四川省某中學2025-2026學年高一年級下冊期中數學模擬卷

綿陽市江油中學2025-2026學年高一下學期期中數學模擬卷

一、單項選擇題：本大題共8小題，共40分。

1.已知復數z滿足z（l+i）=2—i,則z的虛部為（）

A—B.一|iC—|D.?

2.下面命題中，正確的是（）

A.若同=|可，則五=bB.若同>也|,則行>至

C.若同=0,則R=0D.若百二冗則R〃加

3.如圖，在△力8C中，點N是8c的中點，點M是AN的中點，設48,=Q，AC=那么=（）

A.一3+孤B.我—孤C.一》+3D.一W方

4.如圖，已知水平放置的△ABC的直觀圖中，A'C=3,B'C=2,那么△ABC的面積為（）

5.已知平面向量/=b=（-1,3）,若（2G—b）1b,則（乙b）=（）

A,B.JC，7D.§

b343

6.若高為1的正三棱柱的頂點都在半徑為1的球面上，則該正三棱柱的體積為（）

A與B.寫C*D.C

7.斯特瓦爾特定理是由18世紀的英國數學家提出的關于三角形中線段之間關系的結論.根據斯特瓦爾特定

理可得出如下結論：設△4BC中，內角A、B、C的對邊分別為〃、b、c,點。在邊8c上，且箓=；，則

AD2=匕㈣一上嗎已知△AB。中，內角A、B、C的對邊分別為。、b、c,Z?=2c=4,asinB+

m+n（ni+n）

Cbcos/l=0,點。在3c上，且△48。的面積與△ADC的面積之比為2,則AQ的值是（）

A.罕B.手C.fD.77

8.已知M是邊長為I的正△48C的邊人。上的動點，N為/W的中點，則8M,MN的取值范圍是（）

332

[C

---一

A.[-445

二、多項選擇題：本大題共3小題，共18分。

9.關于復數z=擊，則下列命題正確的是（）

A.|z|=2B.z的共枕復數為1+i

C.z在復:平面內對應的點位于第四象限D.argz=等

1（）.下列關干平面向最的說法中正確的是（）

A.設落石為非零向量,若怔+川二|五一司,則互1」

B.若同=2同,則行=2萬或方=一2加

C.沒蒼石工為非零向量,則（五-b）-c=a-（b-c）

D.若點G為△48C的重心，則方+而+元=6

11.已知圓臺的軸截面如圖所示，其上底面半徑為1、下底面半徑為2,母線AB長為2,E為母線AB中

點，則下列結論正確的是（）

A.圓臺的高為2

B.圓臺的側面積為67r

C.圓臺外接球的體積是半

D.在圓臺的側面上，從C到E的最短路徑的長度為5

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量五=（1,一2）,另滿足不10—2方，則辦在五上的投影向量的坐標為.

13.需要測量某塔的高度，選取與塔底。在同一個水平面內的兩個測量基點A與8,現測得ND48=75。,

44BD=45。，48=96米，在點4處測得塔頂。的仰角為30。，則塔高CO為米.

14.如圖，E,尸分別是正方形ABCO的邊48,A。的中點，i^AEF,^CBE,△CTD折起構成一個三棱

錐戶-CE"（力㈤。重合于尸點），則三楂錐P-CEF的外接球與內切球的半徑之比是

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題13分）

己知|方|=4,㈤=8］與方的夾角”手

⑴求怔+孫

（2）若0+29）_1（左五一3），求無的值.

16.（本小題15分）

在①cos(?-5)=1+cosB,②asinA+c(sinC-sirt4)=bsinB,③氣=tan力+tanB.這三個條件中，任

3/DCOS/1

選一個，補充在下面問題中.

問題：在△A8C中，a,b,c分別為角A,B,C所對的邊，b=2/3,

（1）求角8;（2）求Q+2c的最大值.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分

17.（本小題15分）

已知復數z=(m2-1)+(rn2+n?)i(mG/?).

(1)若z為純虛數,求〃?的值；

(2)若z為實數,求〃?的值；

(3)若復數z在復平面內對應的點位于第二象限，求m的取值范圍.

18.(本小題17分)

在平面直角坐標系中，已知4(1,2),8(3,5),C(4,m).

(1)若48,C三點共線，求實數機的值；

(2)若484c=90。，以△48C的邊AB所在直線為軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成一個幾何體，求該

幾何體的表面積.

19.(本小題17分)

在法△48C中，內先A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知口的=空警匹.

ab+c

(1)求角A;

(2)已知CH2b,。=24，點P，。是邊AC上的兩個動點(P,Q不重合)，記乙PBQ=8.

