中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《角平分線的判定與性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷（含答案）

中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《角平分線的判定與性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷（含

答案）專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

考點(diǎn)一角平分線的判定與性質(zhì)

例1.（2026?江蘇連云港?二模）如圖，四邊形A8CO是矩形tanNC8D=；,AC,8。交于點(diǎn)0,DE平分NBDC,

根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，若CE=4,則。/的長(zhǎng)是（）

A.8B.2x/10+2C.3x/5+2D.12

例2.（2026?湖南岳陽(yáng)?二模）如圖，在中，ZC=90°,以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交AB,AC

于點(diǎn)D,E,再分別以點(diǎn)。，E為圓心，大于goE為半徑畫(huà)弧.兩弧在N84C內(nèi)相交于點(diǎn)八作射線A尸交邊8C

于點(diǎn)G,若CG=4,下列結(jié)論正確的是（）

B.AC=BG

C.點(diǎn)G到AB的距離為4D./8=30。

例3.（2026?江蘇蘇州?一模）如圖，在VA4c中ZBAC=90°,8。平分/ABC,AC=10且AD:0C=2:3,貝ij8C

的長(zhǎng)為（）

A.15B.46C.16D.6>/5

例4.（2026?河南許昌?二模）如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角Na與“滿(mǎn)足2a+Q=90。，那么，我們將這樣的三角形稱(chēng)為

“準(zhǔn)互余三角形如圖，在VABC中已知NC=90。BC=3AC=4點(diǎn)。在AC邊上連接80.如果△A8O

第1頁(yè)共32頁(yè)

為“準(zhǔn)互余三角形”那么線段AO的長(zhǎng)為

例5.（2026?四川成都?二模）如圖在“磁中。。是NAC8的立分線在0c的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E連接AE

BE已知NC4E+NC8E=ZAEC=45。=AC=y則8c的長(zhǎng).

例6.（2026?四川成都?二模）如圖在VA3C中ZBAC=90M為VA8C三條角平分線的交點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作

EFLAM分別交ABAC于點(diǎn)EFN為BC的中點(diǎn)連接MNBMCM若4W=4MB=2MC則。尸的

長(zhǎng)為MN的長(zhǎng)為.

變式L（2026?浙江杭州?一模）如圖點(diǎn)P是ZAO8的角平分線上一點(diǎn)PE±OA于點(diǎn)E點(diǎn)/是射線。8上任意

PFNPEC.PF<PED.PF4PE

變式2.（2026?山東臨沂?一模）如圖在VA8C中AB=\0AC=6S**=32.按如下步驟作圖:

①以點(diǎn)A為圓心以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)G交AC于點(diǎn)”再分別以點(diǎn)G"為圓心以大于gG”的

長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧兩弧在/B4C的內(nèi)部相交于點(diǎn)石作射線AE交8c邊于點(diǎn)。

第2頁(yè)共32頁(yè)

②分別以點(diǎn)4。為圓心以大于《月。的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧兩弧相交于點(diǎn)MN作直線交4。于點(diǎn)足則△越「

的面積為（）

A

A.2B.16.5C.12D.10

變式3.（2026?安徽蕪湖?二模）如圖在8c中NAC4=90。ZBAC=45°4。平分NZMC交BC于點(diǎn)、

D延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E使CE=C￡＞連接BE交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)廣則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AD=BEB.AB=AE

C.AB:BD=2五D.CD:BD=y/2:2

變式4.（2026?山西忻州?模擬預(yù)測(cè)）如圖在用48c中ZBAC=90°AB=5BC=13.點(diǎn)、D七分別在AC

BC邊上連接OENAED的平分線交線段AC于點(diǎn)/若CD=DE=5則線段"的長(zhǎng)為.

第3頁(yè)共32頁(yè)

變式5.（2026?湖北?二模）如圖V48C中CO平分/ACBDE；/AC交BC于點(diǎn)E若BC=7DE=3則BE

長(zhǎng)度為

變式6.（2026?云南大理?二模）如圖在VA8C中ZACB=90°以點(diǎn)8為圓心適當(dāng)長(zhǎng)為半徑面弧分別交網(wǎng)

BC于點(diǎn)MN再分別以點(diǎn)MN為圓心大于;MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧兩弧交于點(diǎn)P作射線AP交4。于點(diǎn)

。.若CO=4AB=13則△ABD的面積為.

