2026年高考數學一輪復習考點講義函數模型及其應用（知識點+試題+4大考點）

第09講函數模型及其應用

目錄

第一部分：基礎知識..............................................................................1

第二部分：高考真題回顧.........................................................................2

第三部分：高頻考點一遍過........................................................................3

高頻考點一：幾類不同增長的函數模型........................................................3

高頻考點二：利用常見函數模型解決實際問題（二次模型；分段模型）..........................4

高頻考點三：利用常見函數模型解決實際問題（指、對、嘉函數模型）..........................6

高頻考點四：利用給定函數模型解決實際問題..................................................7

第一部分：基礎知識

1、常見函數模型

函數模型函數解析式

一次函數模型/（x）=H+〃（太〃為常數，女工0）

反比例函數模型/（X）=-+^（攵力為常數且女工0）

X

二次函數模型f(x)=ax2+bx+c(。,仇c均為常數，。00)

指數函數模型f(x)=k-bx+c(￡〃,c均為常數，k學0,Z?>0,b于1)

對數函數模型f(x)=k\ogax+b為常數，女工0,。>0,。工1)

事函數模型f(x)=kxn+b(左/，〃為常數，4工0,〃工1)

工*),xeD,

fM=,

分段函數f2(x),XGD2

f2M,XGD3

2、指數、對數、塞函數模型性質比較

函數

性質'y=ax（6/>1）y=log,M"l）y=xn（/2>0）

在（0,+8）上的

單調遞增單調遞增單調遞增

增減性

介于指數函數與

增長速度先慢后快，指數爆炸先快后慢，增長平緩對數函數之間，相

對平穩

隨X的增大，圖象與y軸接近隨X的增大，圖象與x軸接近隨〃值變化而各有

圖象的變化

平行平行不同

值的比較存在一個,當X>與時，有log“x<x"<ax

第二部分：高考真題回顧

1.（多選）（2023?新課標I卷?高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，

定義聲壓級4=20xlg/,其中常數%（%>0）是聽覺下限閾值，〃是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓

級:

與聲源的距離聲壓級

聲源

/m/dB

燃油汽車1060-90

混合動力汽

1050-60

車

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為外生,必，則（）.

A.Pi之p2B.

C./4=l（X）PoD.P1<100p2

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：幾類不同增長的函數模型

典型例題

例題1.（多選）（25-26高三上,全國?課后作業）甲、乙、丙、丁四個物體同時從同一點出發向同一個方

向運動，其路程〃x）a=123,4）關于時間MQO）的函數關系式分別為工（x）=2J/（x）=r，A（x）=x,

&（x）=k）g2（x+l）,則下列結論正確的是（）

A.當x>l時，甲在最前面

B.當0<x<l時，丁在最前面，當入>1時，丁在最后面

C.丙不可能在最前面，也不可能在最后面

D.如果它們一直運動下去，那么最終在最前面的是甲

例題2.（25?26高三上,全國?課后作業）下列函數中，在（0,內）內增長速度越來越快的是（）

A.y=6vB.y=log.xc.y=x2D.y=6x

精練高頻考點

出與

1.（25-26高三上?全國?課后作業）下面關于函數/（x）=logjA\g（A）=在區間（0,+OO）上的

2

遞減情況說法正確的是（）

A./（x）遞減速度越來越慢，g（x）遞減速度越來越快，刈燈遞減速度越來越慢

B./（月遞減速度越來越快，g（x）遞減速度越來越慢，”（R遞減速度越來越快

C./W遞減速度越來越慢，g"）遞減速度越來越慢，〃（同遞減速度越來越慢

D.“X）遞減速度越來越快，g（x）遞減速度越來越快，遞減速度越來越快

2.（25-26高三上?全國?課后作業）四個函數在第一象限中的圖象如圖所示，則a,b,c,d所表示的函數

可能是（）

x2

A.a:y=2yh:y=x,cty=y/x,d:y=2

2Xx

a:y=x,by=2,c:y=7~rd:y=\[x

C.a:y=x2,h:y=2\ciy=y/x,d:y=2'

D.a:y=2\b:y=x2,c:y=Tx,d:y=4x

高頻考點二：利用常見函數模型解決實際問題（二次模型；分段模型）

典型例題

例題1.（2024高三?全國?專題練習）某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入營運，據市場分析，每輛

客車營運的總利潤y（單位：萬元）與營運年數X的關系如圖所示（拋物線的一段），則為使其營運年平均

利潤最大，每輛客車營運年數為.

