2026年高考數學一輪復習考點講義（新高考）等差數列及其前n項和原卷版+解析

第02講等差數列及其前n項和

目錄

考情探究................................................................2

知識梳理................................................................3

探究核心考點...........................................................5

考點一等差數列前n項和基本量的計算...........................................5

考點二等差數列片段和的性質...................................................5

考點三兩個等差數列前n項和的比值.............................................6

考點四等差數列前n項和最值...................................................6

考點五等差數列前n項和的其他性質.............................................7

考點六等差數列求和的實際應用.................................................7

三階突破訓練............................................................8

基石出過關...................................................................................8

能力提升...................................................................................9

真題感知..................................................................................11

A考情探究＜

一、5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

2025年全國一卷，第7題，5

等差數列及其求和無

分

2024年新I卷,第19題,17分等差數列通項公式的基本量計算數列新定義

等差數列通項公式的基本量計算

2024年新D卷,第12題,5分無

求等差數列前〃項和

等差數列通項公式的基本量計算

2024年全國甲卷，第4題,5

利用等差數列的性質計算無

分

等差數列前〃項和的基本量計算

由遞推關系證明數列是等差數列

2023年新I卷，第7題,5分充分條件與必要條件的判定

等差數列前〃項和的性質

等差數列通項公式的基本量計算利用等差

2023年新I卷，第20題,12分數列的性質計算無

等差數列前〃項和的基本量計算

利用定義求等差數列通項公式

2023年新H卷,第18題,12

筆差數列通項公式的基本量計算求等差數分組（并項卜奇偶項求和

分

列前n項和

二、命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分

【備考策略】1.理解等差數列的概念

2掌握等差數列的通項公式與前〃項和公式

3.能在具體的問題情境中識別數列的等差關系并能用等差數列的有關知識解決相應的問題

4.理解等差數列與?次函數的關系及等差數列通項公式與前〃項和的關系

5.熟練掌握等差數列通項公式與前〃項和的性質

【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般給出數列為等差數列，或通過構造為等差數列，求通

項公式及前〃項和。需綜合復習

A知識梳理<

一、等差數列

1.等差數列的概念

一般地，如果一個數列從第2項起，每一項弓它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等

差數列.這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示.即%d為常數.

2.等差中項

如果a,A,力成等差數列，那么4叫做〃與〃的等差中項，且4=".

2

3.等差數列的通項公式及其變形

以外為首項，d為公差的等差數列｛q｝的通項公式為q=q+5-1）4.

公式的變形：an=am+（n-m）d,

4.等差數列與一次函數的關系

由等差數列的通項公式=%+（〃-1）”,可得%=dn+（a「d）.

令〃=",q=ard,則+其中〃，4為常數.

（1）當〃時，（〃,可）在一次函數y=px+4的圖象1：,數列｛4｝的圖象是直線y=px+夕上均勻

分布的一群孤立的點，且當d>0時數列｛q｝為遞增數列，當d<0時數列｛〃“｝為遞減數列.

（2）當〃=0時，〃“=,/’等差數列為常數列，數列｛〃“｝的圖象是平行于X軸的直線（或X軸）上均

勻分布的一群孤立的點.

二、等差數列的前〃項和

1.等差數列的前〃項和

首項為％,末項為%,項數為〃的等差數列｛/｝的前〃項和公式：S,產出詈R=〃囚-當也d.

令p=g，q=a「g，可得S“=〃/?+w，則

①當〃工0,即d工0時，5〃是關于〃的二次函數，點5,S"）是y=pjc+qx的圖象上一系列孤立的點；

②當〃=0,即4=0時，S”是關于〃的一次函數（qwO,即4。0）或常函數（夕=0,即4=0）,點

（〃,S”）是直線y="上一系列孤立的點.

我們可以借助二次函數的圖象和性質來研究等差數列的前〃項和的相關問題.