①當。=狎，設4PM的面積為S,求S的最小值：

②記乙BPQ=a,匕BQP=°.問:是否存在實常數。和對于所有滿足題意的a,0,都有，sin2a+sin20+

k=4ksinasi叩成立?若存在，求出。和〃的值；若不存在，說明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：因為z（l+i）=2—i,

加以z—幣一（i+i）（iT）_2_”'

Z的虛部為—

故選C.

2.【答案】D

【解析】解：對4,|五|=|同，但五，石不一定同向，所以五，B不一定相等，錯誤;

對B,向量不能比較大小，錯誤；

對C,若同=0,則Q=G,錯誤；

對4若石二丸則落方長度相等，且方向相同，所以萬〃丸正確.

故選D.

3.【答案】A

【解析】【分析】根據已知條件結合平面向量基本定理求解即可.

【詳解】因為在△45。中，點N是6c的中點，點例是4N的中點，而=五，AC=b,

所以祝=前一宿=彳？一3前

一］］一一

=AC-^x-(AB+AQ

乙乙

一1一1一

=AC--rAB--rAC

44

1_3_1_3

=~~TAB+-rAC=—~ra+~rrb.

4444

故選：A

4.【答案】D

【解析】解：由已知直觀圖根據斜二測化法規則畫出原平面圖形，如圖所示:

其中AC=3,BC=4,

???△ABC的面積為々x3x4=6.

故選：D.

5.【答案】C

【解析】解：已知五二(l,m),b=(—1,3),則2五一b=(3,2m-3),

v(2a-d)1b,A(2a-b)-b=3x(-1)+(2m-3)x3=0,解得m=2,

a=(1,2),

.,.?-/?=1x(—1)+2x3=5,|a|=Vl24-22=V~5,|b|=(-1)2+32=V10,

,-T、五石5/2

b>=麗=

??,<a,b>6?,?<?,b>=

故選C.

6.【答案】B

【解析】【分析】根據球的截面圓的性質，得到楂柱底面與球的截面圓的半徑丁=?,進而求得底面三角

形的邊長為|，結合棱柱的體積公式，即可求解.

【詳解】由題意可知球的半徑R=l,

因為正三棱柱的面為1,則球心到三棱柱底面的距離d=1

根據球的截面圓的性質，可得產=3+/,即i2=Gy+z,解得廠=亨，

棱柱底面與球的截面圓的半徑r=苧，

三棱柱的底面三角形為截面圓內接正三角形，可得三角形的邊長為曰x/3=|

所以三角形的面積為S=1x停fX苧=嬰，

/\乙/L1O

該棱柱的體積為V=5?h=竽'1=竽.

Io1O

7.【答案】A

【解析】解：由匕=2c=4,可得b=4,c=2,

由asinB+y/~3bcosA=0,可得sinAsinB+V_3sinFcos/l=0,

因為sinB>0>可得sinA=—y/~3cosA?即有tan力=—，5,

可得內角A=120°,

由余弦定理可得小=b2+c2-2/>ccos120°=16+4-2x4x2x(-i)=28,

由以ABD的面積與△4DC的面積之比為2,可得能=巴=2,即m=2n,

DCn

t-t-i,i4inb2+nc2mna22?i-16+4n2nzx28,?5652

所以40^7=------------武=12-g=可，

解得4。=罕.

故選：A.

由三角形的正弦定理可得內角4=120。，由余弦定理可得a2,由三角形的面積公式可得m=2必代入斯特

瓦爾特定理，計算可得所求值.

本題考查三角形的正弦定理、余弦定理和面積公式、斯特瓦爾特定理，考查方程思想和運算能力，屬于中

檔題.

8.【答案】4

【解析】【分析】

本題考查了通過建立平面直角坐標系，利用向量坐標解決向量問題的方法，向量坐標的數量積運算，配方

求二次函數值域的方法，考查了計算能力，屬于中檔題.

建立平面直角坐標系，求出各點坐標，從而可得出而?麗=-/一3％一去根據x的范圍，從而求得結

果.

【解答】

解：取AC的中點O,以。為原點，直線AC為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系,

設M(x,0),—<x<

???麗=(%—3),而=(十%,9,

...fiA?-M/V=-x2--1=-(x+1)2-奈且一g-x-P

???x=:時，BM.MN取最小值-%—:時，BM-MN‘取最大直—77?

24864

:.而71的取值范圍是[一,,一韻.

故選：A.

9.【答案】BCD

【解析】【分析】選項4,化簡復數，再求z的模即可.選項B,寫出共規復數即可判斷.選項C,確定z在

復平面內時應的點為即可判斷.選項。，將z寫成三角形式，即可確定輻角主值.