例題2.（2026高三?全國?專題練習）某共享單車公司計劃在甲、乙兩座城市共投資240萬元.根據行業規

定，每個城市至少要投資80萬元，由前期市場調研可知：甲城市收益。與投入”（單位：萬元）滿足

P=4而-6,乙城市收益Q與投入”（單位：萬元）滿足。=]7"+2,80'"’120,設甲城市的投入為％（單

32,120<t/<l60,

位：萬元），兩個城市的總收益為（單位：萬元）.

（1）當投資甲城巾128萬元時，求此時公司的總收益；

（2）試問：如何安排甲、乙兩個城市的投資，才能使公司總收益最大?

精練高頻考點

1.（24-25高一下?海南?開學考試）某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產工千件，需另投入的

2

成本為C（x）.當年產量不足80千件時，C（x）=^+10x（萬元）；當年產量不小于80千件時，

C（x）=5Lr+32-1450（萬元）.每件商品的售價為0.05萬元.通過市場分析，該廠生產的商品能全部售

X

完.

⑴寫出年利潤”工）（萬元）關于年產量”（千件）的函數解析式；

⑵當年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？

2.（2024高三?全國?專題練習）市場營銷人員對過去幾年某產品的價格及月平均銷售數量的關系作數據分

析時發現有如下規律：該商品的價格每上漲4％（.r>0）,銷售量就減少日％,（其中攵為正常數），目

前，該商品最初的定價為4元，月平均銷售量為8個.

（1）寫出銷售額》與大的函數關系；

（2）當衣二；時，該商品的價格上漲多少就能使銷售的總金額達到最大？

高頻考點三：利用常見函數模型解決實際問題（指、對、幕函數模型）

典型例題

例題1.（2024?四川攀枝花?一模）深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它是以神經網絡為

