蘇科版九年級《數(shù)學(xué)》上學(xué)期第二次月考培優(yōu)卷（測試范圍：第1章 一元二次方程~第7章 銳角三角函數(shù)）

九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考?培優(yōu)卷

【蘇科版】

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，滿分12分）

1.（24-25八年級上?遼寧大連?期末）若？=：（°。工0）成立，則下列等式一定成立的是（）

ba

Abclab公a+db+c-a+bc-d

A.-=-B.-=-C.——=——D.--=--

acdcbda-bc+d

【答案】A

【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)，分式的基本性質(zhì)，能夠靈活對一個比例式進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵.由

比例和分式的基本性質(zhì)，針對選項進(jìn)行各種演變，逐一判定即可.

【詳解】解：A、由已知得到e二士故選項符合題意；

ac

B、由己知得到Qd=bc,不能得到9=2,故選項不符合題意；

dc

C、由已知得到^=丹，不能得到e=哼，故選項不符合題意；

baba

D、由已知得到安二丹，不能得到匕?二=，故選項不符合題意；

a-bc-da-bc+d

故選：A.

2.（2025?四川成都?模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)、=/+2%+加的圖象經(jīng)過點4（1,6）,則下列說法錯誤的是

（）

A.m=3

B.函數(shù)圖象的對稱軸是直線％=-1

C.函數(shù)圖象與x軸有兩個交點

D.當(dāng)4>0時，y的值隨x值的增大而增大

【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點.把點4（1,6）代入函

數(shù)解析式，即可求出m的值，判斷A選項；根據(jù)二次函數(shù)的解析式可求出對稱軸，判斷B選項；求出A的

值，根據(jù)其正負(fù)性，判斷C選項，根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)為斷D選項.

【詳解】解：將4（1,6）代入、=%2+2%+血，

得1+2+m=6,

解得m=3,

故A選項正確，不符合題意：

二次函數(shù)y=x2+2x+機(jī)的圖象的對稱軸為直線x=-六=-1，

故B選項正確，不符合題意；

Vm=3,

???二次函數(shù)解析式為y=x2+2x+3,

A=22-4x1x3=-8<0,

???二次函數(shù)圖象與x軸沒有交點，

故C選項不正確，符合題意；

???二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線％=-1，

當(dāng)%>—1時，1y的值隨x值的增大而增大，

即當(dāng)%>0時，y的值隨x值的增大而增大，

故D選項正確，不符合題意.

故選：C

3.（25-26九年級上?山東青島?月考）如果關(guān)于工的一元二次方程a/+2%-1=0有兩個不相等的實數(shù)根,

則a的取值范圍是（）

A.a>—1B.a>—1C.a>—1且aHOD.a>一1且QH0

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，先根據(jù)定義確定a的約數(shù)條件，再利用判別式求

出范圍即可.

【詳解】?.?一元二次方程a/+2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

：,A=b2-4ac=22-4xax（-1）=4+4a>0

解得：Q>—1

?.?方程是一元二次方程，

二次項系數(shù)a豐0,

綜上所述，。>一1且。裝0.

故選：D.

4.如圖，△八。。的三個頂點均在正方形網(wǎng)格的格點上，貝han。的值為（）

【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵.

根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得答案.

【詳解】解：如圖：

故選D.

5.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，在正方形A8CD中，點E在8C邊上，且CE:5E=1:3,連接AE,過

點E作EF1AE,交CO于點F,連接力尸并延長交BC的延長線于點G,若CG=3,則正方形的邊AD長為

【答案】B

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)，相似三角

形的判定與性質(zhì).

根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=AB=BC/B=ABCD=90°,由CE:BE=1:3,可設(shè)CE=x,BC=3x,貝=

AB=BC=4%,證明△ABEECF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出CF=-x,證明△ABG-△FCG得到竺=

4BG

5求出X,即可求解.

【詳解】解：回四邊形A8G）是正方形，

AD=AB=BC/B=乙BCD=90°,

CE:BE=1:3,

設(shè)CE=x,BC=3%,則40=AB=BC=4x,

v乙B=90。,EF1AE,

Z.BAE+Z.AEB=90°,Z.AEB+LCEF=90°,

:.乙BAE=乙CEF,

由團(tuán)48=LECF=90°,

???△ABEs&ECF,

...竺二竺，即==更，

A3BE4*3X

???CF=4-x,

???Z.B=Z.FCG=90。，NG=乙G,

ABGsXFCG9

解得：x=F，

4

4D=4%=13,

故選：B.

