線性基礎代數3

3.5

線性方程組解的結構第3章向量空間與線性方程組解的結構問題：什么是線性方程組的解的結構？答：所謂線性方程組的解的結構，就是當線性方程組有無限多個解時，解與解之間的相互關系．注：

(1)當方程組存在唯一解時，無須討論解的結構;

(2)下面的討論都是假設線性方程組有解．1.引言2.齊次線性方程組的一般表示

m個方程n個未知數的齊次線性方程組的表示形式：3.齊次線性方程組解的性質性質3.8若為的解，則也是的解.

證明：顯然有

證明：顯然有性質3.9若為的解，k為實數，則也是的解.4.齊次線性方程組的解空間記因此，S是一個向量空間，稱為齊次線性方程組的解空間.由Ax=0的解的性質可知，S非空，并且，

(1)若，則；

(2)若，則.5.齊次線性方程組的基礎解系定義3.18

如果是齊次線性方程組Ax=0的解空間S的一個基，則稱是齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解系.

若是齊次線性方程組的基礎解系，則

(1)是的線性無關的解向量．

(2)的任一解可由線性表示，即

(2)當時,方程組的基礎解系必含n-r個解向量,此時方程組的任一解

可表示為其中為任意實數，上式稱為齊次線性方程組的通解.

(1)當時，方程組只有零解，解空間只含一個零向量，方程組沒有基礎解系．6.齊次線性方程組解的結論定理3.5如果n元齊次線性方程組Ax=0的系數矩陣的秩R(A)=r<n，那么它必有基礎解系，并且基礎解系所含線性無關解向量的個數等于n-r，即解空間S的維數為n-r．

(3)齊次線性方程組的解空間S的一個基就是齊次線性方程組的一個基礎解系，基礎解系不唯一，從而通解的表達式也不唯一．注：例1

求齊次線性方程組的基礎解系．方法1：先求出通解，再從通解求得基礎解系．即寫出同解方程組7.例1令x3=c1，x4=c2，得通解表達式因為方程組的任意一個解都可以表示為x1,x2

的線性組合．x1,x2的四個分量不成比例，所x1,x2線性無關．所以x1,x2是原方程組的基礎解系．7.例1(續)方法2：先求出基礎解系，再寫出通解．即令合起來便得到基礎解系，得還能找出其它基礎解系嗎？同解方程組為7.例1(續)問題：是否可以把x1

選作自由變量？答：可以，因為是否把系數矩陣化為行最簡形矩陣，其實并不影響方程組的求解．當兩個矩陣行等價時，以這兩個矩陣為系數矩陣的齊次線性方程組同解．7.例1(續)令x1=c1，x2=c2，得通解表達式即從而可得另一個基礎解系：h1和h2

．同解方程組為7.例1(續)8.例2

例2求齊次線性方程組的基礎解系和通解.

解：將方程組的系數矩陣化出行最簡型：寫出同解方程組8.例2(續)令代入同解方程組，分別得到，得基礎解系:由此得到通解在同解方程組中，若令代入，則將得到，于是得基礎解系:和通解8.例2(續)例2的另一種解法：同前面的解法，得到增廣矩陣的行最簡形：寫出對應的同解方程組：8.例2(續)將自由變量補全，寫成如下形式：8.例2(續)這就是所求的方程組的通解．再將右邊的自由變量提出并用任意常數表示，可得：8.例2(續)

例3

設，證明.9.例3

證明：將矩陣B和O按列分塊可得于是有這說明，都是齊次方程組Ax=0的解.記Ax=0的解集為S，則有即10.非齊次線性方程組的一般表示

m個方程n個未知數的非齊次線性方程組可以表示為或者向量形式：其中，至少有一個不為零.以上方程組也可以寫成矩陣形式11.非齊次線性方程組有解的條件非齊次線性方程組有解向量b能由A的列向量組線性表示向量組與向量組等價12.非齊次線性方程組解的性質性質3.10若是非齊次線性方程組的解，則是其對應的齊次線性方程組的解.

證明：顯然有這說明，是其對應的齊次線性方程組的解.證明：顯然有性質3.11若是非齊次線性方程組的解，是其對應的齊次線性方程組的解，則仍是的解.這說明，是的解.

