人教版高中數學必修第二冊第1周單元檢測【原卷+答案】

第1周單元檢測

（必修第一冊30%+平面向量線性運算70%）

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分或40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.若全集U=（1,2,3,4,5,6,7},集合A={2,4,6}方={135,7},則An（CuB）等于（）

A.{1,3,5）B.（2,5）C.（2,4,5）D.{2,4,6）

2.已知命題“VX￡R,4F+3.2）X+：〉（F是假命題,則實數a的取值范圍為（）

4

A.（-oo,（）JU[4,+oo）B.[0,4]

C.[4,+oo）D.（0,4）

3.函數JAG）"""的值域為（）

A.[J,+oo）C.（-OC,2]D.（0,2J

4.設e是單位向量，四=3e,而=-3e,|而|=3,則四邊形ABCD是（）

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

5.已知點尸在ZkABC所在平面內,且滿足|可|二|而匚國|,則尸是ZkABC^（）

A.外心B.內心C.垂心D.重心

6.在四邊形ABCD中，若赤二-而，旦|南一35|二|而+而則四邊形ABCD為（）

A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形

7.在△OAB中,P為邊上的一點，且前二2百5,赤二赤+）萬友則（）

B/3瀉以三污

8.已知ei,e2是平面內的一組基底萬"3ei+2e2,9=4ei+版,而=5ei-4e2,若力方,。三點共

線，則實數左的值為（）

A.-lB.OC.lD.2

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分.共18分.在每小題給出的選項中.有多項符合題

目要求，全部選對的得6分部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.如圖所示，在"BC中，點。在邊8C上，且CD=2DB,點E在八。上，且荷=3荏，則（）

fE

BD

,,,,1■■>2.>1,1>,>

\.AD=-AC+-ABBCE=-AD-AC

333

???????9.....>Q...>>9?????Q....，

C.CE=-AB+-ACD.CE=-AB--AC

9999

10.(2024重慶高一期中)有下列說法，其中正確的說法為()

A.若a〃b,b〃c,則a//c

B.若a=-b且b=-c,則a=c

C.兩個非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,則a與b共線且反向

D.若a〃b,則存在唯一實數A使得a=Ab

11.數學家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上,

且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則

被稱為歐拉線定理設點Q,G,”分別為ZiABC的外心、重心、垂心，且M為8C的中點，

則()

A.GA+GB+2GC=0B.AB+AC=2HM-4MO

CAH=2OMD.\OA\=\OB\=\OC\

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.已知cos(750+a)=1,Mcos(105°-a)+sin(15°-a)=.

13.若點O是08。所在平面內的一點，且滿足|赤-OC\=\(OB-OA)+(OC-OA)\M

△ABC的形狀為.

14.已知點。是“8C內部一點，并且滿足2a+3赤+5灰=0,設△OAC的面積為

S\^ABC的面積為52,則如二__________.

S2

四、解答題:本題共5小題，共77分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)如圖,0是正六邊形ABCOEF的中心，且初二a,而=b0?=c.在以4,BCDEFO

這七個點中任意兩點為起點和終點的向量中，問：

(1)與a相等的向量有哪些？

(2)b的相反向量有哪些？

(3)與c的模相等的向量有哪些?

16.（15分）在如圖的方格紙上，己知向量a,每個小正方形的邊長為1.

⑴試以B為終點畫一個向量b,使b=a;

（2）在圖中畫一個以A為起點的向量c,使，并說出向量c的終點的軌跡是什么?

17.（15分）已知函數於）=sin卜x+；）+sin（2r-?+2COS24?1/ER.

⑴求函數./U）的最小正周期；

（2）求函數/U）的單調遞增區間和對稱軸方程；

⑶求函數人人）在區間［?；,界上的最大值和最小值.

18.（17分）（2024北京高一期末）在AABC中，點。方分別在邊8c和邊A8上，且

DC=2BD,BE=2AE,AD交CE于點、P,設品二a,瓦5=b.

A

（1）用a,b表示正和方；

（2）若加=^DA,EP=tEC^a,b表示前，并求實數t的值；

（3）在邊AC上有點F,使得尼=5而,求證:B,P,F三點共線.

19.（17分）已知函數/岳）=辭為奇函數.

⑴求實數機的值及函數式匯）的值域；

（2）若不等式〃於）次右）>0對任意x>0都成立，求實數。的取值范圍.

答案：

1.D由題意，。由二{2,4,6},故in（QB）={2,4,6}.

2.A若"1￡尺4『+小2"+工＞0”是真命題,判別式[=&2）2-4'4乂工＜0,解得0＜。＜4.所以

44

若“VxWR,4f+3-2比+工＞0”是假命題,則實數a6勺取值范圍為（-8,0]U[4,+oo）.

4

3.A函數）'=（3）的定義域為R,-3+2_r=-（x-1＞+1W1,又函數）=在R上單調遞

減，

則（廣W，

所以函數）'=0的值域為L，+8）

4.B因為樂=3e,而=-3e,所以標=3e=-而，即方||而,|溜|二|而|=|3e|=3|e|=3,所以四

邊形ABC。是平行四邊形.因為|而|=3,即|四|二|而|,圻以四邊形A5CO是菱形.

5.A|西|二|而|二|而|表示點P到A,B,C三點距離相等，所以尸為△ABC的外心.

