直線和圓的方程 全章十大基礎(chǔ)題型歸納（基礎(chǔ)篇）-人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)（解析版）

專題2.10直線和圓的方程全章十大基礎(chǔ)題型歸納(基礎(chǔ)篇)

【人教A版(2019)]

題型1卜求直線的傾斜角與斜率。|

1.(24-25高二上?上海?課后作業(yè))直線(1-a2)x+y+1=0的傾斜角的取值范圍是()

A?展)B.四

。[嗚)喏,n)D.[0,;]ug,^]

【解題思路】根據(jù)直線方程可得斜率，結(jié)合斜率與傾斜角之間的關(guān)系分析求解.

【解答過程】設(shè)(1-a2)x+y+1=0的傾斜角為aG[0,n),

由題意可知：直線的斜率k=a?一1之一1,

即tana>—1,且ae[0,n),所以a￡u玲

故選：C.

2.(23-24高二下.河北保定?開學(xué)考試)已知直線。的傾斜角比直線0：y=-%tan80。的傾斜角大20。，則匕的

斜率為()

A.-V3B.V3C.-yD.y

【解題思路】根據(jù)直線，2方程求出直線，2斜率為tan800=tanlCO%山此確定直線0傾斜角100°，結(jié)合已知

條件求得直線匕傾斜角為120。，由此即可求得直線。的斜率.

【解答過程】S-tan80°=tanlOO。得,的傾斜角為100°，

所以。的傾斜角為120。，即匕的斜率為tanl2(T=-百.

故選:A.

3.(23-24高二上.河南南陽?階段練習(xí))已知直線I過點(diǎn)A(2m,3),8(2,-1).

(1)若直線I的傾斜角為45°,求實(shí)數(shù)m的值；

(2)若直線，的傾斜角為鈍角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)斜率公式和斜率為傾斜角的正切值可得.

(2)傾斜角為鈍角時(shí)，斜率小于0,再利用斜率公式可得.

【解答過程】(1)由題意得曰W=tan45，=l,得m=3.

(2)由題意得普去vo,得mvl,

故實(shí)數(shù)771的取值范圍為(一8,1).

4.(23-24高二.全國.課后作業(yè))己知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)力(一1,1),5(1,1),C(2,V3+1).

(1)求直線AB,BC,AC的斜率和傾斜角;

(2)若。為44BC的邊上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CD的斜率的取值范圍.

【解題思路】(1)由斜率公式計(jì)算出斜率，然后可得傾斜角；

(2)根據(jù)。點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，直線CD夾在直線&4和直線CB之間，運(yùn)動(dòng)時(shí)CD不可能與工軸垂直，由此可得斜率范

圍.

【解答過程】⑴解:因?yàn)?(一1,1),8(1,1),C(2,V3+1),

由斜率公式，可得心夕=點(diǎn)4=0,kBC=";]=如,kAc=累;;=與

再由直線傾斜角的定義得：

直線48的傾斜角為0°,直線8c的傾斜角為60°,直線AC的傾斜角為30°.

(2)如圖所示，當(dāng)直線CD由CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針轉(zhuǎn)到CB時(shí)，直線CD與線段48恒有交點(diǎn)，

即D在線段4B上，此時(shí)C。的斜率k由夠c增大到岫c，

題型2直線方程的求解

1.(23-24高二下?貴州?階段練習(xí))已知直線/傾斜角的余弦值為-?，且經(jīng)過點(diǎn)(2,1),則直線/的方程為

()

A.2x+y-5=OB.2x—y-3=0C.x-2y=0D.x+2y-4=0

【解題思路】根據(jù)題意利用同角三角關(guān)系可得直線/的斜率k=-2,結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程運(yùn)算求解.

【解答過程】設(shè)直線/的傾斜角為。6[0,71),則cos。=-咚,可得sin。=V1-cos20=空,

則直線/的斜率k=tan。==—2

COS0

且直線/經(jīng)過點(diǎn)(2,1),

所以直線I的方程為y-l=-2(x-2),即2%+y—5=0.

故選：A.

2.(23-24高二上?全國?課后作業(yè))已知直線，的傾斜角為60。，且在y軸上的截距為-4,則直線I的一般式方

程是()

A.x—V3y—4=0B.x—V3y+4=0

C.V3x—y+4=0D.V3x—y-4=0

【解題思路】由斜截式方程求解艮」可.