第4頁(yè)共32頁(yè)

考點(diǎn)二垂直平分線的判定與性質(zhì)

例1.（2026?山東聊城?模擬預(yù)測(cè)）如圖矩形48c力中點(diǎn)E是邊4B的中點(diǎn)點(diǎn)尸是對(duì)角線AC的垂直平分線上的

一動(dòng)點(diǎn)若/W=1OAD=\2則A/+即的最小值是（）

A.2病B.13C.8D.4G

例2.（2026?內(nèi)蒙古通遼?模擬預(yù)測(cè)）如圖在VA3C中ZACA=90。.分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心大于;AC的長(zhǎng)

為半徑作弧兩弧相交于M，N兩點(diǎn)作直線MN.直線MN與A8相交于點(diǎn)。連接C。若AB=6則。。的長(zhǎng)

例3.（2026?湖北?二模）如圖點(diǎn)。在O±以點(diǎn)。為圓心適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧交弦AB于M，N兩點(diǎn)再分別以

點(diǎn)M和點(diǎn)N為圓心大于:MN的長(zhǎng)為半徑作弧兩弧在。。外相交于點(diǎn)P射線。P交。。于點(diǎn)C若

NBDC=25。則/AOC的度數(shù)是（）

A.25°B.30°C.45°D.50°

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例4.（2026?云南昆明?二模）如圖在VA4C中AB=2AC=3分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心大于;8C的長(zhǎng)為

半徑作弧兩弧相交于MN兩點(diǎn)作直線MN交AC于點(diǎn)。連接4。則△AB。的周長(zhǎng)為.

例5.（2026?江蘇南京一模）如圖在V44C中分別作N4BC的平分線和3C的垂直平分線相交于點(diǎn)。且點(diǎn)。

例6.（25.26九年級(jí)下?四川成都?階段檢測(cè)）如圖在VABC中AB=ACAB的垂直平分線交AB于點(diǎn)。交AC

于點(diǎn)E.已知的周長(zhǎng)為8AC-BC=2則48的長(zhǎng)是_________.

變式1.（2026?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）如圖在VABC中AC=1BC=\0AB邊的垂直平分線分別與48BC交

于點(diǎn)。E連接4E則ASCE的周長(zhǎng)為（）

A.17B.24C.26D.27

第6頁(yè)共32頁(yè)

變式2.（2026?天津?qū)幒?二模）如圖在VA4c中分別以點(diǎn)3C為圓心大于58c長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧兩弧交于點(diǎn)

MN作直線MN交邊AC于點(diǎn)。交邊BC于點(diǎn)E連接8。若CD=2CE則的大小為（）

B.110°C.120°D.130°

變式3.（2026?天津西青?一模）如圖在VA3。中BOAOAB以點(diǎn)A為圓心A8的長(zhǎng)為半徑作弧交3c于

點(diǎn)。再分別以點(diǎn)。和點(diǎn)。為圓心大于的長(zhǎng)為半徑作弧兩孤分別相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N作直線MN交AC于

點(diǎn)七交BC于點(diǎn)F.若BD=6DF=4VADE的周長(zhǎng)是15則V4BC的周長(zhǎng)為（）

變式4.（2026?湖南?模擬預(yù)測(cè)）如圖/歷=2分別以點(diǎn)AB為圓心A8長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧在A8兩側(cè)交于點(diǎn)C

D連接CD則CD的長(zhǎng)為

第7頁(yè)共32頁(yè)

變式5.（2026?遼寧鐵嶺?一模）如圖在VA4c中NAC3=90。AB=6分別以點(diǎn)AC為圓心以大于（AC

的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧兩弧相交于MN兩點(diǎn)作直線MN與斜邊AA交于點(diǎn)。與直角邊AC交于點(diǎn)E連接CO.則

線段C7）的長(zhǎng)為

變式6.（2026?河南鄭州?一模）如圖在矩形囚灰刀中Z4Cfi=60°5C=8點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一點(diǎn)將線段

”繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ點(diǎn)。在射線AB上當(dāng)PQ的垂直平分線MN經(jīng)過(guò)矩形一邊的中點(diǎn)時(shí)AP的長(zhǎng)

參考答案

例1.（2026?江蘇連云港?二模）如圖四邊形AB8是矩形tanZCBD=|ACRD交于點(diǎn)ODE平分NBDC

根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡若CE=4則。”的長(zhǎng)是（）

A.8B.2x/10+2C.3石+2D.12

【答案】B

【分析】過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)〃由角平分線性質(zhì)定理得硝=CE=4根據(jù)tan/C8O=*得BH=T2

0/73

求得8。=4屈+4再證明。戶(hù)是VA8C的中位線即可求解.