出發點的，在神經網絡優化中指數衰減的學習率模型為乙=氏，其中L表示每一輪優化時使用的學習率，

4表示初始學習率，。表示衰減系數，G表示訓練迭代輪數，&表示衰減速度.已知某個指數衰減的學習

率模型的初始學習率為0.8,衰減速度為12,且當訓練選代輪數為12時，學習率衰減為0.5.則學習率衰

減到0.2以下（不含0.2）所需的訓練選代輪數至少為（參考數據：國2。0.301）（）

A.34B.35C.36D.37

例題2.（2025高三?全國?專題練習）人類已進入大數據時代，目前，數據量已經從TBOTB=1024GB）級

別躍升至I」PB（1PB=1（）24TB）.EB（舊B=1。24PB）乃至ZB（1ZB=1。24EB）級另|J.國際數據公司研究表明，數

據量/（%）與時間工（單位：年）之間滿足關系式：f（x）=ab\已知第1年（2008年）全球產生的數據量

約為0.5ZB,第2年全球產生的數據量約為0.8ZB.那么從第（）年開始全球產生的數據量不低于

500ZB.（lg2?0.3,lg5?0.7）

A.19B.18C.17D.16

例題3.（2025高三?全國?專題練習）某地區在2020年底森林覆蓋面積為1000km。為貫徹落實“綠水青山

就是金山銀山”的發展理念，該市大力發展植樹造林活動，計劃到2030年底森林覆蓋面積為2690km。要求

每一年森林覆蓋面積的年平均增長率均相同，試問到2021年底需要植樹多少面積？（參考數據：*11）

精練高頻考點

1.（2025高三?全國?專題練習）據統計，目前某市5G基站的數量約1.5萬座，計劃到2024年底，全市5G

基站數是目前的4倍，到2026年底，全市5G基站數最終將達到17.34萬座，則2024年底到2026年底，全

市5G基站數量的年平均增長率為（）

A.20%B.30%C.60%D.70%

2.（2025?甘肅天水?三模）科學家很早就提出關于深度睡眠問題，隨著現代生活節奏的加快，睡眠成了嚴

重影響生活的問題.經研究，睡眠中恒溫動物的脈搏率單位：心跳次數.minD與體重的（單位：Kg）

的y次方成反比.若人3為兩個睡眠中的恒溫動物，A的體重為2Kg、脈搏率為210次.min",S的脈搏

率是70次.minT，則B的體重為（）

A.6KgB.8KgC.18KgD.54Kg

3.（2025高三?全國?專題練習）據歷史資料記載:“2001年國內生產總值達到95933億元，比上年增長7.39%〃，

如果“十?五”期間（2001年?2005生）每年的國內生產總值都按此年增長率增長，那么到〃十?五〃末我國國內

年生產總值約為（）

A.115000億元B.120000億元C.127000億元D.135000億元

高頻考點四：利用給定函數模型解決實際問題

典型例題

1.（23-24高一上?廣東佛山?期末）中國茶文化博大精深，茶水的II感與茶葉類型和茶水的溫度有關.經驗

表明，某種綠條，用一定溫度的水泡制，再等到茶水溫度降至某一溫度時，可以產生最佳口感.某研究員

在泡制茶水的過程中，每隔lmin測量一次茶水溫度，收集到以下數據:

時間/min012345

水溫/°C857973.668.7464.3460.24

設茶水溫度從85。（：開始，經過/min后溫度為：TC,為了刻畫茶水溫度隨時間變化的規律.現有以下兩種函

數模型供選擇：①尸5+人；②），=加+力/+。

⑴選出你認為最符合實際的函數模型，說明理由，并參考表格中前3組數據，求出函數模型的解析式；

⑵若茶水溫度降至55工時飲用，可以產生最佳口感，根據（1）中的函數模型，剛泡好的茶水大約需要放

置多長時間才能達到最佳飲用口感？

（參考數據：1g2?（）.3（）,1g3?0.48）

2.（24-25高一上?云南大理?期末）在密閉培養環境中，某類細菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內細

菌數量的增加，繁殖速度又會減慢.在?次實驗中，檢測到這類細菌在培養皿中的數量）（單位：百萬個）

與培養時間x（單位：/小時）的關系如下表：

X23691215

y3.23.53.844.14.2

根據表格中的數據畫出散點圖如下:

六百萬個）

5

4

3

2

1

-

O23691215^(^)

為了描述從第2小時開始細菌數量隨時間變化的關系，現有以下三種函數模型供選擇：①），=〃?log3、+〃；

②y=mJx-4+n；③y=3v-w+n.

⑴選出你認為最符合實際的函數模型，并說明理由；

（2）請選取表格中的（3,3.5）,（9,4）兩組數據，求出你選擇的函數模型的解析式，并預測至少培養多少個小時，

細菌數量達到5百萬個.

精練高頻考點

1.（23-24高一上?福建龍巖?階段練習）某種蔬菜從1月1日起開始上市，通過市場調查，得到該蔬菜種植

成本y（單位：元/10kg）與上市時間X（單位：10天）的數據如下表：

上市時間K51125

種植成本）'1510.815

⑴根據上表數據，從下列函數：j="+ZM，=a/+〃x+c,y=h/,.y=hlog“x中（其中,選取一個

合適的函數模型描述該蔬菜種植成本》與上市時間大的變化關系，并簡要說明理由；

⑵利用你選取的函數模型，求該蔬菜種植成本最低時的上市時間及最低種植成本.