6.如圖，四邊形4BC。是OO的內(nèi)接四邊形，AB=AD,對角線4C、8D相交于點E,G/7是直徑，14c于

點F/F=4B.若4E=a,則8JCD的值是（）

B.9a2C.12a2D.18a2

【答案】C

【分析】本題考查了圓的弦、弧、圓心角的關(guān)系，圓周角定理，用似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理等，熟

練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)在同圓中，等弦所對的弧相等可得筋=的，根據(jù)在同圓中，等弧所對的圓周角相等可得2力。8=

LACD=LACB,根據(jù)兩角分別相等的兩個三角形相似，相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得若=，，根據(jù)垂直

ADAC

于弦的直徑平分這條弦可得/尸=/<=3A。，推得"=24),即可得出4C=4a,EC=3a,根據(jù)在同圓中，

同弧所對的圓周角相等可得N80C=^BAC,根據(jù)兩角分別相等的兩個三角形相似，相似三角形的對應(yīng)邊成

比例可得*=《，即可求解.

/ICoC

【詳解】解：^AB=AD,

團(tuán)腦=和，

0Z.4DB=Z.ACD=Z-ACB,

0Z.D/4E=乙CAD,

IZ1AAED^△ADC,

津=也，

ADAC

團(tuán)G”為。。的直徑，GHLAC,

^AF=FC=-AC,

2

回48=AD,AF=AB.

團(tuán)力B=AD=AF,

團(tuán)4c=2AD,

贈=絲，，

ADAC2

團(tuán)AE=a,

貝必D=4B=2Q,AC=4a,

HEC=AC-AE=3Q,

甌=糜，

團(tuán)乙BDC=Z.BAC,

又巨乙AC8=/-ACD,

0ADEC-^△ABC?

啜噴，

團(tuán)BC?C。=4a?3a=12a2.

故選:C.

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，滿分20分)

7.(25-26九年級上?陜西?階段練習(xí))用配方法解方程/-6x-6=0時，配方后得到(％+a)2=b,則Q+

b=.

【答案】12

【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步驟是解題的關(guān)鍵.

先對/一6%-6=0配方，然后與(x+Q)2=b對?比求得4、人的值，最后代入求值即可.

【詳解】解：X2-6X-6=0,

x2-6x=6,

%2-6x+9=6+9,

0-3)2=is,

0(x+a)2=b,

0a=-3,b=15,

EIQ+b=-3+15=12.

故答案為:12.

8.一組2,2%,y,14中，平均數(shù)是12,唯一的眾數(shù)是14,則數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.

【答案】14

【分析】本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)的意義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)概念并應(yīng)用求解.先根據(jù)數(shù)

據(jù)的平均數(shù)為12,得出2x+y=32,再根據(jù)唯一眾數(shù)為14,得出2%=14或y=14,然后按照從小到大排

列即可得出答案.

【詳解】解：???數(shù)據(jù)2,2x,y,14的平均數(shù)是12,

二三七業(yè)=12,即2x+y=32,

???數(shù)據(jù)2,2x,y,14唯一的眾數(shù)是14,

:.2x=14或y=14,

當(dāng)2%=14時，y=18,將數(shù)據(jù)按照從小到大排列如下：2,14,14,18,得出中位數(shù)為：14：

當(dāng):y=14時，2%=18,將數(shù)據(jù)按照從小到大排列如下：2,14,14,18,得出中位數(shù)為：14；

故答案為：14.

9.(2025?江西九江?模擬預(yù)測)土特人現(xiàn)站在舞臺43的一端4處，在上持節(jié)H時，站在舞臺的黃金分割點

點C處方可獲得最佳美學(xué)效果（AC>BC）,若舞臺48長20米，則BC=—米.（別忽視括號內(nèi)的條件喲！）

【答案】（30-1075）

【分析】本題考查了黃金分割點的相關(guān)計算，以及一元一次方程的運用，熟記黃金分割比是解題關(guān)鍵.由黃

金分割比列方程解答即可.

【詳解】解：團(tuán)點C是舞臺A8的黃金分割點（4C>BC）,48=20米，

田依題意得，巧彩=亨，

解得BC=30-10V5.

故答案為：（30-10V5）.

10.（24-25九年級下?全國?期末）已知二次函數(shù)y=3/一2,當(dāng)一1WX44時，y的最小值為.

【答案】-2

【分析】本題考查二次函數(shù)求最值，根據(jù)二次函數(shù)的增減性進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：0y=3x2-2,

團(tuán)拋物線的開口向上，對稱軸為y軸，

回當(dāng)拋物線上的點離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，

0-1<x<4,

田當(dāng)％=0時，y有最小值為一2；

故答案為：一2

11.如圖，在△71BC中，718=4=120。,分別以點力和C為圓心，以大于的長度為半徑作弧，兩弧

相交于點P和點Q,作直線PQ分別交BC,力C點。和點￡,若CD=2,則的長為.

