2025-2026學年九年級數學上冊（人教版）圓（4大考點+5大易錯）解析版

園（4大考點+5大易錯）

思維導圖

1.圓的定義及性質

知識清單

【知識點01】圓的有關性質

1.圓的定義及性質

圓的定義：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點。旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓。這

個固定的端點。叫做圓心,線段OA叫做半徑。

1/26

圓的表示方法：以0點為圓心的圓記作讀作圓。。

圓的特點：在一個平面內，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形。

確定圓的條件：（1）圓心；（2）半徑。

圓的對稱性：（1）圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸;

（2）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。

2.圓的有關概念

弦的概念：連結圓上任意兩點的線段叫做弦（例如：右圖中的48）。

直徑的概念：經過圓心的弦叫做直任（例如：右圖中的CO）。

n

備注：（1）直徑是同一圓中最長的弦。（2）直徑長度等于半徑長度的2倍。

弧的概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點的弧記作隔，讀作圓弧/必或弧力瓦

等弧的概念：在同圓或等圓中,能夠互相重合的弧叫做等弧。

半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

優弧的概念：在一個圓中大于半圓的弧叫做優弧。

劣弧的概念：小于半圓的弧叫做半弧。

3.垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑壬金這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；

（2）弦的更直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；

（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相笠。

4.圓心角、圓周角的概念

（1）圓心角概念：頂點在圓心的角叫做圓心角。

弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等,

2/26

所對的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們

所對應的其余各組量分別相等。

（2）圓周角概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。（即：圓周角圓心角）

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。

在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角.，90。的圓周角所對的弦是直往。

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

【知識點02】點和圓、直線和圓的位置關系

1.點與圓的位置關系

設。。的半徑是八點尸到圓心。的距離為由則有：

dvo點尸在。。內；d〒。點尸在。。上；內尸。點P在。。外。

2.三角形的內切圓和內心

（1）三角形的內切圓：與三角形的備邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。

（2）三角形的內心：三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點,它叫做三角形的內心。

注意：內切圓及有關計算

（1）三角形內切圓的圓心是三個內角平分線的交點，它到三邊的距離相等。

a+b-c

（2）△48。中，ZC=90°,AC=b,BC=a,AB^c,則內切圓的半徑尸2。

—r（a+b+c）

（3）S△48c=2,其中mb,c是邊長，尸是內切圓的半徑。

（4）弦切角：角的頂點在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖，3C切OO于點4,AB

3/26

為弦，N/i8c叫弦切角，/ABC=

3.直線與圓的位置關系

（1）直線與圓相離0d>Yn無交點；

（2）直線與圓相切=d=r=有一個交點;

（3）直線與圓相交=>d<『=有兩個交點;

4.切線的性質與判定定理

（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑,二者

缺一不可。即：???/必可_1。/且MV過半徑。力外端???A/N是。。的切線

（2）性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）

推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。

以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心;②過切點;③垂直切線

【知識點03】正多邊形和圓

1.圓內接四邊形

圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補,外角等于它的內對角。

即：在。。中，???四邊44co是內接四邊形???/。+/8力。=180。/8+/。=180。

???ZDAE=ZC

4/26

D

2.圓內正多邊形的計算

（1）正三角形：在。。中△力8c是正三角形，有關計算在MA8OO中進行：OD:BD:OB=1:6

（2）正四邊形：同理，四邊形的有?關計算在RA。％七中進行，0E:4E:0A=T:l：6：

（3）正六邊形：同理，六邊形的有關計算在中進行，AB:OB:OA=T：6：2.

