2027高考數學九大專題專項突破第7章 直線和圓解析版

§7.1直線的方程1

考點1:傾斜角與斜率的計算2

考點2:三點共線問題4

考點3:過定點的直線與線段相交問題5

考點4:直線的方程9

考點5:直線與坐標軸圍成的三角形問題12

考點6:兩直線的夾角問題18

考點7:直線過定點問題20

考點8:軌跡方程21

考點9:中點公式24

§7.2兩條直線的位置關系28

考點1:兩直線位置關系的判定29

考點2:兩直線的交點與距離問題32

考點3:有關距離的最值問題37

考點4:點點對稱46

考點5:點線對稱47

考點6:線點對稱50

考點7:線線對稱52

考點8:直線系方程55

§7.3圓的方程58

考點1:求圓多種方程的形式58

考點2:直線系方程和圓系方程62

考點3:與圓有關的軌跡問題65

考點4:用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件70

考點5:點與圓的位置關系判斷72

考點6:數形結合思想的應用74

考點7:與圓有關的對稱問題80

考點8:圓過定點問題83

§7.4直線與圓、圓與圓的位置關系86

考點1:直線與圓的位置關系的判斷87

考點2:弦長與面積問題88

考點3:切線問題、切線長問題93

考點4:切點弦問題98

考點5:圓上的點到直線距離個數問題103

考點6:直線與圓位置關系中的最值(范圍)問題105

考點7:圓與圓的位置關系118

考點8:兩圓的公共弦問題121

考點9:兩圓的公切線問題123

考點10:斜率型128

12

博觀而約取厚積而薄發

考點11:直線型130

考點12:距離型131

考點13:周長面積型134

考點14:數量積型138

考點15:坐標與角度型141

考點16:長度型144

考點17:方程中的參數150

§7.5圓中的范圍與最值153

考點1:斜率型153

考點2:直線型155

考點3:距離型156

考點4:周長面積型159

考點5:數量積型163

考點6:坐標與角度型166

考點7:長度型169

考點8:方程中的參數175

§7.6隱圓問題178

考點1:隱圓的第一定義：到定點的距離等于定長178

考點2:隱圓的第二定義：到兩定點距離的平方和為定值181

考點3:隱圓的第三定義：到兩定點的夾角為90°185

考點4:隱圓的第四定義：邊與對角為定值、對角互補、數量積定值190

考點5:隱圓的第五定義：到兩定點距離之比為定值195

§7.7直線與圓的綜合201

考點1:距離的創新定義201

考點2:切比雪夫距離204

考點3:曼哈頓距離、折線距離、直角距離問題210

考點4:圓的包絡線問題213

考點5:阿波羅尼斯圓問題、反演點問題、阿波羅尼斯球問題216

考點6:圓中的垂直問題222

考點7:圓的存在性問題225

22

§7.1直線的方程

知識點一：直線的傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角

若直線l與x軸相交，則以x軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉直至與l重合所成的角稱為直

線l的傾斜角，通常用α，β，γ，?表示

(1)若直線與x軸平行(或重合)，則傾斜角為0

(2)傾斜角的取值范圍α∈[0，π)

2、直線的斜率

設直線的傾斜角為α，則α的正切值稱為直線的斜率，記為k=tanα

π

(1)當α=時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的

2

(2)所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率

(3)斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應用范圍，斜率適用的范圍更廣(與直線方程

相聯系)

(4)k越大，直線越陡峭

(5)傾斜角α與斜率k的關系

當k=0時，直線平行于軸或與軸重合；

當k>0時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨k的增大而增大；

當k<0時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角k隨的增大而減小；

3、過兩點的直線斜率公式

y2-y1

已知直線上任意兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)則k=

x2-x1

(1)直線的斜率是確定的，與所取的點無關．

(2)若x1=x2，則直線AB的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°

4、三點共線．

兩直線AB，AC的斜率相等→A、B、C三點共線；反過來，A、B、C三點共線，則直線AB，AC的

斜率相等(斜率存在時)或斜率都不存在．

知識點二：直線的方程

1、直線的截距

若直線l與坐標軸分別交于(a，0)，(0，b)，則稱a，b分別為直線l的橫截距，縱截距

(1)截距：可視為直線與坐標軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可為0(不要顧名思義誤認為

與“距離”相關)