【答案】2V3

【分析】由4B=AC,〃=120。,可得出28="=30。,可知。E垂直平分心，在Rt/kOCE中,解直角三角形即

可求出.

【詳解】解：???AB=AC,乙A=120。，

NB="=30°,

由作法得DE垂直平分力C

在RtzxDCE中，

vCD=2,乙。=30°,

V3廠

:.CE=CD-cos30°=2x—=V3,

.'.AC=2V3,

AB=2V3.

故答案為：26.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性這些質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握這些性質(zhì)是

解此題的關(guān)鍵.

12.（2025?廣東汕頭?一模）如圖，在△ABC中，。是AC的中點，點F在8。上，連接AF并延長交BC于點E,

【答案】y

【分析】本題考杳平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

過點。作DHIIAE交BC于“，根據(jù)平行線分線段成比例定理推出B￡=2CE,計算即可.

【詳解】解：過點。作DHIIAE交BC于從

f]E一'DAf￡W—訪，

團(tuán)。是4c的中點，BFiFD=4:1,BC=10,

團(tuán)CD=DA,BF=4FD,

^CH=HE,BE=4EH,

團(tuán)=2CE,

010=BC=BE+CE=2CE+CE,

團(tuán)CE=

3

即CE的長為弓.

故選：Y,

13.（2025?寧夏銀川?一模）如圖，正五邊形4BCDE的邊長為2,分別以點。、D為圓心，CD長為半徑畫弧,

兩弧交于點F,連接CF,則28CF的度數(shù)為.

【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，正多邊形和圓，連接。兒由題意可知△CD尸為等邊三角形，得

到/FCD=60。，再根據(jù)五邊形為正五邊形，可得4BCD=108。，進(jìn)而根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解，

正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖,連接OF,

由題意得，CD=CF=DFt

0ACDF是等邊三角形，

0ZFCD=60°,

回五邊形力8CDE是正五邊形，

團(tuán)4BCO=（5-2）x1800+5=540°+5=108°,

團(tuán)4BCF=乙BCD-Z.FCD=108°-60°=48°,

故答案為：48°.

14.（2025?上海嘉定?二模）如圖，在正方形紙片SBC。中，點￡是邊AD的中點.將該紙片的右下角向上翻

折，使點C與點E重合，邊BC翻折至夕E的位置.，夕E與48交于點P,那么溫的值是

【答案】2

【分析】此題重點考查正方形的性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余、同角的余角相等、勾股定理、解直角三

角形等知識，推導(dǎo)出啜=器=:是解題的關(guān)鍵.

AEDF3

設(shè)D￡=m,因為四邊形A8CD是正方形，點E是邊AO的中點，所以AE=0E=m,AB=CD=AD=2m,

由翻折得NO'EF=4OCP=90°,EF=CF=2m-DF,可證明乙4EP=乙。/￡,由勾股定理得7n2+O尸2=

(2m-。產(chǎn)產(chǎn)，

求得。尸二色血，則喋=tan乙4EP=tanzDFE=生=：,求得AP=：m,貝iJPB=；m,所以喋=2,于是得

4AEDF333PB

到問題的答案.

【詳解】解：由題意可得如圖所示：

設(shè)。E=m,

團(tuán)四邊形48C0是正方形，點石是邊4。的中點，

0Z/1=乙BCD=Z.D=90°?AE=DE=m,AB=CD=AD=2m,

由翻折得4B'EF=乙BCF=90°,EF=CF=2m-DF,

^LAEP=Z.DFE=90°-乙DEF,

^DE2+DF2=EF2,

0m24-DF2=(2m-DF)2,

團(tuán)OF=-m,

4

=tanz.AEP=tanZ-DFE=—=

AEDF3

44

團(tuán)AP=-AE=-m,

33

42

團(tuán)PB=AB-AP=27n—m=-m,

33

畤=2，

故答案為：2.

15.(24-25九年級下?四川成都?階段練習(xí))點C為直線，i=-2%+3上的任意一點，以。為頂點的拋物線

y=x2+2bx+c與直線/的另一交點為。，則線段長的為.

【答案】2V5

【分析】首先設(shè)點。。九，-2m+3),再求出拋物線、="2+2心+。的頂點坐標(biāo)(一4。一62),由此可得出

b=-m,c=m2—2m+3,則拋物線的解析式為y=/-+TH?—2m+3,進(jìn)而再求出點。的坐標(biāo)

為(旭一2,-2巾+7),最后利用兩點間的距離公式即可求出CD的長.

