高考數學一輪復習 第三章 第4節 不等式恒（能）成立問題-含解析

第4節不等式恒(能)成立問題

9重難解讀恒(能)成立問題是高考的常考考點，其中不等式的恒(能)成立問題經常與導數及其幾何意義、

函數、方程等相交匯，綜合考查分析問題、解決問題的能力，一般作為壓軸題出現，試題難度略大.

—L????考點突破能力提升——:-----------c

考點一分離參數法求參數范圍

【例1]已知函數/(x)=sinx-2ax,a《R,若關于x的不等式f(x)Wcosx-1在區間上恒成立,求實數a

的取值范圍.

解不等式/G)Wcosx-l在區間gn)上恒成立，

即2心---------在區間上怛成立，

、兒/\sinx-cosx+1

設g(<)=-------；-------，

Fil，/x_xcosx+xsinx-sinx+cosx-l

火」gw=------------------------------------

設h(x)=xcosA'+Asinx-sinx+cosx-i,貝U/zz(x)="xsinx+xcosx=x(cosx-sinx).

因為當&TT)時,sinJC>0,COSX<0,

所以當x￡(Q)時,"(x)vO,

所以函數力⑺在&Ti)上單調遞減，且皚)=短2<()，所以當時，〃㈤<°，

即g'(x)<。，則函數g(x)在e，7T)上單調遞減，且

所以當不￡&口)時,g(x)q,所以啟*

故實數CI的取值范圍為[：,+8).

I思維升華,

I.分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題，這要比分類討論法簡便很多.

2.(12/(外恒成立max；

a勺(X)恒成立勺(X)min；

a2/G)能成立0427(x)min；

aWf(x)能成立0awy(x)nm.

【跟蹤訓練1]已知函數/(x)=lnx,g(x)=l*QO,〃￡R).若/⑺圖象恒在晨x)圖象的上方,求a的取值范

圍.

解由/(x)圖象恒在g(x)圖象的上方，得lnx?l+￡>0恒成立，

所以<7>.r-xlnA在(0,+oo)上恒成立，

令y=x-x\nx,貝Uy--Inx.

當0<x<l時,y>0,所以)=x-xlnx在(0,1)上單調遞增,

當x>l時,y'<0,所以.y=x-xlnx在(1,+oo)上單調遞減，

所以Vmax=1-lxln1=1,故a>L

考點二分類討論法求參數范圍

【例2】已知函數/U)=er+(m+1)x,加￡R.若存在x￡[1,2],使得不等式el+y+/?Hnx+in2fix)成立，求in

的取值范圍.

解不等式e'+^-+//?lnx+m2/金)可化為nx-(/??+1)x+m20,

即存在xW[1,2],使得不等式^"+〃?」】x-(〃?+l)x+m20成立.

構造函數[(x)=y+//Hnx-(7?+1)x+m[1,2],

則h*(x)=JK+^-(m+1)=-(x-ni)?(x-1).

XX

①當mWl時，/?'(x)NO恒成立，故Qx)在[1,2]上單調遞增，故h(x)max=/?(2)=mln2-〃?2(),解得〃?WO,故

機W()：

②當l<m<2時，令人'(x)>0,解得m<x<2;令〃'(x)<0,解得1<x<m，故萬(外在[1,m]上單調遞減，在(閉,2]上單

調遞增，又人⑴=-1,故介⑵=〃71n2-/〃N0,解得WO,這與1<〃?<2相矛盾，舍去；

③當汨力2時,“(x)WO恒成立，故h(x)在11,2]上單調遞減，故11(x)max=/?(i)=-1<0,不符合題意，舍去.

綜上所述，機的取值范圍為(-00,0].

I思維升華，

對于不適合分離參數的不等式，常常將參數看作常數直接構造函數，常用分類討論法，利用導數研究單

調性、最值，從而得出參數范圍.

【跟蹤訓練2](2026?陜西漢中月考)已知函數f(x)=f+"hix

⑴討論/(x)的單調性；

⑵若/(%)NO恒成立,求a的取值范圍.