【解答過程】由直線的傾斜角可得直線的斜率k=tan600=百，

所以直線的方程為y=6%-4,即直線的一般方程為：V3x-y-4=0.

故選:D.

3.(2024高二上.全國?專題練習(xí))根據(jù)下列條件求直線的一般式方程.

(1)直線的斜率為2,且經(jīng)過點(diǎn)4(1,3)；

(2)斜率為百，且在y軸上的截距為4；

(3)經(jīng)過兩點(diǎn)4(2,-3),8(—1,一5)；

(4)在軸上的截距分別為2,-4.

【解題思路】(1)先由點(diǎn)斜式求方程，再化為一般式；

(2)先求斜截式方程，再化為一般式；

(3)先求直線的兩點(diǎn)式方程，再化為一般式；

(4)先求直線的截距式方程，再化為一般式.

【解答過程】(I)因?yàn)閗=2,且經(jīng)過點(diǎn)4(1,3),

由直線的點(diǎn)斜式方程可得y-3=2(%-1),

整理可得直線的一般式方程為2x-y+1=0.

(2)由直線的斜率k=且在y軸上的截距為4

得直線的斜截式方程為y=V3x+4.

整理可得直線的一般式方程為百x-y+4=0.

(3)由直線的兩點(diǎn)式方程可得需=三，

—5+3-1—Z

整理得直線的一般式方程為2%-3y-13=0

(4)由直線的截距式方程可得3+4=1,

Z—4

整理得直線的一般式方程為2%-y-4=0.

4.(23-24高二下?上海?階段練習(xí))已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為4(0,2),Z?(4,-1),C(4,6).求：

(1)AC邊的中線所在直線L的方程；

(2)8。邊的中垂線所在的直線，2的方程.

【解題思路】(1)求出4c的中點(diǎn)。的坐標(biāo)，即可求出心"再由點(diǎn)斜式求出直線方程；

(2)首先可知直線BC的方程，且線段BC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而得到8C邊的中垂線所在的直線的方程.

【脩答過程】(1)因?yàn)?(0,2),B(4,-l),C(4,6),

所以4C的中點(diǎn)0(2,4),所以岫D=會(huì)=一1

4-Z2

則4C邊的中線所在直線4的方程為y-4=-|(x-2),即5x+2y-18=0；

(2)因?yàn)橹本€的方程為x=4,且線段BC的中點(diǎn)E(4,§,

所以BC邊的中垂線所在的直線%的方程為'=p即2y-5=0.

1.(23-24高二上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?階段練習(xí))直線人:3%-4y+5=0與%：4%-3y-g=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(2,3)B.0,3)C.(3,JD.泊

【解題思路】聯(lián)立方程組可解得答案.

(3x-4v+5=0(y--

【解答過程】聯(lián)立方程組4；1解得“一3,

(4x-3y--=0(y=3

所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為C，3).

故選:B.

2.(24-25高二上?江蘇?假期作業(yè))若直線y=x+2k+1與直線y=-1x+2的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)k的

取值范圍是()

【解題思路】求出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)第一象限點(diǎn)的特征可得答案.

(y=x+2k+1(x=“4k九+八

【解答過程】［y=_］+2=1逼，即交點(diǎn)為(寧,等)，

因?yàn)榻稽c(diǎn)在第一象限，所以J&、o=>-1<x<^.

故選：A.

3.(2024高二上.江蘇.專題練習(xí))分別判斷下列直線。與匕的位置關(guān)系，若相交，求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo).

⑴L：2x+y+3=0,l2,.x—2y—1=0；

(2)。:x+3y—1=0,Z2:2x+6y-2=0：

：

(3)h：6x—2y+3=0,Z2—y+2=0.

【解題思路】(1)聯(lián)立方程求解，即可判斷。與%關(guān)系；

(2)(3)根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)比值關(guān)系，即可判斷人與，2關(guān)系.

【解答過程】⑴由仁［二：：；，解得真［：，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,一1)，故匕與，2相交.

⑵由此顯然;=*=弓，即方程無解,故11與白重合.

yLX十Oy-Z—U26-2

(3)由吸一汽顯然”三轉(zhuǎn)，即方程無解，故匕與，2平行.

4.(23-24高二上?云南臨滄?階段練習(xí))已知直線li：x-3y-4=0,2：3%-2y+2=0,設(shè)直線，i，。的交點(diǎn)

為P.

