三角恒等變換-2026年高考數學二輪復習

板塊二三角函數與平面向量

微專題11三角恒等變換

高考定位1.三角函數的化簡與求值是高考的命題熱點，其中同角三角函數的基

本關系、誘導公式是解決計算問題的工具；2.三角恒等變換是利用三角恒等式（兩

角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式）進行變換，“角”的變換是三角恒等

變換的核心；3.以選擇、填空題的形式出現或隱含于解答題中，難度一般為中檔

偏下.

【真題體驗】

1.（2021?全國乙卷）cos21一cos2；；=（）

答案D

解析因為cos：；=sinL12j=sin

所以cos?71—cos25'=cos27t—sin?兀=cos12XJ=cosn=?.故選D.

1212121262

2.(2023?新高考II卷)已知。為銳角，cosa=l+5,貝Usin"=()

42

A3-5「一1+5

A.B.

88

I-5D.-1+5

44

答案D

解析由題意，cosa=l+5=1—2sin2%

5-

得獷=3-5=6-25

4

2816

又a為銳角，所以sin；＞0,

2

所以噌=7：5,故選D.

3.(2024?全國甲卷)己知cos。=3,則tanCf)

cosa-sina

A.23+1B.23-1

C.3D.l-3

2

答案B

解析根據題意有cosasina=3,

cosa3

即1-tana=

所以tana=l—所以"十］==23—1,故選B.

31—tana3

3

4.(2024?新高考II卷)已知a為第一象限角，夕為第三象限角，tana+tan^=4,tan<ztan

p=2+1,則sin(a+0=.

答案_2§2

解析由題知tan(a+/?)=gna+tan'=4=-22,

1—tanatanp1-2—1

即sin(a+￡)=-22cos(a+￡),

又sin2(a+/?)+cos2(a+^)=1,

77

可得sin(a+/?)=士

由2%加</<2%兀+71,keZ,

2

3兀

2nm+Tt<p<lnm+mGZ,

2'

得2（〃+，〃）兀+兀＜?+/?〈2（左+〃7）兀+2兀，

又tan（a+為＜0,所以a+￡是第四象限角，

故sin（a+/?）=—2§2，

【熱點突破】

熱點一化簡問題

I核心歸納

例1(1)(2024?宜昌聯考)c：7,C：；T=()

1—2sin2250

C.1D,2

2

(2)(2024?西安模擬)c°s55°+sm25°sm30°等于()

3

C.D.l

2

答案(1)C(2)C

m40

解析Jcos70°cos20°=sin20°cos20°=2s0=1

1—2sin225°cos50°sin40。2

^cos55°+sin25°sin30°cos(250+30°)+sin25°sin30°

(z2)=

cos25°cos25°

cos25°cos30°—sin25°sin300+sin25°sin30°

cos25°

cos25°cos30°3

=cos30°=

cos25°2

規律方法三角函數式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯系(和、差、倍、互余、

互補等)，尋找式子和三角函數公式之間的共同點

2sin(兀一a)+sin2a

訓練1⑴化簡：〃

COS2

2

cos10°

(2)(tan100-3)-

sin50°

答案(l)4sina⑵一2

2sin(7i—a)+sin2a2sina+2sinacosa

解析(1)

cos2°Li+cosa)

22

4sina(1+cosa)…

=4sina.

1+cosa

sin10°—3cos10°cos10°—2sin50。=_2

(2)原式=

cos10°sin50°sin50°

熱點二求值問題

I核心歸納

求三角函數值的一般步躲

(1)化簡條件式子或待求式子；

(2)觀察條件與所求式子之間的聯系，從函數名稱及角入手;

(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值.

2。一2等于()

例2(1)(2024?衡陽模擬)已知coslVJ=貝ijsin

22

A.-B.

33

11

C.一D.

33

71

6)=；,則

(2)(2024?河南部分學校聯考)若銳角a,用滿足sin(a-/?)=\COS

答案(1)D(2)42±5

7r7T

2a—6j=sinL2

解析（l）sinlVJ-2

a+7c」儀+

=-cos2l6j?=1—2cos2l

=1-2義1=1

33

⑵因為0<a<；,0吟

Tt」_冗/2兀

則<a+<

V663

叫］>0

由sin(a—/?)>0,cosi

可得Ovfv；<?+<,

662

所以cos(a—￡)=1—sin2(a—,)=21

i-cosr+5

小+

333

￡+兀I_I_KI_|_n

所以cos'、6j=cos(a-Q_=cosl6jcos(a—fi)+sinl6jsin(a—￡)

22251.42+5

乙'X,"十zX\—

33339

規律方法1.注意觀察條件與所求之間關系：如函數名的差異，角之間的關系.

2.注意根據角的范圍確定三角函數值的范圍.

訓練2（1）（2024?新高考I卷）已知cos（a+￡）=加，tan?tan0=2,則cos（a一夕）=

)

A.-3〃i

D.3〃7

3）成等比數列，則sin2a=（）

（2）（2024?南通模擬）若

3

A.