解⑴易知/(x)=2r4*Q0,

①若GO,則/G)>0恒成立J1)在(0,+8)上單調遞增.

②若*/<0,令=0,得x=p,

當x￡(O，F|)時/⑴<°4外單調遞減;

當x￡(F1,+8)時,/(力>0,

/(X)單調遞增.

綜上所述，當時J(x)在(0,+oo)上單調遞增;

當。<0時JG)在(0,上單調遞減，在,+8上單調遞增.

⑵由(1)知/⑺=號">0),

當。>0時J(x)>0,所以/(X)單調遞增，又X-0+J(x)T-8,故/&)20不恒成立；

當4=0時,/(%)=?『>(),符合題意；

當。《)時JG)在(0,51)上單調遞減，在(P，+8)上單調遞增，

所以mi?=/(5I)=一]+Qin”由f(x)20恒成立，可得彳+alnR?。,解得a，-2e,所以-2eWa<0.

綜上,a的取值范圍為[?2e,0].

考點三雙變量的恒(能)成立問題

【例3】設f(x)二，xlnx,g(x)二公-%2々.

(1)如果存在汨,x2e[0,2],使得g3)-g(X2)2加成立,求滿足上述條件的最大整數M；

(2)如果對于任意的邛力,2],都有/(5)及⑺成立,求實數a的取值范圍.

解(1)存在.，及6[0,2],使得g(xi)-g(x2)2M成立，等價于

[gCxi)-g(X2)1max》M成立.

g'(x)=3x2-2x=x(3x-2),

令g'(x)=0,得x=0或x=|,

因為？(l)=若,g(①=3g(2)=l,

所以當[0,2]時,g(x)max=g⑵=l,g(x)min=g(|)=

1[2

則[g3)-gU2)]max=g(X)max-g(X)min=—,

所以滿足條件的最大整數M為4.

⑵對任意的S,/K2]都有/(5)2gs,則/(X)minNg(X)nrn.

由⑴知當X理閭時,

gWmax招(2)=1,

所以當2]時,/(x)彳+xln工21恒成立，即a^x-jr\nx恒成立.

1

令h(x)=x-x\nx,x^,2\,則h'M=\-Zx\nx-x,

令9(x)=l-2dnx-x,則，(x)=-3-21nx<0,即//(x)在悖,2上單調遞減，

又"⑴力,所以當工4，1]時，

"(x)》0,當x￡[l,2]時,*G)W0,

所以人魚)在假,1]上單調遞增，在[1,2]上單調遞減，

所以力(X)g=/?⑴二?,故421.

所以實數4的取值范圍是[1,+8).

I思維升華〉

“雙變量”的恒(能)成立問題，常見的轉化有:

1.VX1eM,3X2EN,/(X1)>g(X2)叼U)min>g5)min.

2.V.VIEM,VX2￡N,f(X\)>gCv2)可(1)min>g(X)max.

3.3X|GM,3.V2￡N,f(x\)>g(M)<=>/'(A)mM>g(工)min.

4.3X1EM,V.r2￡N,f(x])>gCv2)max>g(x)max，

【跟蹤訓練3］(2026?遼寧沈陽質檢)已知/(x)=^-3x+3-^,g(x)=ln(x+1)+a,3xie［0,2］,V*￡［0,2］,使

得/?)Wg(x2)成立,則實數a的取值范圍是11-1+8).

解析￡［0,2］,V.t2￡［0,2］,使得/(為)Wg(⑹成立等價于在O2］上J(x)minWg(X)min.易得/(X)=(X-

D⑶+3+斜,當［0,2］時,3x+3+$0,

令了(上)>0得1<A<2,令/(x)v0得OWrd,所以/(x)在［0,1］上單調遞減，在［1,2］上單調遞增，所以函數/(x)

在［0,2］上的最小值為了(口與已易知g(x)在［0,2］上單調遞增，所以函數g(x)在［0,2］上的最小值為g(0)=a,

所以即實數。的取值范圍是［1一，,+8).

