平面直角坐標系中點的坐標規律探究【八大題型】（人教版）解析版

專題9.3平面直角坐標系中點的坐標規律探究【八大題型】

【人教版2024]

＞題型梳理

【題型1沿平行于坐標軸方向運動的點的規律探究】...............................................1

【題型2沿斜線運動的點的規律探究】............................................................4

【題型3沿曲線運動的點的規律探究】............................................................7

【題型4沿坐標系翻折運動的點的規律探究】.....................................................10

【題型5繞原點呈“回”字形運動的點的規律探究】.................................................13

【題型6平面直角坐標系中圖形的變換規律探究】.................................................16

【題型7平面直角坐標系中坐標的變換規律探究】.................................................20

【題型8新定義問題中點的規律探究】...........................................................22

“舉一反三

【題型1沿鉛亍于坐標軸方向運動的點的規律探究】

【例1】(24-25七年級?江西新余?期末)如圖，在平面直角坐標系中，?巡查機器人接到指令，從原點。出

發，沿著路線。-*AlTy42TA3T4TA5TA6TA7T48移動，每次移動1個單位長度，依次得到

4(0,1),&(Ll)，/(IQ，…根據這個規律，點＜2024的坐標為()

A.(1011,-1)B.(1011,0)C.(1012,-1)D.(1012,0)

【答案】D

【分析】本題考查了點的坐標規律，找到規律是解題的關鍵.

先根據圖中點的排列，找出規律，再計算求解.

【詳解】解：根據圖形發現，點的運動呈規律排列，8個點為一個周期，一周期橫坐標增加4,

A20244-8=253,

???所以點力2024的橫坐標為253X4=1012,

則點人2024的縱坐標與的縱坐標是相同的，

由圖易知，點4的縱坐標為0,即點^2024的縱坐標為0，

點42024的坐標為(1012,0),

故選：D.

【變式1-1](24-25七年級?全國?專題練習)如圖，在平面直角坐標系中，24(1,1),5(-14),C(-l,-2),D(L-

2).把一條長為2012個單位長度且沒有彈性的細線(線的粗細忽略不計)的一端固定在點八處，并按4-B-

。一。一力一…的規律緊繞在四邊形力的邊上，則細線另一端所在位置的點的坐標是()

【答案】B

【分析】本題利用點的坐標考查了數字變化規律，根據點的坐標求出四邊形48。。的周長，然后求出另一端

是繞第幾圈后的第幾個單位長度，從而確定答案.

【詳解】解：?.,4(1,1)鳳一1,1)￡(-1,-2),。(1,-2),

：,AB=1-(-1)=2,BC=1-(-2)=3,CD=1-(-1)=2,DA=1-(-2)=3,

，繞四邊形力BCD一周的細線長度為2+3+2+3=10,

20124-10=201……2,

???細線另一端在繞四邊形第202圈的第2個單位長度的位置，

即點B的位置，點的坐標為(一1,1).

故選：B.

【變式1-2](24-25七年級.全國?專題練習)如圖，一個質點在第一象限及x軸、y軸上運動，在第一秒鐘，

它從原點(0,0)運動到(0,1),然后接著按圖中箭頭所示方向運動,即(0,0)-(0,1)-(1,1)一(1,0),且每秒移

動一個單位長度，那么第99秒時質點所在位置的坐標是()

A.(9,U)B.(U,9)C.(8,0)D.(。,8)

【答案】A

【分析】本題考查了點的規律探究，根據已知點的坐標，以及點的移動速度，得到點移動到(幾?I)時，用的時

間為九(九+1)秒，且當點移動到(0,九)時，九為奇數時，先向右移動九秒，得到(九九)，再向下移動九秒,得到(凡0),

"為偶數時，向上移動一個單位，得到(0,九+1),進行求解即可，根據題意找到點的坐標變化規律是解題的

關鍵.

【詳解】解：由圖和題意可知：

當點移動到(L1)時，用時2秒,

當點移動到(2,2)時，用時6秒，

當點移動到(3,3)時，用時移秒,

…，

???點移動到(幾〃)時，用的時間為n(7t+1)秒，

當點移動到(0,1)時,先向右移動1秒,得到(1,1),再向下移動1秒得到(1,0)，

當點移動到(0,2)時，向上移動1秒，得到(0,3),

當點移動到(0,3)時，先向右移動3秒，得到(3,3),再向下移動3秒得到(3,0),

???當點移動到(0,n)時，n為奇數時，先向右移動n秒,得到(幾九)，再向下移動n秒，得到(幾0),n為偶數時，

向上移動1秒，得到(0,71+1),

???當點移動到(9,9)時，用時9X10=90秒，再向下移動9秒，得到(9,0),

即第99秒時質點所在位置的坐標是為(9,0),

故選:A.

