【熱點(diǎn)】（三）【基礎(chǔ)】第三步：列式解答，規(guī)范計(jì)算??根據(jù)分析的數(shù)量關(guān)系，正確選擇乘法或除法列式。計(jì)算時(shí)必須調(diào)用對(duì)應(yīng)的乘法口訣。例如24÷6=？想口訣“四六二十四”。計(jì)算后，要在算式后面寫上單位名稱，并用完整的語言寫出答案。單位名稱的書寫通常與問題中的“多少”后面的詞一致。（四）【重要】第四步：回顧反思，檢驗(yàn)答案??檢驗(yàn)是培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維的重要環(huán)節(jié)。常用的檢驗(yàn)方法有：??1.?代入法：將求出的結(jié)果作為已知條件，帶回原題情境中逆推，看是否符合另一個(gè)已知條件。例如，求出每行栽6棵樹，那么4行一共就是6×4=24棵，與總數(shù)24吻合，說明正確。9??2.?估算法：判斷結(jié)果是否符合生活實(shí)際，如人數(shù)、車輛數(shù)等通常應(yīng)為整數(shù)。四、?綜合與拓展：乘加、乘減與兩步計(jì)算問題（一）【難點(diǎn)】“幾個(gè)幾多幾”與“幾個(gè)幾少幾”問題（乘加乘減）??這是乘法解決問題的一種變式，通常呈現(xiàn)的物體排列不是完整的“幾個(gè)幾”，而是有部分殘缺或多余。例如：有4盤桃子，前3盤每盤4個(gè)，第4盤只有3個(gè)，求一共有多少個(gè)？??1.?乘加策略：先按完整的幾份算，再加上多出來的。即3×4+3=15（個(gè)）。??2.?乘減策略：把不足的一份也假設(shè)成完整的，再減去假設(shè)的部分。即4×41=15（個(gè)）。【高頻考點(diǎn)】??解決此類問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)“相同加數(shù)的部分”和“特殊部分”。（二）【熱點(diǎn)】連乘、連除與乘除混合運(yùn)算??在后續(xù)的拓展中，會(huì)出現(xiàn)需要兩步計(jì)算的問題，如“2個(gè)組，每組有3人，每人澆4棵樹，一共澆多少棵樹？”這需要連續(xù)使用兩次乘法（2×3=6人，6×4=24棵），或者列綜合算式2×3×4。連除問題則如“有24個(gè)蘋果，平均分給4個(gè)小組，每個(gè)小組有3人，平均每人分幾個(gè)？”先算每組得幾個(gè)（24÷4=6），再算每人得幾個(gè)（6÷3=2），或列綜合算式24÷4÷3。（三）【基礎(chǔ)】提問題、補(bǔ)充條件類開放題??新教材特別注重培養(yǎng)學(xué)生的提問意識(shí)和創(chuàng)新思維。題目給出部分信息和算式，要求學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題或補(bǔ)充一個(gè)條件。??例如：給出信息“小明買了5支鉛筆，每支2元。____________________？”要求學(xué)生提出一個(gè)用乘法解決的問題（一共花了多少錢？）。??又如：列式是20÷4=5，要求學(xué)生編一個(gè)數(shù)學(xué)故事。這種題型旨在檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義的深刻理解。【非常重要】五、?核心考點(diǎn)與考向分析（基于新課標(biāo)）（一）【高頻考點(diǎn)】辨析“等分除”與“包含除”??這是本單元檢測(cè)的重中之重。考題通常會(huì)以對(duì)比的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生根據(jù)題意選擇正確的算式。??★考向1：文字辨析——“把18個(gè)桃子平均分給6只小猴，每只小猴分幾個(gè)？”與“有18個(gè)桃子，每只小猴分3個(gè)，可以分給幾只小猴？”前者用18÷6，后者用18÷3。??★考向2：圖示辨析——給出一幅圈一圈的圖，讓學(xué)生寫出除法算式，并說出表示的含義（是求每份數(shù)還是求份數(shù)）。3（二）【熱點(diǎn)】看圖列式與畫圖表示算式??借助直觀圖考查學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解是常見題型。??★考向1：看圖寫乘法和除法算式。如畫3行圓圈，每行5個(gè)，要求學(xué)生寫出乘法算式（3×5或5×3）和兩個(gè)除法算式（15÷3=5，15÷5=3）。??