2.（24-25高一上?遼寧?期中）地下礦產資源勘探建模是一種重要的技術手段，用于幫助人們更好的了解底

卜礦產資源的分布和特征.地球物理勘探技術包括地震勘探、電磁勘探和重力勘探等，可以通過測量地下的

物理參數來獲取不同地理位置下礦產資源的信息.基于測量得到的物理參數，通過處理和分析，可以建立底

下礦產資源的分布模型，進而指導開采活動.在某個礦藏區域，通過前期的勘探活動，測得了某物理指標隨

著地理位置變化的數據，如下表所示.其中％表示采樣點距離礦藏中心標記點的距離，）'表示物理指標的數

值.

.V123A55

y5.74.02.82.01.41.0

⑴根據礦藏分布可能的物理情況，數據分析人員估計物理指標J隨著x變化的模型可能為兩種，分別是①

2皿+",請根據表格中的數據，在答題卡中繪制散點圖，簡要分析此礦藏區域應該用哪一

y=cix+b,②），=2

個模型來估計物理指標y隨著x變化的趨勢.

⑵根據（1）中的結論，選取表格中x=2,x=4的兩組數據，建立數學模型描述物理指標y隨著X變化的趨

勢.根據既往經驗，當物理指標）'低于0.1時，則不具備開采條件，請問正整數X的范圍應該如何詵取，方能

保證范圍內所有區域都具備開采條件.

第09講函數模型及其應用

目錄

第一部分：基礎知識..............................................................................1

第二部分：高考真題回顧.........................................................................2

第三部分：高頻考點一遍過........................................................................3

高頻考點?：幾類不同增長的函數模型........................................................3

高頻考點二：利用常見函數模型解決實際問題（二次模型；分段模型）..........................4

高頻考點三：利用常見函數模型解決實際問題（指、對、嘉函數模型）..........................6

高頻考點四：利用給定函數模型解決實際問題..................................................7

第一部分：基礎知識

1、常見函數模型

函數模型函數解析式

一次函數模型為常數，女工0）

f（x）=±+b（匕b為常數且kw。）

反比例函數模型

X

二次函數模型f(x)=ax2+bx+c均為常數，

指數函數模型f(x)=k-bx+c(NAc均為常數，k^O,匕＞0,bwl)

對數函數模型f(x)=k\ogax+b(%,〃,“為常數，4。0,。＞0,。工1)

幕函數模型f(x)=kxn+b為常數，ZwO,〃wl)

ZW,xeD,

分段函數/(x)=<工(x),xeDy

/(x),XG￡),

2、指數、對數、塞函數才償型性質比較

函數

性質、y=優(a>1)y=iog“M"i)y=7(〃>0)

在（0,+8）上的

單調遞增單調遞增單調遞增

增減性

介于指數函數與

增長速度先慢后快，指數爆炸先快后慢，增長平緩對數函數之間，相

對平穩

隨X的增大，圖象與）’軸接近隨X的增大，圖象與工軸接近隨〃值變化而各有

圖象的變化

平行平行不同

值的比較存在一個%,當X>不時，有log/<x"<ax

第二部分：高考真題回顧

1.（多選）（2023?新課標I卷?高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視,用聲壓級來度量聲音的強弱，

定義聲壓級4=20xlg§,其中常數〃是聽覺下限閾值，〃是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓

級:

與聲源的距離聲壓級

聲源

/m/dB

燃油汽車1060-90

混合動力汽

105060

車

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為八%,P3,則（）.

之

A.Pip2B.

C.Py=100p0D.P14100〃2

【答案】ACD

【知識點】對數的運算性質的應用、對數函數模型的應用（2）、由對數函數的單調性解不等式

【分析】根據題意可知人《[60,90],4450,60],4=40,結合對數運算逐項分析判斷.