【變式1-31(24-25七年級?內蒙古呼和浩特?期中)如圖,在平面直角坐標系中，點P(l,0).點P第1次向

上跳動1個單位長度至點Pi(l,l),緊接著第2次向左跳動2個單位長度至點「2(-1,1)，第3次向上跳動1個單位

長度至點鼻，第4次向右跳動3個單位長度至點。4,第5次又向上跳動1個單位長度至點生，第6次向左跳動4個

單位長度至點P6……照此規律，點P第2024次跳動至點「2024,則點P2024的坐標是()

A.(-506,1010)B.(-505,1010)

C.(507,1012)D.(506,1011)

【答案】C

【分析】本題考杳了點坐標的規律探索，解題的關鍵是準確找出點的坐標變化規律.設第九次跳動至點分，

根據部分點匕坐標的變化確定變化的規律，結合2024=506x4,即可求解.

【詳解】解：設第n次跳動至點匕，

觀察發現:，，(，，七(外(

P(L0)PiCM)P2(-U)?23-12)8(2,2),2,3),P6(-2f3),P7(-2,4),P8(3,4),3,5),...

???伍〃)，("為自然數),

n(n+l,2P4n+1(n+l,2n+l),P4n+2(-n-lf2n+1),P4n+3(-n-lt2n+2),

72024=506x4,

?“2024(506+1,2x506)，

即「2024(507,1。12),

故選：C.

【題型2沿斜線運動的點的規律探究】

【例2】(24-25七年級?河南周口?階段練習)如圖，在平面直角坐標系中，有若干個整點，按圖中一方向排

列，即(0,0)t(0,1)->(1,1)-(2,2)t(2,3)t(3,3)t(4,4),…,則按此規律排列下去笫2024個點的坐

A.(1347,1348)B.(1348,1348)C.(1348,1349)D.(1349,1349)

【答案】C

【分析】本題考查的是坐標規律的探究，解題的關鍵是仔細觀察坐標變化規律，掌握從具體到一般的探究方

法.

先由題意寫出前幾個點的坐標，觀察發現并歸納：橫坐標與縱坐標相等且為偶數的點的坐標特點，從而可

得答案.

【詳解】7(0,0)->(0,1)t(1,1)-(2,2)-(2,3)t(3,3)「(4,4)

T(4,5)T(5,5)T(6,6)T(6,7)->(7,7)->(8,8)...,

???觀察發現：每三個點為一組，每組第一個點坐標為(2n-2,2n-2),2024+3=674……2,

???第2024個點在第675組的第二個，

???第675組的第一個點坐標為(1348,1348),

???第2024個點的坐標為(1348,1349),

故選：C.

【變式2-1](24-25七年級?重慶銅梁?期末)如圖，在平面直角坐標系中，動點尸從原點出發，第1次運動

到點匕(1,1),第2次運動到點。2(2,0),第3次運動到點23(2,-1),第4次運動到點PM3,-1),第5次運動

到點Ps(3,0)........按這樣的運動規律.點P28的坐標是()

A.(16,1)B.(17,0)C.(17,-1)D.(18,-1)

【答案】C

【分析】本題考查了點坐標的規律探究.根據題意推導一般性規律是解題的關鍵.

由題意知，每5個點循環一次，由28=5x5+3,可知產28與23具有相同的特征，由23(2,-1)，降(5,-1)，

P13(8,-1),可推導一般性規律為p5n-2(3幾一1,一1)，由571—2=28,可求n=6,則228(3x6-1,一1),求

解作答即可.

【詳解】解：由題意知，每5個點循環一次，

728=5x5+3,

???P28與具有相同的特征，

??摩3（2,-1）,P8（5,-l）,33（8,-1）,

???可推導一般性規律為Psn-2（3八一L-1），

V5n-2=28,

An=6?

AP28（3X6-1,-1）,即P28（37,-l），

故選：C.

【變式2-2](24-25七年級?江西南昌?期末)如圖，在平面直角坐標系xOy中，動點P按圖中箭頭所示方向依

次運動,第1次從點(一1,0)運動到點(0,1),第2次運動到點(1,0),第3次運動到點(2,-2),…按這樣的運

D.（2024,0）

【答案】B

【分析】本題考查了點的坐標規律，由題意出規律每四次運動，力.P的縱坐標相同，橫坐標每運動一次就加1,

結合2024-4=506.即可得出動點P第2024次運動到點的橫坐標為-1+2024=2023,縱坐標與第4次運

動后的點的縱坐標相同，為0,從而得解.

【詳解】解：???第1次從點(-1,0)運動到點(0,1),

第2次運動到點(1,0),

第3次運動到點(2,-2),

???由此可以得到規律，每四次運動，點P的縱坐標相同，橫坐標每運動一次就加I,

???2024+4=506,

???動點P第2024次運動到點的橫坐標為-1+2024=2023,縱坐標與第4次運動后的點的縱坐標相同，為0,

:.動點P第2024次運動到點(2023,0),

故選：B.

