點、直線、圓的位置關系（數學競賽題匯編）九年級全國（解析版）

專題09點、直線、圓的位置關系

?全國各地競賽真題試題匯編

1.（2024九年級下?湖北黃岡?競賽）如圖，已知銳角△ABC的頂點力到垂心〃的距離等于它的外接圓半

徑，則NBAC的度數為（）

A.52°B,56°C,60PD.64。

【答案】C

【分析】設△ABC外接圓的半徑為R,連接BO并延長交。。一點。，連接OCADCDCH.先證明

ZBCD=90°,根據垂線定義證明AH||CD,AD\\CH,進而證明四邊形AHCD是平行四邊形，CD=

AH=R,進而證明△OCD是等邊三角形，結合圓周角定理即可求出NBAC=NBDC=5療.

【詳解】解：如圖，設△ABC外接圓的半徑為凡連接BO并延長交。。于點。，連接OCAD,C，CH.

I

???點。是△ABC的外心,

」.BD是0O的直徑，

「./BCD=90°,

..CD±BC,

.?.〃是△ABC的垂心，

:.AH1BC,

:.AH||CD,

同理：A。||CH,

二.四邊形AHCD是平行四邊形,

:.CD=AH=R.

1/37

二點、0是aA8C外接圓的圓心，

:.0C=OD=R,

:.0C=OD=CD=R,

.?.△OCO是等邊三角形，

；.ZBDC=60°,

..ABAC=NBDC=60°.

故選：C

2.（2024九年級下?湖南湘西?競賽）一根鋼管放在V形架內，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是72cm,

若/ACB=6〃，則劣弧AB的長是cm.

【答案】8n

【分析】本題考查了弧長公式和切線的性質，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.

利用切線的性質和弧長公式解題即可.

【詳解】解：由題意得：CA和分別馬（30相切于點A和點B,

..OA±CA,OB±CB,

S.Z.OAC=ZOBC=90°,

:ZACB=60°,

:.ZAOB=12CP,

劣弧AB的長為：駕詈=8ncm.

loU

故答案為：8n.

3.（2023九年級?北京朝陽競賽）已知四邊形ABC。內接于一快I.若NBA。=ZABC=6/，AB=3,

CD=1,則該圓半徑的長為.

2/37

B

【答案】子

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，圓內接四邊形的性質，分別取AB、C。的中點尸、E,連接EF,

過。作DG_LAB于G,過C作CH_LAB于H,設圓心為0,迷接0A,0D,OF,OE,由圓內接四邊

形和NBAD=ZABC=6ZT得到NBCD=ZADC=120則ABIICD,再根據垂徑定理得到OE1

CD,OF1AB,AF=BF=^AB=j,DE=CE=；CDJ,即可得到0E和OF是同一條直線，

即。在EF上，再由四邊形。06乩。￡1尸乩。赤尸都是矩形,得到6尸=FH=DE=CE=^GD=

EF=CH=V3,AG=BH=1,設OF=x,半徑OA=OD=r,則OE=E尸一O尸二Q-x,

在長△AOF和RtZiEO。中，由勾股定理得到r2=(g2/(/j—x)2=(1)2+x2,解方程計算即可.

【詳解】解：分別取AB、CD的中點F、E,連接EF,過D作DG1AB于G,過C作CH1AB于H,

設圓心為0,連接OA,OD,OF,0E,

?.?四邊形ABC。內接于一圓.

:.NBAD+4BCD=18爐,ZABC+Z.ADC=18CP,

../BAD=ZABC=60°

."BCD=ZADC=12(T,

:.Z.ABC+/BCD=7&7°,

:.AB\\CD,

.AB.CD的中點F、E,

..0E1CD,OFLAB,AF=BF=1AB^,DE=CE=1CD=1

:AB\\CD,

3/37

:.0E1AB,

??.0E和O尸是同一-條直線，即O在EF上，

:DG1AB,CH1AB,ABWCD,OE1AB,

二?四邊形COGH、CEFH、DEGF都是矩形，

.\GF=FH=DE=CEGD=EF=CH,

.\FA-FG=FB-FH=\-\=7,

22'

:.AG=BH=J,

：Z.BAD=/.ABC=6(T,

：,Z.ADG=30

:.AD=2AG=2,DG=^AD2-AG2=V3,

..GD=EF=CH=C,

設。尸=x,半徑OA=OD=r,則OE=EF-OF=4-x,

Rt.AOF中，AF2+OF2=0A2,+x2=r2,

Rt.EOD中，DE2+OE2=0D2,則/(4—x)“=r]

-r2=&^^~x)2=&^x^

解得x=《，

D

.“陽e回語

故答案為：J

4.(2023九年級上?浙江寧波?競賽)如圖，在。O中，AB是一條不過圓心O的弦，點C,D是彘的三等

分點，直徑CE交AB于點F,連結AD交CF于點G,連結AC,過點C作CE的垂線交BA的延長線于

點H.連結BC交AO于點N,若OO的半徑為5AH=方，則△ANB的周長為.

