高一預習人教A版高中數學必修一：基本不等式

第07講基本不等式

【人教A版2019】

■內居航

思維導圖

模塊一：兩個不等式

夯基?基礎知識梳理

模塊二：基本不等式與最值

「題型1基本不等式的理解及常見變形

一題型2利用基本不等式匕瞅大小

L題型3利用基本不等式證明不等式

基本不等式

一題型4利用基本不等式求最值（無條件）

J提升?必考題型歸納

J題型5利用基本不等式求最值（有條件））

一■題■型6基本不等式的恒成立問題

一題型7基本不等式的有解問題

I題型8基本不等式的實際應用

課后作業（19題）

思維導圖

重要不等式、基本不等式

誓叫做正數a.b的算術平均數.版叫做正數ab的幾何平均數.

「兩個不等式

基本不等式表明，兩個正數的算術平均數不小于它仃的幾何平均數.

（毆（空六平

基兩個不等式

本

⑵7274G?W產盧”＞。4s

不基本不等式的常見

變形

等

利用基本不等式求最值應滿足三個條件：“一正、二定、三相等“

式

基本不等式與最值

基本不等式

與最值利用基本不等式求⑴直接法；⑵配湊法；（3）常數代換法；⑴消元法

最值的常見方法

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模塊一兩個不等式

S）知識梳理

1.兩個不等式

不等式內容等號成立條件

重要不等式a2+h2>2ab(a.b￡R)當且僅當'邊辿”

時取“=”

基本不等式當且僅當2辿”

2時取“=”

"叫做正數db的算術平均數，ab叫做正數匹b的幾何平均數.

2

基本不等式表明：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.

溫馨提示：.當且僅當I時，等號成立”是指若，跖則“四2際即只能有標+4辦

.a~\~b

atX.

2

2.基本不等式的常見變形

4+82VM+/

(1)"《

2

(2)]2[C\J~abW"""WJ"(a>0,b>0).

￡十石

題型歸納

【題型1基本不等式的理解及常見變形】

[例I]（24-25高一上?河北石家莊?期中）下列不等式中，正確的是（)

A.Q+士工4B.a2+b2>4ab

a

C.^>VabD.x22V3

2x”

【解題思路】根據基本不等式使用的條件判斷即可.

【解答過程】對于A：當Q<o時，Q+￡W-4,故A錯誤；

對于B：取a=b=l,a2+b2<4ab,故B錯誤；

對于C：當。>0,匕<0時，病元意義，故C錯誤；

對于D：+x2>2V3,取等條件為妥一即X_±473,故DIE確.

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故選：D.

【變式1.1]（24.25高一上?遼寧?期中）《幾何原本》中的幾何代數法是以幾何方法研究代數問題，這種方

法是數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱

之為無字證明.現有圖形如圖所示，C為線段4B上的點，且=BC=b,。為的中點，以48為直徑作

半圓，過點連接CD,則該圖形可以完成的無字證明為（）

B.a2+b2>2ab[a>0,b>0）

D.再之號（a>0,b>。）

C.Vab>（a>0,/?>0）

【解題思路】由。。工。0可得.

【解答過程】。0=半，oc=^,CD=J（九）2+（中）2=&而CDNOD（GO重合時取等號），

因此有后亙>^（a>0fb>0

故選:D.

【變式1.2]（2025高二?上海?學業考試）下列關于實數a、b的不等式中，不恒成立的是（、,

A.a2+b2>2abB.a2+b2>-2ab

C.（^）2>abD.（^）2>-ab

【解題思路】根據重要不等式和基本不等式可選出答案.

【解答過程】由重要不等式和基本不等式可知A、B、C恒成立

當a=l,b=-1時（手）>-ab不成立，

故選：D.