【變式2-3](24-25七年級?廣東汕尾?期末)如圖，在平面直角坐標系上，點4(1,0)第1次跳動至點4式-1,1),

第2次向右跳動3個單位長度至點人2（2,1）,第3次跳動至點43（-2,2）,第4次向右跳動5個單位長度至點

024的坐標是.

【分析】本題考查點的坐標規律探究，根據題意，找到前幾個坐標變化規律，然后求解即可.

【詳解】解：由題意,.42（2,1）,公（一2,2）,力式3,2）,人（一3,3）,4（4,3）,

依次類推，發現力271-式一九，/），42n（九+1，九）

?。2024(1013,1012)，

故答案為：（1013,1012）.

【題型3沿曲線運動的點的規律探究】

【例3】（24-25七年級?山東德州期中）如圖所示，在平面直角坐標系中，半徑均為1個單位長度的半圓。】，

02,。3,…組成一條平滑的曲線.若點P從原點。出發，沿這條曲線向右運動，速度為每秒；個單位長度，則

【答案】D

【分析】此題考查了點的規律變化，求出移動4次縱坐標完成一個循環，從而可得出點P的坐標.

【詳解】解：半徑為1個單位長度的半圓的弧長為3X271X1=7T,

???點P從原點0出發，沿這條曲線向右運動，速度為每秒三個單位長度,

???點P每秒走3個半圓，

當點尸從原點。出發,沿這條曲線向右運動,運動時間為1秒時,點P的坐標為(1,1),

當點尸從原點。出發,沿這條曲線向右運動,運動時間為2秒時,點P的坐標為(2,0),

當點P從原點0出發,沿這條曲線向右運動,運動時間為3秒時,點戶的坐標為(3,—1),

當點P從原點。出發,沿這條曲線向右運動，運動時間為4秒時,點P的坐標為(4,0),

當點P從原點。出發,沿這條曲線向右運動，運動時間為5秒時,點P的坐標為(5,1),

當點P從原點。出發,沿這條曲線向右運動，運動時間為6杪時,點P的坐標為(6,0),

二點P的橫坐標和運動的秒數相同，縱坐標以1、0、-1、0為一個周期依次循環,

???20244-4=506,

P的坐標是(2024,0),

故選:D.

【變式3-1](24-25七年級?廣東惠州?期中)如圖，在直角坐標系中，四邊形A8C0是正方形，

5(-1,-1),C(一1,1)，0(1,1).曲線441、4力2、443…叫做”正方形的漸開線"，其中弧"1、弧人遇2、弧

伙、弧444、…的圓心依次是點B、C、D、A循環，則點4024的坐標是

【答案】(4049,-1)

【分析】本題主要考查了點的坐標的變化規律和對“正方形的漸開線”的理解.先分別求出力1的坐標是

(-1,-3),力2的坐標是(一5,1),4的坐標是(1，7)，4的坐標是(％-1)，從中找出規律，依規律計算即可.

【詳解】解?：從圖中可以看出4的坐標是(一1,一3),公的坐標是(一5,1),小的坐標是(1,7)，4的坐標是(9，T)：

由題意可知，???202444=506,

???點42024的坐標是44的坐標循環后的點.

依次循環則4024的縱坐標是一1，44,4……，橫坐標是可以用y=2n+1（71為自然數）表示.

當n=2024時,

???%=2x2024+1=4049.

???々024的坐標是（4049,-1）；

故答案為：（4049,-1）.

【變式3-2］（24-25七年級?山東臨沂?期中）如圖，在平面直角坐標系中，放置一個半徑為I的圓，與兩坐

標軸相切，若該圓沿x軸正方向滾動2020圈后（滾動時在入軸上不滑動），則該圓的圓心坐標為（）

A.（4040TT+1,0）B.（4040r+1,1）C.（4040〃-1,0）D.（4040兀-1,1）

【答案】B

【分析】先求出圓的周長，在根據滾動的圈數求出求出滾動總距離即可.

【詳解】解：???圓的半徑為I,

二圓的周長為27rx1=27r.

??,題圖中圓的圓心坐標為（1,1），

???該圓向x軸正方向滾動2020圈后（滾動時在x軸上不滑動），此時該圓的圓心橫坐標為2020x2^+1=

4040萬+1,縱坐標為1,即（404。立+1,1）,

故選：B.

【點睛】本題考查平面直角坐標系，熟記圓的周長公式及并掌握平面直角坐標系點坐標的規律是解題的關鍵.