【分析】根據題意可求得AC=CD=BD,再由勾股定理及相似三角形的性質即可求解.

4/37

?.?點C,D是AB的三等分點，

.'.AC=CD=BD,

:.CE1AD,ZFAG=ZCAG,

又：CH1CE,

Z.AGF=NAGC=NHCF=9",

.\AD||HC,

\AG=AG,

△A,GC=△A.GF,

:.FG=CG,

'.AD||HC,

?處=歿=7

''AHCG

AH=AF,

???ZHCF=90°,

AC=AH=AF=>Hd,

設CG=x,則FG=x,OG=5-x.

22

由勾股定理得AG2=AO2-OG2=AC2-CG2,即25-(5-x)=10-xt

解得x=7,

AG=52—42=3,AD=6,

???CD=DB,

ZDAC=/BCD,

VZCDN=ZADC,

CDN?△ADC,

??ND-CD

CDAD'

??.ND=需=?AN

5/37

VZBAD=ZDAC,ZABN=ZADC,

???△ANBACD,

CCANc1313/W,26

,?C^ANB=CLACDxk=(6+2gx-^==—+-

即△ANB的周長為誓

故答案為：噂十弓.

5.（2024九年級上?江蘇南京?競賽）如圖，兩個同心圓O,小圓的半徑為1,大圓的半徑為餌點力為

小圓上的動點，P、Q是大圓上的兩個動點，且AP1AQ,則PQ的長的最大值是

【答案】4

【詳解】解：如圖，取PQ中點河，連接OM,AM,OP,OA,則OP=0,OA=7,PM=jPQ,

:.0M1PQ,

;.OP2=PM2+OM2,

=^PQ)2+OM2,

.,.當OM最小時，PQ最大，

vAP±AQ,PQ中點

:.AM=jPQ,

:AM-OA<OM<AM+0A,

：.^PQ-7<OM<jPQ+1,

當A、O、M三點共線時，OM=^PQ-7最小，此時PQ最大,

2

=(1PQ)+{1PQ-7]\

637

解得PQ=4或尸Q=-2(舍去)，

故答案為：4.

6.(2023九年級下?湖南湘西?競賽)如圖，AB是。O的直徑，C是0。上的一個動點，延長AB至P,使

BP=OB,BD垂直于弦BC,垂足為點&點。在PC上.

⑴當PC與O。相切時，求NPCB的度數；

⑵當。在PC上運動時，怒的比值是否為定值？若為定值，請求出定值；若不為定值，請說明理由.

⑶設tan/PCB=x,tan&NPOC)=y,求y與x之間的函數關系式.

【答案】(1)34

(2)為定值(理由見解析

⑶y4

【分析】本題考查了直角三角形的性質、圓周角定理的推論、相似三角形的性質、正切的定義，熟練掌握

以二知識點是解題的關健.

(1)當PC是。O的切線時，則OC1PC,再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,得出BC=BP,

即可由等腰三角形的判定定理得出結論；

(2)連接AC,AB是。。的直徑，ZACB=900,證明AC||BO,^PDB^^PCA,進而即可求解；

(3)連接AC,根據題意得出tanZA=4^證明△APC,因為AP=OA+OB-t-BP=3BP,

代人即可求解.

【詳解】(1)解：當PC是。。的切線時，則OC1PC,

.\ZOCP=90°,

\BP=OB,

BC=BP,OP=20B=2OC,

.,.NP=NPCB,

=2=器

:.NPCB=ZP=3(T-t

(2)解：為定值(理由如下:

如圖，連接AC,

7/37

P

.AB是OO的直徑，

：.Z.ACB=處.

