高考數(shù)學一輪復習 第八章 第5節(jié) 橢圓-含解析

第5節(jié)橢圓

9課標要求1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程2掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、

離心率).3.了解橢圓的簡單應用.

一［《???主干梳理基礎(chǔ)落實???>?—-----------(

知識梳理

1.橢圓的定義

(1)定義:平面內(nèi)與兩個定點Fi,F2的距離的和等于口(大于IHFzl)的點的軌跡.

(2)焦點:兩個定點尸I,尸2.

(3)焦距:兩焦點間的距離尸尸2|；半焦距:焦距的一半.

2.橢圓的標準方程和簡單幾何性質(zhì)

標準

W+*s>o)4+^=i(?>^>o)

11z

方程aab

圖形一

J8煙"r叢x

焦點

焦點在X軸上焦點在)，軸上

的位置

——a團工

范圍

且--wz>且-aWvWa

IZ]A|(o.-

頂點a,0),A?(a,0),

0),當彷,0)

5(0,力)

軸長短軸長為同lb,長軸長為0二

焦點回回

焦距丁尸2|=血」

對稱性對稱軸：叵］，對稱中心：E3

離心率e=￡(0<e<l)

a

a,b,c

/=尻+/

的關(guān)系

I常用結(jié)論與易錯提醒，

橢圓中常見結(jié)論

已知產(chǎn)為橢圓上任意一點，尸I,尸2分別為橢圓的左、右焦點，設(shè)/尸/后二仇如圖所示.

（1）當P為短軸端點時，。最大,SARPE最大；當點戶為長軸端點時,0最小為0.

（2）|PF||max=^+C,\PFi\min=a-c.

（3）|PF1|?|尸產(chǎn)2區(qū)（四等組）2=/

222

（4）4C=|PF,|+|PF2|-2|PF|||PF2|COSB.

（5）焦點三角形的周長為23+c）.

舞翳才診斷自測蠲

1.思考辨析（正確的打“，”，錯誤的打"x”）

（1）平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.（*）

⑵橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.（x）

（3）方程〃常+可，2=1心0,〃?W〃）表示的曲線是橢圓.（）

（4）圻Q（。20）與可+券13歷>0）的焦距相同.（M）

2.（人A選修一PIO9Tl改編）設(shè)橢圓身+72=1上一點P到焦點長的距離等于6,則點P到另一個焦點F2的

10036

距離是（B）

A.20B.14

C.2V5D.<14

解析由橢圓的定義知|PQ|+|PBI=2"，又橢圓裊+[=1上一點P到焦點Q的距離等于6,即|PR|=6,且

10036

訴10,所以6+|PF2|=20,故|PE|=14.

3.（人A選修一P115T3改編）已知橢圓的方程為。+（=1,則該橢圓的（D）

43

A.長軸長為2B短軸長為四

C.焦距為1D.離心率為3

解析由橢圓的方程;+彳=1可知焦點在x軸上，即1=3,，=a262=1,則a=2,〃=V5,c=l,所以長軸長

為2a=4,短軸長為2n2百，焦距為2c=2,離心率為：.故選D.

a2

4.（人A選修一Pl16T12改編）若橢圓+則該橢圓上的點到焦點距離的最大值為3.

43

解析由題意知4=2,b=b，所以c=l,則橢圓上的點到焦點距離為最大值為a+c=3.

-考點突破能力提升——：----------c

考點一橢圓的定義及其應用

【例1】（1）已知動圓M和圓G：（x+l）2+/=36內(nèi)切，并和圓Cz：G-1）2+9=4外切，則動圓圓心M的軌跡是

(C)

A.直線B.圓

C.焦點在人軸上的橢圓D.焦點在y軸上的橢圓

解析設(shè)動圓的圓心M的坐標為（乂y）,半徑為八

因為動圓M與圓G：（x+l）2+）2=36內(nèi)切，且與圓。2：（片1）2+9=4外切，

可得|MGI=6-幾IMC2I二什2,

所以|MG|+|A/C2|=8>|CIC2|=2,

根據(jù)桶圓的定義知，動點M的軌跡是以。1,。2為焦點的橢圓，且〃=8,2-2,

可得i7=4,c=1,則b=y/az—c2=V15,

所以動點M的軌跡方程為為+[=1,

1615

所以其軌跡為焦點在X軸上的橢圓.

⑵（2025?湖南長沙模擬）已知點。為坐標原點，橢圓1+之1的左、右焦點分別為點P在橢圓上,

設(shè)線段PFi的中點為M,且|OF2l=QM,則△PQ&的面積為（A）

A.V15B.亨

C.3V7D.4V15

解析由題意可得a=3,b=\[S,c=j9-5=2.