【詳解】對于A選項，2=2=1一八故怙|=四，所以A錯誤.

對于B選項，z的共扼復數5=1+i,所以8正確.

對于C選項，因為z對應的點為(1,一1),位于第四象限，所以C正確.

對干Q選項，因為z=l-i=/l[cos(-9+isin(-外又0WargzV27r,所以輻角主值為半，所以Q

正確.

故選：BCD.

10.【答案】AD

【解析】【分析】根據向量數量積的運算律即可判斷4根據模的定義及向量共線的概念即可判斷僅根

據數量積的運算法則即可判斷C：根據向量線性運算及重心的性質即可判斷D.

［詳解】對于A,若怔+同=|五一斗則|五+同=|a—b\<=>a24-2a-S4-b=a2-2a-b+b<=>a-

b=0,故4正確；

對于5,悶=2|同表示同是|司的2倍,2=2應%=-2方表示左與方共線，且同是|同的2倍,故B錯;

對于C(a-S)-c=|a||5|cos(a,b)c,a-(bc)=a|S||c|cos(K,c),

所以04)々與G?④??不一定相等，故C錯誤；

對于。，如圖，設。為3c的中點，點G為AABC的重心，

則而=2話=蕭+配，即林+元一於=6,所以中+0+^:二祝故。正確：

11.【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查圓臺的結構特征，圓臺的側面積，圓臺的外接球，球的體積，圓臺側面上的最短距離，屬于中檔

題.

根據圓臺的軸截面求出圓臺的高，判斷4求出圓臺的側面積判斷以求出圓臺的外接球體積判斷。：由

圓臺補成圓錐，求出最短距離判斷D

【解答】

解：由軸截面得，圓臺的高為J力加一(2-1)2=g選項A錯誤；

圓臺的側面積S=7T?|/1引?(r上+ra)=6",選項8正確；

設外接球的半徑為R，

設0M=x,若圓臺的兩個底面在球心。的同一側,

則/一1=Q+O,

I/?2-4=x2

可得％=0,產二明圓臺外接球半徑為2,

若圓臺的兩個底面在球心。的兩側，

則儼_1=(吏一刈2

IR2-4=x2

可得％=0,R2=*圓臺外接球半徑為2,

所以外接球的體積為23=券，故選項C正確:

由圓臺補成圓錐，可得大圓錐的母線長為4,底面半徑為2,

側面展開圖的圓心角為6=誓=兀,

4

連接CE,可得乙CPB=90°,PC=4,PE=2+1=3,

則CE=d42+32=5,所以沿著該圓臺表面，從點C到E的最短距離為5,故力正確.

故選BCD.

12.【答案】(p-1)

【解析】解：a=(1,-2),則|五|二JM+(-2/=

因為五1.0—2斤)，a-(a-2b)=0,BP|a|2-2a-b=0,

即5—2。7=0,解得值不二去

__5

向后3在向吊N上的投影向最為器d=^a=

故答案為：?Li).

13.【答案】3272

【解析】【分析】

本題考查三角形的解法，考查正弦定理的應用，考查運算求解能力，是基礎題.

利用正弦定理求得A。，進而求得C。。

【解答】

解：因為在484D中，42X48=75°,Z.ABD=45°,48=96,

所以4ADB=180°-75°-45°=60°,

由正弦定理得缶=而編,即置=*解得＜0=32腌小

22

在中，Z-CAD=30°,所以CD=4Dtan300=32心，

故塔高CO=32\H.m.

14.【答案】2/6

【解析】【分析】

本題考查球與多面體的組合體的問題及棱錐的體積，由已知PEPF,PC兩兩垂直，將三棱隹P-CE9放

入長方體中，求出外接球的半徑，利用等體積求出內切球的半徑即可求解.

【解答】

解：由已知PE,PF,尸C兩兩垂直，

將三棱錐P-CE尸放入長方體中，如下圖，

則三楂錐P-CE尸的外接球即長方體的外接球,

設正方形A8CD的邊長為2”，

則由已知PC=2a,PE=PF=a,

所以長方體的體對角線長為J(2a)2+M+o2=/6a，

所以三棱錐P-CEF的外接球的半徑為年a，

設三棱錐P-CEF的內切球的半徑為r,球心為。，

將。與P,C,E,b連接，則得到四個小三棱錐，它們的高都為，，

由已知可得S&EFC=4a2_Q2_Q2_：口2=gQ?,

所以由等體積有;xax|xax2a=1xrx(|a2+a2+a2+1a-2),

解得r4，

4

所以三棱錐P-CEF的外接球與內切球的半徑之比是蘆=2^.

4a

故答案為2幅.