★考向2：根據(jù)算式畫圖。如給出算式12÷3=4，讓學(xué)生畫○表示出算式的意思（可以畫12個(gè)○，圈成3份，每份4個(gè)；或者每3個(gè)圈一圈，圈出4份）。【創(chuàng)新題型】（三）【難點(diǎn)】選擇相關(guān)聯(lián)的信息解決問題（兩步計(jì)算）??題目會(huì)給出一堆信息（34條），讓學(xué)生選擇有關(guān)聯(lián)的兩條信息解決一個(gè)問題，或者根據(jù)一個(gè)問題尋找缺少的信息。例如：①有4組同學(xué)；②每組有5人；③每人發(fā)3本練習(xí)本。問：一共需要多少本練習(xí)本？這需要先用①②求出總?cè)藬?shù)（4×5=20），再用總?cè)藬?shù)乘每人本數(shù)（20×3=60）或列綜合算式4×5×3。（四）【基礎(chǔ)】口訣求商與簡單應(yīng)用??直接給出除法算式要求計(jì)算，或結(jié)合簡單的文字題，如“56除以7等于幾？”這是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查，要求人人過關(guān)。六、?常見易錯(cuò)點(diǎn)診斷與干預(yù)策略（一）【易錯(cuò)點(diǎn)1】運(yùn)算意義混淆：該加的時(shí)候加，該乘的時(shí)候乘，該除的時(shí)候除。??★現(xiàn)象：看到“一共”就用加法，看到“分”就用除法，而不分析數(shù)量關(guān)系。??★對(duì)策：強(qiáng)化“相同加數(shù)”用乘法，“平均分”用除法的觀念。通過對(duì)比練習(xí)，如“每組2人，3組一共幾人？”（乘法）與“一組有2人，另一組有3人，一共幾人？”（加法），讓學(xué)生感受區(qū)別。（二）【易錯(cuò)點(diǎn)2】等分除與包含除混淆。??★現(xiàn)象：在解決“把15個(gè)蘋果，每5個(gè)放一盤，需要幾個(gè)盤子？”這類包含除問題時(shí)，錯(cuò)誤地列式為15÷3=5。??★對(duì)策：引導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵句。“每5個(gè)放一盤”是告訴了我們“每份數(shù)”，要求的是“份數(shù)”，必須用總數(shù)÷每份數(shù)。可以讓學(xué)生動(dòng)手圈一圈，通過動(dòng)作感知來理解“包含”的意義。6（三）【易錯(cuò)點(diǎn)3】單位名稱書寫錯(cuò)誤。??★現(xiàn)象：問題問“需要幾個(gè)盤子？”算式15÷5=3，單位名稱誤寫成“盤”或丟掉單位。??★對(duì)策：強(qiáng)調(diào)單位名稱一般從問題中“多少”或“幾”后面的詞語中提取。求“幾個(gè)盤子”，單位就是“個(gè)”。求“每份幾個(gè)”，單位就是“個(gè)”。求“一共多少錢”，單位就是“元”。（四）【易錯(cuò)點(diǎn)4】口訣記憶混淆或書寫不規(guī)范。??★現(xiàn)象：計(jì)算6×7，想口訣“六七四十二”，卻寫成6×7=47；或者計(jì)算24÷4，想不出用哪句口訣。??★對(duì)策：加強(qiáng)口訣的背誦與默寫，做到橫背、豎背、倒背如流。建立乘法口訣表與除法算式之間的聯(lián)系，看到除法算式能快速反應(yīng)出對(duì)應(yīng)的乘法口訣。（五）【易錯(cuò)點(diǎn)5】解決乘加、乘減時(shí)忘記運(yùn)算順序。??★現(xiàn)象：計(jì)算3×4+2時(shí)，先算4+2=6，再算3×6=18。??★對(duì)策：復(fù)習(xí)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序規(guī)則：在沒有括號(hào)的算式里，有乘法和加減法，要先算乘法，后算加減法。進(jìn)行專項(xiàng)的遞等式計(jì)算練習(xí)。七、?跨學(xué)科視野與生活實(shí)踐應(yīng)用（一）【拓展】在勞動(dòng)教育中的應(yīng)用??在種植園勞動(dòng)中，如果要把24棵菜苗種成行數(shù)相等的幾行，可以有哪些種法？這其實(shí)就是在尋找24的因數(shù)，是除法解決問題的生活化延伸。每行種4棵，可以種6行（24÷4=6）；每行種6棵，可以種4行（24÷6=4）；每行種3棵，可以種8行（24÷3=8）等。