I.扇形的弧長和面積計算

扇形：（1）弧長公式：/=辿；（2）扇形面積公式：S=竺以，1R

1803602

〃：圓心角R：扇形多對應的圓的半徑/：扇形弧長S：扇形面積

2.扇形與圓柱、圓錐之間聯系

2

（1）圓柱：①圓柱側面展開圖：S表=S側+2S底=2萬4+2仃2；②圓柱的體積：V=^rh

⑵圓錐側面展開圖：①S&=與+5底=46+乃/：②圓錐的體積：V=^r2h

注意：圓錐的底周長=扇形的弧長（2口「二小”）

180

5/26

易錯總結

【易錯一】求某點的弧形運動路徑長度

L易錯總結：易混淆弧長公式中圓心角的單位，若用弧度制，公式為l=|a『（a為圓心角弧度數）；若用角

度制，公式為I喘（n為圓心角度數），單位混用會導致計算錯誤。

2.注意事項：確定圓心角大小時，要結合點的運動軌跡，準確找到對應的圓心角，同時注意半徑r的取值

是否正確，保證弧長計算的兩個關鍵要素無誤。

例題：（23-24九年級上?江蘇鹽城?期末）如圖，在RtZX/18。中，4c8=90。，N8=60。，/C=6y5,將

繞點C逆時針旋轉到△EQC的位置，點8的對應點。首次落在斜邊上，則點力的運動路徑的長

【知識點】求某點的弧形運動路徑長度、根據旋轉的性質求解

【分析】本題考查旋轉的性質，弧長的計算，直角三角形的性質，由旋轉的性質可求C8=CDNBCD=NACE,

可證△8CO是等邊三角形，可得=乙4CE=60。，由弧長公式可求解.

【詳解】解：???將△/繞點C逆時針旋轉到△瓦）C的位置，

:.CB=CD,/BCD=NACE,

???/8=60。，

.??△8CQ是等邊三角形，

NBCD=NACE=60。,

.??點4的運動路徑的長為竺上逆=2②，

180

故答案為：26萬.

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【易錯二】求圖形旋轉后掃過的面積

1.易錯總結:易錯誤判斷旋轉后圖形掃過的區域形狀，把非扇形部分誤算成扇形，或者對旋轉半徑的確定不

準確，導致面積計算錯誤。

2.注意事項:明確圖形旋轉時的旋轉中心、旋轉角度，準確判斷掃過區域的形狀，仔細確定各部分對應的半

徑，再結合相應面積公式計算。

例題：如圖，在RaBCO中,ZBCO=90°,NCBO=30。,30=6cm,將△4CO繞點。逆時針旋轉至

△"C'O,點。'在80的延長線.匕則邊8C掃過區域（圖中陰影部分）的面積為end.（結果保留乃）

【答案】9)

【知識點】求圖形旋轉后掃過的面積

【分析】根據旋轉的性質得出?。。=,Z.COB'=Z.COB,OB—OB'=6cm,=Sqoa,，根據rL角二角形

的性質求出/。。4=90。一/<%。=60。，OC=；O8=3cm,求出NCOC'=N8。"=120。，根據圖形得出陰影

部分的面積S=形803-+SACS，-S,巾形℃一S&C0&=Sg形B08，-S,中形C0U,再求出答案即可.

【詳解】解：?.?將A8CO繞點。逆時針旋轉至△WNOBC=300,

：.0C=OC,Z.COB'=Z.COB,OB=OB'=6cm,S^COB=S&C,OB.,

???N8CO=90°,NO4C=30°,50=6cm,

/.ZCOB=90°-NOBC=60°,OC=gOB=3cm,

2

/.ZCOC=120°,

/.NBOC=/COB'=120。一NC'。夕=120。-60°=60°,

?'?陰影部分的面積S=5物形.物+S4COB'一S曲將COC,一S.COB

~S?崽8O&-形w

_120^-x62_120^x32

360—360

=9,r(cnr),

故答案為：9乃.

7/26

【點睛】本題考查了扇形的面積計算，旋轉的性質，直角三角形的性質等知識點，能把求不規則圖形的面

積轉化成求規則圖形的面積是解此題的關鍵.

【易錯三】求其他不規則圖形的面積

1.易錯總結:易錯誤拆分或組合圖形，導致對各部分形狀和尺寸判斷失誤，進而使面積計算出錯；也常因忽

略圖形間的重疊、空缺部分，造成面積多算或少算。

2.注意事項:仔細分析圖形結構，合理拆分或補全為規則圖形，明確各部分的形狀、尺寸及相互關系，計算

時留意重疊、空缺部分的處理。

例題：（23-24九年級上?湖北武漢?期末）如圖，在△45C中，4c8=90。，AC={0,將繞點8逆時

針旋轉30。得到則力C,AA',AC,比圍成的面積（圖中陰影部分面積）為.