【詳解】解：團(tuán)點C為直線y=—2%+3上的任意一點，

團(tuán)設(shè)點C的橫坐標(biāo)為〃?，則點C的縱坐標(biāo)為一2m+3,即：C(m,-2m+3),

22

回y=/+2t)x+c=(%+b)+c—b,

國拋物線y=/+2bx+c的頂點坐標(biāo)為(一b,c—b2>),

團(tuán)點。是拋物線y=x2+2bx+。的頂點坐標(biāo)，

0—b=m,c—b2=—2m+3,

@b=-m,c=m2—2m+3,

因拋物線的解析式為：y=x2-27nx+m2-2m+3,

將y=-2x+3代入上式得：-2x+3=x2-2mx+m2-2m+3,

整理得：x2-2mx+2x+m2-2m=0,

即：(x—m)2+2(%—m)=0,

團(tuán)(x-TH)(%-m+2)=0,

-TH=0或x-m+2=0,

ltl%-m=0解得：x=m,

[fax-m+2=0解得：x=m-2,

將x=TH代入y=-2x+3,得y=—2m+3,

將x=m-2代入y=-2x+3,得y=-2m+7,

團(tuán)點。的坐標(biāo)為0〃-2,—2m+7),

0CD=yj[m-(m-2)]2+[-2m4-3-(-2m4-7)]2=yj224-(-4)2=2瓜

故答案為：2A/5.

【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點坐標(biāo)，二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)等，熟練掌握求二次函數(shù)頂

點坐標(biāo)及一次函數(shù)與二次函數(shù)交點坐標(biāo)的方法是解答此題的關(guān)鍵.

16.如圖，中，^ACB=90°,匕4=30。，8C=6,點尸從4點出發(fā)沿48運動到點心連接PC,

作RtzkPQC,且NCPQ=30。，Z,Q=90°,連接8Q,則線段8Q的取值范圍是.

【答案】|V3<Z?Q<3V3

【分析】過點。作。71力8于點7；連接7Q,過點8作8H1QT于點”，，首先證明C,T,P,Q四點共圓,

推出NCTQ=々CPQ=30。，推出點Q的運動軌跡是射線TQ,求出BH,即是BQ的最小值，當(dāng)點尸與〃重合

時，BQ是最大值，從而可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過點C作于點。連接TQ.過點“作B//_LQT于點從

^AB=2BC=12,

0ZCQP=乙CTP=90°,

0C,T,P,Q四點共圓，

團(tuán)4CTQ=乙CPQ=30°,

團(tuán)點Q的運動軌跡是射線TQ,

⑦乙CBT=Z-ABCfZ.ACB=Z.CTB=90°,

0ABTCs〉BCA.

WC2=BT-BA,BP62=12BT,

團(tuán)BT=3,

^BTH=60°,

(3sin±BTH=器，

BT

=BT-sin60°=3x—=-V3,

22

團(tuán)當(dāng)點。與點〃重合時，BQ的值最小，最小值為|g；

如圖，點戶與8重合時，8Q的值最大，最大值為8Q=C7=3點,

0|V3<5(?<3V3,

故答案為：|V3<fiQ<3V3.

【點睛】本題考查了軌跡，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是分析出最短距離和最長距

離時三角形的位置.

三、解答題(本大題共11小題，滿分88分)

17.(7分)如圖，拋物線y=-./+雙+。交x軸于4(一1,0),8(2,0)兩點，與y軸交于點C.

⑴求此拋物線的解析式；

(2)已知P為拋物線y=-x2+bx^c(不與點8重合)上的一點，若點。關(guān)于x軸對稱的點P恰好在直線8C

上，求點。的坐標(biāo).

［答案］(l)y=-x2+x+2

(2)點P的坐標(biāo)為(-2,-4)

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式;

（2；先利用待定系數(shù)法求出直線8c的函數(shù)解析式y(tǒng)=-x+2,設(shè)點P'的坐標(biāo)為（。,一。+2）,由對稱可得點P

的坐標(biāo)為（a,a-2）,將其代入拋物線的解析式即可求解.

本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，軸對稱，解一元二次方程，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及關(guān)于％軸

對稱的點坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：將力（一1,0）,8（2,0）代入￥=—％2+8￥+5

ZU(-1-/J+C=0

1-4+2b+c=0'

解瞰黑，

拋物線的解析式為y=-%2+x-r2；

（2）解：設(shè)直線BC的解析式為y=/cx+m,

由（1）中y=-/+%+2得，點。的坐標(biāo)為（o,2）,

將B（2,0）,。（0,2）代入、=/^+山得，

（2k+m=0

Im=2

解得已==w-

團(tuán)直線8C的解析式為y=—x+2,

設(shè)點尸'的坐標(biāo)為（a,-a+2）,

回點P與點P'關(guān)于x軸對稱，

0點P的坐標(biāo)為（a,a-2）,

回點P在拋物線上，

???a—2=—a2+Q+2,

解得Qi=2,a2=-2,

又反點P不與點B重合，

.%a=—2,

Aa—2=—2—2=—4,

回點戶的坐標(biāo)為（一2,—4）.

