小升初專項講練：運算與技巧（講義）原卷版-2026-2027學年七年級數學上冊（蘇科版）

運算與技巧

小學視角

學業要求?思維銜接坊。亶?|-

H銜接引導

T知識過渡?方法訓練營

講義（知識銜接篇）

|項目闖關?題型對點練/變式挑戰臺

一綜合演練?能力進階場

學業要求?思維銜接坊

小學視角初中展望

數系擴大了，上升到有理數域，最后到實數域,

這是對數的認識的一個飛躍。同時數的運算也

小學階段主要學習正有理數和零的加減乘除混合運在小學正數的加、減、乘、除四則運算上升到

算，培養的核心數學素養是學生的運算能力了有理數和實數的混合運算，并增加乘方、開

方運算。主要培養的核心數學素養是學生的運

算能力、抽象能力、應用意識等。

銜接引導

時于四則混合運算，我們要求學生熟練地掌握運算順序和計算的正確率；到了初中后，只要弄懂

符號法則，那有理數的運算教學也能達到事半功倍之效。

對于運算技巧（簡便運算;，希望大家能發自內心想要讓運算簡便，而不是題目要求要簡便。通

過本專題希望大家能同學們多觀察、體會，勤總結，靈活運用簡算方法，深刻理解簡算的數學思想。

知識過渡?方法訓練營

考點闡釋

1.運算定律

1）力U法交換律：a+b=b+a力U法結合律：a+b+c=a+(.b+c')

2）乘法交換律：axhxc=axcxh乘法結合律：（ax垃YC=垃

3）乘法分配律：（a±））xc=〃xc±5xc乘法分配律的逆用：axb±axc=a（b±c）

2.運算性質

1）減法的性質：a-b-c=a-（b+c）a-b+c=a-（b-c）

2）除法的性質：a+b+c=a+（〃xc）a+bxc=a+（6+c）

3）商的“不變性”，即若a+/?=c,貝iJ（a4）+SM）=c,（。+4）+。+4）=0卜/wO）；

3.裂項公式（補充）：把一項拆成兩項的和或積，使得算式可以消去某些項，使運算簡捷。

1

第一類（“裂差〃型運算）：z,一一1或一—-=-xf-一一匚'

+n〃+1〃（〃+相）m\nn+tn）

第二類「裂和”型運算）：—或絲士=工+，

裂和型運算與裂差型運算的對比：

裂差型運算的核心環節是“兩兩抵消達到簡化的目的“，裂和型運算的題目不僅有“兩兩抵消''型的，同時還有

轉化為“分數湊整”型的，以達到簡化目的。

4.數列求和公式（補充）

①等差數列求和

等差數列求和公式：（首項+末項）X項數+2

等差數列的項數計算方法：（末項一首項）+公差+1

②等比數列求和

等比數列的求和公式：（末項義公比一首項）彳（公比一1）（公比W1）

5.乘法公式（補充）

平方差公式：e+b）（〃一人）=/一〃完全平方公式：（a+b）2=/+2帥+/,（a-b^=a2-2ab+b2

項目闖關?題型對點練

題型1活用運算定律和性質（湊整思想）

【解題技巧】“湊整”就是把“一些分數（或小數）湊成整數”，把“一些整數湊成10的整倍數”，使有理數式

子容易計算出結果。在湊整過程中，常用添項、拆項、分解因數、提公因數等方法技巧。

一般情況下，小學階段的湊整主要使用運算定律或減法的性質、除法的性質及商的不變性達到湊整的H的。

例1.（2024?內蒙古通遼?小升初真題）脫式計算下面各題，能簡算的要簡算。

7.6：＜2.5x487x—26.4-3.28~6.4-4.72

1.25x8x4x2.573x101

變式1.（2024.河南周口.小升初真題）計算下面各題，能簡算的要簡算。

（4、55

1--k-+（13.8-13）--857x1.9-8.57x80-85.7

9566x345+567

---X—

2.5567x345+222

ooQ

變式2.（2025六年級下?全國?競賽）計算：（1彳三+3/+9二三）(1---十3———+9——)

2007669223

變式3.(24-25六年級下,北京海淀?開學考試)計算。

(33、1

11--4--+1.25-0.85+7TTTT(12345+23451+34512+45123+51234)+(1+2+3+4+5)