【變式1.3]（24?25高一上?貴州貴陽?期中）如圖，AB是圓的直徑,點C是4B上一點,AC=a,BC=b.過

點C作垂直于AB的弦DE,連接可證△AC。?△DC8,因而CD=癡.由于CD小于或等于圓的半徑,

我們教材中利用該圖作為一個說法的幾何解釋，這個說法正確的是（）

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D

A.如果a>b>0,那么

B.如果a>b>0,那么Q2>/）2

C.對Va>0,b>0,都有手之病，當且僅當a=b時等號成立

D.對Va>0,b>0,都有a2+/j2N2ab,當且僅當a=b時等號成立

【解題思路】根據題意，結合CD小于或等于圓的半徑求解即可.

【解答過程】由題意，由于CD小于或等于圓的半徑，48是圓的直徑,

且4c—a,BC—b,CD—7ccb,

所以倔工歲，當且僅當a=b時等號成立.

故選:C.

【題型2利用基本不等式比較大小】

（24-25高一上.四川遂寧.期中）已知Q>。，6>0,則等夜,開言中最大的

【例2】

是（）

.la2-f-b2>-ra-/-b八Zab

A.J——B.\!abC.—D.—

N22a

【解題思路】利用基本不等式，先比較翟與朝，然后比較瘋與手，再比較早與J苧，由此確定出正

確選項.

【解答過程】因為Q>0,b>0,所以瑞工緇二房，房工等，

后叵二欄尹之出手二等，當且僅當Q=b時，等號成立，

則『病三小白.

a+b22

故選：A.

【變式2.1］（24-25高一上?浙江紹興?階段練習）已知a、b為互不相等的正實數，下列四個數中最大的是（）

2片a+6

氏T-Ca--

+12

a-d-

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【解題思路】利用重要不等式可得出四個選項中各數的大小.

【解答過程】因為a、b為互不相等的正實數，

2

所以由重要不等式可得〃+b＞2ab,則2（Q2+匕2）＞+匕2+2ab=（a+b）2,

所以，—＞竽，則再＞手＞竭,

由基本不等式可得自＜%=癇,所以、片貯＞手＞彼＞自

2

JabI?

因此，最大的數為

故選：C.

【變式2.2］（24-25高一上?陜西西安?期中）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，一顧客到店購買

黃金100g,售貨員先將50g跌碼放在天平左盤中，取出黃金放在右盤中使天平平衡：再將50g祛碼放在天

平右盤中，再取出黃金放在左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認為顧客購得的黃金

（）

A.小于100gB.等于100g

C.大于100gD.與左右臂的長度有關

【解題思路】利用杠桿原理求得顧客購得的黃金質量的表達式，依據均值定理即可得到顧客購得的黃金質

量的取值范闈，進而得到選項.

【解答過程】設天平左、右兩邊的臂長分別為x./

設售貨員第?次稱得黃金的質量為。克，第二次稱得黃金的質量為克，

'_50%

喘瑞，解之得二，

X

則顧客購得的黃金為Q+b=&+四之2/—x^=100（克），

yxyyx

（當且僅當％=y時等號成立），

由題意知，則a+b＞100克.

故選：C.

【變式2.3］（2025高一?上海?專題練習）已知0＜。＜1,0＜/?＜1,則a+b,2^ab,次+抉，2ab中哪

一個最大？

【解題思路】先利用基本不等式判斷最大數為a+6或。2+小，再做差判斷正負可得出最大的數.

【解答過程】因為Q＞0,b＞0,所以a+a2+b2＞2ab,

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所以四個數中最大的數應為Q+b或+b2;

又因為0VQC1,0<匕<1,所以

Q2+匕2-（a+%）=Q2一0+匕2一人=—1）+b（b-1）<0

所以。2+匕2<。+匕，所以Q+b最大.

【題型3利用基本不等式證明不等式】

【例3】（24-25高一上?青海西寧?階段練習）已知a,b>0,則下列不等式中不成立的是（）

A，。+匕+%22近B.（a+ft）Q+1）>4

C.邛22夜D.華〉而

Vaoa+b

【解題思路】根據基本不等式依次判斷選項即可.