18.（7分）（2025?寧夏?模擬預(yù)測）如圖，在網(wǎng)格中，點A,B,C,。都在格點上，用無刻度直尺作圖并

保留作圖痕跡.

A

⑴以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格中作A&BiG，且△力8c與△481C1的相似比為1:2.

⑵在線段8C上作點P,使2PC=P8.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析】本題考查了作圖一一位似變換，掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）延KA。至IJ4使041=20A,延長C。到G使。Cl=2C。,延長。。到使0。1=20。，則△431G滿足條

件；

（2）點B向右4格的點與點。向左2格點連接起來與8C交點即為點P,此時根據(jù)平行可得*=：=2,即得

至IJ2PC=PB.

【詳解】（1）解：如圖：△4B1G即為所求;

（2）解：如圖，點。即為所求.

19.（7分）（2025?江蘇蘇州?模擬預(yù)測）某中學(xué)積極落實國家“雙減〃教育政策，決定增設(shè)“禮儀〃“陶藝〃”園

藝〃"廚藝〃及"編程”等五門校本課程以提升課后服務(wù)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生全面健康發(fā)展.為優(yōu)化師資配備，學(xué)校

面向七年級參與課后服務(wù)的學(xué)生開展了“你選修哪門課程（要求必須選修一門且只能選修一門）？”的隨機(jī)問

卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

調(diào)查結(jié)果的條形統(tǒng)計圖調(diào)查結(jié)果的扇形統(tǒng)計圖

U禮儀陶藝園藝廚藝編程課程

請結(jié)合上述信息，解答下列問題：

⑴補全調(diào)查結(jié)果的條形統(tǒng)計圖：

⑵小剛和小強分別從五門校本課程中任選一門，請用列表法或畫樹狀圖法求出兩人恰好選到同一門課程的

概率.

【答案】⑴見解析；

配

【分析】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的信息識別，用樹狀圖或列表求概率，解決此題的關(guān)鍵是

正確的計算；

（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的信息得到總的人數(shù)，再根據(jù)圓心角的所占比例算出結(jié)果即可補全條形

統(tǒng)計圖；

（2）審清題意可知，列出樹狀圖得到結(jié)果即可；

【詳解】（1）解：由題意可得：

總的人數(shù)為：30+25%=120（人）

選廚藝的人數(shù)為：120x蕓=18（人）

360

選園藝的人數(shù)為；120-33-30-18-15=24（人）

調(diào)查結(jié)果的條形統(tǒng)計圖

禮儀陶藝園藝廚藝編程凜程

（2）解：把"禮儀〃”陶藝〃“園藝〃“廚藝〃及“編程〃等五門校本課程分別記為A,B,C,D,E,畫樹狀圖如下:

ABCDEABCDEABCDEABCDEABCDE

共有25種等可能的結(jié)果，其中小剛和小強兩人恰好選到同一門:果程的結(jié)果有5種，

因小剛和小強兩人恰好選到同一門課程的概率為卷=

20.（8分）（2024?安徽?二模）如圖，。0與的邊4。相切于點。，與邊力8交于點4,。為的中點,

⑴求證：48是。。的切線；

（2）若4/1。8=60。，CD=4,求△48。的面積.

【答案】（1）見解析

（2）473

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得乙。。4=40。。=90。，然后利用三線合一得出〃。8="0。，證明△

AOB=△AOD（SAS）,求出土0D4=WBA=90。即可；

（2）先根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出8。=\AC=CD=AD=4,再根據(jù)垂徑定理和勾股定理求出

AE,然后計算即可.

【詳解】（1）證明：連接0D,

04c是。。的切線，

^Z-ODA=Z.ODC=90。，

團(tuán)OB=OD,AO1BD,

團(tuán)乙1。8=Z-AOD,

又皿=0A,

同△4。/?三△40D(SAS),

^ODA=Z.OBA=90°,即48_L。8,

團(tuán)48是O0的切線；

(2)解：如圖，設(shè)。｛與80交于點E,

回乙ABC=90°,。為4C的中點，

團(tuán)8D=-AC=CD=AD=4,

2

團(tuán)AO1BD,

ME=2,

2

團(tuán)4E=yjAD2-DE2=V42-22=2存

團(tuán)SAABD=^BD-AE=Ix4x2>/3=4Vs.