【變式3-3］（24-25?湖北恩施?七年級期末）我們把I,I,2,3,5,8,13,21,…組數稱為斐波那契數歹人

為了進一步研究，依次以這列數為半徑作90。圓弧，弧P/P2,弧匕P3,弧人丹，…得到斐波那契螺旋線，

然后依次連接修產2,p2P3,夕3巴得到螺旋折線（如圖），已知點B（0,1）,P2（-1，0），P3（0,-I）,

則該折線上的點的坐標為.

【答案】(-40,-9).

【分析】我們把1,1,2,3,5,8,13,21,34,…組數稱為斐波那契數列，觀察圖象，推出Pg的位置,

即可解決問題.

【詳解】由題意，凸在匕的正上方，推出網在外的正上方，F/o在P7的正左方，

且P/。的橫坐標為：-34-6=-40,Bo的縱坐標與尸7的縱坐標相等是-9,

所以P/o的坐標為(-40,-9),

故答案為(-40,-9).

【點睛】此題考查規律型：點的坐標，解題的關鍵是理解題意，確定Pio的位置.

【題型4沿坐標系翻折運動的點的規律探究】

【例4】(24-25七年級?湖南永州?期中)如圖,在平面直角坐標系%Oy中,A,B,3。是邊長為1個單位長

度的小正方形的頂點，開始時，頂點力，B依次放在點(1,0),(2,0)的位置，然后向右滾動，第I次滾動使點

C落在點(3,0)的位置，第2次滾動使點。落在點(4,0)的位置，…，按此規律滾動下去，則第2025次滾動后,

頂點力的坐標是()

A.(2024,1)B.(2026,1)C.(2025,0)D.(2026,0)

【答案】B

【分析】本題主要考查了點的坐標變化規律，解題關鍵是找到點A隨滾動次數的變化規律.列舉幾次滾動后

的人點坐標，找到滾動次數與點A坐標之間的規律，進而求出第2023次滾動后頂點A的坐標.

【詳解】解：第1次滾動點4的坐標為(2,1),

第2次滾動點42的坐標為(4,1)，

第3次滾動點①的坐標為(5,0)，

第4次滾動點兒的坐標為(5,0)，

第5次滾動點4的坐標為(5,1),

每滾動4次一個循環，

???Atn+1(4"+2,1),4471+2(4九+4,1),4m+3(4/+5,0),44兀+4(4幾+5,0)，

???2025+4=506…1,

:.42025(4x506+2,1),

即{2025(2026,1),

故選：B.

【變式4-1](24-25?廣東梅州?七年級期末)如圖，在平面直角坐標系中，將AABO沿x軸向右無滑動的滾

動到△AB￡i的位置，再到△A1B1C2的位置…依次進行下去，若已知點A(3,0),B(0,4),AB=5,則點A199的

【詳解】解：。力+力慶+8^2=3+5+4=12,

所以點為(12,4),41(12,3)；

繼續旋轉得，

F4(2X12,4),力424,3)；

F6(3x12,4),力5(36,3)...

發現規律：

fi20O(100X12,4),4199(1200,3).

所以點499的坐標為(1200,3).

故答案為：(1200,3).

【變式4-2](24-25湖南長沙七年級期末)如圖，正方形ABCD的頂點A(1,1),B(3,1),規定把正方形ABCD先

沿X軸翻折，再向左平移1個單位為一次變換，這樣連續經過2024次變換后，正方形ABCD的頂點C的坐標

為()

A.(-2023,3)B.(-2023,-3)C.(-2021,3)D.(-2021,-3)

【答案】C

【分析】此題考查了對稱與平移的性質，屬于規律性題目，首先由正方形"CD的頂點力(1,1),8(3,1),C(3,3),

然后根據題意求得第1次、2次、3次變換后的點。的對應點的坐標，即可得規律，進而求解

【詳解】：正方形48CD的頂點力(1,1),8(3,1),

??.C(3,3)

根據題意得：笫1次變換后的點。的對應點的坐標為(2,-3)

第2次變換后的點。的對應點的坐標為(1,3)

第3次變換后的點。的對應點的坐標為(0,-3)

第八次變換后的點C的對應點的坐標為，當n為奇數時為(3-n,-3)；當n為偶數時為(3-n,3)

???連續經過2024次變換后，正方形A8CD的頂點C的坐標為(-2021,3)

故選：C.

【變式4-3](24-25?河北?七年級期末)平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數，且橫、縱坐標之和

大于0的點稱為“和點將某“和點”平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標之和除以3所得的余數(當

余數為。時，向右平移；當余數為1時，向上平移；當余數為2時?，向左平移)，每次平移1個單位長度.