【解答過程】A.?:a+bN2痼（當且僅當。=匕時取等號），

工。+b+3之2而+』22l?.V^b-=2^2,當且僅當2面=工且。=人時取等號.

7ab\abyj7abvao

選項A正確.

B.（a+8）g+J=1+1+$韓2+2萬1=4,當且僅當￡=押a=b時取等號.

選項B正確.

C.222ab（當且僅當a=b時取等號），

.a2+b2、2abf—r

??次之商二2n質

選項C正確.

D.'.?Q+匕之2倔（當且僅當。=8時取等號），

.2ab2abf—r

??市W福=加,

選項D錯誤.

故選：D.

【變式3.1]（2025?全國?三模）已知a>0,b>0,且a+b=l,則下列不等式不正確的是（）

A.ab工；B.a2+b2>!

C.-+-^->2D.Va+Vb<1

ab+1

【解題思路】根據基本不等式逐項判斷ABD,消元，化簡，結合不等式性質判斷C.

【解答過程】因為Q>0,b>0,fia+b=l,

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由基本不等式可得abW(等)2=：(當且僅當。=匕時取等號)，A正確：

由基本不等式知等式后叵，則拉平尹，

即a2+b22T(當且僅當Q=b時取等號)，B正確；

由題得上+□_=□_+」_=吃，

ab+11-hb+l1-b2

由已知0cbVI,故1一乒￡(0,1),所以三>2,

1-6

故工+工>2,C正確；

ab+1

由基本不等式可得"三用=￡，

即、0+女式&(當且僅當a=b時取等號)，D錯誤.

故選：D.

【變式3.2](24-25高一上?全國?課后作業)已知％,y都是正數，求證：(x+y)(x2+y2)(x34-y3)>8x3y3.

【解題思路】對x+y,%2+y2,%3+y3分別應用基本不等式求解即可

【解答過程】證明??3，y都是正數，

.\x2>0,y2>0,x3>0,y3>0,x+y>2>/xy>0,

Ax24-y2>2yjx2y2>0,x34-y3>2yjx3y3>0(當且僅當x=、時等號成立).

???(x+y)(x2+y2)(x3+y3)>2歷?2次子?2^/j麗，

即a+y)(%2+y2)a3+y3)N8%3y3,當且僅當％=y時，等號成立.

【變式3.3](24-25高一上?四川德陽?階段練習)已知Q>o,b>0,c>0,且a+b+c=l,證明：

(啰+9+￡1;

(2)(1+a)(l+b)(l+c)>8(1-a)(l-b)(l-c).

【解題思路】(1)利用基本不等式可證不等式成立：

(2)利用基本不等式結合“1”的代換可證不等式成立.

【解答過程】(1)因為B+c+9+a+?+bN2必+2揚+V?=2(a+b+c),

當且僅當a=b=c時等號成立，

故巴+匕+72a+b+c=1,當且僅當Q=b=c=；時等號成立，

cah3

故+1之1成立.

cab

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(2)(1+a)(l4-b)(l+c)=(2a+b+c)(2b+a+c)(2c+a+b),

由基本不等式有2a+b+c=Q+c+Q+bZ2j(a+c)(a+b),

2b^-a+c=b+c+b+a>2，(b+c)(a+b),

2c+a+b=c+a+c4-b>2J(a+c)(c+b),

故(1+a)(l+b)(l+c)>8(a4-b)(b+c)(c+a)=8(1—a)(l-b)(l—c),

當且僅當a=b=c=；時等號成立.

J

模塊二、、基本不等式與最值"

知識輸理

1.基本不等式與最值

已知X,y都是正數，

(1)如果積不，等于定值"，那么當x=y時，和x+y有最小值2P；

(2)如果和x+y等于定值S,那么當x=y時，積9有最大值

溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值應滿足三個條件：“一正、二定、三相等”.

2.利用基本不等式求最值的幾種常見方法

(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關系，可直接利用基本不等式來求最值.

