大理工機械設計基礎課件第13章 圓軸扭轉

第十三章圓軸扭轉教學要求教學重點與難點教學內容

了解扭轉的概念，薄壁圓筒的扭轉

熟悉扭矩、扭矩圖，圓軸扭轉時的應力，圓軸扭轉時的強度計算掌握圓軸扭轉時的變形和剛度計算，提高圓軸扭轉強度和剛度的措施。

教學要求

重點：扭矩圖的繪制，圓軸扭轉時的應力，圓軸扭轉時的強度計算

難點：圓軸扭轉時的變形和剛度計算

教學重點與難點§13-1扭轉的概念

§13-2圓軸扭轉時的應力

§13-3薄壁圓筒的扭轉

§13-4圓軸扭轉時的應力分析

§13-5圓軸扭轉時的強度計算

§13-6圓軸扭轉時的變形與剛度計算

受力特點：作用于桿兩端的一對力偶，大小相等，方向相反，而且力偶所在平面與桿的軸線垂直。變形特點：在力偶作用下，桿件的任意兩個橫截面都繞軸線發生相對轉動，產生扭轉變形。扭轉的概念扭轉變形時，兩端截面間的相對角位移稱扭轉角（φ）。以扭轉變形為主的構件為軸。工程上軸的截面多采用圓形，通常稱為圓軸。一、外力偶矩的計算扭轉和扭矩圖

P的單位為千瓦(kW)，n的單位為轉／分(r／min)，T的單位為牛頓·米(N·m)。在工程中，常給出軸所傳遞的功率P和軸的轉速n。若外力偶矩用T表示，則有在確定外力偶矩的方向時，應注意輸人的力偶矩為主動力矩，其方向與軸的轉向相同；輸出的力偶矩為阻力矩，其方向與軸的轉向相反。二、扭矩和扭矩圖將圓軸沿截面m-m假想截成兩段。取左段來研究(圖(b)。由左段軸的平衡可知，截面m-m上的內力也必定是一個力偶。該內力偶矩稱為扭矩，以Tn表示。由平衡方程可得:即Tn-T=0得Tn＝T

扭矩的正負的規定：按右手螺旋法則將扭矩用矢量表示，當矢量方向與截面外法線方向一致時扭矩為正；反之為負。

扭矩圖：以縱坐標(與軸線垂直)表示扭矩，橫坐標(與軸線平行)表示各截面位置的扭矩沿軸變化的圖形。解題步驟：（1）計算外力偶矩（2）計算扭矩（3）畫扭矩圖

例題：一傳動系統的主軸AC(圖a)，其轉速n=960r／min，輸入功率PA=27.5kW，輸出功率PB=20kW，PC=7.5kW，不計軸承摩擦等功率消耗，試作AC軸的扭矩圖。薄壁圓筒是指壁厚t遠小于其平均半徑R0的圓筒。圓筒扭轉變形：

①各周向線的形狀、大小、間距都無改變，只是繞軸線發生了相對轉動；

②各縱向線都傾斜了同一微小角度γ，方格歪斜成了平行四邊形。薄壁圓筒的扭轉推論：一、薄壁圓筒扭轉時的應力與變形

①橫截面上必然存在剪應力，其方向垂直于半徑。

②橫截面上無正應力，只有沿周向均勻分布的剪應力。剪應力沿壁厚方向均勻分布。橫截面上的扭矩等于所有微力偶矩的和。得

則剪應力二、剪應力互等定理、純剪切的概念微體互相垂直的截面上的剪應力必然成對存在，大小相等，垂直于截面的交線，方向同時指向或背離這一交線。這一關系稱為剪應力互等定理。純剪切應力狀態：微體的四個側面上，只有剪應力，而無正應力的受力狀態。三、剪切虎克定律對各向同性材料，三個彈性常數之間存在下列關系剪應力不超過材料的剪切比例極限τP時，剪應力τ與剪應變G成正比關系。一、圓軸扭轉時的應力平面假設：原橫截面變形后仍為平面，其形狀、大小不變；半徑仍為直線。扭角：任意兩個橫截面相對轉過的角度φ。圓軸扭轉時的應力1．變形幾何關系推斷：橫截面上必須有與剪切變形對應的剪應力存在；剪應力的方向必然與半徑垂直；橫截面上沒有正應力。由剪切虎克定律及變形協調方程得扭轉剪應力隨ρ線性變化2、物理方面3、靜力學方面圓軸扭轉變形的基本公式

，稱為截面的極慣性矩。圓軸的極慣性矩

二、極慣性矩的計算實心圓軸

空心圓軸

最大扭轉剪應力為抗扭截面模量，

例題：已知階梯軸如圖所示，T1=5kN·m，T2=3.2kN·m，T3=1.8kN·m，材料的許用剪應力[τ]=60MPa，試校核軸的強度。圓軸扭轉時的強度計算圓軸扭轉強度條件

等截面桿

結論：最大剪應力發生在扭矩小的BC段,由于，所以AC軸不能滿足強度要求。

解：作階梯軸的扭矩圖。AB段扭矩大，但軸的直徑也大，BC段的扭矩雖小，但其直徑也小，因此對兩段都應進行校核。AB段

Tn1=-5*103

N·m

BC段

Tn2=-1.8*103

N·m

圓軸扭轉時的變形與剛度計算一、圓軸的扭轉變形公式二、圓軸扭轉剛度條件

軸的扭轉變形，用扭轉角表示常見扭轉變形等截面圓軸

薄壁圓管

單位長度內的扭轉角許用扭轉角查設計標準或規范。剛度條件

或

單位換算：

例題：

一傳動軸直徑d=40mm，材料的剪切彈性模量G=80GPa，試計算軸的總扭角。