例：“和點”P(2,l)按上述規則連續平移3次后，到達點為(2,2)，其平移過程如下：

右上左

P(2.1)?匕(X1)—?a(3.2)—?P、(2.2)

余0余1余2

若"和點”Q按上述規則連續平移16次后，到達點心6(-1，9)，則點Q的坐標為()

A.(6,1)或(7,1)B.(15,-7)或(8,0)C.(6,0)或(8,0)D.(5,1)或(7,1)

【答案】D

【分析】本題考杳了坐標內點的平移運動，熟練掌握知識點，利用反向運動理解是解決本題的關鍵.

先找出規律若“和點”橫、縱坐標之和除以3所得的余數為0時，先向右平移1個單位，之后按照向上、向左，

向上、向左不斷重復的規律平移，按照a6的反向運動理解去分類討論：①Q16先向右1個單位，不符合題

意；②Q16先向下1個單位，再向右平移，當平移到第15次時，共計向下平移了8次，向右平移了7次，

此時坐標為(6,1),那么最后一次若向右平移則為(7,1),若向左平移則為(5,1).

【詳解】解：由點P3(2,2)可知橫、縱坐標之和除以3所得的余數為1,繼而向上平移1個單位得到&(2,3),

此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為2,繼而向左平移1個單位得到入(1，3),此時橫、縱坐標之和除以

3所得的余數為I,又要向上平移I個單位……，因此發現規律為若“和點”橫、縱坐標之和除以3所得的余

數為0時，先向右平移【個單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復的規律平移，

若"和點”Q按上述規則連續平移16次后，到達點Qi6(T，9)，則按照“和點％i6反向運動16次求點。坐標理

解?，可以分為兩種情況：

①Q16先向右1個單位得到%5(0,9)，此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為0,應該是Qis向右平移1個

單位得到Q16,故矛盾，不成立；

②Qus先向下1個單位得到Qis(-1,8),此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為1,則應該向上平移1個單

位得到Q16,故符合題意，那么點g6先向下平移，再向右平移，當平移到第15次時，共計向下平移了8次,

向右平移了7次，此時坐標為(一1+7,9-8),即(6,1),那么最后一次若向右平移則為(7,1),若向左平移則

為(5,1),

故選：D.

【題型5繞原點呈“回”字形運動的點的規律探究】

【例5】(24-25七年級?全國?專題練習)如圖，在平面直角坐標系中,從點B(-1,0),P2(-l,-l),P3。-1)，

&(1,1),Ps(-2,1),P6(-2,-2),...?依次進行下去,則P2023的坐標為()

A.(506,-506)B.(506,506)C.(-506,505)D.(-506,-506)

【答案】A

【分析】本題考查了帶周期的點的坐標規律.這些點分布在四個象限，可以分為四類，2023+4=5053,

戶2023在第四象限，考慮「3（1，-1），尸7（2,-2），尸u（3,-3）...這些點的坐標規律.

【詳解】解：根據點的運動特征，把這些點分為四類，每?象限?類，周期為4,

???2023+4=505……3,

??.P2O23在第四象限，考慮「3（1，-1），「7（2,-2）,Pii（3,-3）…

這些點的橫坐標都是下標與1的和除以4得到的，縱坐標與橫坐標互為相反數,

???（2023+1）+4=506,

02023的坐標為（506,-506）.

故答案為：A.

【變式5-1]（24-25?寧夏銀川?七年級期末）如圖,在平面直角坐標系中，各坐標分別為4（0,0）,&（1，1），

4(2,0)，4式0,-2),A5(-2,0),A6(lf3),4(4,0)，A8(0,-4),AX-4,0),410(1,5),i4n(6,0),則依圖中

所示規律，力2。23的坐標為（）

C.(0,-2020)D.(1010,0)

【答案】A

【分析】本題考查r點坐標規律探索問題,旨在考查學生的抽象概括能力，由題意可得力4〃一1521）在橫軸

的正方向，且坐標為（2珥0）,Ln+iEN1）在橫軸的正方向，且坐標為（-2n,0）,結合2023=506x4-1即

可.

【詳解】解：由圖可知：每一個圖形都是等腰直角三角形，

4（0,0）,43（2,0）,力5（-2,0）,%（4,0），/19（-4,0）MII（6,0）...

??"4n-idN1）在橫軸的正方向，且坐標為（2九,0）,4n+15N1）在橫軸的正方向,且坐標為（一2九,0）,

72023=506x4-1,

，點%023的坐標為（1012,0）.

故選：A.

【變式5-2]（24-25七年級?河南駐馬店?階段練習）如圖，所有正方形的中心均在坐標原點，且各邊與X軸或

y軸平行，從內到外，各正方形的邊長依次為2,4,6,8,10,…，頂點41，42，/，44，陽46i的坐標分別為

4（1,1）,42（-1，1）43（-1，-1），4（1，-1），4（2,2）,46（-2,2）,…,則頂點4024的坐標是.

y

【答案】（506,-506）

【分析】本題考查了坐標與圖形的規律探索，能根據已知找出規律是解題的關鍵.