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)若直線，過點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線I的方程.

【解題思路】(1)將兩直線方程聯(lián)立求解，即得交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)結(jié)合圖形理解，直線!在兩坐標(biāo)軸上的截距相等包括直線斜率為-1或經(jīng)過原點(diǎn)，分別求直線方程即得.

【解答過程】⑴聯(lián)立方程亡一V?：解得P(-2,-2).

(2)；直線］在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，

???直線1的斜率為-1或經(jīng)過原點(diǎn).

①當(dāng)直線/過原點(diǎn)時(shí)，???直線/過點(diǎn)P,

???/的方程為y=%：

②當(dāng)直線，斜率為-1時(shí)，???直線I過點(diǎn)p,

的方程為y+2=-(x+2),即％+y+4=0.

綜上所述，直線/的方程為“+y+4=0或％-y=0.

題型4N距離公式的應(yīng)用

1.(23-24高二上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?階段練習(xí))已知4(3,6),8(2,4),則A,5兩點(diǎn)間的距離為1)

A.5B.V5C.3D.V29

【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出答案.

【解答過程】A,8兩點(diǎn)間的距離為,(3—2尸+(6—4(=的.

故選:B.

2.(23-24高二上?安徽馬鞍山?階段練習(xí))己知力(-3,-4),8(6,3)兩點(diǎn)到直線1:以+、+1=0的距離相等,

求”的值()

A.iB.--C.一工或一ZD.二或一Z

373939

【解題思路】利用點(diǎn)到直線距離公式列出關(guān)于Q的方程求解即可.

【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)4(一3,-4),8(6,3)到直線1:。％+、+1=0的距離相等，

所以1-37+1］二監(jiān)等,即|_3Q—3|=|6Q+4|,

va2+lva2+l

化簡得27a2+30a+7=0,解得a=-1或a=

故選：C.

3.(23-24高二上?河南鄭州?期末)已知等腰A/IBC的一個(gè)頂點(diǎn)C在直線A2x-y+4=0±,底邊4B的兩

端點(diǎn)坐標(biāo)分別為力(-1,3),8(2,0),

(1)求邊48上的高C”所在直線方程；

(2)求點(diǎn)。到直線4B的距離.

【解題思路】(1)求出的中點(diǎn)”的坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系得到高C”所在直線的斜率，得到高C4所在直線

方程；

(2)聯(lián)立兩直線得到點(diǎn)。的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式求出答案.

【解答過程】(1)由題意可知，”為/W的中點(diǎn)，

V71(-1,3),8(2,0),

又34^=-1，

???%=-點(diǎn)=1?

???。”所在直線方程為丫一,=%-3即％-y+l=O.

⑵由片二m，解啜二，—,-2).

乂直線A8方程為y=-(無一2),即x+y-Z=U.

???點(diǎn)⑸直為48的距離d=吃尸=等

V22

4.(23-24高二上?甘肅蘭州?期末)已知直線，1：ax-2y+2=0和直線，2：%+(。-3)y+1=0.

(1)試判斷l(xiāng)i，。能否平行，若平行，請(qǐng)求出兩平行線之間的距離；

(2)若原點(diǎn)到。距離最大，求此時(shí)的直線。的方程.

【解題思路】(1)利用兩直線平行，斜率相等，得到T=解得a=2或。=1,再檢驗(yàn)即可得H%,%能

平行，利用兩平行線間的距離公式即可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)條件，得出直線12過定點(diǎn)(-1,0)，從而得到：當(dāng)。P1。時(shí).，原點(diǎn)到。的距離最大，進(jìn)而可得出直

線，2的方程為％=-1.

【解答過程】(1)因?yàn)長：a%—2y+2=0,所以直線匕的斜率為自=/

又齒工+(。-3?+1=0,若I//%，則。斜率必存在，所以QW3且斜率為七二六，

由？=,得到Q=2或Q=1,

23-a

當(dāng)。=2時(shí)，，i：x—y+l=0,l2:x—y4-1=0,此時(shí)=與，2重合，不合題意，

當(dāng)。=1時(shí)，Z1：x-2y+2=0,l2-.x-2y+l=0,此時(shí)"〃小所以",%能平行，

兩平行線之間的距離為d=焉=￡.