2.用前〃項和公式法判定等差數列

等差數列的前〃項和公式與函數的關系給出了一種判斷數列是否為等差數列的方法：若數列｛4｝的前〃

項和S“二C"『+勿7+。，那么當且僅當c=o時，數列｛《,｝是以a+Z,為首項，2。為公差的等差數列；

當cw（）時.，數列｛〃”｝不是等差數列.

三、等差數列的性質

1.等差數列的常用性質

由等差數列的定義可得公差為〃的等差數列卜7“｝具有如下性質:

（1）通項公式的推廣:〃“二q”+（〃-〃?）"，N*.

(2)若，7?+〃=〃+q,則6%+%=40+《/Q〃,〃,P4￡N“).

特別地，①若加+九=2p,則4“+。〃=2%,（w^N"）；

②若機+〃+Z=P+q+r，則+。”+q=4p+C）+qN*）.

③有窮等差數列中，與首末兩項等距離的兩項之和都相等，都等于首末兩項的和，即

?+%=%+an-\=L=4+=L-

（3）下標成等差數列的項%5m”,&+2,”，L組成以〃W為公差的等差數列.

（4）數列｛依〃+2｝94是常數）是公差為4的等差數列.

（5）若數列｛2｝為等差數列，則數列｛心〃土獨是常數）仍為等差數列.

（6）若％=q，%=P,則a>g=O.

2.與等差數列各項的和有關的性質

利用等差數列的通項公式及前5項和公式易得等差數列的前〃項和具有如下性質:

設等差數列｛q｝（公差為d）和也｝的前〃項和分別為S”,7；,

9I

（1）數列是等差數列，首項為％,公差為二d.

n2

（2）5,,S2,-S,,S3,-S2,,L,,L構成公差為的等差數列.

（3）若數列｛4｝共有2〃項，則與一5奇=〃4,

（4）若數列｛%｝共有2〃一1項，則S奇—S偶=為，S偶=(〃一1)4,).

^±±=2S?”i=2--1%

(5)

T.~b'T2n,-2n-\b

A探究核心考點＜

考點一等差數列前n項和基本量的計算

2

典例1.在數列｛q｝中，4=5，3(,1=3q+2,則()

A.S“=ZB.5"=四

“33

-3〃cc4

C???=—D.a=2n--

4ltJ

典例2.已知數列｛〃“｝滿足：%=1,—.若

⑴求證：也｝為等差數列.

⑵求數列｛q｝的通項公式

跟蹤訓練1.已知等差數列乩｝中，52=-1,54=6,則%=()

跟蹤訓練2.數列｛風｝滿足q=1,J-=J-+1(〃cN)

^an+\"ti

(1)求證：數列’?是等差數列;

⑵求數列也｝的通項公式.

考點二等差數列片段和的性質

典例1.已知等差數列｛《,｝的前〃項和為s.，若54=4,￡=9,則&=.

典例2.已知等差數列｛q｝的前〃項和為S,，若鼠=7,S3m=42(〃7€N,)，則邑,”=

跟蹤訓練1.設等差數列｛/｝的前〃項和為S.,若Sj=9,S『36,則4+&+4=一

跟蹤訓練2.設S”是等差數列｛〃”｝的前〃項的和，若1=50,55G=10則S.=_

考點三兩個等差數列前n項和的比值

C*C?1

典例1.已知等差數列｛q｝,｛4｝的前〃項和分別為S.,Tn,且多■=『，則若7=.

典例2.兩個等差數列｛4｝,電｝的前〃項和分別為S”和，，已知S亍=7+2則點的值是.

