2026年高考數學總復習 高頻考點培優練：排列組合

排列組合

一、單選題

1.某獨唱比賽的決賽階段共有甲、乙、丙、丁四人參加，每人出場一次，出場次序由隨機抽簽確定，則丙不是第一個

出場，且甲或乙最后出場的概率是（）

A.BD.

6-Ic52

【答案】C

【解析】解法一：畫出樹狀圖，結合古典概型概率公式即可求解.

解法二：分類討論甲乙的位置，結合得到符合條件的情況，然后根據古典概型計算公式進行求解.

解法一：畫出樹狀圖，如圖,

甲乙

乙丙丁甲丙丁

AAAAAA

丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙

丁丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲

丙T

甲乙丁甲乙丙

AAAAAA

乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙

丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲

由樹狀性可得，出場次序共有24種,

其中符合題意的出場次序共有8種，

故所求概率P=—=~；

解法二：當甲最后出場，乙第一個出場，內有2種排法，丁就1種，共2種；

當甲最后出場，乙排第二位或第三位出場，丙有1種排法，丁就1種，共2種；

于是甲最后出場共4種方法，同理乙最后出場共4種方法，于是共8種出場順序符合題意;

基本事件總數顯然是A：=24,

Q1

根據古典概型的計算公式，所求概率為m=不

故選：c

2.現有5名志愿者報名參加公益活動，在某?星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動,

則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

【答案】B

【解析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續參加兩天公益活動的情況，即可得解.

不妨記五名志愿者為“0,c,d,e,

假設。連續參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有A：=12種方法，

同理：Ac,連續參加了兩天公益活匆，也各有12種方法，

所以恰有1人連續參加了兩天公益活動的選擇種數有5x12=60種.

故選：B.

3.甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種.則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】C

【解析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據分步乘法公式即可得到答案.

首先確定相同得讀物，共有C種情況，

然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有A；種，

根據分步乘法公式則共有C卜A；=120種，

故選：C.

4.有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，內和丁相鄰，則不同排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【解析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數原理即可得解

因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列，有3!種排列方式；為使甲不在兩端，

必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2

種排列方式，故安排這5名同學共有：3!x2x2=24種不同的排列方式，

故選：B

5.某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生

來自不同年級的概率為（）

A.16B.13。C12D0.-3

【答案】D

【解析】利用古典概率的概率公式，結合組合的知識即可得解.

依題意，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有C：二6件,

其中這2名學生來自不同年級的基本事件有C；C；=4,

49

所以這2名學生來自不同年級的概率為Z二彳.

63

故選：D.

6.某班有A,B,C,D,E五名同學要排成一排進行拍照，其中8同學不站在兩端，C,。兩名同學相鄰，則不同

的排列方式種數為（）

A.12B.24C.36D.48

【答案】B

【解析】將C,。捆綁，先排3同學，再將其余同學（CO看做一個整體）全排列.

根據題意，因為C,。兩名同學相鄰，所以有A；種，

又因為B同學不站在兩端，所以有4；種，其他同學（CQ看做一個整體）進行排列有A；種，

所以不同的排列方式種數為A；A；A；=24.

故選：B.

7.已知某校包含甲、乙、丙在內的7名同學參加了某次數學競賽，棄包攬了前7名（排名無并列），若甲、乙、丙中

的兩人占據前兩名，且丙不是最后兩名，則這7名同學獲獎的名次情況共有（）

A.524種B.564種C.624種D.664種

【答案】C

【解析】分兩種情況：甲、乙占據前兩名和丙在前兩名求解，然后再根據分類加法原理可求得結果.

若甲、乙占據前兩名，則所有的情況有A；C；A：=144種，

若丙在前兩名，則從甲、乙中選1人和丙排在前2名，故所有的情況有C；A；A；=480種，

故共有144+480=624種.

故選：C

8.某校新聞社團負責報道采訪本校田徑運動會，社團派出甲、乙、丙、丁四名成員到跳高、跳遠、短跑三個比賽場地

進行現場報道，且每個場地至少安排一人，則甲不在短跑場地的不同安排的方法數為（）

A.12B.18C.24D.32

【答案】C

【解析】由題意，分甲單獨與組隊兩種情況，利用特殊元素優先法以及分組分配的思想，可得答案.