【詳解】解：如圖過(guò)點(diǎn)E作EH上BD于點(diǎn)H

四邊形A8CO是矩形

--?ZBCD-=ZABC=900AO=CO=BO=DO

第8頁(yè)共32頁(yè)

?DE平分NBDCEH1BD

??EH=CE=4

EH1

在Rt二5切中EH=4tanZCSD=—=-

BH3

???8H=12

在RtBK”中由勾股定理得8七=JBH?+EH?=7122+42=4而

?，.BC=BE+CE=4V10+4

由尺規(guī)作圖的痕跡知=NAC8

OF//BC

,AF_AO

~FB~~CO

'：AO=CO

??AF=BF

???點(diǎn)尸是A8的中點(diǎn)

。”是VA8c的中位線

OF=-BC=2x/10+2.

2

例2.（2026?湖南岳陽(yáng)?二模）如圖在中ZC=90°以點(diǎn)4為圓心適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧交ABAC

于點(diǎn)。E再分別以點(diǎn)。E為圓心大于為半徑畫(huà)弧?兩弧在N3AC內(nèi)相交于點(diǎn)尸作射線A尸交邊8C

于點(diǎn)G若CG=4下列結(jié)論正確的是（）

C.點(diǎn)G到A8的距離為4D.NB=30。

【答案】C

【詳解】解：由作圖得AG平分/8AC

?.CG=4

第9頁(yè)共32頁(yè)

???點(diǎn)G到A8的距離=CG=4故C正確

根據(jù)題氤無(wú)法得到NCAG=4AC=BGZfi=30°故ABD錯(cuò)誤.

例3.（2026?江蘇蘇州?一模）如圖在VA8C中ZBAC=90°8。平分NA8CAC=10且AD:DC=2:3則

BC的長(zhǎng)為（）

A.15B.4石C.16D.6x/5

【答案】D

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和勾股定理根據(jù)已知條件求出4。長(zhǎng)度再利用角平分線的性質(zhì)得到

A。與點(diǎn)。到AC的距離相等最后在此一ABC中根據(jù)勾股定理求得BC.

【詳解】解：?.4C=1OAD:DC=2:3

?933

/.AD=ACx-----=10x-=4DC=ACx—=10x-=6

2+352+35

如圖：過(guò)點(diǎn)O作8c邊上的高OE

則有OW±BC

Q4O平分/ABCZBAC=90°DF±BC

:.AD=DF

在用ABD^Rt中

AD=DF

BD=BD

RfaFBD(HL)

:.AB=BF

DF1BC

???在RaOFC中DC=6AD=DF=4

。尸2+FC?=DC2

.'.42+FC2=62

.?.尸C=2石

第10頁(yè)共32頁(yè)

?：AB=BF4c=10BC=BF+FC=BF+2后

在Rl.ABC中AB?+AC2=BC2

B/2+1()2=(B產(chǎn)+2逐丫

BF=4也

BC=BF+FC=4亞+2君=6幣.

例4.(2026?河南許昌?二模)如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角Na與勿滿(mǎn)足2a+/=90。那么我們將這樣的三角形稱(chēng)為

“準(zhǔn)互余三角形”.如圖在V4BC中已知NC=90。BC=3AC=4點(diǎn)。在AC邊上連接BO.如果△A8O

為“準(zhǔn)互余三角形”那么線段4。的長(zhǎng)為.

【分析】作DW1A8于點(diǎn)M設(shè)AZ)=x則DC=AC—4O=4—x根據(jù)題意分類(lèi)討論當(dāng)NX+2N44Q=90。

時(shí)易得8。平分/AAC根據(jù)角平分線的性質(zhì)和/A的正弦值列出方程求解即可當(dāng)244+440=90。時(shí)

易得NA=N/)8C根據(jù)-A的正切值列出方程求解即可.

【詳解】解：如圖過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)M

設(shè)AO=x貝iJ/)C=AC-AD=4-x

???在V/IBC中ZC=9008c=3AC=4

???AB=>/AC2+BC2=V32+42=5

..BC3BC3

則nsinAA==—tanAA==—

AB5AC4

△A8。為“準(zhǔn)互余三角形”

ZA+2Z4BD=90°^2ZA+Z4BD=90°

當(dāng)NA+2ZA8O=90。時(shí)

?；ZA+ZABD+ZDBC-90°

第11頁(yè)共32頁(yè)

??.NABD=NDBC即BD平分NABC

DM上ABZC=90°

DM=DC=4-x

在RtZkAMO中sinA=—=-即50M=3AO

AD5

貝i」5（4-x）=3x

解得戶(hù)g

當(dāng)2NA+ZABO=90。時(shí)

'：ZA+ZABD+ADBC=90°

??.ZA=ZDBC

+生DC3

在Rt△BCZ?中tanA4=-----——

BC4

綜上所述線段A。的長(zhǎng)為T(mén)或

例5.（2026?四川成都?二模）如圖在△AC4中CQ是/AC8的立分線在0c的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)七連接AE

BE已知NC4E+NCAE=ZAEC=45。tanzfCTE=-AC=—?jiǎng)t3C的長(zhǎng)__________.