.?BD1BC,

..AC||BD,

「.△PDBs&PCA,

.PD__PB

=

''PC~PA'

.BP=OB,

則PA=3BP,

.?AB是。。的直徑,

：.Z.ACB=90°,

??.tanZA,

AC'

.NA=)POC,

y—tan&NPOC)=BC

:BD1BC,

?.NCBD=90°,

AX=tanZPCB=—

CB'

?—BCBDBD

JACBCAC'

Z.CBD=ZACB=9(T,

..AC||BD,

BFDSAArc,

8/37

.BD_BP

'*ZC~~APf

??,BP=OB=OA,

.\AP=OA+0B+BP=3BP,

BD_1

??.xy=9

7.(2023九年級?江西贛州?競賽)如圖所示，直線［的解析式為y=；x—3并且與x軸、y軸分別相交于

(1)求力、8兩點的坐標.

(2)?個圓心在坐標原點、半徑為1的圓，以0.4個單位/每秒的速度向x軸正方向運動，問什么時刻該圓與

直線［相切.

⑶在題(2)中，若在圓開始運動的同時，一動點尸從3點出發，沿8A方向以0.5個單位/秒的速度運動,

問在整個運動的過程中，點尸在動圓的圓面(圓上和圓的內部)上一共運動了多少時間？

【答案】(1)人(40,6(。一學

⑵時間為那和當秒

OO

(3亨秒

【分析1本題考查相似三角形的判定和性質，點到圓的距離，一次函數的性質，切線的性質，解決這類問

題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法.

(1)分別令y=o；X=0,即可求出A、B的坐標；

(2)可設動圓的圓心在C處時與直線［相切，設切點為連接CD,則CDLAD,CD=1,得至URt△

ACO?Rt^ABO,利用相似三角形對應邊的比等于相似比，可得靠=有，即1=平，求出AC的值，

DkJAD3D

即可得到此時oc的值，利用oc的長度結合速度即可求出時間；根據對稱性，圓c還可能在直線1的右側，

與直線林目切，此時OC=4+0.4=等；

33V3o

(3)可設在1秒時，動圓的圓心在尸點處,動點在P處，此時OF=0.4t,BP=0.5t,尸點的坐標為

連接PF,當PF=7時，P點在動圓上，當0三PFv7時，P點在動圓內，而當PF=7時，由對稱性

9/37

可知，有兩種情況：①當P點在x軸下方時，PF=-(O.3t-3)=1,解之可得1的值，②當P點在x軸上方

時，PF=0.3t-3=1,解之得￡的另一個值，進而可得到當§工￡三學寸，0WPFW7,并且此時點P

在動圓的圓面上，所經過的時間為r一多=今.

JJJ

【詳解】(1)解：在y=?x-3中，令x=o,得y=-3

令y=o,得x=4,

故得A、B兩的坐標為Aqq,B(0f-3)；

(2)解：若動圓的圓心在C處時與直線/相切，設切點為。，如圖所示，連接C。，則C。1AD.

VZCAD=ZBAO,Z.CDA=ZBOA=90°,

???Rt△ACD?Rl△ABO,

—=—即］=生

BOAB''35

則AC=4.

J

此時OC=4_《=1

JJ

g+0.4=g（秒）

根據對稱性，圓c還可能在直線1的右側，與直線I相切,

此時OC=4+：=?.

JJ

綜上，翱時或胃秒時該圓與直線1相切；

OO

(3)解:設在t秒時,動圓的圓心在尸點處，動點在P處，此時OF=0.4t,BP=0.5t,尸點的坐標為0.農,0),

連接PF,

Ax

OF_0.41_4OA_4

"BP~~05t~5'BA"

OF_OA

~BP~'BA'

???ZFAP=ZOAB,

10/37

FAPOAB

???PF1OA,

P點的橫坐標為0.4t,

???P點在直線AB上，

二P點的縱坐標為0.3t-3,

可見：當PF=7時，P點在動圓上，當PFv7時，P點在動圓內.

當PF=7時，由對稱性可知，有兩種情況：

①當P點在X軸下方時，PF=-(0.31-3)=1,解之得：t=?

②當P點在X軸上方時，PF=0.3t-3=7,解之得：t=y.

.??當時與三”爭寸，0￡PF￡7,此時點P在動圓的圓面上，所經過的時間為［一與=今.

8.(2023九年級下?福建龍巖?競賽)如圖，AB為0O的直徑，四邊形ABCO內接于0O,B。交于點E,

。0的切線A尸交BD的延長線于點F,且NCAO=ZABD.

C

⑴求證：AD=CD；

(2)若AB=4,BF=5,求sin/BDC的值.