當甲單獨一人進行現場報道時，甲有2種選擇，再將乙、丙、丁分配到其他兩個地方，

情況數為C；A；=6,則此時總的情況數為2x6=12；

當甲與人組隊進項現場報道M，先從乙、丙、丁中選出一人與甲組隊，則情況數為3,

再在跳高、跳遠選一個去進行現場報道，則情況數為2,

最后剩下的兩人安排去其他兩個地方，則情況數為A；=2,

所以此時總的情況數為3x2x2=12；

綜上，符合題意的情況數為12+12=24.

故選：C.

9.甲、乙等5名志愿者參加2025年文化和旅游發展大會的A、B、C、。四項服務工作，要求每名志愿者只能參加1

項工作，每項工作至少安排1人，且甲不參加B項工作，乙必須參加D項工作，則不同的安排方法數有（）

A.36種B.42種C.54種D.72種

【答案】B

【解析】按照8項工作安排的人數分為兩類，利用分類加法計數原理和分步乘法計數原理求解即可.

安排4項工作的人數分為兩類，

第一類，3項工作僅安排1人，因為甲不參加B項工作，乙必須參加。項工作，

從甲、乙以外的3人中選一人參加8項工作有C；種方法，

再安排A,C,。項工作，若。項工作安排兩人，則有A；種方法，

若。項工作安排一人，則有C；A；種方法，

所以“項工作僅安排I人共C（A；+C；A；）=36種方法，

第二類，B項工作安排2人，有C；A；=6種方法，

由分類加法計數原理，得共有36+6=42種方法.

故選：B.

10.永定土樓，位于中國東南沿海的福建省龍巖市，是世界上獨一無二的神奇的山區民居建筑，是中國古建筑的一朵

奇葩.2008年7月，成功列入世界遺產名錄?它歷史悠久、風格獨特，規模宏大、結構精巧?土樓具體有圓形，方形，五

角形，八角形，日字形，回字形，吊腳樓等類型?現有某大學建筑系學生要重點對這七種主要類型的土樓依次進行調查

研究?要求調杳順序中，圓形要排在第一個或最后一個，方形、五角形相鄰?則共有（）種不同的排法.

A.180B.240C.384D.MdO

【答案】A

【解析】利用捆綁法求解即可.

將方形、五角形看成一個整體，與除圓之外的4個圖形全排列，

再將圓形安排在第一個或最后一個，因此共有A；A>2=480種不同的排法.

故選：A

H.男、女各3名同學排成前后兩排合影留念，每排3人，若每排同一性別的兩名同學不相鄰，則不同的排法種數為

（）

A.36B.72C.144D.288

【答案】B

【解析】先求出第一排有2名男生，1名女生，根據分步乘法計數原理求出不同的站法種數.同理可得，第一排有I名

男生，2名女生，不同的站法種數.然后根據分類加法計數原理，相加卻可得出答案.

若第一排有2名男生，I名女生，則第一排女生只能站中間，第二排男生只能站中間，

不同的排法種數為CjA；C；A：=36；

同理可得：若第一排有1名男生，2名女生，不同的排法種數為36.

根據分類加法計數原理可知，不同的排法種數為36+36=72.

故選：B.

12.某單位安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，

且連續3天值班，其他人員每人值班I天，則不同的安排方法種數為（）

A.120B.108C.96D.72

【答案】D

【解析】根據題意，分兩步進行分析?：先分析甲星期一、星期日不值班，且連續3天值班的情況，再將剩下四個人進

行全排列，由分布計數原理可得答案.

甲要求星期一、星期日不值班，且連續3天值班，

則可以安排在（周二、周三、周四），（周三、周四、周五），（周四、周五、周六），

共3種情況.

剩下四個人進行全排列，安排在剩下4天，有A：=24種情況，

則有24x3=72種不同的安排方法.