127

【答案】

119

TT

【分析】作出輔助線得到.SHE為等腰直角三角形由此可得NC4”=NC8E再利用正切值以及勾股定理可求

解八H與"C的長(zhǎng)度再由等腰可得，￡二八"由此可得CE=5再由三角形三切的關(guān)系設(shè)CM=5x再利用

角的關(guān)系得到NC8M=NC8E結(jié)合三角形面積得到邊的比例可解得砥=12利用勾股定理求解文的值由此

可解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作A，_LED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作AM_LCO過(guò)點(diǎn)C作CN_LBE如圖

第12頁(yè)共32頁(yè)

A

B

?：AH工EDZAEC=45°

??.A/花為等腰直角三角形

ZEAH=45°即ZC4E+ZC4/7=45°

vZC4E+ZCBE=45o

ZCAH=NCBE則tanZCAH=tan/CBE=卷

在Rt^AHC中tanZC4/7=—=—

AH12

^HC=—AHKAC=—

127

在Rt：.AHC中A"?+HC2=4C2

即+=（竺］解得4H=的

112））7

56025

則，C=—AH=—X—=一

121277

：.HE=AH=—

7

..CE=HE-HC=AH-HC==5

77

???CO是/ACA的平分線

ZACH=NBCM

67C

在Rt.AHC中tanZACH=--=

HC275

在RJBCM中則tan/BCM=—=—

CM5

設(shè)CM=5x則8M=12x

2222

在Rt^AHC中BC=VCM+BM=>/（5X）+（12X）=I3X

???Z4C，=NBCM

在Rt..AHC中ZACH+ZCAH=90°

在Ri一BCM中/BCM+NCBM=90°

第13頁(yè)共32頁(yè)

：-4CAH=4CBM

乙CBM=ZCBE

??.8C為NEBM的角分線

:BM上CDCNA.BE

:.CM=CN

c—xBMxCM.

..SBCM:2JMDx

sKELXBEXCNBE

2

c—xCMxBM廠&〃

又...L^L=2=CM

SscELXCEXBMCE

2

CMBMniI5x12x

CEBE5BE

解得BE=12

?:ME=CMiCE=5x\5

在Rt-BME中BM?+ME?=BE2

則（12X『+（5X+5）2=I22

即169W+50x-119=0可得（169x—119）（x+l）=0

1|Q

解得x=￥（負(fù)值舍掉）

169

…廠口119119

故BC=13x——=——.

16913

例6.（2026?四川成都?二模）如圖在VABC中ZBAC=90M為VA8C三條角平分線的交點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作

EFLAM分別交48AC于點(diǎn)EFN為BC的中點(diǎn)連接MNBMCM若AM=4MB=2MC則C尸的

長(zhǎng)為.MN的長(zhǎng)為

【答案】2Vl7

【分析】根據(jù)兩角分別相等證明BEM-MFC利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例結(jié)合條件用8=和4W=4

計(jì)算出C尸的長(zhǎng)通過(guò)添加中點(diǎn)構(gòu)造中位線構(gòu)成新的直角三角形根據(jù)勾股定理求出MN的長(zhǎng).

【詳解】?/ZBAC=90M為VABC三條角平分線的交點(diǎn)

第14頁(yè)共32頁(yè)

