一次函數綜合題大全（解析版）-初中數學復習講義

專題10一次函數綜合題大全

一次函數的綜合題忖通常和實際問題、幾何、動點、等腰三角形存在性、面積等問題相結合，知識覆蓋面

廣，考查范圍大，對學生綜合素質要求很高.本專題從以上幾個方面精心挑選了數個例題，供大家揣摩、參

考.

題1.動點問題、等腰三角形存在性問題、面積問題

如圖1-1所示，己知直線/：產。1+1(狂0)的圖象與x軸、y軸交于A4兩點.

(1)直接寫出力、8兩點的坐標:

(2)若尸是x軸上的一個動點，求出當△48是等腰三角形時尸的坐標；

(3)在y軸上有點C(0,3),點。在直線/上若△力8面積等于4.請求出。的坐標.

【答案】(1)A-2,0),5(0,2)；(2)(3)問見解析.

【解析】解：(1)在產0.5%+1中，令x=0,得尸1；令y=0,得x=-2,

所以4(一2,0),8(0,2)；

(2)在用△440中，由勾股定理得："=Jl+4=若，

分類討論：

①當時，

P點坐標為(?6，0)或(石，0)；

②當BP=BA時，

由對稱性可知：尸點坐標為(2,0)；

③當時，

作,"的垂直平分線交x軸于P,連結P8,如圖1?2所示，則尸/=〃8,

設P(a,0),貝i」CM=a+2,OB=a+2,

在處△O8P中，\2+a2=Ca+2）2,解得°=-3,

4

3

此時尸點坐標為（-一，0）；

4

綜二所述，當是等腰三角形時，P點坐標為：（-石，0）、（石，0）、（2,0）、（--,0）.

4

<3）如圖1-3所示，

設D(x,0.5x+1),

①當x>0時，

SMBLS；?、BCCf=SMCD，

I1

??—X2X2H—x2xx=4,

22

解得尸2,

此時。點坐標為(2,2)；

②當xVO時，

-SAABLSMCD，

11

.?.-x2x(-x)——x2x2=4,

22

解得x=-6,。點坐標為(?6,-2),

綜二所述，。點坐標為（2,2）或（-6,-2）.

題2.動點問題、面積問題

如圖2-1所示，A((),1),M(3,2),N(4,4).動點尸從點力出發，沿y軸以每秒1個單位長的速度

向上移動，且過點P的直線/：產一工+力也隨之移動，設移動時間為/秒.

(1)當片2時，則4片，此時點。的坐標是o

(2)當片3時，求過點P的直線/：y=-x+6的解析式？

(3)當直線/：產一田■力從經過點M到點N時：求此時點P向上移動多少秒？

(4)點。在x軸時，若SAQV^=8時，請直按寫出點。的坐標是.

圖2-1

【答案】(1)2,P(0,3)；(2)(3)見解析；(4)(4,0)或(一4,0).

【解析】解：⑴2；(0,3)；

(2)直線廠一田力交y軸于點P(0,h),

由題意，得〃>0,/K),b=\Jrt

當1=3時.h=4

，產一x+4.

(3)①當直線產一x+8過A/(3,2)時，

-3+6=2,得6=5,

所以5=1+八，得。=4,

②當直線產一x+力過N(4,4)時4=一4+6,

解得力=8,8=1十d

所以B7

，八一『7-4=3秒.

<4)設。點坐標為(機，0),

由題意知：；x4x?=8,

解得，〃?=4或一4.

所以0點坐標為：(4,0)或(-4,0).

題3.折疊問題

4

如圖3-1所示，直線與x軸、y軸分別相交于點力、4,設”是。4上一點，若將△/18W沿4M

折疊，使點8恰好落在x軸上的點夕處.求：

⑴點。的坐標.

(2)亙線AM所對應的困數關系式.

圖3-1

【答案】見解析.

4

【解析】解：(I)在y=——工+8中，

3

令尸0,得尸8；令尸0,得尸6,

所以力(6,0)、B(0,8),

即0/1=6,04=8

在R/ZX/14O中，由勾股定理得：/4=10=/ZT,

所以。8'=10-6=4,9(40)

(2)設OM=m,則9M=8M=8-〃?，

在咫△gMO中，由勾股定理得：

加+42=(8-〃?)2,

解得："7=3,即M(0,3)

設直線4“的解析式為尸代+力

6攵+b=0

可得：「，,

b=3

k=--

解得彳2.

h=3

所以宜線4M所對應的函數關系式：y=--x-^3.

題4.全等三角形結合

如圖4-1所示，將含45。角的直角三角尺放置在平面直角坐標系中，其中4（?2,0),B(0,1),

求直線8c的函數表達式.

【答案】見解析?.

t解析】解：過點。作8_Lx釉于點。，如圖4-2所示.

因為。是含45。角的直角三隹尺，

所以48=4C,NG4B=90°

所以N010+N8/10=90。，ZABO+ZBAO=90°,

所以NC4O=N/8O,

又因為NCDA=Z804=90。，

所以△力4。出△C4。，

同〒以力￡>=08=1,00=3,CD=OA=2,

即C點坐標為（-3,2）,

設直線BC的函數表達式片依+〃，

將（一3,2）、（0,1）代入得：

[-3k+b=2k=——

I，解得：3

b=\

即直線8c的函數表達式為：y=--x+\.

3

題5.動點問題、面積問題、等腰三角形存在性問題、最值問題

如圖5-1所示，△/BC中，4cB=90°,AC=BC=6,M點在邊/C上，且CM=2,過M點作力。的垂線交

AB邊于E點.