【詳解】由題意可知：44[60,刻，4?50,60]，4=40,

對于選項A：可得4-%=20xlg旦-20xlg&=20xlg且，

PoPoPi

因為4沼2,則為_J=20xlg§N0,即Iggzo,

PiPi

所以且21且/不〃2>。，可得Pl2P2,故A正確；

〃2

對于選項B：可得4-L=20xlg-^--20x]g-^-=20xlg-^-,

A.Po凸

囚為4、一4—4一4（A10,則20*坨上大10,即館上.，

PiPy乙

所以卷之而且0,〃3>0,可得P?NMP3,

當且僅當4,=50時，等號成立，故B錯誤；

對于選項C：因為以二20xlgA=40,即1g以=2,

PoPo

可得乙二100,即凸=100%,故C正確；

Po

對于選項D：由選項A可知：4-4=20x1g旦，

Pi

且Lp-4<90-50=40,則20xlgA<40,

Pi

即1g且42,可得且4100,且外0>0,所以Pi*00p2,故D正確；

〃2Pi

故選：ACD.

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：幾類不同增長的函數模型

典型例題

例題1.（多選）（25?26高三上,全國?課后作業）甲、乙、丙、丁四個物體同時從同一點出發向同一個方

向運動，其路程￡。）（，=123,4）關于時間Q，（））的函數關系式分別為工。）=2，-1/（x）=//（幻=工，

,/；（x）=log2（.r+l）,則下列結論正確的是（）

A.當x>l時，甲在最前面

B.當O<X<1時，丁在最前面，當時，丁在最后面

C.丙不可能在最前面，也不可能在最后面

D.如果它們一直運動下去，那么最終在最前面的是甲

【答案】BCD

【知識點】指數、對數、塞函數模型的增長差異

【詳解】對于A,當x=2時，/（2）=3,6（2）=8,所以A錯誤；對于從根據四種函數的變化特點，對數

型函數的變化是先快后慢，當x=l時，甲、乙、丙、丁四個物體的位置重合，從而可知，當0<x<l時，

丁在最前面，當x>l時，丁在最后面，所以5正確；對于C,結合對數型和指數型函數的圖象變化情況，

可知丙不可能在最前面，也不可能在最后面，所以C正確；對干。，指數型函數變化是先慢后快，當運動

的時間足夠長時，最前面的物體一定是按照指數型函數模型運動的物體，即一定是甲物體，所以。正確

例題2.（25-26高三上?全國?課后作業）下列函數中，在（0,內）內增長速度越來越快的是（）

A.y=6'B.y=log.xC.y=x2D.y=6x

【答案】AC

【知識點】指數、對數、基函數模型的增長差異

【詳解】選項D,一次函數的增長速度不變，不符合題意；選項A,C,函數的增長速度越來越快，符合題

意：選項B,對數函數的增長速度越來越慢，不符合題意.

精練高頻考點

1.（25-26高三上?全國?課后作業）下面關于函數/（x）=logig"）=（￡j與〃（刈=_3在區間（0,+oc）上的

遞減情況說法正確的是（）

A./W遞減速度越來越慢,g（.l）遞減速度越來越快，刈幻遞減速度越來越慢

B./（月遞減速度越來越快,g（x）遞減速度越來越慢，Mxi遞減速度越來越快

C./"）遞減速度越來越慢,晨月遞減速度越來越慢，〃（可遞減速度越來越慢

D./（月遞減速度越來越快,g（x）遞減速度越來越快，〃（刈遞減速度越來越快

【答案】C

【知識點】指數、對數、箱函數模型的增長差異

【詳解】觀察函數〃x）=logix,g（x）=（￡|與在區間（。,+8）上的圖象（如圖）可知，函數/（X）的

圖象在區間（（）,1）上遞減較快，但遞減速度逐漸變慢；在區間（1，+8）上遞減較慢，且越來越慢.同樣，函數

g"）的圖象在區間（0,內）上遞減較慢，且遞減速度越來越慢.函數力（X）的圖象在區間（0,1）上遞減較快，但

遞減速度變慢；在區間（1，+8）上遞減較慢，且越來越慢.