/.NE4M=ZFAM=-NBAC=45O4MBe=-ZABCNMCB=-/ACB

222

VEF1/W

:.ZAME=ZAMF,=90°

：.ZAEM=ZAFM=45°

：.AM=ME=MF

QAM=4

AM=ME=MF=4

??Z4EM=ZA"=45。

NBEM=180°-ZAEM=180°-45°=135°

4CFM=180°-z^FM=i80°-45°=135°

.-.ZBEVf=ZCFW=135°

,、1

/BMC=180°-(NMBC+/MCB)=180。七NA8C+5NACB

=180°-3(180。-/船(7)=180°-450=1350

/./BMC=4BEM=ZCFM=135°

ZFMC=180-NBMC-NBME=180-NBEM-4BME=NEBM

BEMjMFC

.BEEM_MB

~MF~~FC~~CM

\MB=2MC

:.BE=2MF=8CF=-ME=2

2

連接8/取斯的中點(diǎn)?連接M?PN

則MP為AEBF的中位線PN為ABFC的中位線

MP//BEPM=-BE=4PNHCFPN=-CF=\

22

/ARF=/MPFZAFB=ZNPF

-.?NBAC=90

?./MPN=NMPF+/NPF=/ABF+ZAFB=180。-ZBAC=90

在用MPN中根據(jù)勾股定理得

MNDIPMRPN?=142+1=布?

第15頁(yè)共32頁(yè)

￡

W

S

變式1.（2026?浙江杭州?一模）如圖點(diǎn)P是乙408的角平分線上一點(diǎn)PE工OA于點(diǎn)、E點(diǎn)尸是射線。8上任意

PF>PEC.PF<PED.PFGPE

【答案】B

【分析】先結(jié)合角平分線的性質(zhì)得點(diǎn)。到OB的距離=律又因?yàn)榇咕€段最短得出爐之所即可作答.

【詳解】解：?.?點(diǎn)戶(hù)是NAO4的角平分線上一點(diǎn)PE_L0A于點(diǎn)E

:.點(diǎn)P到0B的距離=EP

???點(diǎn)F是射線。8上任意一點(diǎn)

??PFNPE.

變式2.（2026?山東臨沂?一模）如圖在VA4c中AB=\0AC=6S^ABC=32.按如下步驟作圖：

①以點(diǎn)A為圓心以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)孤交點(diǎn)G交AC于點(diǎn)、H再分別以點(diǎn)G〃為圓心以大于《GH的

長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧兩弧在NB4C的內(nèi)部相交于點(diǎn)E作射線AE交邊于點(diǎn)力

②分別以點(diǎn)A。為圓心以大于34。的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧兩孤相交于點(diǎn)MN作直線MN交4。于點(diǎn)足則

的面積為（）

A.2B.16.5C.12D.10

【答案】D

【分析】由①可知A。為N3AC的角平分線由②可知MN為A。的垂直平分線由角平分線的性質(zhì)得到點(diǎn)。到

A4的距高與點(diǎn)短到AC的距離相等則可推出'則可求出5八m二20再由線段的垂直平分線的性

?ACDHL3

第16頁(yè)共32頁(yè)

質(zhì)和三角形的中線平分三角形的面積可得答案.

【詳解】解：由①可知40為的角平分線

???點(diǎn)。到AB的距離與點(diǎn)D到AC的距離相等

設(shè)點(diǎn)。到A8的距離為〃

./=48jo=5

S,ACD1ACh4。63

2

S.ABC=SABD+SACD=32

?*,SABD=ABC=2。

J"?J

由②可知MN為人。的垂直平分線

:.DF=-AD

2

*，,sBDI.=5sABD=io.

變式3.（2026?安徽蕪湖?二模）如圖在R【Z\A8C中46=90。ZBAC=45°A。平分N8AC交BC于點(diǎn)、

D延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E使C￡=CO連接BE交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

C.AB:BD=26D.CD:BD=42:2

【答案】C

【分析】由NAC8=90。N84C=45。可知VABC為等腰直角三角形設(shè)AC=3C=〃.利用角平分線定理求出CO

與BD再用勾股定理分別計(jì)算AOBEAE的長(zhǎng)度及各比值即可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】解：?,48=90。ZI3AC=45°

.，人AC是等腰直角三角形

設(shè)AC=8C=a

/.AI3=dAC?+BC?=Oa4%=45°

平分NB4c

ZBAD=ZCAD=22.5°

???八。平分/R4C

第17頁(yè)共32頁(yè)

點(diǎn)D到AB的距離等于CD的長(zhǎng)

c4/?