(2)橫縱截距均為0的直線為過原點的非水平非豎直直線

LaoFan1

2、直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點斜式y-y1=kx-x1不含垂直于x軸的直線

斜截式y=kx+b不含垂直于x軸的直線

y-y1x-x1

兩點式=不含直線x=x1(x1≠x2)和直線y=y1(y1≠y2)

y2-y1x2-x1

xy

截距式+=1不含垂直于坐標軸和過原點的直線

ab

一般式Ax+By+C=0平面直角坐標系內的直線都適用

(A2+B2≠0)

3、求曲線(或直線)方程的方法：

在已知曲線類型的前提下，求曲線(或直線)方程的思路通常有兩種：

(1)直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到

兩個點，或者一點一斜率

(2)間接法：若題目條件與所求要素聯系不緊密，則考慮先利用待定系數法設出曲線方程，然后再

利用條件解出參數的值(通常條件的個數與所求參數的個數一致)

4、線段中點坐標公式

x+x

x=12

2

若點P，P的坐標分別為(x，y)，(x，y)且線段PP的中點M的坐標為(x，y)，則，

12112212y+y

y=12

2

此公式為線段P1P2的中點坐標公式．

5、兩直線的夾角公式

k2-k1

若直線y=k1x+b1與直線y=k2x+b2的夾角為α，則tanα=．

1+k1k2

考點1:傾斜角與斜率的計算

1(2024·四川眉山·仁壽一中校考模擬預測)已知α是直線x-2y+3=0的傾斜角，則

2sinα+π+sinα

4

的值為()

cos2α

4454535

A.B.C.D.

331520

【答案】B

112

【解析】法一：由題意可知tanα=，(α為銳角)，∴sinα=，cosα=，

255

2sinα+π+sinα

34sinα+cosα+sinα4545

cos2α=cos2α-sin2α=，==×=

5cos2αcos2α533

11

法二：由題意可知tanα=，(α為銳角)∴cosα=2sinα，sinα=，

25

2sinα+π+sinα

4sinα+cosα+sinα4sinα445

====．

cos2αcos2α-sin2α3sin2α3sinα3

故選：B．

2LaoFan

ππ

2(2024·重慶·重慶南開中學校考模擬預測)已知直線l的一個方向向量為p=sin,cos，則

33

直線l的傾斜角為()

ππ2π4π

A.B.C.D.

6333

【答案】A

cosπ

33ππ

【解析】由題意可得：直線l的斜率k===tan，即直線l的傾斜角為．

sinπ366

3

故選：A

3(2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學校考階段練習)經過A(-1,3)，B(3，-3)兩點的

直線的傾斜角是()

A.45°B.60°C.90°D.120°

【答案】D

3+3

【解析】經過A(-1,3)，B(3，-3)兩點的直線的斜率為=-3，

-1-3

因為直線的傾斜角大于等于0°小于180°，

故經過A(-1,3)，B(3，-3)兩點的直線的傾斜角是120°，

故選：D

4(2024·全國·高二專題練習)如圖，若直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()

A.k1<k3<k2B.k3<k1<k2C.k1<k2<k3D.k3<k2<k1

【答案】A

【解析】解析設直線l1，l2，l3的傾斜角分別為α1，α2，α3，

則由圖知0°<α3<α2<90°<α1<180°，

所以tanα1<0，tanα2>tanα3>0，

即k1<0，k2>k3>0．

故選：A

5(2024·全國·高二專題練習)直線y=-3x+3的傾斜角為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】直線y=-3x+3的傾斜角為α，因為直線的斜率為k=tanα=-3，

0°≤α<180°，所以α=120°．

故選：C．

6(2024·全國·高二課堂例題)過兩點A4,y，B2,-3的直線的傾斜角是135°，則y等于()

LaoFan3

A.1B.5C.-1D.-5

【答案】D

y--3y+3

【解析】由斜率公式得k==，且直線的傾斜角是135°，

AB4-22

y+3

所以k=tan135°=-1，即=-1，解得y=-5．

AB2

故選：D．

7(2024·高二課時練習)直線l經過A2,1，B1,m2m∈R兩點，那么直線l的斜率的取值范圍

為()．

A.0,1B.-∞,1C.-2,1D.1,+∞

【答案】B

m2-1

【解析】k==1-m2≤1，故那么直線l的斜率的取值范圍為-∞,1．

l1-2

故選：B

1

8(2024·全國·高三專題練習)函數f(x)=x3-x2的圖像上有一動點，則在此動點處切線的傾

3

斜角的取值范圍為()