(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數”或“積為常數”的形式.

(3)常數代換法：主要解決形如“已知x+尸々為常數)，求?+￡的最值”的問題，先將轉化為

AyAy

(?+￡).*/,再用基本不等式求最值.

(4)消元法：當所求最值的代數式中的變量比較多時，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和

為常數”或“積為常數”的形式，最后利用基本不等式求最值.

城題型歸納

【題型4利用基本不等式求最值(無條件)】

LJI【例4】

(24-25高一上?海南脩州?期中)已知4>-4,則2%+工的最小值為()

A.2V2—8B.2V2+8

C.2企D.2&+4

【解題思路】將原式化為2(%+4)+8,然后利用基本不等式求解即可.

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【解答過程】因為%>-4,所以x+4>0,

所以2%+——=2（x+4）4—3>2^2—8,

x+4x+4

當且僅當2（x+4）=大即”告一4時等號成立，

所以2x+4的最小值為2V2-8.

x+4

故選:A.

【變式4.1]（24-25高一上?山西期中）已知OvaV&,則①女二溫的最大值為（）

A.：B.?C.1D.>/2

22

【解題思路】由。友二次=，。2（2一戒）,然后利用基本不等式求最大值.

【解答過程】因為0VQVa,所以2-。2>0,

所以W2-樂=yja2（2-a2）<°）=1,當且僅當a?=2-a2BPa=1時取等號，

所以a42-標的最大值為1.

故選：C.

【變式4.2]（24-25高一上?全國課后作業）回答下面兩題

⑴已知xv],求4x—2+9」1勺最大值.

44x-5

（2）設0V%v|,求4x（3—2幻的最大值.

【解題思路】（1）將所求式子轉化為4%-2+￡=-（5-鈦+六）+3,再利用基本不等式求最值；

（2）利用基本不等式求最值.

【解答過程】（1）?.,%V三，二4x—5<0,二5—4%>0,

4

???鈦-2+渦=-（5-4%+^）+3<-2+3=1,

當且僅當5—4》=」-,即時，等號成立.

5-4x

???當x=l時，4%一2+丁=取得最大值1.

4x-5

（2）v0<x<-,3-2x>0,

2

:.4x（3-2x）=2?2x（3-2%）<2（2x^~2x）2=

當且僅當2%=3-2%,即x=*W（O,|）時，等號成立.

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二當“襯，4x(3-2x)取得最大值

【變式4.3](24?25高一上?全國課后作業)求下列函數的最值.

(1)已知0<%〈點求y=-2x)的最大值；

(2)已知%>-2,求y=的最小值.

【解題思路】(1)利用基本不等式可求得y=gx(l—2%)的最大值；

(2)將函數解析式變形為y=(%+2)+圭+3,利用基本不等式可求得該函數的最小值.

【解答過程】(1)因為0所以1-2%>0,

所以次1-2x)=|x2x(1-2x)<|x(吟衛丫二卷

當且僅當2x=1-2x(0<x<

即《=:時，等號成立，故y=梟(1一2%)的最大值為白.

(2)因為%>-2,所以％+2>0.

J2+7X+14(X+2)2+3(X+2)+4

所以y=

().擊+

=(x+2)+—+3>2j-23=7,

當且僅當工+2=擊0>-2),即x=O時，等號成立，

所以當％=0時，函數y=自等1a2)取得最小值7.

【題型5利用基本不等式求最值(有條件)】

I【例5】(24-25高一上?廣東河源?階段練習)已知正實數％y滿足2x+y=%y,則xy的最小值為()

【解題思路】根據基本不等式可求最小值.

【解答過程】％,y為正實數，則LJ為正數，由2%+y=xy得二+?=1,

xyxy

因為：+：=26，所以同22&nxyN8,

當且僅當L=三即y=2x=4時，等號成立，

xy

所以孫的最小值為8.

故選；D.