SABD二

故由面積關(guān)系可知-^-=—BD

J△八CDACSACDCD

.變=空=回=夜

CDACa

BD=42CD

BD+CD=BC=a

:.CD（五+l）=a

CO=（&-1）〃BD=Q-啦）a

在RtZXACD中AD2=AC2+CD2=a2+（42-I）2a2=（4-242）a2

CE=CD={\[2-\]a

:.AE=AC+CE=a+（y/2-\）a=>/2a=AB

，選項(xiàng)B正確

在Rl-BCE中BE2=BC2+CE1=a2+?2（V2-I）2=（4-2夜）/

:,BE=AD

二?選項(xiàng)A正確

CD（夜一山_垃_1__也

BD~（2-V2）t?->/2（x/2-1）-x/2-2

：.CD:BD=y/2:2

選項(xiàng)D正確

,工薦Z:、心1工2上

BD（2-@aV2（V2-1）

二選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

變式4.（2026?山西忻州?模擬預(yù)測(cè)）如圖在中ZBAC=90°AB=5BC=T3.點(diǎn)、D七分別在AC

8C邊上連接。ENBED的平分線交線段AC十點(diǎn)/若CD=DE=5則線段A/的長(zhǎng)為.

12

【答案】

【分析】先利用勾股定理求出4C的長(zhǎng)通過(guò)作輔助線構(gòu)造相似三角形求出相關(guān)線段長(zhǎng)利用角平分線性質(zhì)得到點(diǎn)

第18頁(yè)共32頁(yè)

尸到OE和8c的距離相等最后結(jié)合等面積法建立方程求出。尸的長(zhǎng)進(jìn)而求得人尸.

【詳解】在RQA6C中N'SAC=90。A6=58c=13

由勾股定理得AC=^C2-AB2=>!i32-52=\2

如圖過(guò)點(diǎn)尸作F7/8C于點(diǎn)尸過(guò)點(diǎn)、F作FQjDE于點(diǎn)Q

■:EF斗，分NBEDFP1BCFQ1DE

：.FQ=FP

設(shè)DF=a貝I」CF=CD+DF=5+a

???NFPC=NBAC=90°/C=NC

:...CFSCBA

FPCF

ABBC

ABCF5（5+a）25+5〃

BC13----13

過(guò)點(diǎn)D作DHJ.BC于點(diǎn)H

?:CD=DE=5DHIBC

：.CH=EH=-CE

?：/DHC=NBAC=90。NC=NC

.kCDHsqBA

CHCD

ACBC

A-C----C--D---=1-2--x-5---=6-0---

1313

過(guò)點(diǎn)E作￡K工AC于點(diǎn)K

VNEKC=NBAC=90°ZC=NC

:.CEKsCBA

EKCE

.麗一正

第19頁(yè)共32頁(yè)

120

A4CE"瓦600

--sDEF=-DEFQ=-DFEK

25+5i1600

—x5x=-X4X---

2

解得：〃吟

.?.AF=AC-CD-DF=\2-5--=l--=—.

IIIIII

變式5.（2026?湖北?二模）如圖VA8C中。。平分NAC8。石〃AC交BC于點(diǎn)E若BC=7DE=3則踮

長(zhǎng)度為.

【答案】4

【分析】先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得到NC/）E=/ECO再根據(jù)等角對(duì)等邊得到。￡=。￡最后利

用線段的和差關(guān)系求解.

【詳解】解：?.8平分/AC8

:.NACD=NECD.

DE\AC

:.NCDE=NACD

:.NCDE=NECD

:.CE=DE.

DE=3

:.CE=3.

?.?BC=7

:.BE=BC-CE=7-3=4.

變式6.（2026?云南大理?二模）如圖在V/WC中248=90。以點(diǎn)A為圓心適當(dāng)長(zhǎng)為半徑面弧分別交班

BC于點(diǎn)MN再分別以點(diǎn)MN為圓心大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧兩弧交于點(diǎn)尸作射線8尸交AC于點(diǎn)

D.若CD=4A3=13則△A3。的面積為.

第20頁(yè)共32頁(yè)

A

【分析】根據(jù)作圖痕跡可得8。是NA8C的平分線過(guò)點(diǎn)。作小，人/于點(diǎn)E根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得

DE=CD=4利用三角形面枳公式即可求解.

【詳解】解：由作圖痕跡可知8。平分NA8C如圖過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)E.

/.DCLBC.

QAO平分/ABCDEJ.ABCD=4

:.DE=CD=4

:.S,l(l)=-2ABDE=-2x\3x4=26.

第21頁(yè)共32頁(yè)

考點(diǎn)二垂直平分線的判定與性質(zhì)

例1.（2026?山東聊城?模擬預(yù)測(cè)）如圖矩形48c力中點(diǎn)E是邊4B的中點(diǎn)點(diǎn)尸是對(duì)角線AC的垂直平分線上的

一動(dòng)點(diǎn)若/W=1OAD=\2則A/+即的最小值是（）

A.2相B.13C.8D.4G

【答案】B

【分析】連接bCE由線段垂直平分線的性質(zhì)可得A/從而可得"+EF=b+樣NCE再結(jié)合矩形

的性質(zhì)以及勾股定理計(jì)算即可得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖連接C/CE

???點(diǎn)/是對(duì)角線AC的垂直平分線上的一動(dòng)點(diǎn)

：.AF=CF

.-.AF+EF=CF+EF>CE

???四邊形ABC。為矩形

.-.BC=AD=\2?B90?