題型2、巧分組法

【解題技巧】基本運算中的分組策略

觀察算式，找出算式分布規律，然后適當分組，利用結合律將相加和為整數的結合在一起簡化計算。

1）加減法的相鄰分組：針對連續加減混合運算，優先將相鄰的數按固定規律分組，簡化計算,

示例：計算100-99+98-97+...+2-1

分析:每兩個相鄰數為一組：（100-99）+（98-97）+…+（2-1）；每組結果為1,共50組，總和為50。

2）等差數列與等比數列分組：若數列由不同規律的分段組成，可拆分為多個子數列分別求和。

例1.(24-25六年級下?江蘇?單元測試)計算：(1+6+11+16+...+126)-(2+7+12+...+122)

999555

變式1.（2025六年級下全國?競賽）計算：(1^—k3—4-9—?(1^—1-3—+9°)

20076692232007669223

變式2.（2024七年級上?全國.專題練習）計算：1+3工+5白+7白+9^+114+13上+15工+17工.

612203042567290

變式3.（24-25六年級下?北京海淀?開學考試）計算。

(33、1

11--4—+1.25-0.85+TTTTT(12345+23451+34512+45123+51234)+(1+2+3+4+5)

題型3、換元法

【解題技巧】從式子的整體角度考察，把部分式子用字母代替后，再進行化簡求值。通過引入字母轉化命

題結構，這樣不但可以減少運算過程，還有利于尋找接題思路，其中的新變量在解題過程中起到橋梁作用。

例1.（2024.成都市小升初模擬）計算（寫出必要的計算過程）。

變式1.（2024六年級上?遼寧?專題練習）算一算。

i）“高+康+1

(1)(1H-------1------+----+----)—(1H--------1------+H------)

199920002001200120021999200020012002

、（康+募+擊）

1-J)

(2)(IH---1---K...+)-(I+-+-+...+

232017232018232018232017

變式2.（2023?廣東?校考小升初模擬）用簡便方法計算。

111

-?-4--

234

變式3.（2024六年級下?全國.專題練習）計算。

題型4、分數裂項計算

【解題技巧】把一項拆成兩項的和或積，使得算式可以消去某些項，使運算簡捷。利用下面的拆項公式課

化簡些有理數式子的計算

第一類「裂差”型運算）：①—二二」一一二或一——"

n（n+\）n〃+1n\Jn+m）m\nn+mJ

②________J________』_J_____________!Uo

nx（n+l）x（n+2）nx（n+l）（n+l）x（/i+2）2

裂差型裂項的三大關鍵特征：

（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復雜形式可■為都是x（x為任怠自然數）的，但是只要將x提取

出來即可轉化為分子都是1的運算。

（2）分母上均為幾個自然數的乘積形式，并且滿足相鄰2個分母上的因數“首尾相接”

（3）分母上幾個因數間的差是一個定值。

第二類「?裂和”型運算）：—=^—f-+-l或^-=-+~

m-nm-\-n\mn）m-ntnn

裂和型運算與裂差型運算的對比:

裂差型運算的核心環節是“兩兩抵消達到簡化的目的“，裂和型運算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時還有

轉化為“分數湊整''型的，以達到簡化目的。

例1.

（24-25七年級上?江蘇泰州?階段練習）觀察下列等式:

1,111111

—1，一，

1x222x3233x434

1

用你發現的規律解答下列問題：（1）猜想并寫出：7T

n[n-1）

（2）直接寫出下列各式的計算結果:

??1I]

①-------1---------1---------1-H------------------+------+

1x22x33x42017x20181x22x33x4/?(/!+1)

⑶探究算式，直接寫出計算結果：￡+木

+201()x2012

變式1.（24-25六年級上.江蘇常刑期中）先觀察下列等式再完成題后問題。

111111111

2x3233x4344x545

1

(1)請你猜想:

2010x2011

探究并計算:白+白+羨+

(2)

2010x2012

變式2.（2024?四川綿陽?小升初真題）計算下列各題（寫由必要的計算過程）。

|7|r1,41419cl,5,1

⑴9--8—+7------6------F5------4—+3------2—+1—

9072564230201262

4

(2)—x+++-----------

251x55x99x1397x101

變式3.（2024六年級上?遼寧?專題練習）計算。

T------T

2x44x66x88x1010x12

3,519I17十33,65

214rr16十32,64

8

9?2514981?121

2x44x66x88x1010x12

151>1?卜9701+9899

11r[--

26122097029900

題型5、數列求和（等差、等比數列）

【解題技巧】

①等差數列求和

等差數列求和公式：（首項+末項）X項數+2；等差數列的項數計算方法：（末項一首項）+公差+1

②等比數列求和

等比數列的求和公式：（末項X公比—首項）?（公比—1）（公比￥1）

例1.（2024.四川成都?小升初模擬）計算。

1+3+5+7+9++2013

2015+2017+2019+…+4027

變式1.（2025六年級下?全國?競賽）計算：（1+表）+（1+^x2）+（1+^x3）+……+（1+9

10）

變式2.（24-25六年級上?山東淄博階段練習）【閱讀】

求值2+2242?+9+…+10

解：設S=l+2+22+23+2,+-r^0?