根據題意發現規律：從開始，每4個點在同一個正方形的頂點上，按“一、二、三、四”象限的順序排序，且

點的坐標絕對值都等于所在正方形的序數，故計算2024+4=506,知道是第506個正方形的頂點，且在第

四象限，據此得出的坐標即可.

【詳解】解：根據題意發現規律：從開始，每4個點在同一個正方形的頂點上，按“一、二、三、四”象限的

順序排序，且點的坐標絕對值都等于所在正方形的序數，

V20244-4=506,

工頂點4024是第506個止方形的頂點，且在第四象限，

工頂點4024的坐標：橫坐標是506,縱坐標是-506,

.*.i42Q24（506,—506）.

故答案為：（506,-506）.

【變式5-3]（24-25七年級?遼寧大連?期中）如圖，在直角坐標系中，每個網格小正方形的邊長均為1個單

位長度，以點P為頂點作正方形PA遇2小，正方形P/U4。，…此規律作下去，所作正方形的頂點均在格點

上，其中正方形的頂點坐標分別為P（-3,0）,4式一2,1）,々（TO），4（一1,一1），4（一1，2）,45（1，。）…則頂

【答案】(31,34)

【分析】本題考查了點坐標的規律探究.根據題意推導?般性規律是解題的關鍵.

由圖象可知,每三個點一組，根據100+3=33…1,得出是第34個正方形中的第一個點，根據為(一2,1),

4(T,2)，①(0,3)，4式1,4)……得出第。個正方形中點4n-25—3,n),最后把n=34代入求出結果即可.

【詳解】解：由圖象可知，每三個點一組，

V100^3=33-1,

是第34個正方形中的第一個點，

??4(-2,1),4(-1,2),4(0,3),公式1,4)……

，第n個正方形中點437t-2(n一3,九)，

當九=34時，34-3=31,

："IOO(31,34).

故答案為:(31,34).

【題型6平面直角坐標系中圖形的變換規律探究】

【例6】(24-25七年級?全國?專題練習)如圖，在直角坐標系中，第一次將△408變換成△。4當，第二次

將△。必%變換成△。力2々，第三次將△。a多變換成△。力3%，已知4(1,4),4(2,4),42(4,4)，4(8,4);

8(2,0),Bi(4,0),々(SO),/(IGO).

(1)觀察每次變換前后的三角形有何變化，找出規律，按此變化規律再將△O&B3變換成△O4B4,則4的坐

標是_，當的坐標是

⑵若按(1)找到的規律將△O/IB進行了幾次變換，得到△。4出口，比較每次變換中三角形頂點有何變化，

找出規律，推測4的坐標是_，當的坐標是

【答案】(1)(164),(32,0)

(2)(2n,4),(2n+1,0)

【分析】考查了坐標與圖形性質，坐標規律，仔細觀察圖形中點的橫坐標的變化并熟悉2的指數次新是解題

的關鍵.

(1)根據規律直接寫出結論：

(2)由題可得，4點的規律為：可以發現它們各點坐標的關系為橫坐標是2兀，縱坐標都是4：B點坐標規律

為：可以發現它們各點坐標的關系為橫坐標是縱坐標都是0,再寫出力H取的坐標即可.

【詳解】(1)解：??N(1,4),4(2,4),%(4,4),4(8,4),

工人的橫坐標為：24=16,縱坐標為：4,

，點4的坐標為:(16,4).

又?；8(2,0),Bi(4,0),8式8,0),53(16,0),

二為的橫坐標為：25=32,縱坐標為：0,

，點%的坐標為：(32,0).

故答案為：(16,4),(32,0)；

(2)解：由力(1,4),&(2,4),(4,4),4(8,4),可以發現它們各點坐標的關系為橫坐標是2%縱坐標都是

4.

故4的坐標為:Qn,4).

由8(2,0),比(4,0),%(8,0),鼻(16,0),可以發現它們各點坐標的關系為橫坐標是可+】,縱坐標都是0.

故當的坐標為：(2/1,0).

故答案為：(2幾,4),(2/1,0).

【變式6-1](24-25廣東珠海?七年級期末)如圖，在平面直角坐標系％Oy內，動點M第1次從點％(-3,-2)

運動到M】(一2,0),第2次運動到M?(-1,1)，第3次運動到M3(0,3),第4次運動到(1,2),第5次運動到

也[2,-1),第6次運動到%(3,-2),第7次運動到M7(4,0)……依此規律，第2024次運動到“2024的坐標

是.

y

I

-r

I

-J

Xs

I

【答案】(2021,1)

【分析】此題主要考查了點的坐標規律，培養學生觀察和歸納能力，從所給的數據和圖形中尋求規律進行解

題是解答本題的關鍵.根據圖象可得出：本題考查了點坐標規律探索，旨在考查學生的抽象概括能力.根

據題意得動點橫坐標為對應的運動次數減3,縱出標依次為；2,0,1,32-1,每6次一個循環，據此即可求

解.