?:點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)

:.BE=-AB=5

2

-CE=SJBE2+8C2=13

??.AF+EF的最小值是13.

例2.（2026,內(nèi)蒙古通遼?模擬預(yù)測(cè)）如圖在VA4C中NAC4=90。.分別以點(diǎn)A和點(diǎn)。為圓心大于的長(zhǎng)

為半徑作弧兩弧相交于"，N兩點(diǎn)作直線MN.直線MN與AB相交于點(diǎn)Q連接CO若AB=6則C。的長(zhǎng)

是（）

第22頁(yè)共32頁(yè)

M

C

A.1.5B.2C.3D.6

【答案】C

【分析】由作圖過(guò)程可知MN是4c的垂直平分線由垂直平分線的性質(zhì)可得AO=C。由等邊對(duì)等先得出

ZA=Z4CD進(jìn)而證明NB=N8CD推出8可得CO是RlZsACB斜邊上的中線進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：由作圖過(guò)程可知MN是AC的垂直平分線

：.AD=CD

：.ZA=ZACD

???NAC8=90。

ZA+"=90°ZACD+/BCD=90°

：.4B=4BCD

:.BD=CD

AD=BD

:.CD是RtAACB斜邊上的中線

■:AB—6

CD=-AB=3.

2

例3.（2026?湖北?二模）如圖點(diǎn)。在上以點(diǎn)。為圓心適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧交弦A3于M,N兩點(diǎn)再分別以

點(diǎn)M和點(diǎn)N為圓心大于（MN的長(zhǎng)為半徑作弧兩弧在《。外相交于點(diǎn)"射線OP交于點(diǎn)C若

ABDC=25°則/AOC的度數(shù)是（）

A.25°B.30°C.45°D.50°

【答案】D

【分析】根據(jù)題意得知OP是線段MN'的垂直平分線得至命利用在同一個(gè)圓中等弧所對(duì)的圓心角相等

第23頁(yè)共32頁(yè)

同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半求解.

【詳解】解：如圖所示連接OS

由題意知：0P是線段MN的垂直平分線

"c=i；c

:.ZAOC=N80C,NBDC=-ZBOC

2

-：ZBDC=25°

例4.（2026?云南昆明?二模）如圖在VA8C中AB=2AC=3分別以點(diǎn)8和點(diǎn)C為圓心大于35c的長(zhǎng)為

半徑作弧兩弧相交于MN兩點(diǎn)作直線MV交AC于點(diǎn)。連接8。則的周長(zhǎng)為.

【分析】證明△A8Q的周長(zhǎng)=43+AC即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：由作圖可知ON垂直平分線段CB

:.DB=DC

???△A8D的周長(zhǎng)=A5+AO+5Z）=A8+AO+OC=AB+4c=2+3=5.

例5.（2026?江蘇南京?一模）如圖在VA8C中分別作/A8C的平分線和BC的垂直平分線相交于點(diǎn)。且點(diǎn)。

在AC邊上.若AO=2CD=4則8C=.

第24頁(yè)共32頁(yè)

【答案】4G

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得〃?=DC=4/DRC=/C結(jié)合角平分線的定義可得利

用兩角對(duì)應(yīng)相等證明根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程求解即可.

【詳解】解：???點(diǎn)。在8C的垂直平分線上

；.DB=DC=44DBC=/C

Q8。平分/ABC

：.ZABD=ZDBC

ZABD二，C

又ZA=ZA

ABD^.ACB

ABADBD

~AC~~AB~~CB

?.?AD=2CD=4

AC=AZ）+CO=2+4=6

ABAD“，，

由K=F■得■=AOAC=2x6=12

ACAB

vAB>0

AB=4v2=2yl3

迎二四二二亞

CBACBC6

...g華=46.

275

例6.（25?26九年級(jí)下?四川成都?階段檢測(cè)）如圖在VA3C中AB=AC48的垂直平分線交A5丁點(diǎn)。交AC

于點(diǎn)E.已知aBCE的周長(zhǎng)為8AC-BC=2則A8的長(zhǎng)是__________.