6.C由而=而=而=玩,所以四邊形ABCQ是平行四邊形，由|而一而|二|而+

而|=|而|二|前|,所以平行四邊形48co的對角線相等，因此該四邊形是矩形.

7.A因為在△043中,P為邊A3上的一點，且前二2對,所以赤-0B=2（0A-而），所以

而=|a+9兩

因為OP=xOA+)。8,所以x=-,y=~.

33

8.A因為初=3ei+2e2,UB=4ei+ke2,U?=5ei-4e2,所以同=OH-(M=(4ei+^e2)-

(3ei+2e2)=ei+(k-2)e2,AC=OC-Q4=(5ei-4e2)-(3ei+2e2)=2e卜6ez.又因為A,8c三點共

線，所以4B=MC,即ei+伏-2)e2=2(2ei?6e2),所以［幺二)o解得

(-04=￡-，，2

9.ABD;CD=2DB,點、E在AD上，而二3荏，

.??????一,…?…一?■■?7.一…“9，1>9.，,一一*

：.AD=AC+CD=AC+^CB=AC+-AC)=^AC+^AB.：.CE=AE-AC=

^-AD-AC=^AC+^AB-AC=^AB-^AC.

39999

10.BC對于A,當b=0時,a與c不一定共線，故A錯誤;對于B,因為b=-c,所以-b=c，又

a=-b,所以a=c,故B正確;對于C,由共線向量的性質可知，若|a-b|=|a|+|b|,則a與b共線

且反向，故C正確;對于D,當b=O,a#）時,顯然有a〃b,但此時7不存在，故D錯誤.

11.BCD對于A選項，因為G為△人8c的重心，則G￡AM且彳5=2的,因為蒲=麗+

MF.GC=GM+MC=GM-麗,所以福+GC=2GM=AG=-GA^GA+而+GC=O,A

錯;對于B選項,由題意可知而=［同，而=2的,所以前二3面.因為方=［而，則77S=

7>?>一一'?一，1一一，)1?)1……???????▲.，…?>

^HOtAM=AB+BM=AB+^BC=AB(AC-AB)=^(AB+AC),所以AB4-

.4..’?f’■■>2'?、>—?,>一一一?,?*

AC=2AM=6GM=6(HM-HG)=6(HM?：HO)=6HM-4HO=6HM-4(HM+M0)=2HM-

4M0,B對;

對于C選項,=AG+而二2而-2詼=2而C對;對于D選項，因為。為aABC的外心,

則|35|二|而|二|歷|,D對.

12.0因為(105°-cz)+(75°+”)=180°,(15°-a)+(a+75°)=90°,

所以cos(l()5°-a)=cos[180°-(75°+a)]=-cos(75°+c()=--,sin(15o-a)=sin[90°-

3

(a+75°)]=cos(750+a)二士所以cos(105°-a)+sin(I5°-?)=--4--=0.

333

13.直角三角形如圖，取BC中點。.因為|麗-OC\=\(OB-OA)+(OC-OA)\,

c

k

所以|方|二|荏十元|=|2而|=2|而I,

即AD=DB=DC,

所以NQAB=NQBA,NQAC=NQCA,

所以N8AC=NABC+NAC及又三角形內角和為180°.

所以N8AC=90°，所以AABC為直角三角形.

Q,■>>,■,■>

14-?.?2。4+308+50。=0,

/.2（01+0C）=-3（0B+0C）.

設AC中點為QBC中點為E,

貝"2OD=-3OE,

DE為z\A3c的中位線，旦塔=

|0E|2

S^OAC=2S^ODC=2X|5ACD￡=|XQsAi4FC^=-^S^ABC,=總.

15.解(1)由相等向量定義知:與a相等的向量有:麗，點，演.

(2)由相反向量定義知:b的相反向量有:耐，而，而，麗.

(3)由向量模長定義知:與c的模相等的向量有：

CO,~0F,~F0,~0E,~E0,0Df~D0,~0B,~B0,0AfAO,ABf~BA,~AF,~FAfFE,EF,~ED,~DE,~DC,~CD,CB.~BC

16.解(1)根據相等向量的定義，所作向量與向量a平行，且長度相等，如下圖所示:

(2)由平面幾何知識可知所有這樣的向量c的終點的軌跡是以A為圓心為半徑的圓.

17.解（1次0=sin（2x+；）+sin（2%-；+）2COS2X-1=sin2xcos-+cos2xsin-+sinZvcos--cos

333

2xsin^+cos2x=sin2r+cos2x=V2sin（）,

所以函數y（x）的最小正周期

T=—3=TI.

⑵令工+2EW2r+E<?+2kTt,keZ,

242

解得Z.

所以函數九r)的單調遞增區間為1-郊+女兀；+質」,2￡2,令2x+-=2+E,解得x=-+蛆,kW

884282

Z,

所以?x)的對稱軸方程為A=-+—,kez.

82

⑶當m時,2*cH，Sin(2x+pe［爭I所以於)min=/(-加&x(.

?)=-1於)max=/(9=&X1=或.所以函數段)在區間［一,口上的最大值是也最小值是-

1.

18.⑴解由題意知，而=2瓦5=%,所以前=麗+阮二-4+2,育=瓦？一麗=瓦5-