【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，宜角三角形斜邊中

線的性質(zhì)，垂徑定理和勾股定理等知識點，靈活運用相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

21.(8分)(24-25八年級下?湖南長沙?期末)關(guān)于x的一元二次方程以2+以+。=0有兩個實數(shù)根分別

是小，x2(xt<x2),若%1，%2為整數(shù)，則稱(卬必)為"Deep"點.

(l)x2+5%+4=0_(填是或否)存在“Deep”點：

⑵若關(guān)于x的一元二次方程：/+以+。=0的"加即”點為(2,3),求仇c的值；

⑶關(guān)于A的一元二次方程/+2mx+m2+m=0是否存在一"Deep"點，且該點在直線y=-2x+2上，若

存在，求出團(tuán)的值，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)是

(2)b=-5,c=6

(3)存在，m=-l

【分析】本題考查解一元二次方程，一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖象上點的特征,

新定義及規(guī)律探究.

(1)先解一元二次方程，得到方程的兩個根，再根據(jù)"Deep"點的定義判斷即可：

(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得2+3=-從2x3=c,進(jìn)而可得答案：

(3)假設(shè)存在，根據(jù)題意A=(2m)2-4x1x(巾2+血)=N0,求出znW0；再根據(jù)修+不=一2巾,

2

xxx2=m+m,得到%=2+2m,x2=-2-4m,代入與g=m?+m化簡為97n2+137n+4=o,求出

小，檢驗是否符合題意即可.

【詳解】(1)解：由％2+5X+4=0,得(％+4)(X+1)=0,

團(tuán)工+4=0或％+1=0,

解得與=-4,x2=-1,

0-4,-1為整數(shù),

13(-4,-1)是“Deep"點,

故答案為：是：

(2)解：團(tuán)關(guān)于x的一元二次方程：/十以十。=0的“九印"點為(2,3),

024-3=-b,2X3=c,

故￡=-5,c=6；

(3)解：假設(shè)關(guān)于x的一元二次方程/+2mx+m2+m=0存在一"Deep"點，且該點在直線y=-2x+2上,

由+2mx+m2+m=0,

得A=(27TI)2-4x1x(m2+m)=-4m>0,

故m<0,

2

由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得%1+x2=-2m,xrx2=m+m,

0x2=-2zn—Xj,

ITDeep”點(與,％2)在直線V=-2x+2上，

0x2=-2xj+2,

(3—2%i+2=-2m—xx,

解得=2+2m,x2=-2—4m,

所以％i為2=(2+2m)(-2-4m)=m2+m,

整理得9/n2+13m+4=0,

解得77i=-1或m=-/

當(dāng)m=一1時，方程為公-2%=0,Xi=0,x2=2,"Deep"點坐標(biāo)為(0,2),符合;

當(dāng)m=時，/=2+2m=孩和%2=-2-4?九二一：不是整數(shù)解，舍去.

綜上，關(guān)于x的一元二次方程％2+2mx+m2+m=0存在一"Deep"點，且該點在直線y=-2x+2上，此

時m=-1.

22.（8分）（2024,江蘇宿遷?三模）某小區(qū)為了方便業(yè)主，新建一個電動自行車車棚（如圖1）,其側(cè)面的示

意圖如圖2所示，測得主立柱的一段為8=1.2m,支柱DE的底端D到4的距離4D=0.6m,頂棚9處到支柱底

端〃的水平距離〃"=1.4m,在6處分別測得七.處的仰角為5U。產(chǎn)處的仰角為26.5。

圖1圖2

⑴求支柱DE的高；

（2）求頂棚F處離地面的高度尸H.（參考數(shù)據(jù):sin50°?0.77,cos50°?0.64,tan50°?1.19,sin26.5°?0.45,

cos26.5°?0.89,tan26.5°?0.50,結(jié)果精確到0.1m）

【答案】⑴1.9m

（2）2.2m

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題,根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)

造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

（1）過點8作BM1OE,垂足為M,在RtAEBM中，求出EM即可解決問題；

（2）延長8M交rH與點N,可得BN1/H,在Rtar8/V中，求出FN即可解決問題.

【詳解】（1）解：過點8作8MlDE,垂足為M,

圖2

由題意可知，四邊形A8MZ）是矩形,

.?.BM=AD=0.6,DM=AB=1.2

在以△BEM中，

tan^MBE=—,

MB

:.ME=MB-tanzMfiF=0.6xtan50°?0.7,

-%DE=DM+ME=1.2+0.71?1.9,

???支柱DE的高為1.9m.

（2）延長AM交"”與點N,可得8N1NH,

圖2

由題意可知，四邊形DMN”是矩形，

???NH=MD=AB=1.2,

MN=DH=1.4.