跟蹤訓練1.兩個等差數列｛《,｝和｛/*｝.其前〃項和分別為S.7.且衿2獸，則熬乎等于（）

"+Ju-j+PI3

A9c37八79n135

A.-B.—C.—D.-----

481422

跟蹤訓練2.己知等差數列｛叫，也｝的前〃項和分別為S",若色五飛，則滿足今《的正整數〃有（）

A.4個B.3個C.2個D.I個

S2〃+2

跟蹤訓練3.已知S.，7；分別為等差數列｛q｝,也｝的前幾項和，冒=言行，設點A是直線BC外一點，

點P是直線BC上一點，4P=&善48+/IC4,則久的值為（）

a

129cl1

A.----B.-----C.—D.—

1199113

考點四等差數列前n項和最值

典例L已知等差數列｛q｝的前〃項和為S.，若S23＞O,S”＜。，則下列結論正確的是（）

A.數列｛《｝是遞增數列B.例＞。

C.當S。取得最大值時，〃=13D.|?13|＞|?12|

典例2.在等差數列｛4｝中，^2025＜°，。2026＞。，且生026＞|“202$|，斗是其刖“項和，則（）

A.4凡，,,出您都小于0,S沏6，S切7，都大于0

B.S1.Sz，」.S404g都小于SSSOJO、S40sl.…都大-卜0

C.51,邑廣.,九14都小于0,九中靠".都大于0

D.耳國,…,S的都小于0同網,S40s2,…都大于0

跟蹤訓練1.設S.為等差數列｛“的前〃項和，（〃+1電＜礫/〃￡"）.若且＜-1,則（）

%

A.S"的最大值是鼠B.S”的最小值是冬

C.S”的最大值是S?D.S”的最小值是$

跟蹤訓練2.（多選）已知數列是等差數列，公差為d,前〃項和為S“，且為=2025,詠<-1,則（）

^2025

A.當〃=2024時，S.取最大值B.使得S“>0的〃的最大值為4048

C.使得S“<0的〃的最小值為4050D.-熠<-黑

40472024

考點五等差數列前n項和的其他性質

典例1.等差數列｛〃”｝共有2n+l項，其中4+4+“-+%川=4,4+a+-??+/”=3,則n的值為

A.3B.5C.7D.9

典例2.（多選）等差數列｛凡｝的前n項和為S”,已知5?=〃2-而+C,q=-8,則下列選項中正確的是（）

A.C=0,B=-9B.等差數列血｝的公差d=2

C.使S.>0成立的〃最小為1（）D.當〃=￡時，S.取得最小值

跟蹤訓練1.設S.為等差數列｛勺｝的前〃項和，且4=-2018,黑-鼻=2,則％=

201o201o

A.-2（）16B.-2018C.2018D.2016

跟蹤訓練2.一個等差數列共有2n+l項，其奇數項的和為512,偶數項的和為480,則中間項的值為（）

A.30B.31C.32D.33

跟蹤訓練3.在等差數列乩｝中，已知S網=10,S10=l（）（）,求%。.

考點六等差數列求和的實際應用

典例1.（2025?山東青島?三模）《九章算術》是中國古代的數學名著，書中有“分錢問題”：現有5個人分5

錢，5人分得錢數依次成等差數列，前兩人分得錢數之和等于后三人分得錢數之和，則分得錢數最少的一人

錢數為（）

A.—B.：C.—D.—

3236

典例2.《九章算術》“竹九節”問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的

容積共3升，下面3節的容積共4升，則第5節的容積為升.