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【變式5.1］（24?25高一上?四川瀘州?階段練習）已知％y>0且x+4y=1,則：的最小值為（）

A.4V2B.8C.9D.10

【解題思路】根據基本不等式即可求解.

【解答過程】因為“+4y=l,所以』+1二（1+工）（無+4y）=5+些+工25+2貯=9,

xyxyxyMxy

當且僅當"二=即x=；,、=；時等號成立.

xy3,6

故選：C.

【變式5.2］（24-25高一上?河南堤河?階段練習）已知實數a>0,b>0,滿足Q+2b=4,則」7+三的

a+lb+2

最小值是（）

A.-B.-C.1D.2

42

【解題思路】變形得到*+竽=1,由基本不等式）”的妙用求出最小值.

【解答過程】實數Q>0,b>0,滿足a+2b=4,故a+l+23+2）=9,

即空.+迎上2

99

故二-+二-=仁+口［竺1+迎坦］=*±+迎±12+迎坦

a+lb+2\a+l6+27L99J999(b+2)9(a+l)

2(?±l).2(h12)=54=

-9J9(b+2)9(a+l)99

當且僅當命=舞凈即Q=2,b=l時，等號成立，

故土+涓的最小值為1.

故選：C.

【變式5.3］（24-25高一上?貴州克,陽?階段練習）若%>0,y>0,Mxy=2x+y,則三+七的最小值為

()

A.0B.3+2V2C.2V3+1D.4

【解題思路】由%、=2%+、變形可得（％-1）3-2）=2,利用基本不等式求解.

【解答過程】因為xy=2x+y,所以（％-l）（y-2）=2,

因為x>0,y>0,所以同理y-2>0,

又三+——+斗3+2(—

x-1y-2x-1y-2\x-ly-2/

因為(Xl)(y2)=2,k1>0,y2>0,

第11頁共26頁

由基本不等式就可得」7+々22匚.三式,

x-iy-2x-1y-2

所以衛:+2723+2企，當且僅當％=1+&，y=2+或時等號成立，

x-ly-2,

所以二■+的最小值為3+2V2.

x-iy-2

故選：B.

【題型6基本不等式的恒成立問題】

I【例6】（24-25高一上?四川達州?期中）已知a>0,b>0,若不等式々工如譽恒成立，則實數血

a+hab

的最大值為（）

A.64B.25C.13D.12

【解題思路】將不等式變形為mW（誓）（a+b）,利用基本不等式即可得出答案.

【解答過程】Q>0，b>0,則a+b>0,

不等式言<喏恒成立，即m工（管）9+b）恒成立，

（*）（a+b）=（*）（a+b）=13+小法13+2腎=25,

當且僅當f=藝，即b=時等號成立，

ba3

所以m<25,即實數m的最大值為25.

故選：B.

【變式6.1]（24-25高一上,福建福州?階段練習）己知實數％y>0,且：+2=1,若2%+y>n?-8m恒

成立，則實數m的取值范圍為（）

A.[m\—1<m<9]B.[m\—9<m<1}C.{m|-1<m<9}D.{m\m<—1

或m>9}

【解題思路】根據基本不等式“1”的妙用先求得2x+y的最小值，進而轉化問題為9>7層一8m,解不等式

即可求解.

【解答過程】由白+工=1,x,y>0,

xy

則2%+y=（2x+y）（：+5=§+￡+5N2J%1+5=9,

當且僅當a=口，即x=y=3時等號成立，

xy

要使2x+y>m2-87n恒成立，則9>m2-8m,

第12頁共26頁

解得一1VmV9,即實數m的取值范圍為{m|-1VmV9}.

故選：A.

【變式6.2](24-25高一上?四川達州?階段練習)“a=4”是“不等式(3+y)&+號>9(a>0)對于任意正實

數工，y恒成立”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】利用基本不等式結合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.