BN=BM+MN=0.6+1.4=2,

在BNF中，

Lan乙NBF=—,

BN

:.FN=BN?tan4N8F=2xtan26.5°?1,

：.FH=FN+NH=1+1.2=2.2,

???頂棚尸處離地面的高度/H約為2.2m.

23.（8分）（2025?內(nèi)蒙古包頭?模擬預(yù)測）在圓內(nèi)接四邊形ABC。中，AC1BD,垂足為E.

⑴如圖1,若乙BAD=90。,求證：平分乙力DC；

⑵如圖2,若AB=6,CD=8,。尸是圓的直徑，連接CF,求。。的半徑.

【答案】（1）見解析

（2）5

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理的推論證明即可；

（2）連接/C,首先得至IMAE。=乙DCF=90°,然后得至Ij/ADB=“DF,推出蜴=CF,得至iJCF=AB=6,

然后利用勾股定理求解即可.

【詳解】（1）證明：^BAD=90°,

團(tuán)BD是。。的直徑，

團(tuán)4c1BD,

團(tuán)肪=8C,

回乙ADB=Z-CDB,

團(tuán)DB平分匕ADC；

（2）解：如圖2,連接PC,

圖2

團(tuán)。尸是0。的直徑，

團(tuán)乙DCF=90%

團(tuán)4c1BD,

^AED=Z.DCF=90°,

閉ND4E=zF,

團(tuán)N'OB=乙CDF,

團(tuán)/揖=CT,

0CF=AB=6,

配。=8,

WF=y/CD2+CF2=10,

團(tuán)OO的半徑是5.

【點睛】此題考查了垂徑定理的推論，90。角所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等，勾股定理等知

識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點.

24.(8分)(2025?陜西西安?模擬預(yù)測)春節(jié)將至，為營造節(jié)H氛圍，幸福小區(qū)物業(yè)準(zhǔn)備在小區(qū)主通道上

懸掛燈帶，通道兩側(cè)有立柱，物業(yè)在通道的上方拉了筆直的水平鋼絲，鋼絲兩邊固定在立柱上，懸掛的燈

帶為拋物線形，燈帶的最低點距離鋼絲4.5米.以鋼絲為x軸，左側(cè)立柱為)，軸，鋼絲與立柱的固定點為原

點建立直角坐標(biāo)系(如圖所示).

⑴小青設(shè)計的方案，把燈帶的一端固定在鋼絲與立柱的固定點。，另一端固定在鋼絲上的點A史，04=4米,

求出此時拋物線的表達(dá)式.

⑵小玲設(shè)計的方案，把燈帶的一端固定在鋼絲上的點B處，。8=6米，另一端固定在立柱上的。處，為了

美觀，燈帶的最低點和小青設(shè)計的相同(頂點相同)，求出。與C的距離.

【答案】⑴y=久》一27一4.5

8

【分析】該題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意設(shè)此時拋物線的表達(dá)式為y=a(x-2)2-45代入(0,0)求解即可.

(2)根據(jù)題意設(shè)此時拋物線的表達(dá)式為、=優(yōu)(“-2)2-45代入(6,0)求出解析式，再令％=0,即可求解.

【詳解】(1)解：團(tuán)04=4米，燈帶的最低點距離鋼絲4.5米，

13P(2,-45),

設(shè)此時拋物線的表達(dá)式為y=a(x—2)2—4.5,

將(0,0)代入得0=。(0—2)2—4.5,解得：-2,

a8

團(tuán)此時拋物線的表達(dá)式為y=^(x-2)2-4.5.

8

(2)解：團(tuán)。3=6米，燈帶的最低點和小青設(shè)計的相同(頂點相同)，

團(tuán)P(2,-4.5),8(6,0),

設(shè)此時拋物線的表達(dá)式為y=-2/一4.5,

9

將(6,0)代入得0=優(yōu)(6—2)2—4.5,解得:優(yōu)=-,

團(tuán)此時拋物線的表達(dá)式為y=^(x-2)2-4.5.

令％=0,則y=—(0—2)2—4.5=——?

328

團(tuán)。與C的距離是鄉(xiāng).

25.(8分)(2025?安徽合肥?一模)如圖，在AABC中，BD平分〃BC交AC于點D,點E在邊BC上，滿足

/.BAE=/,ACB.連接4E交8。于點入過點尸作尸G||8C交C。于點G.

(1)求證：AF=AD；

(2)求證：匕DFG八FBA：

⑶若8E=2EF,求號的值.

rG

【答案】(1)見解析；

(2)見解析；

再.

【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上內(nèi)

容是解題的關(guān)鍵.