(2)由％+(。-3加+1=0,得到(x+l)+(a-3)y=0,所以直線。過定點(diǎn)P(—1,0),

當(dāng)OPJ.%時(shí)，原點(diǎn)到"的距離最大，

此時(shí)直線。P的斜率為0,直線，2的斜率不存在，

所以此時(shí)的直線"的方程為％=-1.

題型5圓的方程的求解

I.(2024?吉林長春?三模)經(jīng)過4c1,1),C(0,2)三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為()

A.(x+l)2+O-l)2=2B.(x-1)2+(y-1)2=2

C.x24-(y—l)2=1D.x2+(y+l)2=1

【解題思路】設(shè)經(jīng)過4B,C三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為"+*+。％+砧，+/=0(02+52-4尸)0),代入三

點(diǎn)坐標(biāo)可得答案.

【解答過程】設(shè)經(jīng)過A,B,C三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為

x2y2Dx+Ey+F=0(D24-F2—4F>0),

l+l+D+E+F=0(D=0

由題意可得1+1-D+E+/=0,解得E=-2,

0+4+2F4-F=0(F=0

且滿足。2+f2_，4F=4>o,

所以經(jīng)過A,B,C三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為/+y2-2y=0,

即為第24-(y—l)2=1.

故選:C.

2.(23-24高二下.安徽.階段練習(xí))已知4(4,0),8(1,遮)，圓M經(jīng)過A,4兩點(diǎn)，且圓的周長被x軸平分,

則圓用的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x-1)+(y-y)=3B.(x-2)2+y2=4

C.x2+y2=4D.(x-l)2+y2=4

【解題思路】求出線段48的中垂線，求得與入軸的交點(diǎn)即為圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓的方程.

【解答過程】由題意，演8=誓=一苧，中點(diǎn)為信?)，

所以線期48的中垂線為y—苧=百值一習(xí)，令y=0得x=2,

所以M(2,0),半徑r=2,所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=4.

故選：B.

3.(23-24高二上?遼寧?期中)分別求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)經(jīng)過點(diǎn)4(3,2),8(2,3),圓心在x軸上；

(2)經(jīng)過直線為+2y+3=0與%-2y+3=0的交點(diǎn)，圓心為點(diǎn)C(-2,1).

【解題思路】(1)設(shè)圓的方程為的+口2=產(chǎn),將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可;

(2)聯(lián)立兩直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓的半徑，即可求解.

【解答過程】(1)設(shè)圓的方程為(x-a)2+y2=r2,

由題意得：一？：：：=彳解得：］廠

((2-a)2+V=r2I廣=13

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+y2=13：

(2)聯(lián)立％+2y+3=0與％-2y+3=0,

解得:所以交點(diǎn)為(一30),

則圓的半徑為J(一3+2)+(0—1尸=V2,

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-I)2=2.

4.(23-24高二上?廣東汕尾?期木)已知點(diǎn)O(U,。)，4(6,。)，M(3,4),直線AM與y軸交于點(diǎn)出

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求4力。8的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【解題思路】(1)根據(jù)題意求出直線AM的方程，再令X=0即得?；

(2)由(1)中的點(diǎn)B坐標(biāo)知0A108,故△力。8的外接圓即以A8為直徑的圓，計(jì)算即得.

【解答過程】(1)由題意力(6,0),M(3,4),故直線AM的斜率心”=彩=一：，

3-63

所以直線的方程為y=-^(x-6).

因?yàn)辄c(diǎn)8在y軸上，令無=0,得y=8,

所以點(diǎn)、8的坐標(biāo)為(0,8).

(2)因?yàn)椤?08的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(6,0),8(0,8),0(0,0),

所以。41OB,所以△4。8的外接圓是以A8為直徑的圓.

又中點(diǎn)為C(3,4),

所以外接圓的圓心為C(3,4),半徑為r=11^|=底筍=5,

所以△力。8的外接圓的方程為(％-3)2+(y-4)2=25.

題型6卜直線與圓的位置關(guān)系的烈定及應(yīng)用O|

1.(23-24高二下?廣東梅州?階段練習(xí))已知圓C:/+2x+y2—3=0,則直線上x+7i(y—l)=0與圓C

()

A.相交B.相切C.相離D.相交或相切

【解題思路】由直線與圓的方程可知，該直線有定點(diǎn)在圓內(nèi)，即可得其位置關(guān)系.