【詳解】解：由題意得：動點M°(-3,-2)在平面直角坐標系中的運動為：

0),M2(-lfl),M3(0,3),M4(l,2),M5(2,-l),M6(3,-2),M7(4,0).................

???橫坐標為對應的運動次數減3,

則第2024次運動到點“2024的橫坐標為：2024-3=2021；

縱坐標依次為：—201,32—1,每6次一個循環，

7(2024+1)4-6=337...3,

???第2024次運動到點“2024的縱坐標為：1?

故答案為：(2021,1).

【變式6-2](24-25七年級?全國?專題練習)如圖，在平面直角坐標系中，對△ABC進行循環往復的軸對稱

變換，若點。坐標是(6,2),則經過第2022次變換后，點。的對應點的坐標為()

第1次,第2次》第3次》第4次，

關于y軸對稱關于謝對稱關于y軸對稱關于謝對稱

A.(-6,-2)B.(6,-2)C.(-6,2)D.(6,2)

【答案】A

【分析】觀察圖形可知每四次對稱為?個循環組依次循環，用2022除以4,然后根據商和余數的情況確定出

變換后的點C所在的象限，然后解答即可.

【詳解】解：?.?點C第一次關于y軸對稱后在第二象限，坐標為(-6,2),

點C第二次關于％軸對稱后在第三象限，坐標為(-6,-2),

點C第三次關于y軸對稱后在第四象限，坐標為(6,-2),

點C第四次關于X軸對稱后在.第一家限，坐標為(6,2),即點C回到原始位置，

???每四次對稱為一個循環組依次循環，

v2022+4=505...2,

二經過第2022次變換后所得的。點與第二次變換的位置相同，在第三象限，坐標為(-6,-2),

故選：A.

【點睛】本題主要考查了點的坐標規律探索，觀察圖形得出每四次對稱為一個循環組依次循環是解題的關鍵.

【變式6-3](24-25七年級?全國?專題練習)如圖，在直角坐標系中第一次將△。48變換成△0451，第二次

將404與變換△。必為，第三次將△。必劣變換成△。/名，已知：

4(1,3),4(一2,-3),力2(4,3),4(-8,-3),8(2,0)出(-4,0),82(8,0),83(-16,0)；

(1)觀察每次變化前后的三角形有何變化，找出其中的規律，按此變化規律將^。小/變換成△O/U/則點心

的坐標為，點區的坐標為.

(2)若按第(1)題中找到的規律將△04。進行了〃次變換，得到的△0/見推測點八坐標為，

點%坐標為.

【答案】(1)(16,3),(32,0)

(2)((-l)n?2、(―1尸.3),((—?2?1,0)

【分析】本題考杳了規律型中的坐標問題，解題的關鍵是根據給定點的坐標結合圖形找出變化規律.

(1)根據圖形變化規律寫出圖形變換后點的坐標即可：

(2)根據點A的坐標每變化?次，縱坐標的長度不變，但奇數次變化為負數，偶數次變化為正數，橫坐標

的長度變為上一次的2倍，奇數次變化是負數，偶數次變化是正數；點8的坐標的長度每變化一次橫坐標

就變為上一次的2倍，奇數次變億為負數，偶數次變化為正數，縱坐標都是0,然后寫出即可.

【詳解】(1)解：根據圖形變換的規律：

???4(1,3),&(-2,-3),&(4,3),43(-8,-3)；

???點4的坐標為(16,3)；

???8(2,0),當(一4,0),F2(8,0),%(一16,0)：

???點%的坐標為(32,0)；

(2)解：由圖形變換的規律可得:

點4坐標為：((-l)n-2n,(-l)n-3)；

點”的坐標為:((-1)?.2n+1,0).

【題型7平面直角坐標系中坐標的變換規律探究】

【例7】(24-25七年級.黑龍江綏化.期中)在平面直角坐標系中，對于平面內任意一點(％,y),若規定以下

兩種變換：

①/(%,y)=(%+2,y).②g(%,y)=(-x,-y),

例如按照以上變換有：/(l,1)=(3,1)；g(f(Ll))=g(3,1)=(-3,-1).

如果有數a、b，使得/b))=(b,-a),則g(f(a+b,a-b))=.

【答案】(-4,0)

【分析】先根據/(g(a,匕))=(4Q),推出(—Q+2,-8)=(力，—a),進而求出，據此求解即可.