動點夕從點力出發沿力。邊向M點運動，速度為1個單位/秒，當動點P到達必點時，運動停止.連接EP、

EC設運動時間為乙在此過程中：

（1）當片1時，求EP的長度；

（2）設的面積為S,試求s與，的函數關系式并寫出自變量的取值范圍：

（3）當，為何值時，△四（7是等腰二角形？

（4）如圖5-2所示，若點N是線段ME上一點，且MN=3,點。是線段4E上一動點，連接P。、PN、NQ

得到△P0M請直接寫出△PQN周長的最小值.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）當/=1秒時，/片1,

因為CM=2,AC=BC=6,

月f以4W=ME=4,尸Af=3,

在Rf△尸M￡■中，由勾股定理得：PE=5.

（2）因為S=』xC尸xA/E,而CP=6",ME=4,

2

所以S=；x（6-Z）x4=12-2Z.

其中，0&w4.

(3)在口△CEM中，因為CM=2,由勾股定理得：CE=2?

因為△￡1/(是等腰三角形，所以分類討論如下：

①當CE=CP=2后時，

AP=6~2\j5?SP/=6—2>/5：

②當CE=PE時，因為EA/_L/C,

所以CM=PM=2,

所以/P=2,

即1=2；

③當。尸=尸石時，設力P=x,則PM=4-x,PE=CP=6—x,ME=4,

在處中，由勾股定理得：

(6-r)2=(4-r)2+42,

解得：t=\；

綜二所述，當片1或2或(6—2占)時，△PKC是等腰三角形.

(4)如圖5-3所示，作點N關于/C和力夕的對稱點V和AT,

連接NWL交AC、4B于點P、。，連接PMNQ,此時△PNQ的周長為最小，最小值為線段的長度,

連接N''E

圖5-3

由題意知:N'E工N'E,M'E=NE=1,

N'M=MN=3,N'E=7,

在RidN'N''E中,由勾股定理得：

NM=5叵，即周長的最小值是5五.

題6,實際問題

為保障我國海外維和部隊官兵的生活，現需通過月港口、4港匚分別運送100噸和50噸生活物資.己知該

物資在甲倉庫存有80噸，乙倉庫存有70噸，若從甲、乙兩倉庫運送物資到港口的費用（元/噸）如表所示:

運費（元/臺）

港口

甲庫乙庫

4港1420

4港108

（1）設從甲倉庫運送到力港口的物資為x噸，求總運費y（元）與x（噸）之間的函數關系式，并寫出X

的取值范圍；

（2）求出最低費用，并說明費用最低時的調配方案.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）設從印倉庫運x噸往/港口，則從甲倉庫起往6港口的有（80-x）噸，

從乙倉庫運往4港口的有噸，運往8港口的有50-（80?x）=（x?30）噸，

所以產14x+20+10（80-x）+8（x-30）=?8x+2560,

x的取值范圍是30<v<80.

（2）由（I）得產-8x+2560,

因為一8<0,所以y隨x增大而減少，當x=80時總運費最小，

當尸80時，尸-8x80+2560=1920,

此時方案為：把甲倉庫的全部運往《港口，再從乙倉庫運20噸往力港口，乙倉庫的余卜.的全部運往6港口.

題7.圖表類型應用題

甲、乙兩家草蔣采摘園的草莓品質相同，俏售價格也相同.“五一期間”，兩家均推出了優惠方案，甲采摘園

的優惠方案是：游客進園需購買50元的門票，采摘的草莓六折優惠；乙采摘園的優惠方案是：游客進園不

需購買門票，采摘園的草獐超過一定數量后，超過部分打折優惠.優惠期間，設某游客的草莓采摘量為x

（千克），在甲采摘園所需總費用為/（元），在乙采摘園所需總費用為V（元），圖7-1中折線表

示二與x之間的函數關系.

（1）甲、乙兩采摘園優惠前的草莓銷售價格是每千克元；

（2）求巾、及與x的函數表達式：

（3）在圖7/中畫出a與x的函數圖象，并寫出選擇甲采摘園所需總費用較少時，草蔣采摘量x的范圍.

【答案】⑴30；(2)(3)見解析.

【解析】解：⑵由題意尸=18x+50,戶=｛黑RO

(3)函數"的圖象如圖7-2所示，

y=3Oxx=一

聯立《尸⑶+5。'解得：6

y=\25

所以點尸坐標—425

6

100

y=15x+150x=---

聯V：c，解得：\3

[y=18x+50

y=650

所以點E中標，650

由圖象可知甲采摘園所需總費用較少時§vx<

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題8.一次函數與方程組、不等式的結合

某商店銷售10臺4型和20臺8型電腦的利潤為4000元，銷售20臺4型和10臺8型電腦的利潤為3500

元.

(1)求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤;

(2)該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中4型電腦的進貨量不超過力型電腦的2倍，設購

進,4型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元.

①求y關于x的函數關系式；

②該商店購進4型、8型電腦各多少臺，才能使俏售總利潤最大？

(3)實際進貨時，廠家對4型電腦出廠價下調〃？(0</?<100)元，且限定商店最多購進力型電腦70臺，

若商店保持同種電腦的售價不變，請你根據以上信息及(2)中條件，設計出使這100臺電腦銷售總利潤最

大的進貨方案.

【答案】見解析.

【解析】解：(I)設每臺4型電腦銷售利潤為x元，每臺夕型電腦的銷售