如圖，因為O,M分別是和PP的中點,

所以|P”2|=2|OM=2|OBI=2C=4,

根據(jù)橢圓定義，可得IPE\=2a-\PF2\=2，又因為F2|=2C=4,

所以XPF'F?為等腰三角形，且B到PR的距離為人/PF2『一（等）=底，

故ZiPFiB的面積為g|PFikh=V15.

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橢圓定義的應用技巧

（I）橢圓定義的應用主要有：求橢圓的標準方程，求焦點三角形的周長、面積及求弦長、最值和離心率等.

(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點三角形的周長和面積問題.

【跟蹤訓練1]⑴設(shè)人B為橢圓C:^+y2=l的兩個焦點,點P在。上,若評；?PE=O,則|PQ|?|PEI等于

(B)

A.lB2C.4D.5

解析因為橢圓C：^+y2=1,所以。二2」尸1,c=V3,又因為西?電二0,所以麗1麗，即PF]_L,

設(shè)|PR|=〃“〃>0),|PF2|=n(n>0),

貝|J〃7+〃=4,①

且rn2+/r=(273)2,②

由①2-②得2〃〃?=4,即"〃尸2,

所以伊外|?|PEd=2.

(2)已知分別為橢圓C：^+91(4*0)的左、右焦點,A為橢圓C的上頂點，且△ARFz為等邊三角

形,過Fi且垂直于AFi的直線與橢圓C交于D,E兩點，則ZiAOE的周長為16.

解析由橢圓C[+4=1(4>/?>0)，得折4,

16b乙

因為AAQB為等邊三角形，過吊且垂直于的直線與橢圓C交于DE兩點，

所以直線OE為線段的垂直平分線，

故用二|石6|,

則AADE的周長為\AD\+\AE\+\DE\=\DF2\+\EF2\+\DFI|+|EFI|=2a+2a=4〃=4x4=16.

考點二求橢圓的標準方程

角度1待定系數(shù)法

【例2]求滿足下列各條件的橢圓的標準方程：

(1)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形,且焦點到同側(cè)頂點的距離為舊；

(2)經(jīng)過點PC-2V3,1)，2(73,-2)兩點；

(3)與橢圓[+有相同離心率,且經(jīng)過點⑵-V5).

43

解(1)由已知.有｛a=2c，解得卜雷

a-c=yJ5,(c=V3,

所以戶=9,所以所求橢圓的標準方程為[+?=1或9+[=1.

(2)設(shè)方程為"小+肛?=1(〃?>()，〃:>0,〃1W〃),

則有手之二"；，解得卜二*

所以所求橢圓的標準方程為、+[=1.

AOO

(3)橢圓[+<=1的離心率是

432

當焦點在x軸上時，設(shè)所求橢圓的方程是臺+3=1?>0)，

a%D

la2，

a2=8,

Ua2=b2+c

b2=6,

±+±=1

J十b2a

所以所求橢圓的標準方程為=+t=l.

86

當焦點在y軸上時，設(shè)所求橢圓的方程為今1,

Ja2b2

(鴻，(a2T

所以小=從+*解得；5

導京=LI4

所以橫圓的標準方程為卷+~Ts=1.

角度2相關(guān)點法(代入法)(考教銜接)

【例3】(2024?新課標II卷)已知曲線。:/+〉2=16()>0),從C上任意一點P向x軸作垂線段PP；P'為垂

足，則線段PP'的中點M的軌跡方程為(A)

A.g-^=l(y>0)B.^+^=l(y>0)

C《++()>。)D.(+*2>0)

解析設(shè)點M(x,y),則夕'(x,0),因為M為尸P'的中點,所以。(工2)，)，又尸在曲線Y+)，2=16()，>0)上，所以

f+4戶16(y>0),即立+—=1(y>0)，即點M的軌跡方程為立+^=1(v>0).故選A.

【教材原題】(人A選修一P108例2)如圖，在圓/+)2=4上任取一點P,過點P作x軸的垂線段PD、D為

垂足.當點P在圓上運動時，線段P0的中點M的軌跡是什么？為什么？(當點。經(jīng)過圓與x軸的交點時，規(guī)定

點M與點P重合.)

【點評】高考題中圓的方程與教材例題中圓的方程僅有半徑天同，其他完全一致，都是考查相關(guān)點法求方

程.

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求橢圓標準方程的常用方法

1.定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定抗〃的值，結(jié)合焦點位置寫出橢圓方程.