跟蹤訓練1.（2025?江蘇宿遷?模擬預測）《周髀算經》中有這樣一個問題：從冬至口起，依次為小寒、大寒、

立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這十二個節氣，其日影長依次成等差數列，

若小寒、雨水、清明日影長之和為36尺，前八個節氣日影長之和為92尺，則谷雨日影長為（）

A.15B.16C.17D.18

跟蹤訓練2.（多選）佛山第一峰位于高明區皂幕山，其海拔最高達到804.5米.要登上皂幕山的最高峰，

共需要走6666級階梯.小明和小吉同時從第1級階梯出發登峰，假設他們在前30分鐘中，每分鐘走50級階

遞，由于體力有限，小明每隔30分鐘，其每分鐘走的階梯數減少5級，而小吉每隔30分鐘，其速度降低10%,

直到登上最高峰,則（）（參考數據:0.9、0.66,0.95.59,0.96*0.53,0.97H0.48）

A.小吉到達最高峰的時間比小明早

B.小明到達最高峰的時間比小吉早

C.小吉登上最高峰所需時間多于160分鐘

D.兩人到達最高峰的時間差距超過20分鐘

＞三階突破訓練＜

基礎過關

1.已知數歹11｛禺｝的前〃項和，則%=（）

A.6B.11C.12D.2

2.已知數列也｝的前〃項和為S..若％+《用=2〃+3嗎=1,則兀=（）

A.80B.85C.90D.95

3.已知數列｛%｝的前〃項和為5”，滿足與=兀，若見二后?一28，工0,〃工0）,則（）

A.22=//B.2=2//C.52=〃D.A=5//

4.已知等差數列｛4｝的公差不為0,設"為其前〃項和，若$25=0,則集合｛小="攵=1,2,,2025｝中元素

的個數為（）

A.2025B.2023C.2021D.2013

5.已知數列｛q｝是等差數列，金=（，則第=（）

%?%

A.—B.-C.-D.-

10389

6.等差數歹叫為｝滿足為+%=20,&=4,若S”為前〃項和，則S”最大時，”的值為（）

A.9或10B.8C.9D.10或11

7.（多選）某植物基因型為Aa的親本個體自交，第1代中雜合子Aa出現的概率為純合子AA和aa出

現的概率分別為:，之后每一代個體都自交，記第〃代中雜合子Aa出現的概率為明,純合子AA出現的概

率為“，則（）

A.數列｛q｝是等比數列B.第5代中雜合子Aa出現的概率為A

31

C.數列他｝是等差數列D.第5代中純合子AA出現的概率為看

8.（多選）已知等差數列｛4｝的前〃項和為S,,,若§3=18,%+%=28,則（）

A.5N=I\a6B.”6=2（）

C.$5=50D.%+S”的最小，直是4

9.已知等差數列-2,1,4,7,10,,現在其每相鄰兩項之間插入一個數，使之成為一個新的等差數列｛〃.｝,則

數列｛q｝的第13項為.

10.（多選）如果一個列從第二項起，每一項與它的前一項的差都為定值，那么這個列叫作等差數列，這個

差叫作等差列的公差.已知向量列｛4｝是以4=（1,3）為首項，d=（l,0）為公差的等差向量列，若向量a“與非

零向量以=（4x,+J（，?eN"）垂直，貝I」豆丁_____.

xi

II.（多選）已知等差數列也｝的前〃項和S”滿足S5=25R+%=12.

⑴求｛見｝的通項公式；

（2）若a=工匕，求也｝的前〃項和乙

能力提升

1.已知各項均不為零的等差數列｛%｝的前〃項和為5.，滿足％=6,SQS.,則｛q｝的公差d的取值范圍為

()

「63、(,3^(3小D.卜軻

A.B.-1,--C.--,0

174；14；14)

2.已知數列｛%｝滿足。e=4々"+1’則""一()

A.B.C.D.

n〃+14〃4/7+1

3.已知數列乩｝的前〃項和為S.,前〃項積為7；,若q+S.

=100。，則使Tn取得最大值時〃的值為（）

A.7B.8C.9D.10

4.已知等差數列｛4｝中，q+%=245-2,%+%|=26,則數歹ij｛④-COSM｝的前2026項的和為（）

A.1013B.1014C.2026D.2028

S

5.設數列｛%｝的前〃項和為S“，若寸為常數，則稱數列｛%｝為吉祥數歹U.已知等差數列｛"｝的首項為3,且

公差不為0,若數列低｝為吉祥數列，則數列｛包｝的通項公式為（）

A.bn=3〃B.bn=n+2

C.bn=4n-\D.bn=6/i-3

6.設等差數列｛凡｝滿足&■<一1，且其前〃項和S“有最大值，則當數列｛為｝的前〃項和S“取得最大值時，正

42

整數〃的值為（）

A.12B.11C.23D.22

7.隨機數表是人們根據需要編制出來的，由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數字組成，表中每一個