【答案】⑴詳見解析

【分析】(1)利用同弧所對的圓周角相等可得NABO=NACD,由NCA。=NABD得NACD=

^CAD,根據等角對等邊可得結論；

(2)先證明NFAO=NABO,ACAD=ZFAD,由ASA證明△ADE三△4。尸，得AE=AF,

ED=FD-,再求AD=菅，BE=&再證明△EEC?△AED得8c利用NBDC=NBACuJ

得結論.

【詳解】(1)解：在。。中，?「NAB。與NACQ都是&所對的圓周角，

:.AABD=ZACD,

\ACAD=ZABD,

S.Z.ACD=ZCAD.

..AD=CD.

11/37

(2)解：「AF是。。的切線，AB是。。的直徑，

:.Z.FAB=ZACB=Z.ADB=ZADF=90°.

:Z.FAD+Z.BAD=9(T,AABD-1-Z.BAD=90°,

:.AFAD=ZABD.

又「NABO=ZCAD,

..ACAD=ZFAD.

:AD=AD

/.△ADE=△ADFfASA),

:.AE=AF,ED=FD.

在中，\AB=4,BF=5,

：.AF=3,即AE=3

:-2AB?AF=2-BF-AD',

.?.AD=7.

在RtaADF中，FD=^AF2-AD2=1

:.BE=5-?2=Z

:Z.BEC=ZAED,且NECB=NEDA,

「.△BECAED,

.BEBC^28

??濯=而即un8R0=石

?「NBOC與NBAC都是￡2所對的圓周角，

:.ABDC=ABAC.

在Rt^ACB中，ZACS=9(f,

.".sinZBAC=黑=1即sinZBDC

AB2525

9.(2024九年級下?江蘇無錫?競賽)如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AC=6,AB=8.點、D

是BC邊上一點，口涉足CDBD=23若點K在4c上運動，過點D作。尸_LDE交邊于點E

⑴證明：△QEF的形狀不變；

(2)當點E從點C向點A運動的過程中，求邊EF的中點M的運動路徑長.

【答案】⑴證明過程詳見解答

12/37

【分析】(1)連接AD,作0G，AC于G,可求得CG和OG長，進而得出NCAD的正切值，可得出

A,巴。E共圓，從而得出NDFE=NDAC,進一步得出結論；

(2)以BC所在的直線為x軸,過點。與BC垂直的直線為v軸建立坐標系，作EV1BC于V,作尸W1BC

于W,可得出△EDU?從而得出巖=%=需可設EV=4k,CV=3k,從而得出

UVBVU￡.o

E(4-3kf4k),進而得出尸坐標，從而求得M點坐標，進而得出點M在一條線段上.運動，進一步得出結果.

【詳解】(1)證明：如圖1,連接A。，作DG1AC于G,

A

BDC

圖1ZCGD=9CP,

VDF1DE,

:.ZEDF=9(T,

ABAC=90°,

ABAC+NEDF=180乙BAC=ZCGD,

???點A,BD,E共圓,

???Z.DFE=NCAD,

NC=ZC,

???△CDG*~ACBA,

...空=挺=￡2

ACABBC,

...空一，

BD3'

...-C-D=一2

BC6

..四=空一

68s

.*.CG=”G.

AG=AC-CG=655

16

???tanZDFE=tanZCAD=蕓=今=J,

A。-59

.?.△OEF的形狀不變；

(2)解：如圖2,以BC所在的直線為x軸，以點。為兩坐標軸交點過點。與BC垂直的直線為y軸建立

坐標系，作EV±BC于V,作FW±BC于W,

13/37

ZFWD=Z.EVD=好,

:.ZWFD+ZFDW=9(T,

???NEDF=90°,

???ZFDW-^ZEDV=90°,

ZWFD=ZEDV,

:eEDY?△DFW,

:?—FW=-W--D-=--D--F——9

DVEVDE8'

???ABAC=90AB=8,AC=6,

：.BC=10,

CD:BD=2:3,

.，?CD=4,BD=6,

C(4f0),

vtanZ/AACCDB=—EV=—AB=-4

.?.設EV=4k,CV=3k,

DV=CD-CV=4-3k,

E(4-3k,4k),

FW=-DV=---kDW=-EV=-k,

828/82,

設M(x，v),

2x=4-3k--k

.???92，

2y=4k

7,29

??)y=----1-2xT—12,,

???點M運動路線是一條線段,

當點E在C處時，k=0.