2.（25?26高三上?全國?課后作業）四個函數在第一象限中的圖象如圖所示，則。，b,ctd所表示的函數

可能是（）

A.a:y=2'b:y=x2,c:y=\fx,d:y=2-'

B.a\y=x2,b:y=2',c:y=2~\d:y=4x

C.a:y=x2,b:y=2\c:y=4x,d:y=2'

D.a:y=2\b:y=x2,c:y=2'\d:y=\[x

【答案】C

【知識點】根據函數圖象選擇解析式、指數、對數、箱函數模型的增長差異

【詳解】根據基函數、指數函數、對數函數的性質和圖象的特點，可知小C對應的函數分別是易指數大于

1和塞指數大于。小于1的塞函數，btd對應的函數分別為底數大于1和底數大于。小于1的指數函數.

高頻考點二：利用常見函數模型解決實際問題（二次模型；分段模型）

典型例題

例題1.（2024高三?全國?專題練習）某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入營運，據市場分析，每輛

客車營運的總利潤丁（單位：萬元）與營運年數x的關系如圖所示（拋物線的一段），則為使其營運年平均

利潤最大，每輛客車營運年數為.

【答案】5

【知識點】利用二次函數模型解決實際問題

【分析】根據題意，由圖象可得二次函數解析式，從而可得年平均利潤與營運年數的關系式，再由基本不

等式代入計算，即可得到結果.

【詳解】根據圖象，設），=心-6尸+11.代入點（4,7）,解得〃=

y=-（X-6）2+11=-x2+12x-25.

GG\

因此，年平均利潤』=T+12-'=—x+—+12.

XXX）

2525

...x>0,/.X4-->10,當且僅當x=￡,即x=5時，等號成立.

XX

故要使平均利潤最大，則客車營運年數為5.

故答案為：5

例題2.（2026高三?全國?專題練習）某共享單車公司計劃在甲、乙兩座城市共投資240萬元.根據行業規

定，每個城市至少要投資80萬元，由前期市場調研可知：甲城市收益P與投入“（單位：萬元）滿足

P=4而-6,乙城市收益。與投入〃（單位：萬元）滿足Q=n"2,80?a"20,設甲城市的投入為x（單

32,120<?<160,

位：萬元），兩個城市的總收益為/（X）（單位：萬元）.

⑴當投資甲城市128萬元時，求此時公司的總收益；

（2）試問：如何安排甲、乙兩個城市的投資，才能使公司總收益最大？

【答案】⑴總收益為88萬元

（2）當甲城市投資128萬元，乙城市投資112萬元時，總收益最大

【知識點】利用給定函數模型解決實際問題、分段函數模型的應用

【分析】（1）依題意可知乙城市投資112萬元，再根據所給關系式求出“128）即可；

（2）依題意甲城市投資“萬元，則乙城市投資（240-1）萬元，根據每個城市至少要投資80萬元求出x的取

值范圍，分80Wx<I20、120WX4160兩種情況分別求出/（“解析式，從從而求出/（6的最大值，即可得

解.

【詳解】（1）當工=128,即甲城市投資128萬元時，乙城市投資240-128=112萬元，

所以/（128）=4xj2xl2X_6+」x112+2=XX（萬元）.

因此，此時公司的總收益為88萬元.

（2）由題意知，甲城市投資x萬元，則乙城市投資（240-幻萬元,

x>80

依題意得?八、。八，解得80WXW160,由240-1>120,則x<120；

當8O?xvl2O,即120v240-x4160時，/*）=4岳-6+32=4后+26,

則f（x）在[80,120）上單調遞增，所以/（x）<26+16>/15；

當1204x4160,即80W240—XV120時，/（.r）=4A/2X-6+-（240-x）+2=--x+4V2x+56,

44

令1=&,貝肘e[2病,4呵，

所以）,=」/+4"+56=」（/_8五）2+88.

44

當7=8五，）'取最大值88,即x=128時，/（X）取最大值88；

因為88-（26+16x/15）=2x（31-8府）>0,故f（x）的最大值為88.

因此，當甲城市投資128萬元，乙城市投資112萬元時，總收益最大，且最大收益為88萬元.