2.待定系數(shù)法

由初」根據(jù)條件判斷M的焦點是在x軸上，還是在y軸'

I詐:-上.還是在兩不至標軸上都有可使

------\根據(jù)上述,斷設(shè)方程:￡+%=|（。>〃>0）或W+二

設(shè)方程卜在匕%W

------'=1（“>/?0）或帆「+少。=1（所>0.”>€,且zn/加

找關(guān)系贏巳知條件,建立關(guān)于a.-c或〃入〃的方程組

:I:,

[一方程卜干3―組，將一代入所設(shè)方程，珅得所求:

[提醒]當橢圓焦點位置不明確時,可設(shè)為5+?=1（〃?>0,心0,加聲〃），也可設(shè)為4『+外2=1（2>0,小0且

廿⑶.

3.應用相關(guān)點法（代入法）求解.

22

【跟蹤訓練2】⑴（2026?遼寧撫順月考）已知兩圓G:（『4）4V=169,C2：Cv+4）+y=9,動圓在圓G內(nèi)部

且和圓G相內(nèi)切,和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（D）

AY-片=1B.日+q二1

64484864

cH-乃=1DY+日=1

48646448

解析設(shè)圓M的半徑為r,則|MGI+|MC2|=（13-r）+（3+r）=16>8=|GG],所以M的軌跡是以G.C?為焦點的橢

圓，且2a=16,2c=8,所以a=8,c-4,b=\/a2-c2=4百,故所求動圓圓心M的軌跡方程為土+匕=1.故選D.

6448

⑵己知橢圓+合1（〃20）的離心率為Al,A2分別為C的左、右頂點,B為C的上頂點.若西?

網(wǎng);1,則C的方程為（B）

A.U1B."=I

181698

若+[=1D.y+/=1

解析依題意得Ai（-4,0）,4（。,0）,8（0,6）,所以84產(chǎn)（-4,-/?）,842=（。，-〃），3必?BA；=-（『+〃=-（/-〃）=

c2=-1,故c=l,又。的離心率e=-=!=],所以々=3,/=9,/?2=/"=8,即。的方程為'+匕=1.故選B.

aa398

考點三橢圓的幾何性質(zhì)

角度1離心率

【例4]已知橢圓C:g+合1（心/?0）的左、右焦點分別為Q,F2,若橢圓C上一點P到焦點a的最大距

離為7,最小距離為3,則橢圓。的離心率為（B）

B.-

5

解析由題意可知曰尸|1=4+L=7,|PPi|min=a-c=3,于是可得〃=5,c=2,所以橢圓C的離心率e=-=

a5

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求橢圓離心率或其范圍的方法

(I)直接求出a,c,利用離心率公式求解.

a

(2)由，與1的關(guān)系，利用變形公式e=11一3求解.

(3)構(gòu)造的方程，可以不求出c的具體值，而是得出。與c的關(guān)系，從而求得e.

角度2與橢圓有關(guān)的最值、范圍問題

【例5］(多選)已知橢圓Fi,6為左、右焦點,B為上頂點,P為橢圓上任一點，則(AB)

A.SMF/2的最大值為46

B.IPKI的取值范圍是［4-26,4+2V3］

C.不存在點P使

D.|PM的最大值為2V5

解析對于A,依題意知a=4,b=2,c=2\f3,當尸為短軸端點時，(5“&戶2)0m苫x2cxZ?=4A后，故A正確；對

于B,由橢圓的性質(zhì)知|PQ|的取值范圍是［GC,〃+C］,即［4-2國,4+26］，故B正確；對于C,sinZFfiO=￡=~,

2a2

所以所以/尸山心號，即NQPE的最大值為學最小'直為0,所以存在點P使故C錯

誤；對于D,設(shè)P(xo.yo)，所以|心|=《詔+仇-2)2,

又魯答1,所以就=16-4端

所以|P8|=J16-4需+仇-2)2

二卜3及—4yo+20=J-3(y0+f+g,

又-2Wy()W2,故當y)=1時，

,,3

IP例皿二月=苧，故口錯誤.

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與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法

(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì).

(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù).

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

【跟蹤訓練3］⑴(多選)已知橢圓［+\=1(0<*3)的左、右焦點分別為過點Q的直線/交橢圓

9

于A,B兩點,若HB|的最小值為4,則(BD)

A.橢圓的短軸長為歷

B.|A尸2|+出尸2|的最大值為8

C.離心率為白

D.橢圓上不存在點戶，使得/BPBg

解析易知當A3J_x軸時，即線段A8為通徑時,依用最短，??.|A5|=字=4,解得〃=6,，橢圓方程為<+<=1.