■25,25乃

【答案】y^/—

【知識點】用勾股定理解三角形、求其他不規則圖形的面積、根據旋轉的性質求解

【分析】本題主要考查了圖形的旋轉，不規則圖形的面積計算，勾股定理，發現陰影部分面積的計算方法

是解題的關鍵.根據旋轉的性質得到△力尤絳//?'，48H=/CBC'=30°,進而得到

S牌=+一旦留"，再結合扇形面積公式和勾股定理求解，即可解題.

【詳解】解：將繞點H逆時針旋轉30。得到△H8C,

:."BC%A'BC',乙4B4'=NCBC'=300,

S網形_Slil形C8c

8/26

30^--Jg230TT-BC2

-560360-

^7r\AB--BC2)

360

?.?在△49C中，乙4cB=90。，AC=\0,

AB2-BC2=AC2=\00,

30^x10025

「.上式=—7T

360

75

故答案為：.

【易錯四】利用90°的圓周角所對的弦是直徑求解答題

1.易錯總結:一是容易忽略“圓周角為90度”這一前提條件，在普通圓周角情況下錯誤使用該定理得出弦

是直徑的結論；二是在復雜圖形中，無法準確識別出90度圓周角所對應的弦，導致不能有效利用該定理

解決問題。

2.注意事項：首先要牢記定理使用的前提是圓周角為90度；其次，面對復雜幾何圖形時，仔細觀察角的度

數標注和圖形結構，通過輔助線等方式，精準定位90度圓周角及其所對的弦。

例題：如圖，四邊形48co內接于分別延長8C,力。，使它們相交于點E,48=8,且OC=QE.

B

（1）求證：ZJ=AAEB.

⑵若"DC=90。，點C為"的中點，求。。的半徑.

【答案】（1）見解析

⑵2石

【知識點】90度的圓周角所對的弦是直徑、已知圓內接四邊形求角度、等腰三角形的性質和判定、用勾股

定理解三角形

【分析】本題考查了圓內接四邊形的性質，等腰三角形的判定及性質，勾股定理，圓的基本性質等；

（1）根據圓內接四邊形的性質得//=/。。七，再根據等邊對等角可得乙七=乙。。￡再根據等量代換，即

可求解：

9/26

(2)連接/C,根據90。的圓周角所對的弦是直徑得出力。為。。的直徑，由等角對等邊得力6=8E=8,

根據勾股定理得ZC="9+比？，即可求解；

掌握相關的性質，能由“。。=90。找出連接4C的輔助線是解題的關鍵.

【詳解】(1)證明：丁四邊形力〃。內接于O。，

.?.4+/8CQ=180。，

-.Z5CD+ZDCE=180°

:,NA=NDCE,

DC=DE,

：.NE=ZDCE,

/.ZA=乙4EB；

(2)解：如圖，連接力C,

/EDC=900,

.-.ZJDC=90°,

4C是。。的直徑,

/.ZABC=900,

丁NBAD=AAEB,

；.4B=BE=8,

???點。為BE的中點,

/.BC=-BE=4,

2

在RtZUBC中，

AC=y/AB2+BC2

=^/8774?

=4亞,

A。。的半徑為2

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【易錯五】與圓有關的新定義型問題

1.易錯總結:易因未完全理解新定義內涵，錯用定義中的條件(如特殊點、特殊線段、角度關系)；也常忽略

新定義與圓的基本性質(如半徑、圓心角、切線)的關聯，導致解題思路偏離。

2.注意事項:先逐字研讀新定義，圈畫關鍵條件并轉化為數學語言；再結合圓的基本性質分析，通過畫圖直

觀呈現新定義中的圖形關系，驗證每一步推理是否符合定義要求。

例題：(23-24九年級匕陜西渭南?期末)【定義新知】

定義：有一個角是其對角一半的圓內接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角.

