大理工機械設計基礎課件第14章 梁的彎曲強度

第十四章梁的彎曲強度教學要求教學重點與難點教學內容

了解平面彎曲的概念，慣性矩的計算，平行移軸公式，熟悉彎矩、剪力和載荷集度間的關系，正確繪制剪力圖和彎矩圖，掌握彎曲時梁橫截面上的正應力，彎曲正應力的強度計算，提高梁強度的措施。教學要求

重點：剪力圖、彎矩圖的繪制

難點：根據Q、M、q之間的關系，

正確繪制剪力圖和彎矩圖

教學的重點與難點§14-1平面彎曲的概念

§14-2梁的計算簡圖及其分類

§14-3剪力和彎矩

§14-4剪力圖和彎矩圖

§14-5彎矩、剪力和載荷集度間的關系

§14-6彎曲時梁橫截面上的正應力

§14-7慣性矩計算平行移軸公式

§14-8彎曲正應力的強度計算

§14-9提高梁強度的措施受力特點：直桿受到垂直于桿軸的外力或在桿軸平面內的力偶作用；變形特點：桿的軸線由原來的直線變為曲線。凡以彎曲變形為主要變形的構件，習慣上稱之為梁。機車輪軸，在外力作用下它將變成一條上凸的曲線。橋式吊車的橫梁，在外力的作用下將變成一條下凹曲線。平面彎曲的概念縱向對稱軸：梁橫截面上的對稱軸。縱向對稱面：梁的軸線和截面的縱向對稱軸所決定的平面。平面彎曲：若梁上的外力或力偶都作用在縱向對稱面內，且各力都與梁的軸線垂直，則梁的軸線在縱向對稱面內彎成一條平面曲線的彎曲。一、梁的簡化不論梁的截面形狀如何復雜可將梁簡化為一根直桿，稱為直梁。并用其軸線表示。梁的計算簡圖及其分類四、靜定梁及其典型形式按其支座情況分為

簡支梁外伸梁懸臂梁二、約束的基本形式

1、活動鉸鏈支座；2、固定鉸鏈支座；3、固定端支座三、載荷的簡化

1、集中載荷；2、分布載荷；3、集中力偶一、剪力和彎矩簡支梁受集中力P1和P2作用。求距A端支座為x處橫截面n—n上的內力。剪力和彎矩截面法沿n—n截面假想地把梁截開，截面n—n上的Q為剪力，M為彎矩。其值可用平衡方程解得：得

得

二、剪力和彎矩正負號的規定

例題：外伸梁的載荷均已知，試“根據外力直接寫出力”求圖中各指定截面上的剪力和彎矩。一、剪力方程和彎矩方程Q=Q（x）剪力方程M=M（x）彎矩方程剪力圖和彎矩圖二、剪力圖和彎矩圖取一平行于梁軸線的橫坐標x來表示橫截面的位置，以縱坐標表示各對應橫截面上的剪力和彎矩，畫出的剪力和彎矩與x的函數曲線的圖形為剪力圖和彎矩圖。

例題1：一簡支梁AB在C點受集中力P作用，畫出此梁的剪力圖和彎矩圖。

（1）求支座反力。（2）列剪力方程和彎矩方程。（3）按方程分段繪圖。（4）討論。解題步驟：

結論：①集中力作用時，兩力之間的剪力圖為一平行于軸的直線。集中力作用點處，剪力圖發生突變，突變方向與外力方向相同；突變幅度等于外力大小。②剪力圖為直線時，其對應區間的彎矩圖為一傾斜直線，斜線的斜率等于對應的剪力圖的值。剪力圖為x軸的上平行線時，彎矩圖向上傾斜；剪力圖為x軸的下平行線時，彎矩圖向下傾斜。③梁上在集中力偶作用點處，剪力圖不變，彎矩圖突變。突變方向為：若力偶為順時針轉向，則彎矩圖向上突變；反之，若力偶為逆時針轉向，則彎矩圖向下突變。

例題2：一簡支梁受集中力偶m作用，試繪此梁的剪力圖和彎矩圖。（1）求支座反力。（2）分段列出剪力方程和彎矩方程。（3）按方程畫剪力圖和彎矩圖。

解題步驟：

彎矩、剪力和載荷集度間的關系彎矩、剪力和載荷集度間規律如下：

一、應變與應力分布規律兩截面Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ原來是平行的，現互相傾斜了一個微小角度。圖中OO′為中性層，設其曲率半徑為ρ

，c′d′到中性軸的距離為y。應力沿梁高度按直線規律分布。是未知量中性軸位置尚未確定，彎曲時梁橫截面上的正應力二、彎曲正應力計算公式1、中性軸位置的確定在梁的橫截面上K點附近取微面積dA，設z為橫截面的中性軸，K點到中性軸的距離為y，若該點的正應力為，則微面積dA上的法向內力為(如上圖)。截面上各處的法向內力構成一個空間平行力系。平衡條件

橫截面面積，只有，橫截面的形心在z軸上，中性軸必須過橫截面的形心。2．確定中性軸的曲率1/ρEIZ表示梁的材料和截面抵抗彎曲變形的能力，為梁的抗彎剛度。微面積dA上的內力，對中性軸產生一微小力矩，則整個截面上的內力矩的總和為由靜力平衡條件

積分是橫截面對中性軸z的慣性矩IZ。3．彎曲正應力計算公式4．彎曲時橫截面上最大正應力的計算公式正應力與該截面上的彎矩M成正比，與點到中性軸的距離y成反比。的正負可根據變形來確定，彎矩M為正時，梁向下彎，中性軸以下的點受拉，正應力為正值；中性軸以上的點受壓，正應力為負值。在橫截面上下邊緣處正應力的值最大

Ymax和IZ均與截面的大小和形狀有關最大正應力計算公式為二、平行移軸公式

為圖形對形心軸的靜矩，其值等于零。

結論：同一平面內對所有相互平行的坐標軸的慣性矩，對形心軸的最小。在使用慣性積移軸公式時應注意a、b的正負號。慣性矩計算平行移軸公式一、常用截面形狀的慣性矩通過積分計算即可求出不同截面形狀的慣性矩。

截面的慣性矩

抗彎截面模量

圓形：

圓環：

矩形：

彎曲正應力的強度計算一、強度條件

例題：如圖所示托架為一T形截面的鑄鐵梁。已知截面對中性軸之的慣性矩IZ=1.35*107mm4，P=4.5kN，鑄鐵的彎曲許用應力〔σl〕=40MPa，〔σy〕=

=80Mpa，若略去梁的自重影響，使校核梁的強度。

等截面直梁

非等截面直梁

提高梁強度的措施一、梁的合理受力（降低最大彎矩Ｍmax）

1、合理布置載荷和支座的位置。圖示傳動軸，當齒輪位于軸中點或將齒輪盡量安裝在靠近軸承處時，軸因齒輪嚙合力P而引起的彎矩差異較大。后則僅為前者的55.5％，這樣所需的軸徑就可相應減小。

2、合理布置載荷作用方式。比較圖a、b中梁AB的兩種加載方式可知，后者的最大彎矩只有前者的一半。

二、選擇合理截面形狀（增大抗彎截面模量WZ）

1、截面的面積和形狀相同，放置方式不同。

2、面積相等而形狀不同的截面WZ不同。工字形截面最合理，圓形截面最差。所以鋼結構中的抗彎桿件，常用工字形、矩形截面。

三、