4

1

C.D.-

34

答案(1)A(2)B

解析(1)由cos(?+￡)=m得

cosacossinctsin

由tanatan^=2得sin°sin/?=2,②

COSGCOSB

,cosacos8=-m,

由①@得,..

sin?sin/?=—2m,

所以cos(?—^)=cosacos夕+sinccsin'=-3m,故選A.

T“十；J成等比數列,

(2)由cosa,cosl6J,cos

zs2f?-^1

付cos/l6J=cos?cosl3J,

pcos?-3.

即:11+cosl2a—sina

cosal22.

11+cos2a3.c

,—sin2a,

224

33

所以1+10$2。+%n2a=1+1cos2a—sin2a,所以sin2a=一

2444446

熱點三求角問題

I核心歸納

給值求角問題的解題策略

(1)求相關角的某一個三角函數值.

(2)由求得的三角函數值求角，如果根據求得的函數值無法唯一確定角的大小，應

根據已知角的范圍和已知角的三角函數值把所求角的大小作相對精確的估計，以

排除多余的解.

兀

0,2)，cos(aQ)=5,tanatan/?=,Rija4/?

例3(1)(2024九江模擬)已知a,/?c

64

7171

A.B.

,34

n2兀

C.D.

613

71兀71

(2)已知a￡【4'21且4cosa—tan12"

3,貝Ua=

答案⑴A(2)：；

解析(1)因為cos(a—￡)=5,tanatanp=,

64

cosacos￡+sinasin￡=,

6

所以sinasinP_1

cos6CC0Sp4

2

cosacosDp=,

3

解得

sinasinB=

6

所以cos(6(+/?)=cosacos夕一sinasin,=；,

0,J,所以“+夕￡（0,力,

又。，pq

所以a+￡=；.

sinb

r-?

(2)4cosa—tanl2.=4cosa—J2

a

“cosa4cos?sinft-cosa

=4cosa-.=

sinasina

2sin2?—cosa、

==3,

sina

所以2sin2a=3sina+cosa=2sin1VI

因為a￡14'2j,

所以2周2,“5n

J,a+”〔1231

6

則2a=a+：或2a+a+：=7t,

得a=：（舍去）或

618

易錯提醒求角問題要注意角的范圍，要根據已知條件將所求角的范圍盡量縮小,

避免產生增解.

訓練3(1)(2024?長春摸底)若a,"wQ'7tlH(1—cos2a)(1+sinp)=sin2acosP,

則下列結論正確的是()

A.2a+/?=：B.2?-^=3n

4

C.a+/?=7%D.a—/?=K

4

(2)(2024?重慶調研)若7c<3<冗<"3兀，且cos(a+￡)=-*2,*sin2A="，則0一夕=

42105

答案(1)A⑵3：

解析(1)因為a,J,所以sinoWO.

由(1—cos2G)(1+sin￡)=sin2acosfl,

可得24n2a(1+4n/?)=2sin?cosrzcosfl,

即sina(l+sin々)=cosacosp.

所以sina=cosacosG一sinasin4=cos(a+4),

P-?l

所以cos(a+夕)=cos12J,

因為4,"所以71<。+夕〈2兀，

且一兀〈兀―avO,

22

根據函數〉=85%的圖象易知“+夕=；一夕+2兀,

則2a+p=5^.

(2)因為:<夕<兀，所以;<2/?<2兀.

sin2^=^>0,所以;〈2￡〈兀，

所以:v僻;，

所以_；<_出_：.

因為

2

所以;<?一:<a+4<2兀.

因為:<2在〈兀，sin2々=:,

所以cos26=—.

5

7

因為cos(a+￡)=-I。，

所以sin(a+0=一：；.

所以sin(a—p)=sin[(a-r/?)—2fi]

=sin(a+^)cos2夕一cos(a+4)sin2夕

—I2dlM2,

所以a-夕=3：

4

【精準強化練】

一、單選題

1.已知角。的頂點為原點O,始邊與x軸非負半軸重合，終邊過點(1+tan15。，1

—tan15°),則tana的值為()

A.3B.—3

33

C.-D.

33

答案D

1—lan150tan45°—tan15°…c―八門3

解析tan?===tan(45°-15°)=tan30°=

1+tan1501+tan45°?tan1503

2.(2024?煙臺模擬)若8$["j=；，則sin2a=()

A55

A.-BD.

99

77

C.-D.

99

答案C

It

=一乙故選

故2j=sin2aC.

3.（2024?葫蘆島質檢）已知a￡Isin2a=cosl4,,則cos2a=()

1

A.OB.

2

C.3D-3

22

答案A

[0,2],所以2a￡(0,兀),

解析因為。￡

所以sin2a>0.

\n-a

由sin2a=cos14,化簡得2sin2a=sina+cosa,

兩邊同時平方得2sin22a=1+sin2a,

即2sin22a—sin2a—1=0,

解得sin2a=1（負根舍去）,

Xsin22a+cos22a=1,所以cos2a=0.