精練高頻考點

1.（24?25高一下?海南?開學考試）某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產工千件，需另投入的

成本為。（x）.當年產量不足80千件時，C（x）=g.P+l（R（萬元）；當年產量不小于80千件時,

C（x）=51x+——-1450（萬元）.每件商品的售價為0.05萬元.通過市場分析，該廠生產的商品能全部售

X

完.

⑴寫出年利潤“X）（萬元）關于年產量X（千件）的函數解析式;

⑵當年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大?

—x2+40.V—250,0<x<80,

3

【答案】⑴L（x）='

Ix)

（2）100千件,1000萬元

【知識點】基本（均值）不等式的應用、分段函數模型的應用、求二次函數的值域或最值

【分析】（1）根據已知條件列出函數解析式；

（2）根據函數解析式分別求分段函數的最值，0<工<80時利用二次函數求最值，入280時利用基本不等式

求最值即可.

【詳解】（1）因為每件商品售價為0.05萬元，

所以x千件商品的銷售額為（）.05xl（XX）x=50x（萬元）.

依題意得當0<x<80時，L(A)=50x--1Ox-250=-1x2+40x-250；

皿—/r.KKXX)一“”八1N)OO)

當x280時，L(x)=50x-51x------+1450-250=1C20M0-1(x+-----I.

--X2+40X-250,0<X<80

3

所以"%)=?

1200.卜+曾

,x>80

I-vJ

(2)當0vx<80時,

L(^)=-1(X-60)2+950

當H=60時，L(x)取得最大值〃=950(萬元).

>

當工N80時，L(x)=120()-fx+!^292|<1200一2%.^^=1200-200=KKK).

當且僅當x即x=100時，〃x）取得最大值1000萬元.

X

由于950v1000,所以當年產量為100千件時，

該廠在這一商品生產中所獲利潤最大，最大利潤為1000萬元.

2.（2024高三?全國?專題練習）市場營銷人員對過去幾年某產品的價格及月平均銷售數量的關系作數據分

析時發現有如下規律：該商品的價格每上漲1％（x>0）,銷售量就減少丘％,（其中我為正常數），目

前，該商品最初的定價為。元，月平均銷售量為沙個.

（1）寫出銷售額與N的函數關系；

（2）當左=；時，該商品的價格上漲多少就能使銷售的總金額達到最大？

乙

【答案】（i）y=〃力（i+x%）（i—3%）；

⑵上漲50%.

【知識點】利用二次函數模型解決實際問題

【分析】（1）根據題意，由條件即可得到函數關系式;

（2）根據題意，由二次函數的最值，代入計算，即可得到結果.

【詳解】（D由題意，

設月平均銷售總額為）'，由已知條件知

y=々(1+X%)3(1一k.x°/o)=ab(\+.r%)(l-Air%)；

<2）當）=；時,產邛十X.瀛。…（2。一）

100人

-^―(-V+100x+20000),

20000、7

9

顯然，當X=50時，ymax=三也

1O

當價格上漲50%時，銷售總額最大值為99H.

O

高頻考點三：利用常見函數模型解決實際問題（指、對、嘉函數模型）

典型例題

例題1.（2024?四川攀枝花?一模）深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它是以神經網絡為

出發點的，在神經網絡優化中指數衰減的學習率模型為乙=/J）氏，其中L表示每一輪優化時使用的學習率,

4表示初始學習率，。表示衰減系數，G表示訓練迭代輪數，&表示衰減速度.已知某個指數衰減的學習

率模型的初始學習率為0.8,衰減速度為12,且當訓練選代輪數為12時，學習率衰減為0.5.則學習率衰

減到0.2以下（不含0.2）所需的訓練選代輪數至少為（參考數據：愴2。0.301）（）

A.34B.35C.36D.37

【答案】C

【知識點】指數式與對數式的互化、對數的運算性質的應用、運用換底公式化簡計算、指數函數模型的應

用（2）

G

【分析】根據已知條件列方程，可得。=4,再由0.8X（2F＜（）2,結合指對數關系和對數函數的性質求解

8⑻

即可.