數都是用隨機方法產生的，如圖，現有甲、乙、丙三位同學合作在一個正二十面體的各面寫上0~9這10個

數字（相對的兩個面上的數字相同），這樣就得到一個產生0~9的隨機數的骰子.依次投擲這個股子，井逐個

記下朝上一面的數字，就能按順序排成一個隨機數表，若甲、乙、丙依次投擲一次，按順序記下三個數，

三個數恰好構成等差數列的概率為（）

8.記S.為數列｛6｝的前〃項和，已知4=1,%=3,2￡=歷+卮（〃22）,若則見的最小

值為（）

3

A.1B.-C.2D.3

2

9.（多選）在等差數列也｝中，/+%=72,4+%=2,記數列｛4｝的前〃項和為5'“，下列選項正確的是

()

A.弓=-9B.S”取最小值時，〃=6

C

C.數列:"是遞增數列D.數列｛㈤｝的前10項和為50

/\

10.（多選）已知點4”,”（“N）在焦點為/（1,0）的拋物線丁=2川（〃>0）上，其中｛%｝是各項均不為

I〃/

零的數列且。=L若|4閨=|4尸|+1，則（）

A.=/rB.數列｛Inqj為等差數列

2n?

C.^（-1/ai-hr+nD.Inal1<n——（//>2）

/=!〃

11.（多選）已知數列I,3,6,10,它的前后兩項之差組成新數列2,3,4,新數列2,3,4為等差數歹I」,

則數列1,3,6,10被稱為二階等差數列.現有二階等差數列｛j｝,其前6項依次為4,8,10,10,8,4,

則下列結論中正確的是（）

20

A.數列｛%-%｝的公差為2B.Z（q…q）=-300

21

C.數列｛qj的前7項和最大D.C21=-296

12.把數列｛3〃+2｝與｛4〃｝（〃eN'）的所有公共項去掉，剩余的項從小到大排序得到數列｛q｝,則數列｛《｝的

前202項和為.

13.1852年《孫子算經》中“物不知其數”問題的解法傳至歐洲，在西方的數學史上，“物不知其數”問題的解

法被稱為“中國剩余定理”.現有一個剩余問題：在［1,2025］的整數中，把被4除余數為1,被5除余數

也為1的數，按照由小到大的順序排列，得到數列也｝,則｛可｝的項數攵為,｛3｝的前&項和為.

真題感知

1.（2025全國二卷高考真題）記S“為等差數列｛丐｝的前〃項和，若其-6應--5,則S6-（）

A.-20B.-15C.-10D.-5

2.（2025?北京?高考真題）已知｛4｝是公差不為零的等差數列，4=-2,若成等比數列，則4。=（）

A.-20B.-18C.16D.18

3.（2025?天津?高考真題）3=-/+8〃，則數列｛|%|｝的前12項和為（）

A.112B.48C.80D.64

4.（202小仝國甲卷.高考真題）已知等差數列｛4｝的前，頂和為S”，若，=1,則4+q=（）

79

A.-2B.-C.1D.-

39

5.（2024?北京?高考真題）設｛〃.｝與佃｝是兩個不同的無窮數列，且都不是常數列.記集合

股=卜&=處A￡1<｝,給出下列4個結論：

①若｛q｝與｛0｝均為等差數列，則M中最多有1個元素；

②若｛?,｝與也｝均為等比數列，則M中最多有2個元素：

③若｛為｝為等差數列，｛2｝為等比數列，則M中最多有3個元素；

④若｛《,｝為遞增數列，｛4｝為遞減數列，則M中最多有1個元素.

其中正確結論的序號是.

5.(2025?全國一卷?高考真題)已知數列｛q｝中，％=3,+7二

(1)證明：數列為等差數列；

(2)給定正整數機，設困數/*)=q入十%/包十a“rx'"，求/'(-2).

6.(2024?上海?高考真題)若/(“=loguMa>0,4Wl).

⑴y=/(x)過(4,2),求“2x—2)</(x)的解集；

⑵存在x使得/(x+1)、/(如)、/(x+2)成等差數列，求。的取值范圍.