【解答過程】不等式(％+丫)(：+5工93>0)對于任意正實數1,)，恒成立，則[a+y)G+]]>9,

則(x+y)G+泉=1+Q+(+01+Q+2=1+a+2亞

當且僅當？=%，即y=時，取等號，則1+Q+2?N9,即(6)2+26—8N0,

”y

解得迎N2或舊式一4(舍去)，所以QN4,

當a=4時，QZ4成立，反之Q24時，Q=4不一定成立，

所以“a=4”是“不等式(％+y)Q+0>9(a>0)對于任意正實數x,y恒成立”的充分不必要條件.

故選:A.

【變式6.3](24-25高一上?云南「缶滄?階段練習)已知Q>0,b>0,且Q+2b=2,若/4色十方亙成立，則

ab

實數加勺取值范圍是()

A.[-3,3]B.[-2,2]C.[-pl]D.[-1,1]

【解題思路】利用基本不等式求得2+1的最小值，由此列不等式來求得t的取值范圍.

ab

【解答過程】已知a>0*>0,則"。，9。，

因為2+：=2+噌=2+E+222陌+2=4,

nnnnahyjnn

當且僅當W=e時等號成立，由解得a=b=；.

baIa=Z?>03

故2+%勺最小值為4.

ab

因為《242+1恒成立，所以￡244,解得一24亡42,BPte[-2,2].

ab

故選：B.

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【題型7基本不等式的有解問題】

【例7】（2024?福建寧德?模擬預測）若兩個正實數-y滿足4%+y=2盯，且不等式％+（V/m

有解，則實數〃，的取值范圍是（）

A.{ml-1<m<2}B.{m|mV-1或m>2}

C.{ml-2<m<1]D.{m|m2或m>1}

【解題思路】根據題意，利用基本不等式求得x+；的最小值，把不等式％+孑〈m2-m有解，轉化為不等式

44

m2-m>2,即可求解.

【解答過程】由兩個正實數%,y滿足4x+y=2xy,得：+：=2,

則、+尸思+；）G+》T（2+>君號（2+2后？）=2,

當且僅當竺=9即y=4%=4時取等號，

y4x/

又由不等式x+4<巾2-m有解，可得zu?一機>2,解得mV-1或機>2,

所以實數m的取值范圍為{mlm<-1或m>2}.

故選：B.

【變式7』】（23-24高一上?重慶渝北?階段練習）若兩個正實數x,y滿足:+；=1,且不等式x+^Vm有

解，則實數機的取值范圍是（）

A.?n<4B.m>4C.m<2D.m>2

【解題思路】根據基本不等式”1”的替換進行求解即可.

【解答過程】因為正實數x，），滿足1+±=1，

/xy

所以X+*G+3（X+?=2+￡+￡N2+2符=4，

當且僅當三二竺時取等號，即當x=2,y=8時，取等號，

4xyJ

因此要想x+4有解，

只需m>4,

故選：B.

【變式7.2]（24-25高一上?云南昆明?階段練習）若兩個正實數z,y滿足x+y=l,且存在這樣的％y使不等

式1+￡〈62+）加有解，則實數m的取值范圍是（）

x+l7y+274

第14頁共26頁

A.{m|-3<m<：}B.{m卜,Vm<3

C.{m|77iV-3或m>*}D.{m\mV-"或m>3}

【解題思路】利用基本不等式進行代換，從而求出答案.

【解答過程】由x+y=l,x,y>0,可得，Q+l)+(y+2)=4

所以々+A=7(J-r+A)[(x+1)+(y+2)]

x+ly+24vx+ly+2八''yj

/有+得+5]*(2a+5)..

=1

當且僅當空="等，即{X/寸等號成立.

x+ly+2\=1

J3

所以7九2+2巾>2,解得m3或m>

444

故選：C.

【變式7.3](24-25高一上?黑龍江大慶?開學考試)在R上定義運算?：x0y=x(l-y),0VxW2時,

不等式(ax-2)0(1-x)<-3a有解，則實數a的取值范圍是()

【解題思路】轉化條件得Q＜募在(0,2］上有解，利用基本不等式求得言在(0,2］的最大值即可得解.