【詳解】由于Lj選，所以….8X滯，

依題意0.5=0.8x0五，則。

O

由八"e1I2Ig412(lgl-lg4)-241g2-24x0.301...

所以G〉12log、-=——=—1------:=-h-----------------=35.4

”'入源.5Ig5-31g2l-41g21-4x0.301

g8

所以所需的訓練迭代輪數至少為36次.

故選：C.

例題2.（2025高三?全國?專題練習）人類已進入大數據時代，目前，數據量已經從TB（1TB=1O24GB）級

別躍升至UPB（IPB=1O24TB）,EB（1EB=1O24PB）乃至ZB（1ZB=1D24EB）級另IJ.國際數據公司研究表明，數

據量/'（X）與時間x（單位：年）之間滿足關系式：/（"二他:已知第1年（2008年）全球產生的數據量

約為0.5ZB,第2年全球產生的數據量約為0.8ZB.那么從第（）年開始全球產生的數據量不低于

500ZB.（lg2?0.3,lg5?0.7）

A.19B.18C.17D.16

【答案】D

【知識點】對數的運算性質的應用、指數函數模型的應用（2）

【分析】先根據關系式和題設條件求出參數依題列出不等式，運用指對數互化和對數的運算性質計算

即得.

【詳解】由題意得[號明解得?所以=對，令，⑶200，

[ab~=0.8,^=816\<5）16）

貝>1600,兩邊同時取以10為底的對數可得Ng8[?lgl60（）,

5

即.r(31g2-Ig5"2+41g2,所以之=脩,所以取x=16,

即從第16年開始全球產生的數據量不低于500ZB.

故選：D

例題3.（2025高三?全國?專題練習）某地區在2020年底森林覆蓋面積為lOOOkm?,為貫徹落實“綠水青山

就是金山銀山〃的發展理念，該市大力發展植樹造林活動，計劃到2030年底森林覆蓋面積為2830knf,要求

1

每一年森林覆蓋面積的年平均增長率均相同，試問到2021年底需要植樹多少面積？（參考數據：（葭丫=1.1）

【答案】100km2

【知識點】指數函數模型的應用（2）

【分析】設每年平均增長率為x,由條件可得方程1000（1+4°=2600,解方程求J由此可得結論.

【詳解】設每年平均增長率為x,

則以2020年底為基礎，到2030年底的森林覆蓋面積為1000（1+幻,

13

故1000（1+x/=2600,所以（1+4°=彳，

1

解得—停丫_]川，

所以到2021年底需要植樹的面積為lOOkmt

精練高頻考點

1.（2025高三?全國?專題練習）據統計，目前某市5G基站的數量約1.5萬座，計劃到2024年底，全市5G

基站數是目前的4倍，到2026年底，全市5G基站數最終將達到17.34萬座，則2024年底到2026年底，全

市5G基站數量的年平均增長率為（）

A.20%B.30%C.60%D.70%

【答案】D

【知識點】指數函數模型的應用（2）

【分析】設2024年底到2026年底，全市的5G基站數量的年平均增長率為工，由條件關系列方程可得

17.34=6（1+",解方程求x即可.

【詳解】設2024年底到2026年底，全市的5G基站數量的年平均增長率為',

由已知到2024年底，全市5G基站數是6萬座，

所以到2026年底，全市5G基站數最終將達到6（1+萬座，

所以17.34=6（1+*）2,所以（1+4=2.89,

解得x=0.7,即2024年底到2026年底，全市5G基站數量的年平均增長率為70%,

故選：D.

2.（2025?甘肅天水?三模）科學家很早就提出關于深度睡眠問題，隨著現代生活節奏的加快，睡眠成了嚴

重影響生活的問題.經研究，睡眠中恒溫動物的脈搏率/（單位：心跳次數.min」）與體重W（單位：Kg）

的;次方成反比.若4、8為兩個睡眠中的恒溫動物，A的體重為2Kg、脈搏率為210次.min」，月的脈搏

率是70次.min-，則