第02講等差數列及其前n項和

目錄

考情探究...........................................................14

知識梳理...........................................................15

探究核心考點.......................................................17

考點一等差數列前n項和基本量的計算..........................................17

考點二等差數列片段和的性質...................................................19

考點三兩個等差數列前n項和的比值............................................20

考點、8等差數列前n項和最值..................................................22

考曷五等差數列前n項和的其他性質............................................24

考點六等差數列求和的實際應用................................................25

三階突破訓練.......................................................28

基石出過關..................................................................................28

能力提升..................................................................................33

真題感知..................................................................................41

A考情探究＜

一、5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

2025年全國一卷，第7題，5

等差數列及其求和無

分

2024年新1卷,第19題,17分等差數列通項公式的基本量計算數列新定義

等差數列通項公式的基本量計算

2024年新田卷,第12題,5分無

求等差數列前〃項和

等差數列通項公式的基本量計算

2024年全國甲卷，第4題,5

利用等差數列的性質計算無

分

等差數列前n項和的基本量計算

由遞推關系證明數列是等差數列

2023年新1卷，第7題,5分充分條件與必要條件的判定

等差數列前〃項和的性質

筆差數列通項公式的基本量計算利用等差

2023年新1卷，第20題,12分數列的性質計算無

等差數列前n項和的基本量計算

利用定義求等差數列通項公式

2023年新0卷,第18題,12分筆差數列通項公式的基本量計算求等差數分組（并項）-奇偶項求和

列前n項和

二、命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分

【備考策略】1.理解等差數列的概念

2掌握等差數列的速項公式與前〃項和公式

3.能在具體的問題情境中識別數列的等差關系并能用等差數列的有關知識解決相應的問題

4.理解等差數列與一次函數的關系及等差數列通項公式與前〃項和的關系

5.熟練掌握等差數列通項公式與前〃項和的性質

【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，-一般給出數列為等差數列，或通過構造為等差數列，求通

項公式及前〃項和。需綜合復習

>知識梳理<

一、等差數列

1.等差數列的概念

一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等

差數列.這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示.即%d為常數.

2.等差中項

如果①A,人成等差數列，那么A叫做。與〃的等差中項，且人=交一.

2

3.等差數列的通項公式及其變形

以外為首項，d為公差的等差數列｛q｝的通項公式為q=q+（〃-l）d.

公式的變形：an=am+（n-m）d,myeN*.

4.等差數列與一次函數的關系

由等差數列的通項公式a”=q+（"l）d,可得=d〃+（a「d）.

令p=d,q=a-d,則+其中〃，4為常數.

（1）當〃工0時，（〃,可）在一-次函數）'=px+q的圖象上，數列｛q』的圖象是直線y=〃x+夕上均勻

分布的一群孤立的點，且當d>0時數列｛可｝為遞增數列，當d<0時數列｛%｝為遞減數列.

（2）當〃=0時，〃“=，/,等差數列為常數列，數列｛〃“｝的圖象是平行于x軸的直線（或x軸）上均

勻分布的一群孤立的點.

二、等差數列的前〃項和

1.等差數列的前〃項和

首項為％,末項為q,項數為〃的等差數列｛5｝的前〃項和公式：S〃二出（▲二〃6-皿三".

zd

令〃=耳q=aA,可得S“=〃r+w，則

①當〃￥（）,即d￥0時，5〃是關于〃的二次函數，點5,S“）是y=px2+qx的圖象上一系列孤立的點;

②當〃=0,即d=0時，s”是關于〃的一次函數①￥0,即400)或常函數①=0,即4=0),點

(〃,S”)是直線)，=qx上一系列孤立的點.

我們可以借助二次函數的圖象和性質來研究等差數列的前〃項和的相關問題.

2.用前〃項和公式法判定等差數列

等差數列的前〃項和公式與函數的關系給出了?種判斷數列是否為等差數列的方法：若數列｛q｝的前〃

項和S.=3/+為?+。，那么當且僅當。=0時，數列｛4｝是以〃+〃為首項，2。為公差的等差數列；

當CH。時，數列｛%｝不是等差數列.