____A___A

【初步應用】

(1)如圖1,四邊形力是圓美四邊形，/X是美角.

①N4的度數為°；

②連接6。，若。。的半徑為5,求線段的長；

【拓展提升】

(2)如圖2,已知四邊形力8。。是圓美四邊形，/B4D是美角,連接。，若C4平分乙?。，判斷8C、

CD與力。之間的數量關系，并說明理由.

【答案】(1)①60：②(2)AC=BC+CD

【知識點】全等的性質和(AAS)綜合(ASJ或者A4S)、等邊三角形的判定和性質、用勾股定理解三

角形、已知圓內接四邊形求角度

【分析】(1)①根據定義列式計算即可.②根據定義求角，根據直徑對的圓周角是直角，運用勾股定理計

算即可.

(2)延長。C到點AY,使得CM=C4,連接A/B,得到△GW8是等邊三角形，證明即可.

【詳解】(1)①?.?四邊形488是圓美四邊形，//是美角，

:.NBCD=24,NBCD+4=180。，

o

.-.2ZJ+Z/l=180,

11/26

解得Nd=60。，

故答案為：60.

②作圓的直徑ON,連接8N,

則￡DBN=90°,2N=4A=60°

???圓的半徑為5,

.?.QN=10,

?."ON=90。-60。=30。，

：.BN=-DN=5.

2

??.BD=￡BN=5框.

(2)關系為：AC=BC+CD,理由如下：

如圖，延長。。到點使得CM=CB,連接同8,

?.?匹邊形力4c。是圓美四邊形，NBAD是美角,

:./BCD=2ZBAD,ZBCD+/BAD=180。，

???2/84。+/84。=180。，

解得/84。=60。，

Z5CD=120°,

-CA平分/8CD,

/BCM=AACB=/ACD=60°,

??.△CM4是等邊三角形，

BC=BM,NABD=NCBM=60°,

ZABD+NDBC=NCBM+ZDBC,

?ZBC=/DBM,

vABAC=NBDM,

12/26

/BAC=ZBDM

丁/ABC=NDBM,

BC=BM

:sOBMAABC,

二AC=DM,

?:DM=DC+CM,

：.AC=DC+CB.

【點睛】本題考查了新定義問題，等邊三角形的判定和性質，圓的內接四邊形的性質，三角形全等的判定

和性質，圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，熟練掌握圓的性質是解題的關鍵.

易錯訓練

一、單選題

1.（24-25九年級上?河北石家莊?期末）如圖，將一個半徑為1的半圓。，在直線/上從左往右作無滑動的滾

動，則滾動2025周后圓心。所經過的路徑長為（）

D.4050K

【答案】D

【分析】本題考查軌跡，弧長公式等知識，解題的關鍵是作出圓心的滾動軌跡為兩個90。的弧長和一個180。

的弧長.求出圓心。滾動一周路徑長，可得結論.

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【詳解】解：如圖，圓心。滾動一周路徑為長為需F+；-2TTX1+黑蘆=2兀,

???滾動2025周后圓心。所經過的路徑長=2025x2兀=405（）兀,

故選：D.

2.（24?25六年級下?上海寶山?期中）如圖，已知/48C=90。，AB=仃,AB=2BC,半徑為，?的。0從點力

出發，沿4方向滾動到點。時停止.則在此運動過程中，。。掃過的面積是（）

【答案】D

【分析】本題考查組合圖形的面積，解題的關鍵是掌握圓面積、扇形面積以及矩形面積的計算方法.

【詳解】根據圓面積、扇形面積以及矩形面積的計算方法進行計算即可.

【點睛】解：如佟I,。。\1過的面枳為S=SQO+S矩形48m+S電形叱+S距形BCGF?