故選：D

13.甲、乙、丙、丁、戊5名同學進行勞動技術比賽，決出第I名到第5名的名次.甲和乙去向老師詢問成績，老師對甲說：

“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍對乙說：“你當然不會是最差的從這兩個回答分析，5人的名次排列的情形有（）

A.36種B.48種C.54種D.64種

【答案】c

【解析】由排列數計算，根據分步乘法原理，可得答案.

分三步完成：冠軍有A；種可能，乙的名次有A；種可能，余下3人有A；種可能，

所以5人的名次排列有A；A；A；=54（種）不同情況，

故選：C.

14.用數字1、2、3、4、5組成沒有重復數字的三位數組成集合用，現從集合M中任取一個數，它能被3整除的條

件下，這個數能被5整除的概率為（）

A.—B.-C.-D.一

15645

【答案】B

【解析】記事件4：從集合例中任取一個數，這個數能被3整除，記事件8:從集合M中任取一個數，這個數能被5整

除，利用排列計數原理求出〃（A）的值，利用列舉法求出〃（AB）的值，再利用條件概率公式可求出產（8|A）的值.

記事件A:從集合M中任取一個數，這個數能被3整除，

記事件8:從集合M中任取一個數，這個數能被5整除，

1、2、3、4、5中能被3整除的為3,被3除余數為1的有：I、4,被3除余數為2的有：2、5,

現考慮無重復數字的三位數能被3整除，則所選的三個數應從1、4選擇一個，從2、5中選擇一個，3必選，

所以，〃（A）=2x2xA；=24,

無重復數字的三位數既能被5整除，又能被3整除的有：135、315、435、345,即〃（43）=4,

/.、n（AB）41

由條件概率公式可得p（同力=五二%.

故選：B.

15.現將12個相同的小球全部放入4人不同的盒子里，每個盒子至少放2個小球，則不同的放法共有（）

A.24種B.35種C.56種D.70種

【答案】B

【解析】先在每個盒子中分別放入一個小球，剩余的8個小球采用隔板法即可.

先在每個盒子中分別放入一個小球則剩余8個小球，

只需保證4個盒子中分別再放入至少1個小球，則采用隔板法可得有C；=35種放法.

故選擇：B

16.將六個連續的整數隨機排成一行，則從左到右先遞增再遞減的排列方式有（）

A.720種B.120種C.32種D.30種

【答案】D

【解析】根據k的取值，進行分級，逐項判斷即可.

六個連續的整數隨機排成先遞增再遞減的單峰序列，封頂必須是最大整數.封頂位置k可在第2、3、4、5位，

對于每個"左邊需選個數并按升序排列，右邊選6-4個數并按絳序排列.

當&=2時，左邊選1個數，方式有Cl=5和I

當々=3時，左邊選2個數，方式有C；=10種；

當4=4時，左邊選3個數，方式有C；=10種；

當A=5時，左邊選4個數，方式有C；-5種；

所以C；+C+C；+C；=5+1O+IO+5=3O.

故選：D

二、填空題

17.某校組織學生參加農業實踐活動，期間安排了勞動技能比賽，比賽共5個項FI，分別為整地做畦、旱田播種、作

物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規定每人參加其中3個項目.假設每人參加每個項目的可能性相同，則甲同學參加“整地

做畦”項目的概率為:已知乙同學參加的3個項目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項目的概率為.

【答案】|g

【解析】結合列舉法或組合公式和概率公式可求解第?空：采用列舉法或者條件概率公式可求第二空.

解法一：列舉法

給這5個項目分別編號為A&C2EF,從五個活動中選三個的情況有：

ABCABD、ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE.CDE，共10種情況，

其中甲選到A有6種可能性：ABC.ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

則甲參加“整地做畦”的概率為：P=^=|；

乙選A活動有6種可能性：ABC.ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

其中再選擇。有3種可能性：ABD,ACD,ADE,

故乙參加的3個項目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項目的概率為之31

62

解法二：

設甲、乙選到A為事件乙選到。為事件N,

則甲選到A的概率為P（M）爺=］；

1

=

乙選了A活動，他再選擇。活動的概率為P(N|M)=RI1=2-

故答案為：(；

18.某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課

至少選修1門，則不同的選課方案共有種(用數字作答).