15.【答案】解：⑴???2/二|百|?|B|cos8=32c。s-16,

|a4-b|2=|a|2+2aS+|S|2=16-32+64=48,.*.|a+51=4/3.

（2）由（W+2另）1（kW-加），得@+2B）?（k五一石）=刈引2+（2k-1）五?另一2|E『=16人-i6（2/c-

1）-128=0,

解得k=-7.

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

16.【答案】解：（1）選擇①:由cosg—25）—|+cosB,

cosB+?sinB=1+cosB,

即苧sinB-jcosB=p

所以sin（B—，）=J,

OZ

因為0V8V7T,所以一gVB—[V：7T,

oob

故B_*=9所以B=J.

ooJ

選擇②:由正弦定理，asin/1+c（sinC-sinA）=bsinB,

可化為Q?+c2-b2=ac,

由余弦定理，得cosB=二

。之2噌ac--2

因為OvBV/r,所以8=%

選擇③:由正弦定理，得戶=\普，

hcosAsiriBcosA

口4,…nsinAsinB

又tan/l+tanj?=——；H（----

coszlCOSB

sinAcosB+cosAsinB

cosAcosB

sin（?l+B）_sinC

cosAcosB~cosAcosB'

,由i,/引3c='tan'4+一tanc8,施得?/訴3sin彳C=不si碼nC,

因為sinC>0,所以tan8=JZ，

因為OVBVTT,所以8=*

(2)在△4BC中，由(1)及b=2，W,

b_a_c_2/3_.

sinB-sinA—sinC一蟲一'

2

故G=4sin/1,c=4sinC,

所以Q+2c=4sin/l+8sinC

2

=4sin力+8sin(w〃-A)

=4sin/l+4>f3cosA+4sin/l

=8sin/l+4CcosA

=4V-7sin(/l+(p),

因為。<力V當且9為銳角，

所以存在角A使得A+0=今

所以Q+2c的最大值為4/7.

【解析】本題考查了正余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了三角恒等變換以及三角函數的性質，屬

于中檔題.

(1)選擇①②③中的任一條件，由正余弦定理結合兩角和與差公式等求出角B=*

(2)借助正弦定理和輔助角公式可得a+2c=4，7sin(4+辦再由三角函數的性質求出最值即可.

17.【答案】解：(1)因為2=(血2一1)+(加2+租》(6€/?)為純虛數，

所以護工1二。

Im2+m工0

解得：m=1：

(2)若z為實數，則m2+6=0,

解得：根=0或6=-1；

(3)z所對應的點在第二象限，則依二:"

解得：0vmv1.

故用的取值范圍為(0,1).

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

18.【答案】解：(1)???4(1,2),8(3,5),C(4,m),.?.南=(2,3),AC=(3,m-2).

?.?48,。三點共線，二通〃前，，2(根一2)-3乂3=0,解得m=學，

即實數m的值為呈

(2)由(1)知話=(2,3),AC=(3,m-2).

vZ.BAC=90°,.??麗1玄，.??荏?Xf=2x3+3(m-2)=3m=0,即m=0.

??.亞=(3,-2),=(1,-5),|^|=/13,\AC\=713,|^?|=/26.

以么48c的邊A8所在直線為軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面畫成的幾何體是底面半徑r=E，高力=

E母線長1=，"的圓錐，

故該幾何體的表面積為S=nr24-jrrZ=13TT+=13(V~^+1)TT.

【解析】【分析】(1)根據4B,C三點共線可知同〃而，由向量共線的坐標表示即可求解；

(2)由乙84c=90。可知同1元，根據向量垂直的坐標表示求出實數m的值，進而可根據向量模長計算公

式可計算區國，|而|配|.以△ABC的邊AB所在直線為軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體

是底面半徑r=/I5,高h=E，母線長2=/次的圓錐，根據圓錐的表面積公式即可求解.

19.【答案】解：(1)因為"1=整詈生，所以由正弦定理可得等=cosmos；

''ab+csin/1sinB+smC

所以sinAcosq+sin/lcosC=cosAsinB+cos/lsinC,

所以sin/lcosB-cosAsinB=cosAsinC-sin/lcosC,所以sin(A-B)=sin(C—4),

因為4—BG(-Tl,Tl')?C—AG(-7T,7T),

所以A-B=C-A或(A-B)+(C—4)=2x]或G4—8)+(C-4)=2x(一分，

即24=B+C或C=B+兀(舍去)或B=C+以舍去)，又A+B+C=TT,所以A=?：

(2)①因為c工2/>,所以/?=?,又力=泉a=2\/~3,所以c=2,h=4.

如圖，設NQBC=x,XG[0,^],

則在中,由正弦定理，得黑=缶，

所以BQ=—^不

s,n(x+6)