當點在A處時，作AT_LBC于T,

14/37

，AT=AC.^C=AC^=6^=^

,假―，

???EF的中點M的運動路徑長為：

O

10.（2023九年級?浙江寧波?竟賽）如圖所示，AB為半圓。的宜徑，C在AB延長線上，P是半圓O上的

一個動點，以PC為底邊作等腰直角三角形PCQ（P、C、Q逆時針排列），已知AB=4,BC=2；

⑴若aPOB為正三角形，求QB的長;

（2）求四邊形POCQ面積的最大值.

【答案】（1）7+4；

（2）472+5.

【分析】本題考查了勾股定理、等邊三角形、等腰三角形的性質，熟練掌握基本知識點并能靈活應用是解

答本題的關鍵.

（1）連接BP、BQ交PC于點O,△POB為正三角形，△PDQ為等腰直角三角形，利用BQ=BO+OQ

計算即可；

⑵過點P作PMJ_AB交于M點，設PM=y,MO=x,^\x2+y2=4,則四邊形S四邊形p℃Q

Swoe+

【詳解】（1）解：連接口尸、BQ交PC于點、D,

Q

???△POB為正三角形，AB=4,BC=2,

BP=BC=2,ZOPC=9(T,

15/37

PC=20、

???等腰直角三角形PCQ,

BQ垂直平分PC,

,.BD=jop=1,ZiPOQ為等腰直角三角形,

DQ=PD=jPC=Q,

BQ=1+>[3.

(2)解：過點P作PM1AB交于M點，

S四邊形POCQ=S^poc+S>pQc=?x4xv-f--ly2+(x+4用=5+2(x+y)W5+4/2.

當且僅當x=y時，四邊形POCQ的面積最大，最大值為5+4/2

11.(2024九年級下?湖北黃岡?競賽)如圖，△ABC的邊長為a,OO為△ABC的外接圓，點B為A冷C

的中點，點M為G上一點，連接AM,且NAMB=6療，連接BM交AC于。點，過M點作OO的切線

(2)如果BC平分NEBM；

①用含a的式子表示AM?BE的值；

②求證：吉-左=(

【答案】⑴見解析；

(2)?AM^BE=a2：端-林二：.

【分析】(1)證明△ABC是等邊三角形；進?步得到NACB=NBAC=NBN1C=87\證明

16/37

NDME=NMDE,即可得到結論;

⑵①證明△BCEAMC,則需=器,得到AM?BE=AC?BC=/；②證明器=篝⑴.黑=

2^1AC/LJJLZOD1JL/

(ID.由⑴(ID得：等=若.進一步整理即可得到結論.

/\DG1/A.D

【詳解】(1)證明：???點B為ABC的中點,

--AB=BC,

AB=BC.

VAB=AB,

:.Z.AMB=Z.ACB=609.

vAB—BC,Z.ACB=60°,

.?.△ABC是等邊三角形；

連接CM,NMDE=NMBC+NBCA,NDME=NDMC+NEMC.

???EM是。。的切線

/EMC=ZMBC.

???ZACB=ABAC=NBMC=6/

???NDME=NMDE,

:.EM=ED；

(2)①???BC平分NEBM,

???XEBC=NCBM.

???CM=CM,

???ZEBC=ZCBM=ZCAM.

???四邊形ABCM是。。的內接四邊形，

?-?/ABC+ZAMC=18(T.

???ZBCE+ZBCA=J80°,且NABC=ZBCA=6(f,

AZAMC=ZBCE=12CP.

ZEBC=ACAM,

BCEAMC,

._BC__BE

"~AM~~AC,

AM-BE=AC-BC=a2；

@vBC平分NEBM,

.?.點。到BE、BD的距離相等,

17/37

S^BDC_CD_BD

SABECCEBE

BECE...

BDCD''.

ZEBC=ZCAM,ZABC=ZACB=6(Tt

ZABD=AAEB.

ZBAC=ZBAC,

???△ABDAEB,

需=笠“）?

由⑴（H）得：等=篝

即:若江—】

ABAB'

等式兩邊除以CE得：備=￡+/,

CDAbCL

即：—------

1CDCE

12.（2023九年級上?河北邯鄲?競賽）已知NMPN的兩邊分別與圓。相切于點力，B,圓。的半徑為r.

求NACB的度數;

（2）如圖2,點C在圓上運動，當PC最大時，要使四邊形APBC為菱形，NAPB的度數應為多少？請說明

理由.

