2026高中數學10大導數：專題10 含參函數的極值、最值討論(學生版)

專題10含參函數的極值、最值討論

考點一含參函數的極值

【例題選講】

1

[例1]設a＞0，函數f(x)＝x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．

2

(1)若曲線y＝f(x)在(2，f(2))處的切線與直線y＝－x＋1垂直，求切線方程．

(2)求函數f(x)的極值．

[例2]已知函數f(x)＝lnx－ax(a∈R)．

1

(1)當a＝時，求f(x)的極值；

2

(2)討論函數f(x)在定義域內極值點的個數．

3

[例3]設f(x)＝xlnx－ax2＋(3a－1)x．

2

(1)若g(x)＝f′(x)在[1，2]上單調，求a的取值范圍；

(2)已知f(x)在x＝1處取得極小值，求a的取值范圍．

[例4](2016·山東)設f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R．

(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的單調區間；

(2)已知f(x)在x＝1處取得極大值，求實數a的取值范圍．

a

x－1－

[例5]已知函數f(x)＝6ex＋1，其中e＝2.718…為自然對數的底數，常數a>0．

(1)求函數f(x)在區間(0，＋∞)上的零點個數；

(2)函數F(x)的導數F′(x)＝(ex－a)f(x)，是否存在無數個a∈(1，4)，使得lna為函數F(x)的極大值點？

請說明理由．

【對點訓練】

1

1．已知函數f(x)＝lnx－ax2＋x，a∈R.

2

(1)當a＝0時，求曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；

(2)令g(x)＝f(x)－(ax－1)，求函數g(x)的極值．

2．設函數f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex．

(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行，求a；

(2)若f(x)在x＝2處取得極小值，求a的取值范圍．

a

3．已知函數f(x)＝x2－3x＋．

x

(1)若a＝4，討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有3個極值點，求實數a的取值范圍．

4．已知函數f(x)＝ax－x2－lnx(a∈R)．

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)若函數f(x)存在極值，且這些極值的和大于5＋ln2，求實數a的取值范圍．

5．(2018·全國Ⅲ)已知函數f(x)＝(2＋x＋ax2)·ln(1＋x)－2x．

(1)若a＝0，證明：當－1<x<0時，f(x)<0；當x>0時，f(x)>0．

(2)若x＝0是f(x)的極大值點，求a．

考點二含參函數的最值

【例題選講】

[例1]已知函數f(x)＝lnx－ax(a∈R)．

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)當a＞0時，求函數f(x)在[1，2]上的最小值．

[例2]已知函數f(x)＝ax2＋(1－2a)x－lnx.

(1)當a>0時，求函數f(x)的單調遞增區間；

1

，1

(2)當a<0時，求函數f(x)在2上的最小值．

lnx

[例3]已知函數f(x)＝－1．

x

(1)求函數f(x)的單調區間及極值；

(2)設m>0，求函數f(x)在區間[m，2m]上的最大值．

1a

mlnxf(x)－－

[例4]已知函數f(x)＝＋n，g(x)＝x2x2(m，n，a∈R)，且曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的

x

切線方程為y＝x－1.

(1)求實數m，n的值及函數f(x)的最大值；

1

－e，

(2)當a∈e時，記函數g(x)的最小值為b，求b的取值范圍．

[例5](2019·全國Ⅲ)已知函數f(x)＝2x3－ax2＋b．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)是否存在a，b，使得f(x)在區間[0，1]的最小值為－1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；

若不存在，說明理由．

【對點訓練】

1．已知函數g(x)＝alnx＋x2－(a＋2)x(a∈R)．

(1)若a＝1，求g(x)在區間[1，e]上的最大值；

(2)求g(x)在區間[1，e]上的最小值h(a)．

2．已知函數f(x)＝(x－a)ex(a∈R)．

(1)當a＝2時，求函數f(x)的圖象在x＝0處的切線方程；

(2)求函數f(x)在區間[1，2]上的最小值．

3．已知函數f(x)＝ax－lnx，F(x)＝ex＋ax，其中x>0，a<0．

(1)若f(x)和F(x)在區間(0，ln3)上具有相同的單調性，求實數a的取值范圍；

1

－∞，－－

(2)若a∈e2，且函數g(x)＝xeax1－2ax＋f(x)的最小值為M，求M的最小值．

4．已知函數f(x)＝ax＋lnx，其中a為常數．

(1)當a＝－1時，求f(x)的最大值；

(2)若f(x)在區間(0，e]上的最大值為－3，求a的值．

5．已知函數f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx，其中a∈R．

(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)當a>0時，若f(x)在區間[1，e]上的最小值為－2，求a的取值范圍．

考點三含參函數的極值與最值的綜合問題

【例題選講】

ex1

[例1]已知函數f(x)＝，其中a為正實數，x＝是f(x)的一個極值點．

1＋ax22

(1)求a的值；

1

(2)當b>時，求函數f(x)在[b，＋∞)上的最小值．

2

[例2]已知函數f(x)＝aln(x＋b)－x．

(1)若a＝1，b＝0，求f(x)的最大值；

(2)當b>0時，討論f(x)極值點的個數．

－

[例3]設函數f(x)＝ax＋ex(a＞1)．

(1)求證：f(x)有極值；

(2)若x＝x0時f(x)取得極值，且對任意正整數a都有x0∈(m，n)，其中m，n∈Z，求n－m的最小值．

1

[例4]已知函數f(x)＝alnx＋(a＞0)．

x

(1)求函數f(x)的單調區間和極值；

(2)是否存在實數a，使得函數f(x)在[1，e]上的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明

理由．

x2

[例5]已知函數f(x)＝(ax－1)lnx＋．

2

(1)若a＝2，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線l的方程；

(2)設函數g(x)＝f′(x)有兩個極值點x1，x2，其中x1∈(0，e]，求g(x1)－g(x2)的最小值．

x2

[例6]已知函數g(x)＝＋x＋lnx．

2

(1)若函數g′(x)≥a恒成立，求實數a的取值范圍；

(2)函數f(x)＝g(x)－mx，若f(x)存在單調遞減區間，求實數m的取值范圍；

7

(3)設x1，x2(x1＜x2)是函數f(x)的兩個極值點，若m≥，求f(x1)－f(x2)的最小值．

2

【對點訓練】

1．已知函數f(x)＝xlnx．

(1)求函數f(x)的極值點；

(2)設函數g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函數g(x)在區間(0，e]上的最小值(其中e為自然對數的底

數)．

－x3＋x2，x<1，

2．已知函數f(x)＝

alnx，x≥1.

(1)求f(x)在區間(－∞，1)上的極小值和極大值；

(2)求f(x)在[－1，e](e為自然對數的底數)上的最大值．

3．已知函數f(x)＝alnx＋x2－ax(a∈R)．

(1)若x＝3是f(x)的極值點，求f(x)的單調區間；

(2)求g(x)＝f(x)－2x在區間[1，e]上的最小值h(a)．

4．已知常數a≠0，f(x)＝alnx＋2x．

(1)當a＝－4時，求f(x)的極值；

(2)當f(x)的最小值不小于－a時，求實數a的取值范圍．

5．已知函數f(x)＝asinx＋sin2x，a∈R．

π

0，

(1)若f(x)在2上有極值點，求a的取值范圍；

2π