3ππ3π3ππ3π

A.0,B.0,∪,πC.,πD.,

424424

【答案】B

2

【解析】設切線的傾斜角為α，則α∈0,π，∵fx=x2-2x=(x-1)-1≥-1，

π3π

∴切線的斜率k=tanα≥-1，則α∈0,∪,π．

24

故選：B

【解題方法總結】

y-y

正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式k=12，根據該公式求出經過

x1-x2

兩點的直線斜率，當x1=x2，y1≠y2時，直線的斜率不存在，傾斜角為90°，求斜率可用k=tanα(α≠90°)，

其中α為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關聯，不可分割．牢記“斜率變化分兩段，90°是其分界，

ππ

遇到斜率要謹記，存在與否要討論”．這可通過畫正切函數在0,∪,π上的圖像來認識．

22

考點2:三點共線問題

k

9(2024·全國·高二專題練習)已知三點(2,-3)，(4,3)，5,在同一條直線上，則實數k的值為

2

()

A.2B.4C.8D.12

【答案】D

k-3

3-(-3)2

【解析】由題意，三點中任意兩點的直線斜率相等，得=，解得k=12．

4-25-4

故答案為：D．

10(2024·遼寧營口·高二校考階段練習)若三點A0,8，B-4,0，Cm,-4共線，則實數m的

值是()

A.6B.-2C.-6D.2

4LaoFan

【答案】C

【解析】因為三點A0,8，B-4,0，Cm,-4共線，

所以kAB=kBC，

8-00--4

可得：=，

0--4-4-m

4

即=2，解得m=-6；

-4-m

故選：C

11(2024·重慶渝中·高二重慶復旦中學校考階段練習)若三點M(2，2)，N(a，0)，Q(0，b)，(ab≠

11

0)共線，則+的值為()

ab

11

A.1B.-1C.D.-

22

【答案】C

2-02-b

【解析】因為三點M(2，2)，N(a，0)，Q(0，b)，(ab≠0)共線，所以=，即ab=2(a+

2-a2-0

111

b)，所以+=，故選C．

ab2

12(2024·全國·高三專題練習)若平面內三點A(1，-a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a=()

2-52±52+5

A.1±2或0B.或0C.D.或0

222

【答案】A

a2+aa3+a

【解析】由題意知kAB=kAC，即=，即a(a2-2a-1)=0，解得a=0或a=1±2．

2-13-1

故選：A．

【解題方法總結】

斜率是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點所確定的方向不變，即在同一

直線上任意不同的兩點所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點共線的原因．

考點3:過定點的直線與線段相交問題

13(2024·吉林·高三校考期末)已知點A1,3，B-2,-1．若直線l:y=kx-2+1與線段AB

相交，則k的取值范圍是()

111

A.k≥B.k≤-2C.k≥或k≤-2D.-2≤k≤

222

【答案】D

【解析】由已知直線l恒過定點P2,1，

如圖所示，若l與線段AB相交，則kPA≤k≤kPB，

LaoFan5

3-1-1-11

因為k==-2，k==，

PA1-2PB-2-22

1

所以-2≤k≤．

2

故選：D．

14(2024·高三課時練習)已知點M2,-3和N-3,-2，直線l:y=ax-a+1與線段MN相交，

則實數a的取值范圍是()

3333

A.a≥或a≤-4B.-4≤a≤C.≤a≤4D.-≤a≤4

4444

【答案】A

【解析】直線l方程可整理為：y=ax-1+1，則直線l恒過定點P1,1，

1+31+23

∴k==-4，k==，

MP1-2NP1+34

3

∵直線l與線段MN相交，∴直線l的斜率a≤-4或a≥．

4

故選：A．

15(2024·全國·高三專題練習)已知A2,0，B0,2，若直線y=kx+2與線段AB有公共點，

則k的取值范圍是()

A.-1,1B.1,+∞C.0,1D.-∞,-1∪1,+∞

【答案】C

【解析】由于直線y=kx+2的斜率為k，且經過定點-2,0，設此定點為M．

0-02-0

而直線MA的斜率為kMA==0，直線MB的斜率為kMA==1，

-2-20--2

要使直線y=kx+2與線段AB有公共點，只需0≤k≤1．

故選：C．

16(2024·全國·高三專題練習)已知點A-2,3，B3,2，若直線ax+y+2=0與線段AB沒有

交點，則a的取值范圍是()