故選A.

"哥+cJ7兀2T=(

a+121=l則cosl

4.（2024?寧波調研）已知cosl)

5

2323

A.-B.

2525

2424

C..D.

25,25

答案C

1

解析因為cosl』

He5'

"+12)=

1

所以cosl

5,

兩邊平方得

1—sinP+bJu1

25,

則就"十胃=24

25,

2a+2H2。+3.

故cosl3J=cosl算故選C.

5.(2024?畢節模擬)若。￡【一2’2)，且tan?=-15,則cos：=(

)

A：B.10

44

610

C.士D.±

44

答案B

(-71可

解析因為eel2,2),且tanO=-15,

所以Mg°],

sin0..

tan0n==—15,

cos0

sin2^+cos2^=1,

解得cose=i或cose=-k舍去)，

44

又COS0=2cos2。-1=L

24

的出

解傳cose=_io或-cose=一io,

2424

又e』-；°l,所以1°],

所以cos0>0,

2

所甑*以cose=_io.

24

6.sin20°(3+tan50°)=()

A.1B.2

2

C.3D.l

答案D

sin20°(sin500+3cos50°)

cos50°

2sin20°sin(50。+60")

cos50°

=2sin20°sin(90°+20°)

cos(90°-40°)

--2sin20°cos20°--sin40°--I.

sin40°-sin40°-

sin40sin80

7.計算：2-°°=(

cos400+cos60°

A.-2B.-1

22

C.2D.1

22

答案C

h%sin40°sin80°

解析因為

cos40°+cos60°

sin(60°-20°)sin(60°+20°)

cos400+1

2

3o22

2COS20l_Psin20°1

a

J-2sin220o

2

ai

cos2200-sin220°

44

2卜血0。)

■^―sin220°

41

一

—sin220°2‘

所以原式=2?

8.若cosa=；,sin(a+/?)=I；，0<<z<2,。<吟則角夕的值為（）

A；Bp兀

12

C6

答案A

解析???0<1<兀，0<y9<^,AO<a+^<n.

2

43

cosa=,sina=

77

由S3得

sin(a+4)=]4cos(a+/?)=土;:

若cos(a+H)=；；,

則sin//=sin[(a+.)-a]=sin(a+0cosa—COS(Q+')sinj義—

與sin共＞0矛盾，故舍去;

11

若cos(a+/0=—

14,

則cos/?=cos[(a+/?)—?]=cos(a+/?)cosa+sin(a+^)sina

=-11X1+53X43=1.

1471472

又??/』"2),

二、多選題

9.（2024?海南調研）已知"￡C'

Tl

,且cos2?—cos2a=,貝ij()

5

4

A.tana=—B.sin2a=

25

33

C.cos2a=D.tan2a=—

54

答案AC

解析cos2a—cos2a=cos2a—(cos2a—sin2a)=sin2a=

所以sina=,cosa=-1—sin2a=—,

55

所以tana=sin"=-1,sin2a=2sinacosa=-tcos2a=1-2sin2a=',tan2a

cosa255

=sin2a=—4.

cos2a3

故選AC.

10.（2024?廣東名校調研）若。為第一象限角，cosl"—8）=；,則（）

A.PM1D卜印兀]1

A.sinl8J=_B.cosl8J=—

33

C.sinf；?)=-2§2D.tan(E=-22

答案BD

解析由題意得2〃兀<弓<冗+2〃兀，k￡Z,

2

則2%兀一兀V。一冗v37c+2?,4WZ.

888

若角。一：是第四象限角，

O

則cos["s]>cos11=2>L

423

所以口一：是第一象限角,

O

兀

a—

且sinl

3

[5兀一a

對于A,sinl8-a=幕+；一）

La]=cos[ftj=；,故A錯誤;

對于B,

=-cos1J=一:故B正確;

故C錯誤；

對于D,tan［：—q=—ta』。一T

=一22,故D正確.

11.（2024?南京、鹽城模擬）已知角9）=cos4e+cos3仇且仇,仇,仇是人。）在（0,兀）

內的三個不同零點，則（）

A；W，仇，仇｝B.Oi+優+仇二兀

C.COS0|COS02cos仇=—,D.COSO|+cos優+cos。3=1

82

答案ACD

解析對于A,B,由/（夕）=0得cos4。=—cos36=COS（TT—3。）,

???4夕=2日（兀一3。）,k￡Z,

2左T-1

得0=兀，或0=2桁一兀，kGZ.

V6>E（0,兀），???夕=；或;或彳，

故A正確，B錯誤.

7T3兀5兀

COS夕1cos仇cos仇=cos'coscos

777

Tt4兀2兀

—coscoscos

777

c?兀兀2兀4兀

2sincoscoscos

7777

2sin兀

7

.2兀2兀4兀.4兀4兀

sincoscossincos

7=77

r.兀）?兀

2sin4sin

77

.8兀

sin,

7=」故C正確.

。.兀

8sin8

7

cos6\+cosft+cosft=cos71+cos^H-cos