【答案】（1）5Z7°；

（2）當NAPB=6^時，四邊形APBC為菱形，理由見解析.

【分析】（D連接OA、OB,根據切線的性質和多邊形內角和定理可得NAOB+NAPB=7&T,然后

結合已知求得NAOB,最后根據圓周角定理即可解答;

（2）連接OA、OB,先觀察發現當NAPB=6）時，四邊形/!尸8C可能為菱形；然后利用NAPB=6/

結合（1）的解答過程可得NACB=NAPB=6〃，再根據點C運動到PC最大，即PC經過圓心；再說

I明四邊形APBC為軸對稱圖形結合已知條件得到PA=PB=CA=CB,即可得到四邊形APBC為菱形.

【詳解】（1）解：如圖1,連接OA、OB

?.PA,PB為OO的切線,

18/37

:./.PAO=Z.PBO=9*

S.Z.AOB+NMPN=180°,

:ZMPN=8g

：.AAOB=18(f-NMPN=700°,

:.ZACB=^ZAOB=50

圖1

(2)解：當NAPB=6^時，四邊形APBC為菱形，

理由如下：

如圖2：連接OA、03

由(1)可知NAOB+NAPB=78貨，

：Z.APB=

：.Z.AOB=12CT,

:.ZACB=6(T=ZAPB,

.??點c運動到PC最大，

???PC經過圓心，

?「PA、PB為G)O的切線，

「?四邊形APBC為軸對稱圖形，

:PA=PB,CA=CB,PC平分NAPB和NACB,

/.ZAPS=AACB=6(T,

:.AAPO=NBPO=ZACP=ZBCP=30°,

:.PA=PB=CA=CB,

二.四邊形APBC為菱形；

19/37

M

圖2

O全國聯賽真題試題匯編「

1.（2024九年級?全國?競賽）等腰直角三角形的內切圓半徑與外接圓半徑的比值為（）.

A.7B.&+1C.年D.與

22

【答案】A

【分析】本題考查等腰直角三角形的性質，三角形內切圓與外接圓，熟悉直角三角形的內切圓半徑等于兩

條直角邊的和與斜邊的差的一半；直角三角形外接圓的半徑是斜邊的一半.

設等腰直角三角形的直角邊是1,則其斜邊是我.根據直角三角形的內切圓半徑是兩條直角邊的和與斜邊

的差的一半，得其內切圓半徑；其外接圓半徑是斜邊的一半，得其外接圓半徑，即可求解.

【詳解】解：設等腰直角三角形的直角邊是1,則其斜邊是方，

???等腰直角三角形的內切圓半徑是亨，外接圓半徑是當

2-C

「?所以它們的比為^^=2-7.

故選:A.

2.（2024九年級?全國?競賽）下列結論正確的是（）

A.同一個平面內的三點確定一個圓B,三角形三條角平分線的交點是三角形的外心

C,一個圓有無數個內接三角形，一個三角形有無數個外接圓D.三角形的外心到三角形三個頂點的

距離相等

【答案】D

【分析】本題考查了圓的有關的概念，屬于基礎知識，熟記圓的有關的概念是解決問題的關鍵.根據確定

圓的條件及三角形與其外心之間的關系解答即可.

【詳解】解：同一個平面不在同一條直線上的三點才能確定一個圓，所以A錯；

三角形三條角平分線的交點是三角形的內心，所以B錯；

一個圓有無數個內接三角形，但只有一個外接圓，所以C錯；

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三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，所以D正確.

故選：D

3J2024九年級?全國?競賽)已知△ABC為OO的外切三角形，點D、E、尸分別是AB、BC、AC與。0

的切點，如果NA=%那么NDEF=().

A.7CeB.6CPC,55°D,50°

【答案】C

【分析】本題考查了切線的性質，圓周角定理.連接OD、OF,利用切線的性質求得NADO=NAFO=

9)，根據四邊形內角和定理求得NDOF的度數，再利用圓周角中位線定理即可求解.

【詳解】解：連接。。、OF,

二,點D、F分別是AB、AC與。。的切點，

S.Z.ADO=ZAFO=2,

.'.Z.DOF=36爐-9(T-7CP-9(f=ll(f,

：.ZDEF=：NDOF=55°,

故選：C.

4.(2024九年級?全國?競賽)如圖，兩半圓的圓心點。八分別在直角△ABC的兩直角邊AB、AC

上，直徑分別為AB、CD,如果兩半圓相外切，且AB=AC=6cm,那么圖中陰影部分的面積為().