第25頁(yè)共32頁(yè)

A

【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=8￡結(jié)合..BCE的周長(zhǎng)為8推出4C+8C=8結(jié)合4C—8C=2

即可求解.

【詳解】解：-DE垂直平分AB

???AE=BE

?「8CE的周長(zhǎng)為8

BE+CE+BC=AE+CE+BC=S即AC+8C=8

??,AC-BC=2

AB=AC=5.

變式1.（2026?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）如圖在VAAC中AC=7BC=1045邊的垂直平分線分別與A8BC交

于點(diǎn)。E連接AE則A4CE的周長(zhǎng)為（）

A

A.17B.24C.26D.27

【答案】A

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得A石=4石則△ACE的周長(zhǎng)=AE+Cf+4C=8E+CE+4C=8C+AC即可

求解.

【詳解】解：?.?QE-是AA功的垂直平分線

:.AE=BE

???△/48的周長(zhǎng)=4￡：+。￡：+4（7=8石+6￡+4。=8。+4。=10+7=17.

變式2.（2026?天津?qū)幒?二模）如圖在V48C中分別以點(diǎn)8C為圓心大于38。長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧兩弧交于點(diǎn)

MN作直線MN交邊AC于點(diǎn)。交邊BC于點(diǎn)E連接8/）若CD=2CE則NAPB的大小為（）

第26頁(yè)共32頁(yè)

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】C

【分析】根據(jù)題意中尺規(guī)作圖可知M/V是8C的垂直平分線從而B(niǎo)D=CD再由CO=2CE得到NC￡）E=30。

利用等接三角形三線合一的性質(zhì)得出/皿=60。從而利用補(bǔ)角的定義得出結(jié)果.

【詳解】由作圖痕跡可知MN為8c的垂直平分線

..BD=CDDELBC

:"BDE=/CDE

：CD=2CE

CF\

在Rt^CDE中sin/CDE=—=-

/.ZCDE=30°

；.NBDE=/CDE=3。。

.-.ZBZX7=6O°

二ZADB=180°-ZBDC=120°.

變式3.（2026?天津西青?一模）如圖在VA3C中BC>AC>AB以點(diǎn)4為圓心A8的長(zhǎng)為半徑作弧交3c于

點(diǎn)。再分別以點(diǎn)D和點(diǎn)。為圓心大于go。的長(zhǎng)為半徑作弧兩弧分別相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N作直線MN交AC于

DF=4VAOE的周長(zhǎng)是15則VA8C的周長(zhǎng)為（）

C.25D.29

【答案】D

【分析】AB=ADDE=CE通過(guò)同一個(gè)圓的半徑相等和垂直平分線的性質(zhì)運(yùn)用可得之后代換即可.

【詳解】解：由題意可得：ABfD,DE=CEDF=CF

第27頁(yè)共32頁(yè)

CABC=AB+BC+AC

=AD+（BD+CD）+（AE+CE）

=AD+BD+2DF+DE+AM

=（AO+AM+DE）+BD+2DF

=15+6+2x4

=29.

變式4.（2026?湖南?模擬預(yù)測(cè)）如圖AB=2分別以點(diǎn)AB為圓心A8長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧在A8兩側(cè)交于點(diǎn)C

D連接CO則。。的長(zhǎng)為.

【答案】26

【分析】連接ACICA。］。由作法得：AC=BC=AB=AD=BD=2且CO垂直平分A8再結(jié)合勾股定理可

得OC。。的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：如圖連接AC,ACADB。

由作法得：AC=BC=AB=AD=BD=2且CQ垂直平分45

:.A0=—AB=1

2

??。。=〃。2一°片=下＞

同理OD=6

:.CD=OD+OC=2>H.

變式5.（2026?遼寧鐵嶺?一模）如圖在VABC中NACB=90。AB=6分別以點(diǎn)4C為圓心以大于

2

的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧兩弧相交于MN兩點(diǎn)作直線與斜邊人8交于點(diǎn)。與直角邊4C交于點(diǎn)E連接。。.則

第28頁(yè)共32頁(yè)

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出44二。根據(jù)等腰二角形的性質(zhì)得出/八「力=/4根據(jù)余角的性質(zhì)得

出ZBCD=NB根據(jù)等腰三角形的判定得出C。=3力即可得出答案.

【詳解】解：由作圖步驟可知直線MN是線段AC的垂直平分線

???點(diǎn)。在AC的垂直平分線上

.-.AD=CD

.'.ZACD=ZA

又?.Z4C8=90。

.?."8=90。一NACO

vZB=90°-Z