【解答過程】C:x2+2x+y2-3=0可化為(％+I)2+y2=%

即該圓圓心為(-1,0),半徑為2,

由，:“+n(y-1)=。可得該直線過定點(diǎn)(0,1),

有（0+1）2+12=2<4,即該定點(diǎn)必在圓內(nèi),

故兩者位置關(guān)系為相交.

故選:A.

2.（2024.河北?模擬預(yù)測(cè)）已知直線!：、=依一上與圓C：（X-4尸+（y-遍了=3有公共點(diǎn)，則直線I的

傾斜角的取值范圍是（）

A?展）B.[0/C.[0,=]D.戰(zhàn)）

【解題思路】直線/與圓C有公共點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d小「等于半徑,然后利用點(diǎn)到直線的距離公

式即可.

【解答過程】圓C的圓心為（4,百）,半徑為直線心kx-y-k=0,

直線I與圓C有公共點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d小于等于半徑，

即（/=噴言!<遍,即|舊「一1|w1k2+i,

故3k2-2V3k+1<k2+l,即2k2-26k<0,解得0<k<y/3.

設(shè)直線!傾斜角為a,則k=tana,所以0<tana<V3.

因?yàn)閍E[0,ir）,所以aw[0,,,

所以直線/的傾斜角的取值范圍是[o,,.

故選:C

3.（23-24高二上.四川綿陽.期末）已知直線，：履+丫-2攵+1=0（攵6/?）,圓。：（x-l）2+（y-l）2=9.

⑴試判斷直線/與圓C的位置關(guān)系，并加以證明；

（2）若直線[與圓。相交于力，B兩點(diǎn),求團(tuán)用的最小值及此時(shí)直線2的方程.

【解題思路】（1）由直線/恒過定點(diǎn)，并且定點(diǎn)在圓C的內(nèi)部，即可得出直線，與圓相交.

（2）由題意得直線I與直線CP垂直時(shí)，弦長|48|最小，由直線和圓相交的弦長公式即可求得答案.

【解答過程】（1）??Yx+y-2A+l=0（ZWR）,Z./c（x-2）+y+1=0,

令｛；；iJ解得『二g?.?直線】恒過定點(diǎn)p(2,-1).

又(2—1)2+(-1-1)2=5<9,

?,?點(diǎn)P(2,-l)在圓(%-1產(chǎn)+(y—1產(chǎn)=9內(nèi)部,

???直線，與圓相交.

(2),?,圓C：(%-1)2+3-1)2=9的圓心為。(1,1),半徑為3,

當(dāng)直線1與直線CP垂直時(shí)，弦長L4B|最小，此時(shí)48=等=-2,

2—1

???直線，的斜率為5

工直線，的方程為y+1=1(%-2),即無-2y-4=0.

圓心C(l,l)到直線，的距離為d=\CP\=V5,

???|.48|=2,9一溟=4,

???弦長|4B|的最小值為4,此時(shí)直線/的方程為x-2y—4=0.

4.(23-24高二上.貴州安順.期末)已知直線，:2x-y+m-2=0,圓C:(%-+y2=20.

(1)若直線，與圓C無公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)若直線I與圓C交于48兩點(diǎn)，k^ABC(C為圓C的圓心)為直角三角形，求實(shí)數(shù)m的值.

【解題思路】(1)根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系即可求解，

(2)根據(jù)圓的弦長公式，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

【解答過程】(1)易知圓C的圓心坐標(biāo)為C(l,0),半徑r=271

由直線，與圓C無公共點(diǎn)知，

圓心。(1,0)到直線，:2x-y+m-2=0的距離d=募胃=詈>"2花=>6<一10或m>10.

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m<一10或zn>10.

(2)由題意知，半徑CA,CB互相垂直，△/BC為等腰直角三角形.

乂圓心C(l,0)到直線上2x-y+m-2=0的距離為d=^<r,可得一10<m<10,

又r=y[id,即夜?粵=2花，解得：m=±5^2.

V5

題型7直線與部分圓的相交問題9|

1.(23-24高二上.江蘇南京.期末)若直線y=/^+4(4>0)與曲線丫=標(biāo)中有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)2的取

值范圍為()

A.(百,+8)B.[V3,+co)C.[V3,2]D.(75,2]

【解題思路】由題意畫出圖形可得k.工心8,由兩點(diǎn)坐標(biāo)得心8=￡高=2,結(jié)合直線8C與半圓相切

得，kAC=V3,由此即可得解.