【答案】64

【解析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門,再討論具體選修課的分配，結合組合數運算求解.

(I)當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有C：C：=16種；

(2)當從8門課中選修3門，

①若體育類選修課I門，則不同的選課方案共有C；C：=24種；

②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有C：C=24種；

綜上所述；不同的選課方案共有16124124=64種.

故答案為：64.

19.有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6,從中無放回地隨機取3次，每次取1個球?記加為前兩次取出

的球上數字的平均值，〃為取出的三個球上數字的平均值，則，〃與〃之差的絕對值不大于g的概率為.

【答案】R7

【解析】根據排列可求基本事件的總數，設前兩個球的號碼為。口，第三個球的號碼為J則力+3,

就c的不同取值分類討論后可求隨機事件的概率.

從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120種，

設前兩個球的號碼為〃，以第三個球的號碼為。，則竺手二-等

故12c」(a+b)|43,故一3K2c-(a+〃)K3,

itl.a+b-3<2c<a+b+3,

若c=l,則a+bW5,則力)為：(2,3),(3,2),故有2種，

若。=2,則l4a+H7,則(。㈤為：(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10#,

當c=3,則3Wa+力S9,則(。,。)為:

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2J),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16種，

當c=4,則同理有16種，

當c=5,則7Ka+匕413,同理有10種，

當c=6,M9<?+Z><15,同理有2種，

共〃?與〃的差的絕對值不超過;時不同的抽取方法總數為2(2+10+16)=56,

故所求概率為言=巳.

7

故答案為：5

20.一個質點從平面直角坐標系的原點出發，每秒末必須等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一個單位長度，則

此質點在第10秒末到達點P(4,2)的跳法共有種.(用數字作答)

【答案】9450

【解析】結合題意先分三類，每類由乘法原理結合組合數計算，再由分步加法原理求和.

3

2

1

O1234567*

質點第1。秒末到達點尸(4,2)共跳了10次，可分三類情況討論：

第一類，向右跳4次，向上跳4次，向下跳2次，有C；CC=3150種；

第二類，向右跳5次，向左跳1次，向上跳3次，向下跳1次，有C：,)C；C：C：=5040種；

第三類，向右跳6次，向左跳2次，向上跳2次，有C；oC；=126O種；

根據分類計數原理得，共有3150+5040+1260=9450(種).

故答案為：9450.

21.有〃個空置車位排成一排，每個車位只能停放一輛車，現將3輛不同的車停放在車位上，若3輛車互不相鄰與恰

有2輛車相鄰的停車方法數相等，則〃=(用數字作答).

【答案】10

【解析】假設3輛車臼帶了車位，利用插空法和捆綁法求出3輛車G不相鄰與恰有2輛車相鄰的停車方法數，即可得到

方程，解得即可.

假設3輛車自帶了車位，余下還有〃-3個車位，產生了〃-2個空位，

現將3輛車插空，則有種停放方法，使得3輛車互不相鄰；

又恰有2輛車相鄰，將兩輛車捆綁作為一組，另外一輛車作為一組，則有C；A；種方法,

再兩組車將插到〃-2個空位，則有A3種停放方法,

所以有C；A；A3種停放方法，使得恰有2輛車相鄰,

依題意可得C；A；A￡=A，，

即6(〃-2)(〃-3)=(〃-2)(〃-3)(〃-4),依題意〃>4,解得〃=10.

故答案為：10

22.有6張卡片，分別標有數字L2,3,4,5,6,現從這6張卡片中隨機抽出2張，則抽出的2張卡片上的數字之和等于5

的概率為.

2

【答案】75

【解析】總共有C；=15種情況，抽出的2張卡片上的數字之和等于5的有1,4或2,3共2種，由古典概型可求得具

概率.

從6張卡片中隨機抽出2張，則樣本空間中總的樣本點數為C：=15,

其中抽出的2張卡片上的數字之和等于5的組合有1,4或2,3共2種，

2

所以抽出的2張卡片上的數字之和等于5的概率為吉.

故答案為：言.

23.6根長度相同的繩子平行放置在桌面上，分別將左、右兩邊的6個繩頭各自隨機均分成3組，然后將每組內的兩個

繩頭打結，則這6根繩子恰能圍成一個大圈的概率為一.