A.(7-n)cm2B.(5-n}cm2C.7cm2D.5cm2

【答案】D

【分析】本題考查求圖形面積，不規則圖形的面積一般要轉化為一些規則圖形的面積的和差來求解.利用

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勾股定理求出。。2的半徑，證明弓形S7=S?弓形S3=S4，利用割補法將陰影部分面積轉化成S陰影=

S^BC-SyBF-SgEc，即可求解?

【詳解】解：

如圖，連接OE,AF,OjO2,

設。。2半徑為rem,則02c=rem,

???△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=6cm

=-

???AO2（^r）cm,AO1=^cm,

???兩半圓相外切，

0）02=^3+r）cm,

在Rt/kAOQz中，由勾股定理得，爐+（6-廠）2=（3+=）2

解得：r=2,

VZABC=ZACB=45°,DC、AB為兩半圓直徑，

ZDEC=NAFB=妙，

CE=DE,AF=BE,

二弓形S/=Sz，弓形S3=Sq,

,O,S陰影=S4AbC—^^ABF~S>DEC

111

=-x6x6x6x3x2x2x2

222

=5cm2.

故答案為：D.

5.（2024九年級?全國?競賽）如圖，有??個圓桶，里而裝有兩個不變形的球體，其中大球的半徑為R=30cm,

小球的半徑為r=2/m,兩球頂部到桶的頂部的距離分別為Q=4/m,b=20cm,那么桶的內部直徑X為

22/37

C.8氏mD.9cm

【答案】D

【分析】本題考查了兩圓相切，勾股定理.先求得。7。2和AO?的長，再利用勾股定理求得A。7的長，進

一步計算即可求解.

【詳解】解：由題意得。/。2=氏=50（cm）,AO2=a+R-（b=30cm,

且/OMO2=S

由勾股定理得A。j=V502—302=40(cin),

/.x=A01+R+r=90(cm),

故選：D.

6.（2024九年級?全國?競賽）如圖，點O為矩形ABCD的中心，AB=8BC=6。B的半徑為2,點P

是。B上一個動點，則4AOP面積的最小值為（）

C.7.2D.7

【答案】D

【分析】本題考查了勾股定理，矩形的性質，三角形面積，直線與圓的位置關系等知識，得到dAOP面積

最小時點P的位置是解答的關鍵.

連接AC,過8作BH_LAC于兒交。B于G,過G作allAC,由勾股定理及面積相等可求得GH的長;

當點P到AC的距離最短時，△AOP面積最小，此時點P與點G重合，進而求得aAOP面積的最小值.

【詳解】解：如圖，連接AC,過8作BH1AC于H,交OBFG,過G作直線allAC,

??,點O為矩形ABCD的中心,

一?AC必過點。

由勾股定理得：AC=＜夕+82=70,

23/37

,??四邊形A8CD是矩形,

.".OA=-[AC=5

.S^ABC=jAB-BC=jAC-BH,

.rABBC24

.BnjH=F^=7；

\BH1AC,a\\AC,

直線a是0B的切線,

:.GH=BH-BG

當點尸到AC的距離最短時，即最短距離為GH的長時，^AOP面積最小，此時點尸與點G重合,

??.△AOP面積的最小值為:x5x==7.

2b

7.（2024九年級?全國?競賽）已知。O為△ABC的外接圓，且圓心。在△ABC的內部，分別過點。作

OD1AB,OE1AC,垂足分別為點D、E,若DE=8cm,則BC=cm.

【答案】16

【分析】本題考查了三角形外心的性質，三角形的中位線等，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵;

由點O是△ABC的外心，ODLAB,OE_LAC得到。E是△ABC的中位線，根據三角形中位線定理

即可求得BC.

【詳解】解:如圖,

BO是△ABC的外心，OD1AB,OE1AC,

AD=BD,AE=CE,

.??DE為△ABC的中位線,

二BC=2DE=76cm.

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故答案為：16

8.（2024九年級?全國?競賽）如圖，以ABC的斜邊AB為直徑作G）O.I為△ABC的內心，點P

為。0上一個動點，N為1P的中點，若AB=70,AC=6,則AN的最大值為.