【解答過程】如圖所示：

直線y=-+4(k>0)過定點(diǎn)力(0,4),曲線y=爾V7與％軸負(fù)半軸交于點(diǎn)8(-2,0),

設(shè)直線AC與曲線(半圓)相切于點(diǎn)C,

若直線y=/ex+4(/c>0)與曲線y=，4-心有兩個(gè)交點(diǎn),

則A"<k<kABr

而“河=言務(wù)=2,

若5,=kx+4(k>0)與半圓無24-y2=4,(y>0)(圓心0(0,0),半徑r=2)相切，

則圓心到直線的距離滿足4=五*=2,解得k=b，即心c=K，

綜上所述，實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(點(diǎn),2].

故選:D.

2.(2024.吉林白山.一模)"-1WbVI”是“方程萬次=X+b有唯一實(shí)根”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件

【解題思路】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求出“方程VF中=x+b有唯一實(shí)艱”時(shí)，6的取值范圍，再結(jié)合充分性、必要

性即可求解.

【解答過程】方程五*=x+。有唯一解，

即直線y=x+力與上半圓y=71-必有且僅有一個(gè)交點(diǎn),

解得b的取值范圍為[一1,1)U｛夜｝,

???-1<b<1是方程近R=x+b有唯一解的充分不必要條步;

故選：A.

3.(23-24高二上?山西朔州?期末)直線上kx-y-2k+l=0與曲線C:y+1=一/而忑二^有交點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A.[-1,2]B.(-oo,-^]u[2.4-00)

C.[-2,|]D.(一8,-2]咔,+8)

【解題思路】首先根據(jù)曲線的方程確定為以(3,-1)為圓心，2為半徑的卜.半圓，進(jìn)一步利用經(jīng)過定點(diǎn)的

直線系和曲線的交點(diǎn)確定直線的斜率，最后確定實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【解答過程】士kx-y—2k+l=0=1(％-2)—(、-1)=0,所以直線恒過定點(diǎn)4(2,1),且斜率為生

曲線C:y+1=一，-%2+6%—5,整理得(％—3尸+(y+1尸=4,(y<-1)

故該曲線是以(3,-1)為圓心，2為半徑的下半圓，

如圖所示，令y=-l,代入(％-3/+(y+1尸=4,整理得(％-3)2=4,解得x=1或5；

故8(-LT),C(5,-l),

心8=詈=2,恩c：所以直線與曲線有交點(diǎn)，只需2或AV—J即可，

2—133

故選:B.

4.(23-24高二上.江蘇?期中)若直線3kx—y_2=0與曲線C:一(y-=>一1有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)

k的取值范圍是()

C?[-W)U&，2]D.G，+8)

【解題思路】先求出直線，:心:一7一2二0所過的定點(diǎn)(0,-2),再將曲線一(y—1尸二無一1轉(zhuǎn)化為

(x-l)2+(y-l)2=l(x>l),可知其為半圓，結(jié)合圖象，即可求出k的取值范圍.

【解答過程】直線上此一y-2=0恒過定點(diǎn)(0,-2),

將31一(y-I1=x-1轉(zhuǎn)化為(x-I)2+(y-I)2=l(x>1),

???曲線C-(y-=%-1表示以(1,1)為圓心,半徑為1,且位于直線％=1右側(cè)的半圓(包括點(diǎn)(1,2),

(1.0)),

當(dāng)直線I經(jīng)過點(diǎn)(L0)時(shí)，L與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)k=2,直線記為

當(dāng)2與半圓相切時(shí)，由盥=1,得攵=：，切線記為，2，

vkz+l3

題型8卜圓與圓的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用O|

1.(23-24高二下?上海?期中)圓/+y?=1與圓(％一2)2+y?=1的位置關(guān)系是()

A.相交B.外切C.外離D.內(nèi)含

【解題思路】求出圓心距，利用圓心距和兩圓半徑的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【解答過程】/+y2=i的圓心為(0,0),半徑為1,

(x-2尸+y2=1的圓心為(2,0),半徑為1,

可知兩圓圓心距為2,恰好等于法圓半徑之和，所以兩圓是外切.

故選：B.

2.(23-24高三下.四川雅安?階段練習(xí))若圓C:%2+y2=i與圓D：(X-3/+(y-4)2=r2(r>0)外切,則

r=()

A.2B.3C.4D.5

【解題思路】根據(jù)兩圓外切的條件建立方程求解即可.