將等式①的兩邊同時乘以2得：2s=2+22+2'+24+25++2"@

由②-①得：2S-S=2"-1,

即：5=1+2+22+23+24++21（1=2"-1

【運用】

仿照此法計算：

⑴l+3+32+3'+34+.+350；

^,1111

（2）1+]+3+聲+…+源■

【延伸】

如圖，將邊長為1的正方形分成4個完全一樣的小正方形，得到左上角一個小正方形為S上選取右下角的小

正方形進行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，Sa,依次操作2024次，依次得到小正方形

S]、S2>S3'512024-

51

S?

S3

完成下列問題：

⑶小正方形S.4的面積等于_；

（4）求正方形&$2、$3…S2c24的面積和.

變式3.（24-25七年級上?全國?假期作業）【等比數列】按照一定順序排列著的一列數稱為數列，數列的一

般形式可以寫成：《，/，％一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的比值等于同

一個常數，那么這個數列叫做等匕數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用,表示.如：數列

1,248….為等比數列，其中4=1，%=2,公比為令=2.

根據以上材料，解答下列問題：

（1）等比數列3,9,27….的公比夕為,第5項是—.

【公式推導】如果一個數列/生，?…?，凡…?，是等比數列，且公比為4,那么根據定義可得到：

a、&q""+1，3

—=q，—=q，—=%…，—=，.所以生=qq,%=4?夕=q4?夕=45-，出二叼夕二卬夕-二。//，…

a\a2an

（2）由此，請你填空完成等比數列的通項公式：，“二《?一?

【拓廣探究】等比數列求和公式并不及雜，但是其推導過程——錯位相減法，構思精巧、形式奇特.下面

是小明為了計算1+2+2?+…+2239+22儂的值，采用的方法:

設S=l+2+2?+...+2劉9+22020①，則2s=2+22+...+223+22⑵②，

?-?^25-5=5=2202,-l,.-.S=1+2+224-...+22O,9+22O2O=22O2,-1.

【解決問題】（3）請仿照小明的方法求11+1F+U3+…+11的的值.

題型6、運用乘法公式運算

【解題技巧】平方差公式：（〃+〃）（〃一〃）=〃2一〃2

完全平方公式：（。+〃）2=/+勿〃+從，一人）2=/-2出?十從

例L（24-25七年級下?陜西西安?階段練習）計算：

（1）38.92-2x48.9x38.9+48。；

（2）20252-2027x2023.

變式L（24-25七年級下?全國?課后作業）用簡便方法計算：

（1）79x81；

⑵99x101x10001.

變式2.（24-25九年級上?重慶?階段練習）i+Jf：1.345x0.345x2.69-1.3453-1.345xO.3452

變式3.（24-25七年級下?重慶?階段測試）計算：t2+Z1±區+..?+竺士121+此也.

1x22x318x1919x20

題型7、利用圖形進行簡算

【解題技巧】利用圖形進行簡便運算的方法，通常被稱為圖形法或幾何法。這種方法通過將數學問題轉化

為圖形問題，利用圖形的直觀性和幾何性質來簡化運算過程。需要注意的是，雖然圖形法可以簡化運算過

程并提高解題效率，但在使用時應確保圖形的準確性和規范性。此外，對于?些特殊問題或復雜情況，可

能需要結合其他數學方法或工具來共同求解。

例L（24-25七年級上?廣東深圳?期中）在一次綜合實踐活動課上，張老師給每位同學各發了一張正方形紙

片，請同學們思考如何通過折紙的方法求出《+；+（+…+/的值.

【操作探究】“乘風”小組的同學經過一番思考和討論交流后，進行了如下操作：如圖1,將一個邊長為1的

正方形紙片分割成7個部分，第①部分是邊長為1的正方形紙片面積的一半，第②部分是第①部分面積的

一半，第③部分是第②部分面積的一半，…，依次類推，則圖1中空白部分的面積為《+；+（+…+泉?