（二）【拓展】在體育游戲中的應(yīng)用??體育課分組游戲時(shí)，全班42人，如果每6人一組，可以分成幾組？（包含除）；如果平均分成7組，每組幾人？（等分除）。用數(shù)學(xué)的眼光看體育游戲，體會(huì)數(shù)學(xué)無處不在。（三）【拓展】在美術(shù)與設(shè)計(jì)中的應(yīng)用??設(shè)計(jì)有規(guī)律的圖案，如用花朵貼畫，貼3行，每行貼5朵，一共需要多少朵花？（乘法）；或者有15朵花，要貼成圖案，每行貼5朵，可以貼幾行？（除法）。感受數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美和規(guī)律美。（四）【拓展】在道德與法治中的融合??結(jié)合“分享”主題，通過平均分的練習(xí)，體會(huì)公平、公正的意義。把物品平均分給同學(xué)或家人，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中滲透分享意識(shí)和關(guān)愛他人的品德。八、?典型題型庫與解答要點(diǎn)（一）基礎(chǔ)題型??例1：一本書9元，買5本這樣的書需要多少錢？??★分析：每份數(shù)（單價(jià)）是9元，份數(shù)（數(shù)量）是5本，求總數(shù)（總價(jià)）。??★解答：9×5=45（元）?答：需要45元。??例2：36個(gè)同學(xué)做游戲，平均分成4組，每組幾人？??★分析：總數(shù)是36人，份數(shù)是4組，求每份數(shù)。??★解答：36÷4=9（人）?答：每組9人。??例3：36個(gè)同學(xué)做游戲，每9人一組，可以分成幾組？??★分析：總數(shù)是36人，每份數(shù)是9人，求份數(shù)。??★解答：36÷9=4（組）?答：可以分成4組。（二）變式題型??例4：李阿姨買了4袋蘋果，每袋6個(gè)，又買了3個(gè)梨。蘋果比梨多幾個(gè)？??★分析：第一步先求蘋果的總數(shù)（4×6=24個(gè)），第二步再求蘋果比梨多幾個(gè)（243=21個(gè)）。這是乘減的兩步計(jì)算問題。??★解答：4×6=24（個(gè)）?243=21（個(gè)）?答：蘋果比梨多21個(gè)。??例5：二（1）班有48人，去劃船。每條大船可坐8人，每條小船可坐6人。（1）如果都坐大船，需要幾條？（2）如果都坐小船，需要幾條？??★分析：都是已知總數(shù)和每份數(shù)，求份數(shù)。但每份數(shù)不同。??★解答：（1）48÷8=6（條）?（2）48÷6=8（條）?答：都坐大船需要6條，都坐小船需要8條。??例6：在（）里填上最大的數(shù)。（）×5<38??★分析：想5的乘法口訣，五七三十五，五八四十。35<38，40>38，所以最大能填7。??★解答：78（三）探究題型??例7：小亮和他的4個(gè)好朋友去動(dòng)物園，每張門票8元，他們一共要花多少錢？??★陷阱分析：人數(shù)是關(guān)鍵。小亮加上他的4個(gè)好朋友，一共是5人，而不是4人。??★解答：1+4=5（人）?5×8=40（元）?答：他們一共要花40元。??例8：根據(jù)算式24÷6=4編一個(gè)數(shù)學(xué)小故事。??★示例：有24塊糖，平均分給6個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分到4塊。（等分除）??★示例二：有24塊糖，每個(gè)小朋友分6塊，可以分給4個(gè)小朋友。（包含除）九、?復(fù)習(xí)策略與思維提升建議（一）構(gòu)建思維導(dǎo)圖，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)??引導(dǎo)學(xué)生自主整理本單元知識(shí)，以“乘除法解決問題”為中心，發(fā)散出“乘法”“除法”“乘加乘減”“解題步驟”等分支，再在每個(gè)分支下細(xì)化要點(diǎn)。例如“除法”分支下可分出“等分除”和“包含除”，并配上簡單的例子。這個(gè)過程本身就是極好的思維訓(xùn)練。（二）堅(jiān)持每日一練，強(qiáng)化數(shù)量關(guān)系敏感度??每天可設(shè)計(jì)23道對(duì)比練習(xí)，如：①每個(gè)文具盒8元，買3個(gè)需要多少錢？②24元可以買3個(gè)同樣的文具盒，每個(gè)多少錢？③24元買文具盒，每個(gè)