(1;80平分445C,故4ABD=乙CBD,因為FGIIBC,則2FGA=乙ACB,由48AE=乙ACB,可得48AE=

^ACB=4尸GA,又乙AFD=乙BAE+/-ABD,^ADB=乙CBD+LACB,故ZAF。=^ADB,可得4尸=AD：

(2;由平行線的性質(zhì)可得4c8。=〃)FG,乙FGD=UCB,又8。平分乙48C,則有=證明

Z.ABD=Z.DFG,乙BAE=^FGD,即可得結(jié)論；

(3)證明即可得瞿=岑=；,又由(1)可得=4凡從而胃=：,由?△/84,可

HeHAZBAN

得名="=L

FGBA2

【詳解】(1)證明：回BD平分乙IBC,

^Z.ABD=乙CBD,

團(tuán)FGIIBC,

^LFGA=Z.ACB,

^Z.BAE=乙ACB,

^Z.BAE=乙ACB=乙FGA,

^￡AFD=LBAE+LABD,LADB=LCBD+Z.ACB,

134AFD=Z.ADB,

團(tuán)AF=AD；

（2）證明：MGIIBC,

血LCBD=乙DFG,Z-FGD=Z.ACB,

團(tuán)8D平分乙ABC,

0Z/WD=乙CBD,

^ABD=乙DFG,

^Z-BAE=Z.ACB,

0Z.ME=乙FGD,

（Z）ADFG—△FBA；

（3）解：^Z-BFE=Z.AFD=Z.ADF,Z.ABD=Z.EBD,

0ABEF—△BAD,

度=絲」

BEBA2

又由（1）可得力0=4F,

GL

BA2

由（2）知△CFG-LFBA,

FGBA2

26.（9分）（2025?廣東東莞?二模）某班課題學(xué)習(xí)小組對無蓋的紙杯進(jìn)行制作與探究，所要制作的紙杯如

圖1所示，規(guī)格要求是：杯口直徑4B=6cm,杯底直徑CO=4cm,杯壁母線4c=BD=6cm.請你解決

下列問題：

圖I圖2圖3圖4

⑴小顧同學(xué)先畫出了紙杯的惻面展開示意圖（如圖2,忽略拼接部分），得到圖形是圓環(huán)的一部分.

①圖2中弧EF的長為cm,弧MN的長為cm；

②要想準(zhǔn)確畫出紙杯側(cè)面的設(shè)計圖，需要確定弧MN所在圓的圓心。，如圖3所示.求弧MN所在圓的半徑r

及它所對的圓心角的度數(shù)n.

（2）小顧同學(xué)用正方形紙片一張，按如圖4所示的方式剪出這個紙杯的側(cè)面，求正方形紙片的邊長.

【答案】⑴①6m4n；②12,60。；

⑵正方形紙片的邊長為田誓cm.

【分析】（1）①直接根據(jù)圓的周長公式計算；

②設(shè)它所對的圓心角的度數(shù)為、根據(jù)弧長公式得到”的長=當(dāng)箸，MN的長=徐蕓，然后把它們相比即

可得到覆片二谿得黑=署=、加上°F=°N+6,可求得ON=12,再利用弧長公式得到甯=軌,

MNIHKONON47r2180

于是可求出n=60°；

（2）如圖4,連接E凡08,它們相交于點P,先證明△0E尸為等邊三侑形得到E/=OF=18,再證明RtaAOE空

RtACO/得到4E=CF,則BE=BF,于是可判斷0B垂直平分EF,所以PF=^EF=9，由勾股定理計算出

OP=082-92=9V3,P/B為等腰直角三角形和得到PB=PF=9,則。8=9^+9,然后根據(jù)正方

形的性質(zhì)得OC=號。8=筆些

【詳解】（1）解：①.??杯II圓的半徑為3cm.杯底圓的半徑為2cm,

:.跖=2x3萬=67rcm,At/V=2x2?r=4wcm,

故答案為6m4TT：

②證明：設(shè)它所對的圓心角的度數(shù)為n,

"的長=宣，幀v的長=曙，

訴⑺變些_OF

“"'MN的長一俞

OF6n3

ON47r2

而OF=ON+6,

解得ON=12,

即r=12,

7T7T12

因為=4萬，

180

解得？i=60°：

（2）解：如圖4,連接EF,OB,它們相交于點P,

圖4

?.?四邊形718。。為正方形，

二OA=OC,Z.OBC=45°,

?:乙OEF=60°,OE=OF,

??.△OEF為等邊三角形，

EF=OF=18,

在Rt^AOE和Rt/kCOF中，

(OE=OF

lOA=OC'

RtA/IOF=RtACOF(HL),

AE=CF,

???BE=BF,

OB垂直平分Er，

PF=-EF=9,

2

...OP=V182-92=9V3,

???△P/B為等腰直角三角形，

PB=PF=9,

OB=9V3+9,

..。“。8=史學(xué)