微點拓展

端點效應法是一種必要性探路法,是指對某些與函數有關的恒成立問題,通過選取函數定義域內的某些

特殊值,先得到一個必要條件,初步獲得參數的范圍,再在該范圍內進行討論,或去驗證其充分性,進而得到

參數的準確范圍的方法.

1.如圖(1),如果連續函數/G)在區間加上單調J(x)20恒成立,則/320且/S)20.

2.一階端點效應:如圖(2),如果連續函數f(x)在某一點即處的函數值/(xo)恰好為零,則當時J(x)20

成立的一個必要條件為端點項處的導數值/(xo)2O.因為如果/(沏)<0,那么函數會在松右側的一個小區間

內先單調遞減，此時函數/G)在工力沏時不恒為非負值,不滿足要求，如圖(3).

這個方法把某個區間上函數的恒成立問題轉化為判斷端點處的導數值符號，這就是端點效應.

類似地,如果連續函數/(x)在某一點刖處的函數值/(xo)恰好為零，當Qxo時J(x)<0成立的一個必要條件為

項處的導數值f(xo)<O.

3.二階端點效應:如圖(4),如果連續函數/金)在區間［出切上JG)20恒成立,且/(加=0,/(〃)=0,則/320.

端點效應的核心思想是必要性探路，充分性護航.我們在解決一類恒成立問題時,可以利用端點處需滿足的必

要條件縮小參數的取值范圍,而往往得到的范圍即為所求,再去做充分性論證即可.

【應用】(1)設函數/(x)=ln(1+x),g(x)=xf(x),其中/(X)是fix)的導函數.若/(x)2ag(x)恒成立,求

實數。的取值范圍.

解依題意,/英)二士，

又g(.i)=Va)?2O,

則屋”=士，*6

而/⑺2〃g(x)恒成立，

即ln(l+.r)力上二恒成立.

1+X

令F(x)=ln(l+x)--(x^O),

l+x

則”a)2o恒成立.

由于F(0)=0,故此時必須保證函數FG)在.『0右側附近區間上單調遞增，

即保證廣⑺20在A-0右側附近區間上恒成立，

而-----

H-7l+x(l+x)2(l+x)2*

則廣｛0)=1/,

貝iJaWl.

下面證明當時,”(x)20恒成立.

當時，函數尸&)巖三2品"°，

故函數F(x)在［0,+oo)上單調遞增,

即F(x)^F(O)=O,

故當＜7^1時，函數尸320恒成立，

即原命題成立，

故實數。的取值范圍是(-8,1］.

⑵設函數/(4)=X?-1)-加.若當GO時J(x)20恒成立,求。的取值范圍.

解由于當x20時，函數/(x)20恒成立，而/(0)=0,

故要保證函數人工)20在［0,+8)上恒成立，需保證/G)在尸0右側附近區間上單調遞增,

即保證函數/(x)20在入=0右側附近區間上恒成立.

而f(.r)=er-1+xex-2ax=(,v+1)e'-2av-1,故/(0)=1-1=0,

即此時需保證函數F(x)在尸。右側附近區間上單調遞增，

即保證函數尸(x)20在x=0右側附近區間上恒成立.

而廣⑨=(x+2)e-2a,故/'(0)=2e°-2?=2-2?,

而要函數/⑺20在戶0右側附近區間上恒成立，

則/(0)20,即

下面證明當。＜1時,/(分20在［0,舊)上恒成立，

當aW1時,/'(x)=(x+2)e-2a^(x+2)ev-2,

令(p(.r)=(x+2)e'-2,x20,則/(x)=(x+3)ev＞0,故函數*(x)單調遞增，

故(p(x)(0)=2-2=0,

即.r'a)~(p(x)NO,

故此時函數/(x)單調遞增，即/(x)2/(0)=0,

故函數/⑺單調遞增，即/(x)2/(0)=0,

此時即可得當時，函數/(x)20在［0,+oo)上恒成立，即。的取值范圍是(-8,1］.

課時作業

［基礎鞏固］

1.(2025?山師附中一模)已知函數f(x)=vlnx-cix.