【答案】得

【解析】根據平均分組列式結合組合數及排列數計算再結合古典概型計算求解.

左、右兩邊的各6個繩頭各自隨機均分成3卻.

..C^C;C：C：C：

共有一下工二15x15=225種,

先選定左邊第一條繩了?的繩頭，然后從左邊剩下的5個繩頭里任取一個打結，

然后按照從右邊4個繩頭里任取一個，從左邊3個繩頭里任取一個，從右邊2個繩頭里任取一個的順序打結，一共有A；

種,

所以6根繩子恰能圍成一個大圈的概率為叢=色.

22515

故答案為:,

24.學校運動會需要從5名男生和2名女生中選取4名志愿者，則選出的志愿者中至少有一名女生的不同選法的種數

是（請用數字作答）

【答案】30

【解析】根據分類討論，結合組合的知識求得正確答案.

選出的志愿者中，1個女生3個男生時，方法數有C；C；=20科】，2個女生2個男生時，方法數有C；C；=10種，所以不

同選法有20+10=30種.

故答案為：30.

25.現有第19屆亞運會、第9屆亞冬會吉祥物“宸宸”“琮琮皿蓮蓮”“濱濱”“妮妮”卡片各?張，將這5張卡片貼在墻上，

貼成上下兩行，第一行2張，第二行3張，則“濱濱”和“妮妮”卡片在不同行的不同貼法的種數為.（用數字

作答）

【答案】72

【解析】先確定“濱濱”和“妮妮”的位置，再對其余三張卡片進行全排列，最后根據分步乘法計數原理計算出不同貼法的

種數.

“濱濱”和“妮妮”卡片在不同行，分兩種情況討論：

若“濱濱”在第一行，“妮妮''在第二行，從第一行的2個位置中選1個給“濱濱”，有C；種選法；從第二行的3個位置中選1

個給“妮妮”，有C；種選法.根據分步乘法計數原理，此時共有C；xC；=2x3=6種貼法.

若“濱濱”在第二行，“妮妮”在第一行，從第二行的3個位置中選1個給“濱濱”，有C；種選法；從第一行的2個位置中選1

個給“妮妮”，有C；種選法.根據分步乘法計數原理，此時共有C；xC；=3x2=6種貼法.

所以“濱濱”和“妮妮”卡片在不同行的貼法共有6+6=12種.

在確定“濱濱”和“妮妮”的位置后，還剩下3張卡片，這3張卡片進行全排列，有A；種排法.可得A；=3x2xl=6種排法.

根據分步乘法計數原理,完成“濱濱”和“妮娓”卡片在不同行的貼法需要分兩步，第一步確定“濱濱”和“妮妮”的位置,有

12種貼法第二步對其余三張卡片進行全排列，有6種排法.所以不同貼法的種數為12x6=72種.

故答案為：72.

26.某市舉行數學“兀”節競賽活動，某學校有7名數學成績優秀的學生，其中4名男生3名女生，該學校需從中選派3

人組成代表隊參賽，其中男生甲和女生乙至少有一人入選，不同的選派方法共有種（數字作答）.

【答案】25

【解析】男生甲和女生乙至少有一人入選包含僅選甲不選乙，僅選乙不選甲及同時選甲和乙三種情況，分別列式再求

和即可.

由題意，男生甲和女生乙至少有一人入選包含三種情況：

①僅選甲不選乙，從剩余5人中選2人，C；=10種，

②僅選乙不選甲，同理，C=10種，

③同時選甲和乙，從剩余5人中選1人，C；=5種，

所以不同的選派方法共有10+10+5=25科1.

故答案為：25.

27.用1,2,3,4四個數字組成一個六位數，要求3,4不排在偶數位置（最高位為第一位），每個數字至少用一次，

則不同的六位數共有一個.（用數字作答）

【答案】120

【解析】根據題意先分析每個數字出現的次數，再給有限制條件的3和4安排位置即可求解.

根據題意分成三種情況：

第一種情況；1和2其中一個數字用一次，另一個數字用三次，3