396

對于A,橢圓的短軸長為26二2傷，故A錯誤；

對于B,于△A8B的周長為|A6|+|AF2|+|BF2HA尸1+4尸2|+田為|+|5尸2|=4。=12,且1ABimb=4,J

(IAF2I+IBF2I)max=12-|AB|mi?=8,故B正確;

對于C,；c=y/a*2*4—b2=V3,a=3,離心率e=-=g,故C錯誤；

對于D,易知當點;5位于短軸端點時，/吊？尸2最大，此時|尸川二尸尸2|=。=3,內(nèi)尸2|=20=28，???8§/

QPA=吆穿空=>0,又NQPF2為三角形內(nèi)角，，/丹。尸2￡(0,以，???橢圓上不存在點尸，使得/尸田外二看

故D正確.

⑵已知橢圓C[+哈=1(〃>0)的左、右焦點分別為F1,%,A為。上一動點,則鵠的取值范圍是[1,3].

解析設(shè)橢圓C的半焦距為c(c>0),

則谷"為2=之瞥=笄空仔1,

42\AF2\\AF2\\AF2\

因為|AF2|e[〃-c,?+c],即HBI￡L。怖a],所以系-16[p3],

即據(jù)的取值范圍是L，3].

橢圓的參數(shù)方程

中心在原點,坐標軸為對稱軸的橢圓的方程,可以采用三角換元，表示成如下兩種情況：

焦點在X軸上的橢圓《+*1(4乂>0)￡z葭需'(。為參數(shù)).

焦點在y軸上的橢圓，匕(8為參數(shù)).

z

，Q2b(y=asm?

以上方程為橢圓的參數(shù)方程,且方程中的參數(shù)〃￡[0,2兀).

【應用】⑴設(shè)4是橢圓C：Y+?=1的上頂點，點P在C上,則IP用的最大值為(A)

A.-B.V6

2

C.V5D.2

解析???點尸在橢圓上，

可設(shè)點P(V5cos0,sin0).

易知點8(0,I),所以根據(jù)兩點間的距離公式得

2

2222

\PB\=(V5COS6)+(sin6-1)=4cos^-2sin夕+2=-4sin%-2sin%6=-4|'sin8+2)+—.

\4/4

易知當sin夕€=0,即sin小二時,IPS/取得最大值二所以|P81gx這

4442

⑵若PG,)，)為曲線上的動點,求點P到直線/:4x-3)M2=()的距離d的最大值和最小值.

解?,?f+)，2=1的參數(shù)方程為=:方&(。為參數(shù))，，可設(shè)P(2cos"sinO),

4■(y=sine/

則8cos0-3sin0+12|

二回答…(tag)

???”的最大值為誓3,最小值為胃亙.

課時作業(yè)

［基礎(chǔ)鞏固］

一、單項選擇題

1.若橢圓的焦點在X軸上且經(jīng)過點1-4,0),焦距為6,則該橢圓的標準方程為(B)

A.過一二=1+

168167

C.^+^=lD.次+廿=1

816716

解析由題意得a=4,2c=6,則c=3,b2=a2-c2=l,所以該橢圓的標準方程為靠+三二1.

2.已知橢圓C：［+Y=l的一個焦點為(0,2),則仁(D)

oK

A.4B,8C.10D.12

解析由題意得,d=4,a2=k,/=8,所以k=4+8=12.

3.(2026?浙江臺州月考)橢圓后：=+［=1與橢圓反：二+二=1(0＜々＜4)的(D)

949-K4-fc

A.長軸長相等B.短軸長相等

C.離心率相等D.焦距相等

解析對于橢圓Ei：a*=9,必=4,c＞5,對于橢圓反：堵=9-k,屈=4-攵,或=5,所以它們的長軸長不相等，短軸長

不相等，離心率不相等，焦距相等.故選D.

4.(2025?山東威海一模)設(shè)直線/:x=-4,點F,(-2,0),F2(2,0),已知點4到)的距離與它到Q的距離之比為

V2,ffl(D)

A.||PFI|-|PF2||=I6B.||PQ|-|PB||二8四

C.\PFMPF2\=\6D」PR|+|PRd=4四

解析設(shè)點P(x,y),則點P到I的距離仁|x+4|,|PA|=J(x+2)2+y2,由高=弋=收得,=+T=1，

|HriIyj(X+2)￡+y￡o4

，點P的軌跡是以原點為中心，焦點在x軸上的橢圓，其中a=2y/2，根據(jù)橢圓定義得，|PQ|+|PF?|=2a=4及.故

選D.