???480=90。，AB=nr,AB=2BC,。0半徑為廠，

??SQO=+，S矩形2=4廣2r=2%/,S扇形切=兀（2r『?券=加二，Sn^BCCF=；^r2r=nr-，

JOUZ

S=71rL+2乃/二+7tr~+Trr'=5G二,

3.（2024九年級下?山西?專題練習）如圖，已知的半徑為2,力8為。。的直徑，石為半圓弧力￡8的中點,

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四邊形的邊QC與。。相切，切點、為F,AB〃DC,44DC=90,CD=6,則圖中陰影部分的面積為

【答案】A

【分析】本題考查了求不規則圖形的面積.

圖中陰影部分的面枳為S梯必*+S半期時-S血s，求出相關數據計算即可.

【詳解】解：???。0的半徑為2,

???AB=4,

???E為半圓弧的中點，

.\ZAEB=90°,AE=EB=2g，

連接。尸，

???匹邊形/8CQ的邊。C與。。相切，切點為。

'.OFLCDROF=2,

佟中陰影部分的面積為S梯形/scD-S半|此(FB+S半(JIUE8-

=-x(4+6)x2--xJirz+—x兀產--x2V2x2V2

2''222

=10-4

=6

故選：A.

二、填空題

15/26

4.（2025?浙江?模擬預測）△49C中，ZC=90°,4=30。，48=4cm,將MBC繞點8順時針旋轉至“'8。'

的位置，如圖，A、4、C三點在同一條直線匕則點A所經過的路徑長為.

【答案】ycm

【分析】此題重點考查直角三角形的兩個銳角互余、旋轉的性質、弧長公式等知識，推導出48=48=4cm

及乙48H=120。是解題的關鍵.由NC=90。，//=30。，求得48C=60。，由旋轉得?8=43=4cm,

^ABC=AABC=60°,則N/BW=120°,由弧長公式求得點A所經過的路徑=與。%于是得到問題的答案.

【詳解】解：???NC=90。，4=30。，

ZJ5C=90°-ZJ=60°,

由旋轉得A'B=AB=4cm,Z.A'BC=Z.ABC=60°,

-A.B、。'三點在同一條直線上，

...45/=180。-ZJOU=120。,

???點A所經過的路徑為半徑為4cm且圓心角等于120。的一段弧，

1120nx48H,

???點A所經過的路徑=—；左一=；?（cm）,

1oU3

故答案為：專cm.

5.（2025?廣東茂名?二模）如圖，中，^ACB=90°,AC=BC=g，將△力8C繞點8順時針旋轉

90c得至IJAZ）8￡,則圖中陰影部分面積為.（結果保留可）

【答案】沁定

【分析】本題考查旋轉的性質，勾股定理以及扇形的面積.根據“陰影部分的面枳=扇形力。4的面積?扇形CM

的面積”進行計算即可.

【詳解】解：?.?/力圓=90。,4C=RC=后,

16/26

.?.48==2,

由圖可知：陰影部分的面積?扇形ADB的面積+R3BDE的面積-扇形CEB的面積-RtZ\44C的面積，

?:MBC繞A點逆時針旋轉90。后得到△O8E,

:MBC的面枳=WBE的面積，

???陰影部分的面積=扇形404的面積.扇形CE8的面積

=里"于-型"（加丫

360360I）

~_~n?

2，

故答案為：y.

6.（2025?河南關R州?三模）如圖，48是半圓。的直徑，點C為半圓。上一點.將半圓。沿4c翻折，點。

的對應點。落在前上，點A的對應點為Q.若48=4,則圖中陰影部分的面積為.

【答案】73

【分析】本題考查翻折的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，不規則圖形的面積，根據翻折和等

邊三角形的判定可得△C。。'是等邊三角形，然后過。點作QE_LCO'于點E,根據勾股定理求出OE長，再

根據S陰影解答即可.

【詳解】解：如圖，連接O'C,O'O,OC,CD,

由翻折可知,OfC=OC=OB=O'B=0（7=O,D=2,

???匹邊形08。'。是菱形，ZCOO'=AO'OB=/CO'。=NOO'8=60°,

??.△C7）O'是等邊三角形，

過D點作OEICO'于點區

則。￡=1,DE=y/CD2-CE2=yfi?