⑴當a=0時,求函數/&)的單調區間；

⑵若對任意(0,+oo),/(x)Wf+2恒成立,求實數a的取值范圍.

解⑴當。二。時，函數/(x)=xlnx的定義域是(0,+8)/(x)=Inx+l,

令/(6<0,得1nx+1<0,解得0<x<i故f(x)的單調遞減區間是(0弓)，

令/⑺>0,得lnx+l>0,解得心*故/(%)的單調遞增區間是Q,+8),

綜上J(x)的單調遞減區間是(0,J,單調遞增區間是(%+8).

(2)由對任意xe(0,+oo),/WW』+2恒成立知xlnx-f-ZWat恒成立.

因為.v>0,所以a21n在工￡(0.+co)上恒成立.

X

設h(x)=lnx-x--(x>0),則h^x)=--1+g=—2^x+1\

XXxzxz

令人'3=0,得3=2,及=-1(舍去),

當Xf(0,2)時，"(x)、0,〃(x)單調遢增，

當XG(2,+oo)時,/?’(只<0,〃6)單調遞減，

故當尸2時,〃(x)取得極大值，也是最大值，則力6)皿、=〃(2)=1112-3,

所以若a^h(x)在(0,+co)上恒成立，則a2/?(x)max=ln2-3,

故實數。的取值范圍是［h］2-3,+8).

2.已知函數/金)二燮.

(I)求函數/(x)的極值；

⑵若不等式ey(A)+?ln.G1恒成立,求實數。的取值范圍.

解⑴由題意可知/(x)的定義域為R,且/(x)=M，令「金)=0,得尸0,

當x變化時,/金)J(x)的變化情況如表，

X(-8,0)0(0,+oo)

/W+0-

/(X)單調遞噌極大值單調遞減

所以當40時J(x)取得極大值1,沒有極小值.

⑵ey(x)+a\n1恒成立，即x+alnx20恒成立，

設gCv)=x+6/lnx,x>0,則gr(x)=1寸=資

①當<7=0時,g(x)=x>0恒成立，符合題意；

②當</>0時,/⑺>0,可知g(x)在(0,+8)上單調遞增,

因為g(eW)=eT-l<0,

所以<+alnx20不恒成立；

③當?/<0時,x變化時,gQ),g(x)的變化情況如表，

X(0,-a)-a(-a,十8)

gG)-0+

g(X)1極小值單調遞增

可知g(x)的最小值為g(-a)=-a+aln(-a),則-a+Hn(-a)20,

因為“<0,故解得-eW〃<0.

綜上所述，實數。的取值范圍是[-e.O].

3.(2026,遼寧省部分重點中學協作體考試)己知函數f(x)=(Inx-x+1)(e'-ar)(a￡R).

⑴當“0時，求/G)的單調區間；

(2)若/(x)W0恒成立,求實數a的取值范圍.

解⑴由題意可知J(x)的定義域為(0,+00),

若a=0,則f{x)=(lnx-x+\)e\

f(x)=(lnx—x+：)e*,

設g(1)=lnx-x+-,x>0,

/1\23

ml，/、X2-X+l(X-2)+4八

貝U8^=-^—=-3〈°，

可知g(x)在定義域(0,+oo)內單調遞減，且g(l)=O,

故當Q1時,g(x)<0,即/(x)<0；當0<rd時,g(x)X),即/。)>0,

所以/(公的單調遞減區間為(1,+8),單調遞增區間為(0,1).

⑵設力⑺=lnx-x+luX),

則h,M=—X,

令h'M>0,解得0<r<l；令/2fCv)<0,解得x>\,

可知人(%)在(0,1)內單調遞增，在(1,+8)內單調遞減，

則MOW>⑴=0,即lnx-x+1^0,

若/⑺W0恒成立，則e'-ax'O在定義域(0,+oo)內恒成立，

可得《2。在定義域(0,+8)內恒成立，

X

設FM=-,.x>0,則9(x)二"孚二

XX2

令F<?>0,解得x>l；令F(x)<0,解得0<r<l,

故“外在(I,十oo)內單調遞增，在(0,1)內單調遞減，

則F(x)^