5.(2025?浙江寧波一模)已知橢圓C的左、右焦點分別為吊，G過上頂點A作直線A國交橢圓于另一點8

若忸8|二尸山|,則橢圓C的離心率為(C)

CT

解析如圖,

因為AABF1的周長為4a,|AFi|=|AF2|=fl,|AB|=|FiB|,

所以|A5|二|尸同二去,恰尸2吟

2

又COS/ABH+COSNBBFLO,所以￡+―弋產(chǎn)-㈤==>3c=a2n￡=g=e,所以橢圓c的離心率為g.

a2x-x2c0a33

故選c.

6.已知橢圓C:?+?=l的右焦點為F,尸為橢圓C上任意一點，點A的坐標為（一則儼A|+|PF|的最大值

為（B）

A.gB.5

「28

CT瑤

解析如圖，設(shè)橢圓。的左焦點為吊（?1,0）,

因為旦+@-=卷＜1,所以點4在橢圓內(nèi)部.由橢圓定義可得|PQ=4-|PQ|,所以『川+|叩=4+|PA卜

4375

|PE|W4+|AFi|=4+.故上川+|9］的最大值為5.

二、多項選擇題

7.如圖，橢圓C亮+蓄口（〃＞。）的焦點為人，心上頂點為4直線AQ與C的另一個交點為民若N

則（ABD）

A.C的焦距為2B.C的短軸長為2遮

C.C的離心率為中D/AOG的周長為8

解析由于NQg4所以NQAOuNOgW，故cosN/MO=cos?=器;=-F===-=^,因此勺=

366\AFx\vc2+b2a2a2

.2222

(V)=生，故病=3,所以橢圓。：號+91"2,/尸百,片1.對于人，焦距為2c=2,故A正確；對于B,短軸

長為2/?=2A/3,故B正確；對于C,離心率為e=-二*,故C錯誤；對于D,AABB的周長為4〃=8,故D正確.故選

a2

ABD.

&設(shè)橢圓C[+[=l的左、右焦點分別為a,是C上的動點，則下列結(jié)論正確的是(AC)

N516

A.橢圓C的離心率右|

B.|FFI|+|PF2|=5

CZPRB面積的最大值為12

DJPRI的最小值為當

解析對于A,由橢圓方程得。=54=4,所以C=X/Q2—垓=3,所以離心率為e=|,故A正確；

對于B,由橢圓定義可知|PFi\+\PF2\=2a=10,故B錯誤；

對于C,當尸位于橢圓的上頂點或二頂點時，△PFiB面積最大，最大值為：x2cx/尸機=12,故C正確；

對于D,a-cW|PFi|Wa+c,所以|PFi|的最小值為a-c=2,故D錯誤.故選AC.

三、填空題

9.已知橢圓?+9=1的左、右焦點分別為F,,過B作直線交橢圓于A,B兩點,若B為線段AB的中點，則

△AFiB的面積為亙.

解析由題意可知產(chǎn)(唐,0),因為點B為線段A8的中點，所以AB_LRF2,所以HB|=平二1,所以

S-F$=}|A8|?|FIF2|=V1

10.已知F(2,()),B(2,0)是橢圓C的焦點,過&且垂直于x軸的直線交橢圓C于A,8兩點,且|A8|=6,則橢

圓C的方程為1+1=1.

解析由題意設(shè)橢圓方程為京+方1(〃＞比＞0),則?2-/?2=(^=4,由|A8|=6,得%3,所以b2=3a，所以a2-3a-4=0,

解得＜7=4或〃=-1(舍去)，所以從=12,所以橢圓C的方程為；+3=1.

四、解答題

11.(2026?吉林長春月考)如圖，己知橢圓馬+*1(g?0),八凡分別為橢圓的左、右焦點,A為橢圓的上

頂點，直線AB交橢圓于另一點注

(1)若/產(chǎn)小區(qū)=90。，求橢圓的離心率；

(2)若橢圓的焦距為2,且麗=2可,求橢圓的方程.

解(1)若NB48=90°,

則AAOB為等腰直角三角形,

所以有|。4|二|0項,即h=c.

所以a=y[2c,故e=-=—.

a2

(2)由題意知4(0,b),B(l,0),

設(shè)8(x,y),由麗=20,

XX

I=

解得

得Z,

/7,y

代入今+金=1，得白+%1，

a2b24a24

解得辦3.

所以b2=a2-c2=3-1=2,

所以橢圓的方程為彳■+^-=1.

12.已知橢圓C:^+券1(a>b>0),焦點尸(c,0),B(c,0),左頂點為A,點