5445

A.-∞,-∪,+∞B.-,

2332

5445

C.-,D.-∞,-∪,+∞

2332

【答案】B

54

【解析】∵直線ax+y+2=0過定點C0,-2，且k=-，k=，

AC2BC3

54

由圖可知直線與線段AB沒有交點時，斜率-a滿足-<-a<，

23

6LaoFan

45

得a∈-,，

32

故選：B．

17(2024·全國·高三專題練習)已知直線x-ay+2a=0和以M3,5，N4,-2為端點的線段

相交，則實數a的取值范圍是()

A.a≤1B.-1≤a≤1

C.a≤-1或a≥1D.a≤-1或a≥1或a=0

【答案】C

【解析】直線x-ay+2a=0，即x+a2-y=0，其恒過定點A0,2，

根據題意，作圖如下：

4

數形結合可知，當直線過點N時，其斜率取得最小值=-1，

-4

當直線過點M時，其斜率取得最大值1，

1

故-1≤≤1，解得a∈-∞,-1∪1,+∞．

a

故選：C．

18(2024·全國·高三專題練習)已知A2,-3，B-3,-2，直線l過點P1,1且與線段AB相交，

則直線l的斜率k的取值范圍是()

33

A.k≤-4或k≥B.-4≤k≤

44

143

C.k≤-或k≥D.-≤k≤4

434

【答案】A

LaoFan7

1--2331--3

【解析】如圖，kPB==，由題可知應滿足k≥；同理kPA==-4，由題可知

1--3441-2

應滿足k≤-4．

故選：A

19(2024·全國·高三對口高考)已知點P-1,1，Q2,2，若直線l:x+my+m=0與PQ的延長

線(有方向)相交，則m的取值范圍為．

2

【答案】-3,-

3

【解析】如下圖所示，

2-11

由題知kPQ==，

2--13

直線x+my+m=0過點M0,-1．

當m=0時，直線化為x=0，一定與PQ相交，所以m≠0，

1

當m≠0時，k=-，考慮直線l的兩個極限位置．

lm

2--13

①l經過Q，即直線l，則k==；

1l12-02

1

②l與直線PQ平行，即直線l，則k=k=，

2l2PQ3

因為直線l與PQ的延長線相交，

11322

所以<-<，解得-3<m<-，所以m∈-3,-．

3m233

2

故答案為：-3,-．

3

y

20(2024·全國·高三專題練習)已知A(-1,2)，B(2,4)，點P(x,y)是線段AB上的動點，則的取

x

值范圍是．

【答案】(-∞,-2]∪[2,+∞)

【解析】如圖所示：

8LaoFan

因為A(-1,2)，B(2,4)，

2-04-0

所以k==-2，k==2，

OA-1-0OB2-0

y-0y

k==，

OPx-0x

因為點P(x,y)是線段AB上的動點，

y

所以k=∈(-∞,-2]∪[2,+∞)．

OPx

故答案為：(-∞,-2]∪[2,+∞)

y+1

21(2024·全國·高三專題練習)Px，y在線段AB上運動，已知A2，4，B5，-2，則的

x+1

取值范圍是．

15

【答案】-,

63

y+1

【解析】表示線段AB上的點與C-1，-1連線的斜率，

x+1

4-(-1)5-2-(-1)1

因為k==，k==-

AC2-(-1)3BC5-(-1)6

y+115

所以由圖可知的取值范圍是-,．

x+163

15

故答案為：-,

63

【解題方法總結】

一般地，若已知Ax1,y1，Bx2,y2，Px0,y0，過P點作垂直于x軸的直線l，過P點的任一直線l

的斜率為k，則當l與線段AB不相交時，k夾在kPA與kPB之間；當l與線段AB相交時，k在kPA與kPB

的兩邊．

考點4:直線的方程

22(2024·全國·高三專題練習)過點1,2且方向向量為-1,2的直線的方程為()

A.2x+y-4=0B.x+y-3=0C.x-2y+3=0D.x-2y+3=0

LaoFan9

【答案】A

2

【解析】由題意可知直線的斜率k==-2，由點斜式方程得，

-1

所求直線的方程為y-2=-2x-1，即2x+y-4=0．

故選：A

23(2024·全國·高三專題練習)過點A1,4的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程

為()