*'?S陰影=SKM=5X2xy/3=y/3.

17/26

D

三、解答題

7.（24-25九年級上?吉林?期中）如圖，以△ABC的8c邊上一點。為圓心的圓經過A、B兩點,且與8。邊

交千點E,0D1BE,連接力。交8C于點廣，若AC=FC.

（1）求證：4C是。。的切線；

（2）若。。的半徑是4,乙408=60。，求圖中陰影部分的面積（結果保留根號和乃）.

【答案】（1）見解析

⑵-9

【分析】本題考查了垂徑定理，切線的判定與性質，圓周角定理，扇形面積的求法和勾股定理，熟練掌握

以上知識點的應用是解題的關鍵.

（1）連接。力，利用4C=/C得到NC力尸=NCE4,然后利用隹度的代換可證明N。力。+N。尸=90。，從

而根據切線的判定定理得到結論；

（2）利用圓周角定理得到2406=2乙4。6,求出ZZOE,接著在RIAOXC中1|算出4C,然后用一個直角

三角形的面積減去一個扇形的面積去計算陰影部分的面積.

【詳解】（1）證明：連接。4,

18/26

A

_C'"'OD工BE，

D

NODF+NOFD=90°,

-CA=CF,

ZCAF=Z.CFA,

NCFA=Z.OFD,

ZODF+ZCJF=90°,

?/OA=OD,

Z.ODA=Z.OAD,

NQ4O+/C4產=90。，

即Z<9JC=90°,

：.OALAC,

???o4是。。的半徑，

:.4c是。。的切線.

(2)解：??4405=60°,

ZAOB-2ZADB-120°,

=60°,ZC=30°,

在Rt^OXC中，AO=4,

OC=2OA=S,AC=y/s2-42=473?

???陰影部分的面積=Zo/c-s扇影―

=、4乂46-絲絲￡=g石

23603

8.(24-25九年級上?河北廊坊?階段練習)如圖，將一塊直角三角板繞著45。角的頂點8順時針旋轉.使

得點A與C8延長線上的點。重合，點C與點E重合，連接CE.

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（1）三角板旋轉了度；

（2）求N8EC的度數；

（3）若/C=2逐，求旋轉過程中點A經過的路徑長.

【答案】（1）135

（2）Z5FC=22.5°

⑶沏

【分析】（1）根據題意可得：=45°,根據旋轉的定義可知，NABD是旋轉角,由點A與C4延長線

上的點。重合，可得計算求解即可；

（2）根據旋轉的性質可得：NCEE是旋轉角,4c根據等邊對等角可得=結合三角

形內角和是180。,計算求解即可；

（3）先根據直角三角板*’8的一個頂角是45。，得出△力4。是等腰直角三角形，即4C=8C=2&，根據

勾股定理求出力/?的長，再根據旋轉i寸程中,點A經過的路竹是以點6為圓心，上的長為半價，圓心角是135。

的扇形弧長，結合扇形的弧長公式，計算即可.

【詳解】（1）解：根據題意可得：ZABC=45°,

根據旋轉的定義可知，是旋轉角，

v，點A與CB延長線上的點。重合，

乙4BD=180°-Z.ABC=180°-45°=135°,

即旋轉了135。；

故答案為：135.

（2）解：根據旋轉的性質可得：NC8E是旋轉角，BC=BE,

故"BE=135。,ZBCE=ZBEC,

二4BEC=1（180°-NC8￡）=180。—135。）=22.5°:

（3）解：根據題意可得：△/14C是等腰直角三角形，

故AC=BC=2五，

在RtZ\?18C中，AB=d4C2+BC2=J（2拒『+（2&y=4,

點A經過的路徑是以點4為圓心，的長為半徑，圓心角是135。的扇形弧長，

1aSx萬X4

故點A經過的路徑長為＜=34.

180

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊對等角，三角形內角和定理，弧長公式，勾股定理等，熟練掌握旋

轉的性質是解題的關鍵.