定理5.4設Ax=b是n元非齊次線性方程組，且R(A)=R(A,b)=r<n，則該方程組的任意一個解x可以表示為其中，是對應的齊次線性方程組Ax=0(一般稱之為其導出組)的基礎解系，是任意常數，是Ax=b的某一個解．13.非齊次線性方程組的通解

證明：令則由非齊次線性方程組解的性質可知，是Ax=b的解．13.非齊次線性方程組的通解(續)又設是Ax=b的任一解，則由非齊次線性方程組解的性質可知，是對應的齊次線性方程組Ax=0的解．即

于是，存在一組數使得

(3)非齊次線性方程組的通解形式：

對應的齊次線性方程組的通解+一個特解．(4)對于n元非齊次線性方程組Ax=b，它有唯一解的充分必要條件是：

r

=R(A)=R(A,b)=n．(5)對于n元非齊次線性方程組Ax=b，它有無窮解的充分必要條件是：

r

=R(A)=R(A,b)<n．

(2)稱為Ax=b的特解．

(1)稱為Ax=b的通解.注：13.非齊次線性方程組的通解(續)14.非齊次線性方程組的解法

(1)對增廣矩陣B進行初等行變換，將其化為行階梯形矩陣，判斷它的解的情況．

(2)若非齊次線性方程組有解(設R(A)=R(A,b)=r)，則進一步進行初等行變換，將行階梯形矩陣化為行最簡形矩陣．

(3)寫出Ax=b的同解方程組，并求出一個特解.

(4)求出其對應的齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解系.

(5)寫出非齊次線性方程組的通解：其中，是任意常數．15.例4

例4求解線性方程組

解：對增廣矩陣進行初等行變換可得：可得，故方程組有解.繼續進行初等行變換，將行階梯形化為行最簡形：15.例4(續)寫出同解方程組：取，可得，得方程組的一個特解：于是，所求線性方程組的通解為取，對應得到，即得對應的齊次線性方程組的一個基礎解系：同解方程組對應的齊次線性方程組為15.例4(續)15.例4(續)16.例4的另一種解法

例4求解線性方程組

解：對增廣矩陣進行初等行變換化為行最簡形可（與前一解法相同）：寫出同解方程組16.例4的另一種解法(續)將上式改寫為令，得到方程組的通解17.例5

例5求解線性方程組

解：對增廣矩陣進行初等行變換可得：17.例5(續)可得，故方程組有解，且有于是再將右邊的自由變量提出并用任意常數表示，可得：為原方程組的通解.17.例5(續)18.本節小結(2)齊次線性方程組基礎解系與通解的求法.(1)齊次線性方程組解的性質.(3)非齊次線性方程組解的性質.(4)非齊次線性方程組特解與通解的求法.19.思考題1

求解線性方程組解：將方程組的系數矩陣化出行最簡型：19.思考題1(續)方程組的基礎解系中有3個線性無關的解向量.同解方程組為于是.將其寫成如下形式：令，得到通解19.思考題1(續)此時基礎解系為：19.思考題1(續)設B是一個三階非零矩陣，它的每一列都是如下線性方程組的解，求的值和.

解：因為B非零，所以B中至少有一個非零列向量，因此齊次線性方程組有非零解，其系數矩陣的秩小于3，從而由此可得：.20.思考題2當時，，齊次線性方程組的解空間的維數為，基礎解系只有一個解向量.因此，B的三個列向量線性相關，故.

20.思考題2(續)21.思考題3設A是m×3矩陣，且R(A)=1，若非齊次線性方程組的三個解向量

滿足求的通解.解：由A是m×3矩陣和R(A)=1可知，Ax=0的基礎解系中含有3-1=2個線性無關的解向量.

令

21.思考題3(續)則有

得到

為的解，且線性無關，所以它們可作為對應的齊次方程組的基礎解系.因此，的通解為

21.思考題3(續)當為何值時，非齊次線性方程組有唯一解？無解？有無窮多解？在有無窮解情形求其通解.解：對增廣矩陣進行初等行變換可得：22.思考題4

(1)當時，，方程組有唯一解．因此，，方程組無解.

(2)當且時，22.思考題4(續)

(3)當且時，因此，，方程組無解.

(4)當且時，此時，