【解答過程】依題意，(ax-2)@(1-x)=(ax-2)［1-(1-z)］=ax2-2x＜-3a在(0,2］上有解,

則a(/+3)<2x,即a<翁在(0,2]上有解,

X??5

2x_22_V3

當且僅當X=g時取等號,

所以實數Q的取值范圍是｛a|a＜今

故選：B.

【題型8基本不等式的實際應用】

【例8】(24-25高一上?四川成都?期末)已知某糕點店制作一款面包的固定成本為400元，每次制

作x個，每天每個面包的存留成本為1元，若每個面包的平均存留時間為0.25%天，為了使每個面包的總成

本最小，則每天應制作()

A.20個B.30個C.40個D.50個

第15頁共26頁

【解題思路】根據題設有每個面包的總成本y=^+j應用基本不等式求結果.

【解答過程】由題設，總成本為400+?,則每個面包的總成本y=^+*N2舊可=20,

當且僅當％=40時取等號，故每個面包的總成本最小，每天應制作40個.

故選：C.

【變式8.1］（24-25高一上?遼寧錦州?期末）某污水處理廠為使處理后的污水達到排放標準，需要加入某種

藥劑，加入藥劑后，藥劑的濃度。（單位：mg/m3）隨時間t（單位：h）的變化關系可近似的用函數C?）=

舞卷（￡>0）刻畫.由此可以判斷，要使被處理的污水中該藥劑的濃度達到最大值，需經過（）

A.lhB.2hC.3hD.4h

【解題思路】利用基本不等式求解最值可得.

【解答過程】依題意，￡>0,所以￡+1>1,

所以c八-i°o（'+D_iooQ+1）_1QQ/_10。_一10°-1。

用以at）一心+4t+19-?+1）2+2?+1）+16-（a1）日2-2向鼻+211°.

當且僅當t+l=猾，即￡=3時等號成立，

故由此可判斷，若使被處理的污水中該藥劑的濃度達到最大值，需經過3h.

故選：C.

【變式8.2］（24-25高一上?吉林長春?階段練習）如圖，為了開展勞動教育，某校在“一米農莊”內計劃用籬

笆圍成一個一邊靠墻（墻足夠長）的矩形育苗區.設育苗區的長為x米，寬為y米.

（1）若育苗區面積為8平方米，則工，y為何值時，所用籬笆總長最小；

（2）若使用的籬笆總長為10米，求郎的最小值.

【解題思路】（I）利用基本不等式求解和的最小值.

（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【解答過程】（1）依題意，xy=8,所用籬笆總長為x+2y,而4+2yN2師=8,

當且僅當x=2y,BPx=4,y=2時取等號，

所以育苗區的長為4m,寬為2m時，所用籬笆總長最小.

（2）依題意，xI2y=10,

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等="：33+金（%+2））=專（5+孑+矢之京5+2號=專

當且僅當空=4,即％=y=當時取等號，

xy3

所以竺型的最小值2

xy10

【變式8.3］（24-25高一上?上海?期中）某學生社團設計一張招新海報，要求紙張為長acm、寬bcm的矩形,

面積為60cm2.版面設計如圖所示：海報上下左右邊距均為2cm,文字宣傳區域分大小相等的三個矩形欄

目，欄目間中縫空白的寬度為1cm.三個欄目的文字宣傳區域面積和為S,

（1）用a、b表示文字宣傳區域面積知S；

（2）如何設計紙張的長和寬，使得文字宣傳區域面積和S最大？最大面積是多少？

【解題思路】（1）利用矩形的面積公式列式即得.

（2）由（1）的結論，利用基本不等式求出最大值.

【解答過程】（1）依題意，三個欄目的文字宣傳區域拼在一起，相當于長寬分別為。-6*-4的矩形，

所以S=（a-6）（8-4）.