“破浪”小組是這樣思考的：設s=；++…

將等式兩邊同時乘以3得:ls=l+l+...+l+1,

將上式減去下式得即s=i-gq,即；+*+..得哈.

圖1圖2

【過程思考】

（1）圖I中陰影部分的面積是一4+:+：+...+/=_______.

24H2.

⑵請你利用圖2,再設計能求＜+：+：+…+4的值的幾何圖形.（只畫出圖形即可）

24o2

（3）根據以上規律，

①1+3:+…+3=.（〃為正整數）

?TO乙

②2+4+8+16+...+2"=.為正整數）

變式1.（24-25七年級上?重慶黔江期末）（1）為了計算1+2+3++8的值，我們構造圖形［圖1）,共8

行，每行依次比上一行多一個點.此圖形共有（1+2+3++8）個點.如圖2,添出圖形的另一半，此時共8

行9列，有8x9=72個點，由此可得1+2+3++8=gx（l+8）x8=36.

用此方法，可求得1+2+3+?,+20=_（直接寫結果）.

（2）觀察下面的點陣圖（如圖3）,解答問題：

填空：①1+3+5++49=_；

②1+3+5++（2n+l）=_.

（3）請構造一圖形，求g+/+。++白（畫出示意圖，寫出計算結果）

變式2.（24-25七年級下,四川達州期中）數學問題計算,+之十二+二（其中〃?，〃都是正整數，且〃

mmnrm

W>1)

探究問題：為解決上面的數學問題，我們運用數形結合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方

形，把數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究.

探究一：計算:+*■+*++*.

第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為｝.

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，陰影部分的面積之和為4.

22,

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，L.

L

第〃次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和;+（■+/++5,

最后空白部分的面積是《?

第〃次分割圖可得等式：*』+六++±=1-±.

第n次分割

第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為2:.

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續三等分，陰影部分的面積之和為;

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續三等分，L.

第"次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分,所有陰影部分的面積之和為：2+（2+2+，2,

最后空白部分的面積是5.

22221

根據第〃次分割圖可得等式：&+至+9++77=1-77.

探究三：計算卜，+卜+卜

（仿照上述方法，只畫出第〃次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并寫出探究過程）

第n次分割

解決問題：根據前面探究結果：

\二+3++±=1.±

222L2〃2〃

—+——+——++--=--------

33-353"22x3”

1III

-+r+r++-=

4424’4"------------

L

-4A-+4++」7=.(只填空，其中，〃，〃都是正整數，且/心2,〃之1)

m相~nrm

土匚產戶田.、4?笛5—15"-155—15”-1

拓廣應用?計算不~+丁+=++—?

綜合演練?能力進階場

一、選擇題

1.（2024?河南開封?小升初真題）計算3白加Ix訴99時，用（）計算比較簡便。

A.加法結合律B.乘法分配律

C.乘法交換律D.乘法結合律

2.（2024?山西晉中?小升初真題）張麗用計算器計算“45.7x9.9”時，發現鍵“9”壞了，下面輸入不能得到正確

結果的是（）。

A.45.7x3.3x3B.45.7x10-0.1C.45.7x8.8+45.7x1.1

3.（2025?廣東深圳?小升初真題）《九章算術》是中國古代第一部數學專著。它介紹了分數除以分數的另

32211021

一種方法：先通分，再把分子直接相除。例如：=V+與=荒。下面（）是采用這種方法計算的。

31525315

A.--=--=0.75-^05=1.5R.--:=—X-=

42838216

53(57)(3713532989

?6'r7=l6X3/l7X3j=18D.—+—=—+—=

4312128

二、填空題

4.（2。24.河北石家莊?小升初真題）觀察下列式子：1=1_11111山

而=15…請計

6~2~31234

1111

算阜+L—+—+.—.+—.）。

2612203042567290

3

5.（2024.浙江溫州.小升初真題）計算“0.36+元”。

方法一：用分數加減法計算，和是個!相加;

方法二：用小數加減法計算，和是個0.01相加。

6.（2025?湖南長沙?小升初題）計算:---+--------F---------++--------------

1+21+2+31+2+3+41+2+3++19

三、計算題

7.（2024六年級上.遼寧?專題練習）計算。

一

1x2x32x3x43x4x598x99x100

2x3x5+8x12x20+10x15x25

3x5x7+12x20x28+15x25x35

「1八5/002八…、"

(2------x9-+7------x9.625)4-96-

2003820034

9+25+49+81+121

2^44^6嬴