【詳解】解：???/(g(a，h)=(4a)，

/./(—a,-b)=(b,a),

，(-Q+2,-b)=(b,-a),

.(—a+2=b

**t-b=-a

解得

???g(f(a+b，a-b))

=g(/(l+l,1-1))

=g(f(2,0))

=g(2+2,o)

=(-4,0),

故答案為：(—4,0)

【點睛】本題主要考查了新定義，解決的關鍵是理解相關定義，難點是確定運算順序.

【變式7-1](24-25七年級?北京西城?期中)在平面直角坐標系中，對于平面內任一點(小//),若規定以

卜,三種變換：

Q(a,/})=(-b,?a),如f(1，3)=(-3,-1)；

②g(a,b)=(b,a),如g(L3)=(3,1)；

@h(?,〃)=(-?,b),如/?(1,3)=(-1,3).

且規定了運算順序是“由內到外”，例如按照以上規定有：f(g(2,-3))=/(-3,2)=(-2,3),

那么/(g(h(5,-3)))=.

【答案】(5,3)

【分析】根據題意找到運算法則/、g、h,然后運用相應的運算法則解答.

【詳解】解：由題意知，/(g(h(5,-3)))=fCg(-5,-3))=/(-3,-5)=(5,3).

故答案是：(5,3).

【點睛】考查了關于原點對稱的點的坐標，關于x軸、y軸對稱的點的坐標.解題的關鍵是弄清楚/、外h

所對應的運算法則.

【變式7-2](24-25七年級.安徽六安?期末)對一組數(％y)的一次操作變換記為&(9,%),定義其變換法則

n

如下：P101，%)=(x+ytx-y'),P2(X2，y2')=(必+%，%-、1)…&Qi，%)=Un-1+7n-V^n-l-7n-l)<

為大于1的整數)，如這組數為(1,2),則Pl=(3,-1),P2=(2,4),P3=(6,-2)...-l)Bt,P2024=

()

A.(210i2,_21°i2)B.(0,—2i°i2)C.(0,21°】】)D.(21011,-21011)

【答案】A

【分析】本題考查了新定義點的坐標，根據操作方法依次求出前幾次變換的結果，然后根據規律解答，讀懂

題目信息，理解操作方法并觀察出點的縱坐標的指數的變化規律是解題的關鍵.

【詳解】解：當這組數為(1,一1)時，

Pi(l,-l)=(0,2),

P2(l,-l)=(2,-2),

2

P3(l,-l)=(0,4)=(0,2),

6(1,-1)=(4,-4)=(22,-22),

3

P5(l,-l)=(0,8)=(0,2),

?，?/)2024(1?-1)=(21012,-21012),

故選：A.

【變式7-3](24-25七年級?河北滄州?期末)在平面直角坐標系中，對于平面內任意一點(％y),若規定以下

兩種變換：

①/(%,y)=(/,%)?如f(2,3)=(3,2)；

②g(x,y)=如g(2,3)=(-2,-3).

按照以上變換有：/"(g(2,3))=/?(-2,-3)=(-3,-2),那么g(f(-6,7))=.

【答案】（-7,6）

【分析】先根據題意求出了（一6,7）=（7,-6）,即可求出“/（一6,7））=（-7,6）.

【詳解】解：由題意得/'（一6,7）=（7,-6）,

，0（/（-6,7））=g（7,-6）=（-7,6）,

故答案為：（-7,6）.

【點睛】本題主要考查了點的坐標規律探索，正確理解題意是解題的關鍵.

【題型8新定義問題中點的規律探究】

【例8】（24-25七年級?湖南邵陽?階段練習）在平面直角坐標系中，對于點P（x,y）,把點％（y,士）叫做點P的

友好點.已知點A的友好點為點力2，點82的友好點為點&…這樣依次得到點A）2,&4…%,若點久的

坐標為0,2）,則根據友好點的定義，點42023的坐標為（）

A.&2）B.（2,-1）C.（-1,-1）D.（-1,0

【答案】A

【分析】本題考查了點的規律，圖形與坐標，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.先分別算出4（2,2）

4（2,-1）,4（一1,一1）4（一1，）“6&》找到規律后，得點從2023的坐標與4的坐標相同，即可作答.

【詳解】解：???對于點P（x,y）,把點匕（y,士）叫做點P的友好點.且久的坐標為G，2）,

則上7=2

力2（2,2）,

?馬3（2,-1）,

同理得4（—1,—1）,4$（―14），4（：,：）'47&2）

觀察發現，每6個點為一個循環組依次循環.

v2023+6=337

工點力2。23的坐標與&的坐標相同，為C，2）,

故選:A

【變式8-1］（24-25七年級?全國?課后作業）定義：平面內的直線匕與，2相交于點。，對于該平面內任意一點

M，點例到直線%,，2的距離分別為〃，兒