（2）依題意，Qb=60,由（1）知S=ab-（4a+6b）+24=84-（4a+6b）<84-2V24aS=84-24V10,

當且僅當4Q=66時取等號，由｛黑二;，解得Q=3aU,b=2g,

所以紙張的長和寬分別為3VWcm,2Vi0cm時，面積S取得最大值84-24Vl0cm2.

課后作業（19題）

一、單選題

I.（24-25高一上?內蒙古烏蘭察布,期末）已知%>0,則％-3+2的最小值是（）

X

A.4B.5C.3D.2

【解題思路】應用基本不等式求最小值，注意取值條件即司;

【解答過程】由題設3-3+232「-3=3,當且僅當％=3時取等號，故原式的最小值為3.

故選：C.

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2.（24-25高一上?甘肅甘南?期末）已知Q>0,ft>0,4+。=1，則a+b的最小值為（）

3ba

A.4B.C.學+2gD.Y

JJ。

【解題思路】運用基本不等式“1”的妙用求解即可.

【解答過程】因為a>0,b>0,所以a+b=（a+b）G+3=^+3+g+?N￥+2舟^音,

當且僅當點=迎，即a=4,b=J時等號成立，

5ba3

所以a+b的最小值為學

故選：D.

3.（24-25高一上?福建福州?期中）用一段長為24m的籬笆圍成一個矩形菜園（菜園的一邊靠墻），菜園

的面積最大是（）m2

A.36B.144C.60D.72

【解題思路】利用基本不等式求最值即可.

【解答過程】設矩形菜園的寬為無m,長ym,則2x+y=24,且x>0,y>0.

因為24=2x+y，2/^K=xy<72（當且僅當％=6,丫=12時取“=”）.

故選：D.

4.（24-25高一上?廣東深圳?期末）已知正數爸y滿足：+：=1,則勿+y的最小值是（）

A.8B.6C.4D.2

【解題思路】應用常值代換結合基本不等式計算求解.

【解答過程】因為正數%,y滿足

則2%+y=（2%+y）&+$=2+今+7+2N2聆4+4=8,

當且僅當、=把即工=2,y=4時取等號，

xy

所以2%+y的最小值是8.

故選：A.

5.（24-25高一上?安徽亳州?階段練習）對一切x,y>0,都有5%+12后Wa（x+y）,則實數。的最小

值是（）

A.8B.9C.10D.前3個答案都不對

【解題思路】由題意可得且當?Wa,求得（"+）1刃即可.

X十y、x+y7max

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l2

【解答過程】因為X,y>0,所以5Kl再4a,所以az（注運），

"y'x+?7max

175r+12網_5計125]5x4-6（|x+|y）_9x+9y_

乂-------=---------s---------=----=y

x+yx+yx+yx+y9

當且僅當=時，取等號，所以a29,

所以實數〃的最小值是9.

故選：B.

6.（24-25高一上?福建漳州?期末）用max{a,8}表示a與b的最大者，記時=max{4x+：,：+）},其中x,y

都是正數，則M的最小值為（）

A.2V2B.3C.8D.9

【解題思路】根據條件有MZ4x+L,MNU+y,從而有2M2以+工+工+丫，再利用基本不等式，即可求

yxxy

解.

【解答過程】因為M=max{4x+j,：+y},所以M24%+'M之：+y,

貝ij2M>4x+-+-+y=4x4--+-+y,

yxxy

又x,y都是正數，所以4x+5工2回三二4,當且僅當4%=%即％=或寸取等號，

y+"2Jy=2,當且僅當y=（,即y=l時取等號，

故2MN6,得到MA3,當且僅當％=g,y=l時取等號，

故選：B.

7.（24-25高一上?山東聊城期末）已知0<aVI,若2+上恒成立，則實數力的取值范圍為（）

a1-a

A.思+8）B.枝,+8）C.（0,1]D.（0,4]

【解題思路】利用恒成立等價條件轉化，再利用不等式即可求得結果

【解答過程】因為Ovavl,所以自+321恒成立等價于bNa（l-a）恒成立，