【解答過程】由圓C:%2?y2=1與圓D：程—3)2+(y—4)2=r2(r>0)知,

圓心分別為。(0,0),。(3,4),半徑為1,r,

因?yàn)閮蓤A外切，

所以|CD|=132+42=1+r,解得r=4.

故選：C.

22

3.(2024高二?全國?專題練習(xí))已知兩圓G：/+丫2_2QX+4y+。2_5=0ffC2:x+y+2x-2ay+

a2-3=0.

⑴當(dāng)。為何值時(shí)，兩圓外切？

(2)當(dāng)a=1時(shí)，試判斷兩圓的位置關(guān)系.

【解題思路】(1)把兩圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，在根據(jù)兩圓外切的條件列式求解即可.

(2)把a(bǔ)=1代入方程直接判斷兩圓位置關(guān)系即可.

【解答過程】(1)將兩圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為6:(％-。)2+8+2)2=9,

2

C2\x+1)2十(y—a)=4,所以兩圓的圓心和半徑分別為

G(a,-2),q=3,C2(-l,a),r2=2,

兩圓的圓心距為d=J(a+I)?+[-2-a)?=72a+6a+5,

當(dāng)兩圓外切時(shí)，d=T\+r?,即+6a+5=5,解得a=—5或Q=2.

(2)當(dāng)a=l時(shí)，l<d=W3<5,所以兩圓相交.

4.(2024高二.全國?專題練習(xí))已知圓6：/+y2—2加工+4y+7幾2—5=0和圓0：%24-y2+2x=0.

(1)當(dāng)m=1時(shí)，判斷圓6和圓Cz的位置關(guān)系.

(2)是否存在實(shí)數(shù)/〃，使得圓C】和俱IC2內(nèi)含？若存在，請(qǐng)求出〃，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解題思路】(1)根據(jù)題意求兩圓圓心和半徑，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析判斷；

(2)根據(jù)題意求兩圓圓心和半徑，假設(shè)存在，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析運(yùn)算即可.

【解答過程】(1)當(dāng)m=lH寸，圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為(工一1尸+(y+2/=9,則加(1,一2),半徑q=3,

圓。2的標(biāo)準(zhǔn)方程為a+l)2+y2=1,則。2(—1,0),半徑丁2=1，

可得兩圓的圓心距d=J(1+1)2+(—2—0)2=2V2,

且n+/2=4，r1-r2=2,則G一七<d<q+七，所以圓G和圓C2相交.

(2)不存在，理由如下：

圓G的方程可化為(x-rri)2+(y+2)2=9,則。式犯一2),半徑弓=3.

由(1)可知：C2(-l,0),半徑七二1.

假設(shè)存在實(shí)數(shù)加，使得圓C1和圓C2內(nèi)含，

則圓心距d=V(m+l)2+(-2-0)2<3-1,

整理得(m+l)2<0,此不等式無解.

故不存在實(shí)數(shù)加，使得圓G和圓內(nèi)含.

題型9[圓系方程及其應(yīng)用

1.(23-24高二下?黑龍江鶴崗?開學(xué)考試)圓心在直線x—y—4=0上，且經(jīng)過兩圓/十/+6%-4=0和

+丫2+6y_28=0的交點(diǎn)的圓的方程為()

A.x2+y2-x+7y-32=0B.x2+y2-x+7y-16=0

C.x2+y2-4%+4y-9=0D.x2+y2-4x+4y-8=0

【解題思路】利用圓系方程可求圓的方程.

【解答過程】由題可先設(shè)出圓系方程：x2+y2+6x-4+A(x2+y2+6y-28)=0,

則圓心坐標(biāo)為;(一言，-言)，

又圓心在直線x-y-4=0上，可得一名+蕓一4=0,解得7=-7,

1+41+A

所以圓的方程為：x2+y2-x+7y-32=0,故A正確.

故選：A.

2.(23-24高二上?福建泉州?階段練習(xí))過點(diǎn)M(2,-2)以及圓/+y2-5x=0與圓/+川=2交點(diǎn)的圓的

方程是()

A.x2+y2_^x_L=0B.x2+y2_llx+l=Q

C.x2+y2+—x--=0D.x2+y2+—x+-=0

,42z42

【解題思路】根據(jù)過兩圓交點(diǎn)的圓系方程可設(shè)所求圓的方程為42+/-5X+A(x2+y2-2)=0,把點(diǎn)

M(2,—2)代入方程，求出4即可.