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9.（24-25九年級上?浙江湖州?階段練習）定義：若圓內接三角形是等腰三角形，我們就稱這樣的三角形為“圓

圖2

（1）如圖1,力3是。。的一條弦（非直徑），若在OO上找一點C,使得△/AC是“圓等三角形”，則這樣的點

。能找到.個;

（2）如圖2,四邊形48CQ是。。的內接四邊形，連結對角線80,△48。和△8CO均為“圓等三角形”，且

AB=AD,DB=DC.

①當/力=130。時，求N8QC度數；

②如圖③，當4=120。，/8=2時，求陰影部分的面積.

【答案】（1）4

(2)①80。；②*G

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，扇形的面積和三角形的面積，等邊三角形的判定和性質，分類討

論是解題的關鍵.

（I）過O作直線月5的垂線交。。于G，G，分別以A和6為圓心，月6為半徑作弧與圓的交點就是所求

的點；

（2）①根據圓內接四邊形的性質得到/。=180。-乙4=50。，當8。二。時，當時，當BC=CD

時，根據等腰三角形的性質即可得到結論；②）根據圓內接四邊形的性質得到/8。。=60。推出△88是等

邊三角形，得到N8QC=60。.連接。。、OB、OC.根據圓周角定理得到N5OC=2NBCD=120。，

NBOD=2NBCD=120。,求得力0_L8。，N/4OD=N4OB=60。，根據等邊三角形的性質得到

。8=。4==2,根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論.

【詳解】（1）解：過O作直線的垂線交。。「G，G，分別以A和8為圓心，力8為半徑作弧與圓的交

點就是所求的點；如圖所示:

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滿足條件的點C共有4個，

故答案為:4；

(2)解:①?.?4=130。,

ZC=1800-Z4=50°,

???/CO為圓等三角形，且BD=CD,

ZCBD=ZC=50°,

￡BDC=180°-50°-50°=80°

②/乙4=120。，

.-.Z5CD=60°,

???△8CZ)為“圓等三角形”，

.?.△8C。是等邊三角形，

NBDC=60。,

連接OO,O80C,OA,交BD于G,

：.ZBOC=2ABDC=120°,NBOD=2ZBCD=120°,

vAD=AB.

：.AD=AB

AO1BD,N400=NA08=60°,

.?ZO8+/8OC=180°,

.?.4G,0,C四點共線,

?/OD=OA=OB.

.-.AAOD與MOB是等邊三角形，

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OB=OA=4B=2,

：.OG=\,BG=6

???陰影部分的面積=扇形03c的面積-AAOC的面積

2

I207TX2一32x石號一6

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10.（24-25九年級上?湖南長沙?期中）類似于三角形的內切圓，我們定義：與四邊形各邊都相切的圓叫做四

邊形的內切圓.請結合定義，解答下列問題:

圖1

（1）請你判斷下列說法是否正確（正確的打“y”，錯誤的打“X”），

①鄰邊不相等的矩形一定沒有內切圓；（）

②正方形一定有內切圓；（）

③四邊形"C。中，若4=/。=90。，AB=AD,則四邊形力5c。沒有內切圓（）

（2）如圖1,若四邊形44CO有內切圓。O,求證：AB+CD=BC+AD.

（3）如圖2,四邊形中，若N4+NC-180。，它的內切圓GX9與邊，傷，BC,CD,力力分別相切于點

E,F,G,H,連接EG,“交于點兒

①求證：EG1FH,

②連接OP，若。。的半徑為1,當6MEG2+，/247時，求。戶的取值范圍.

【答案】（1）4，7,x；

（2）見解析

⑶①見解析；@-<OP<—

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【分析】（1）因為鄰邊不相等的矩形不能滿足內切圓的圓心到各邊的距離相等，所以①正確；因為正方形

滿足內切圓的圓心到各邊的距離相等，所以②正確；因為四邊形中，NB=/D=90。,力？=力。，所

以四邊形力88滿足內切圓的圓心到各邊的距離相等，所以③錯誤；

（2）設/員BC,C。,力。分別與。。相切于點得到AE=4H,BE=BF,CF=CG,DG=DH,繼

而得到8。