三、等差數列的性質

1.等差數列的常用性質

由等差數列的定義可得公差為d的等差數列｛%｝具有如下性質：

(1)通項公式的推廣：an=afn+(n-m)d,m/vN*.

(2)若m+n=p+q,則《”十+勺wN*).

特別地，①若〃?+〃=2”，則=2%,。〃，幾N")；

②若加+〃+，=p+q+r,則ani+q,+q=ap+aq+ar(m,n,p,q,f,rwN*).

③有窮等差數列中，與首末兩項等距離的兩項之和都相等，都等于首末兩項的和，即

4+an=a2+an-\=L=4+4+1=L.

(3)下標成等差數列的項%4+2,”，L組成以〃?d為公差的等差數列.

(4)數列｛心“+4｝(八％是常數)是公差為〃的等差數列.

(5)若數列｛〃,｝為等差數列，則數列｛切〃士獨,｝億4是常數)仍為等差數列.

(6)若冊=q，4=P，則。…=。.

2.與等差數列各項的和有關的性質

利用等差數列的通項公式及前〃項和公式易得等差數列的前H項和具有如下性質：

設等差數列｛凡｝(公差為力和低｝的前〃項和分別為s”片,

V1

(1)數列｛」｝是等差數列，首項為％,公差為一d.

n2

(2)\,S2,-S,,S3,-S2A.,L,,L構成公差為爐d的等差數列.

s

(3)若數歹ij｛。〃｝共有2〃項，則S供一S奇=nd,—.

》偶勺+1

s

(4)若數列｛4｝共有2〃一1項，則s奇一S偶=%,]^=士(5奇=〃4,5偶=(〃-1)可).

Sze_a“Si-\_2〃L1a

FI=I,，Em=C■?.—，t

Tx.w-J.hnTx.w-1.2n-\hn

A探究核心考點＜

考點一等差數列前n項和基本量的計算

n'+n

A.Sn=

3〃4

D.a—In----

~2n

【答案】A

【分析】由題意可知數列｛%｝是一個公差為g,首項為，的等差數列，再等差數列算得前〃項和.

2

【詳解】由3a同=四+2,得%+]-〃“=§,

所以故數列｛q｝是一個公差為弓，首項為1的等差數列.

故選:A

典例2.已知數列｛《,｝滿足：％=1,-=急7?若%=｝，

⑴求證：佃｝為等差數列.

（2）求數列｛q｝的通項公式

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）將=翥、兩邊取倒數，即可得到%-2=2,從而得證；

（2）根據等差數列，先求出｛d｝的通項公式，進而根據2=,得出｛4｝的通項公式.

a12q,+lc1

【詳解】(1)因為見+1=尸、，所以——^=2+一，

24+1.凡4

即」一一'=2,且因為所以，+「6“=2,bt=-=l,

〃向a“44

所以｛包｝是以1為首項，2為公差的等差數列；

(2)由⑴知力“=1+2(〃-1)=2〃-1,

,111

又4=丁，明以4=萬二五二7，

即數列｛勺｝的通項公式為.

2〃一I

跟蹤訓練1.已知等差數列｛q｝中，52=-1,S4=6,則G=()

27171311

AA.—BR.—C.—Dn?—

2222

【答案】C

【分析】根據已知條件求出等差數列的苜項和公差，進而可求得數列第5項的值.

【詳解】因為數列｛q｝是等差數列,S2=-1,S4=6,

2q+d=-1

所以化簡得

“4x3,/24+31=3

4a.+-----d=6

12

3

解得q=-1,d=2,

所以％=4+（5_l）d=q+4x2='.

故選:C.

跟蹤訓練2.數列｛4｝滿足q=l,￡—=5+1（〃WN）.

⑴求證：數列,是等差數列；

I。"

⑵求數列也｝的逋項公式.

【答案】(1)證明見解析

(2)an=-^—

2