【解答過程】設(shè)所求的圓的方程為/+y2_5%+l(x2+y2-2)=0,

把點(diǎn)M(2,-2)代入可得,4+4-5X2+A(4+4-2)=0,

解得;I="所以所求圓的方程為/+y2-^x-1=0,

故選:A.

3.(2024高三下?全國?專題練習(xí))求過直線2X+y+4=0和圓M+y2+2%-4y+1=0的交點(diǎn)，且面枳

最小的圓的方程.

【解題思路】

根據(jù)題意，設(shè)出圓的方程為M+y2+2x-4y+l+M2%+y+4)=0(/l6R),求得圓的半徑r=

J部-42+4,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【解答過程】設(shè)過直線2%+y+4=0和圓/+y2+2%_4y+1=0的交點(diǎn)的圓系方程，

可設(shè)為/+丫2+2%_4y+1+A(2x+y+4)=0(AeR),

即［x—(A+l)］2+(y+—4A+4,

可得圓的半徑為r=J；?—44+4=ly/^^2—16A+16=一§+￡，

故當(dāng);I=$寸對(duì)應(yīng)圓的半徑最小，且最小半徑為:花.

故所求圓的方程為(％+Y)2+(y-1)2=I

4.(23-24高二上?江蘇常州?階段練習(xí))圓G:x2+y2+2%4-2y—8=0與C2：x24-y2—2x+lOy-24=0

相交于A、8兩點(diǎn).

(1)求圓心在直線y=-x上，且經(jīng)過A、8兩點(diǎn)的圓的方程；

⑵求經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程.

【解題思路】(1)首先設(shè)圓系方程/+、2+2%+2、-8+/102+丫2一2%+10丫-24)=0(/1為常數(shù)),

根據(jù)圓心在直線'=-%上，求九即可求得圓的方程；

(2)面積最小的圓，就是以線段A8為直徑的圓，求出該圓的圓心和半徑可得圓的方程.

【解答過程】(1)因?yàn)閳AG的圓心G(l，-5)不在直線y=-X上，所以所求圓不是圓G，

故可設(shè)經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓的方程為/+y2+2%+2y-8+A(x2+y2-2x+lOy-24)=00為常數(shù))，

2+l(U_8+247

即，+y2+帶》+=0,

1TA1+A1+A

則圓心坐標(biāo)為(甘,甘)；又圓心在直線)，=一工上，故得+二善=0,

解得4=故所求方程為/+y2+6x-6y+8=0.

(2)因?yàn)閳AQ的圓心Q(-l,-1),半徑ri=，IU,圓Q的圓心G(L-5),半徑丁2二5四,

所以直線GG的方程為*=三，即2x+y+3=0,

-5+11+1

由題意可知以線段A4為直徑的圓的面積最小，

由兩個(gè)圓的方程相減可得直線48MJ方程為x-2y+4=0,

聯(lián)立憶XU二］解得｛二了,則所求圓的圓心為(-2,1),

圓心。1(一1,一1)到直線85:%-2y+4=0的距離d=「淺留=、后,

所以|力8|=2/—=2>/10^5=2V5,所以所求圓的半徑為遙.

故面積最小的圓的方程為(％+2)2+(y-1)2=5.

題型10V兩圓的公共弦問題

1.(23-24高二下?貴州?階段練習(xí))已知圓01：》2+2》+丫2=10與圓02：/+}/2一%—3丫=4交于4,B兩

點(diǎn),則=()

A.誓B.5C.V26D.3V3

【解題思路】求出兩圓的公共弦所在直線方程，再求出弦長即

【解答過程】圓。1：(%+1)2+必=11的圓心0](一1,0),半徑口=近1,

I員|。2：(%—}2+(y-1)2=￡的圓心。2?1)，半徑廠2=與，

1。】。215-丁2/1+丁2)，圓。]與圓。2相交，兩圓方程相減得直線4B：x+y=2,

顯然點(diǎn)。2?，|)在直線力B上，因此線段AB是圓。2的直徑，

所以=V26.

故選：C.

2.(23-24高二上.福建莆田.期中)圓。i：/+y2=4和圓。2：/+y2+2x-4y=0的交點(diǎn)為A,B,則有

()

A.公共弦48所在直線方程為4