A.x-y+3=0B.x+y-5=0

C.4x-y=0或x+y-5=0D.4x-y=0或x-y+3=0

【答案】D

【解析】解法一當直線過原點時，滿足題意，此時直線方程為y=4x，即4x-y=0；

xy

當直線不過原點時，設直線方程為+=1a≠0，

a-a

14

因為直線過點A1,4，所以-=1，

aa

得a=-3，此時直線方程為x-y+3=0．

故選：D．

法二易知直線斜率不存在或直線斜率為0時不符合題意．

設直線方程為y-4=kx-1k≠0，

4

則x=0時，y=4-k，y=0時，x=1-，

k

4

由題意知1-+4-k=0，

k

得k=4或k=1，即直線方程為y=4x或x-y+3=0．

故選：D．

y-6

24(2024·吉林白山·撫松縣第一中學校考模擬預測)對方程=2表示的圖形，下列敘述中

x+3

正確的是()

1

A.斜率為2的一條直線B.斜率為-的一條直線

2

1

C.斜率為2的一條直線，且除去點(-3,6)D.斜率為-的一條直線，且除去點(-3,6)

2

【答案】C

y-6

【解析】方程=2成立的條件知x≠-3，

x+3

當x≠-3時，方程變形為y-6=2x+3，由直線方程的點斜式知它表示一條斜率為2的直線，

但要除去點(-3,6)，

故選：C

25(2024·全國·高三專題練習)經過點P(-1,0)且傾斜角為60°的直線的方程是()

A.3x-y-1=0B.3x-y+3=0

C.3x-y-3=0D.x-3y+1=0

【答案】B

【解析】由傾斜角為60°知，直線的斜率k=3，

因此，其直線方程為y-0=3(x+1)，即3x-y+3=0

故選：B

10LaoFan

1

26(2024·全國·高三專題練習)方程y=ax+a>0表示的直線可能是()

a

A.B.

C.D.

【答案】A

11

【解析】當a>0時，直線y=ax+的斜率a>0，該直線在y軸上的截距>0，

aa

故選：A．

27(2024·全國·高三專題練習)已知過定點直線kx-y+4-k=0在兩坐標軸上的截距都是正

值，且截距之和最小，則直線的方程為()

A.x-2y-7=0B.x-2y+7=0C.2x+y-6=0D.x+2y-6=0

【答案】C

【解析】直線kx-y+4-k=0可變為kx-1-y+4=0，所以過定點P1,4，又因為直線kx-

y+4-k=0在兩坐標軸上的截距都是正值，可知k<0，

令x=0，y=4-k，所以直線與y軸的交點為A0,4-k，

44

令y=0，x=1-，所以直線與x軸的交點為B1-,0，

kk

44

所以4-k+1-=5+-k+-≥5+2-k?-4=5+4=9，

kkk

4

當且僅當-k=-即k=-2時取等，所以此時直線為：2x+y-6=0．

k

故選：C．

ac

28(2024·全國·高三專題練習)若直線l的方程y=-x-中，ab>0，ac<0，則此直線必不

bb

經過()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

ac

【解析】由y=-x-，ab>0，ac<0，

bb

ac

知直線斜率k=-<0，在y軸上截距為->0，

bb

所以此直線必不經過第三象限．

故選：C

29(2024·全國·高三專題練習)已知直線l的傾斜角為60°，且l在y軸上的截距為-1，則直線l的

方程為()

33

A.y=-x-1B.y=-x+1C.y=3x-1D.y=3x+1

33

LaoFan11

【答案】C

【解析】因為直線l的傾斜角為60°，所以直線l的斜率k=tan60°=3，

又直線l在y軸上的截距為-1，所以直線l的方程為y=3x-1；

故選：C

【解題方法總結】

要重點掌握直線方程的特征值(主要指斜率、截距)等問題；熟練地掌握和應用直線方程的幾種形

式，尤其是點斜式、斜截式和一般式．

考點5:直線與坐標軸圍成的三角形問題

30(2024·全國·高三專題練習)若一條直線經過點A-2,2，并且與兩坐標軸圍成的三角形面積

為1，則此直線的方程為．

【答案】x+2y-2=0或2x+y+2=0

【解析】由題意可知該直線不經過原點，且存在斜率且不為零，

xy

所以設直線方程為+=1，因為該直線過點A-2,2，

ab

-22

所以有+=1?2a-2b=ab，

ab

因為該直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為1，

1

所以有ab=1?ab=2，或ab=-2，

2

當ab=2時，2a-2b=2?a=b+1?bb+1=2?b=1，或b=-2，

xy

當b=1時，a=2，此時方程為：+=1?x+2y-2=0，

21

xy

當b=-2時，a=-1，此時方程為：+=1?2x+y+2=0，

-1-2

當ab=-2時，2a-2b=-2?a=b-1?bb-1=-2?b∈?，

故答案為：x