【分析】此題考查了三角形的內切圓和外接圓，連接IO,AI,OP,取1O中點連接MN,過/作

AB于點H,則點N在以點M為圓心，MN為半徑的圓上運動，當點A、M,N三點共線時，AN最大值

為AM+MN,然后由勾股定理求出AM的值即可，解題的關犍是熟練掌握切線長定理，三角形中位線性

質定理和勾股定理的應用.

【詳解】解：如圖，連接JO,AI,OP,取JO中點連接MN,過/作IH1AB于點H,

???由勾股定理得：BC={AB2-AC2={702-62=8,

???N為/P的中點，

...MN=；OP=*

則點N在以點M為圓心，MN為半徑的圓上運動，

當點A、M,N三點共線時，AN最大,為AM+MN的值，

為△ABC的內心，過/作1R_LAC于點R,ILtBC于點L,

??.四邊形CR/L為正方形，

由直角三角形的內切圓半徑為汽士=2即/H=IL=IR=2,

25/37

.\CR=IR=IH=2,

取OH的中點G,連接MG,

：.MG=jlH=7,AH=AR=4,

:OA=OB=5,

：.OH=7,

:.HG=GO=\OH={

22

:,AG=AH+HG=4+-=-,

22,

在RtZXAMG中，由勾股定理得:

AM=y)AG2+MG2={(丁+j2=華

「?AN最大值為AM+MN=等竺，

故答案為：弩.

9.(2024九年級?全國?競賽)如里，AB為半圓的直徑，點O為圓心，點C為半圓上一點，點D為AB延長

線上一點，且N7=/2.

⑴求證：C。為。。的切線;

⑵過點A作。O的切線AE交OC的延長線于點E,若O。的半徑為&m,BD=2cm,求CE的長度.

【答案】(1)見解析

(2)6cm

【分析】(1)連接OC,根據AB為半圓的直徑，得出NACB=9*證明N2+N4=9/從而可以證

明結論；

(2)根據已知條件先求出AD=2x3/2=8(cm),。。=3/2=6(cm),根據勾股定理求出CD=

^OD2-OC2=4(cm),設AE=CE=x,根據勾股定理得出x?+加=僅+4產，求出x的值即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。。，

26/37

N7=N3,

???N7=N2,

.??N2=N3,

???AB為半圓的直徑，

:.ZACB=90°,

???￡3+44=9(f\

:.￡2+￡4=9Cf\即OC_LC。，

:，CO為。。的切線.

(2)解：????O的半徑為3cm,BD=2cm,

:.AD=2x3+2=8(cm),

OD=3+2=5(cm),

CD=ylOD2-OC2=4(cm),

???AE、CE都為切線，

?，?AE=CE,Z.DAE=90",

設AE=CE=x,

則根據勾股定理得：x2+S2=(x+4)2,

解得x=6,

???CE的長度為6cm.

10.(2024九年級?全國?競賽)如圖，四邊形ABC。為正方形，點E為BC延長線上一點，連接AE,交BO

⑴求證：CF與ACEG的外接圓相切;

27/37

⑵當CE=C尸時，判斷CG和EF有怎樣的數量關系？并說明理由；

⑶在(2)的條件下，求DG與CG的比值.

【答案】⑴見解析

(2)EF=3CG.理由見解析

噴=等

【分析】本題主要考查切線的判定，全等石匠判定與性質，直角三角形的性質等知識：

(1)證明△AOF三△C。尸得NOAF=N2,由A。||BE得N2=NE=NDAF,取EG的中點H,

連接CH,證明N2+N4=9療因可得出結論；

(2)證明NE=3^°,得出EG=2CG,進一步得出結論；

(3)設CG=x,可求出AG=(◎+7)x,DG=＜乎，從而可得結論.

:.AD=CD,ZADF=NCDF,

又DF=DF,

ADF=△CDF,

ZDAF=N2,

???AD||BE,

:.ZDAF=NE,

:.Z2=NE,

取EG的中點H,連接CH,

則CH=EH=GH為aCEG外接圓的半徑,

N7=NE,N4=N5

-%Z7=42,

?:￡1+￡4=

???Z.2+Z.4=9(f,

:.CF1CH,

所以。尸4ACEG的外接圓相切.

28/37

(2)解：EF=3CG.理由如下：

-CE=CF,

N3=NE=N7=2N5=2NE,

而N5+NE=90

ZE=3/

:.EG=2CG,

EF=3CG.

(3)解：設CG=x,則FG=K,CE=CF=AF=4x,

■0?AG=(A/5+7)x,

由(2)知NDAF=NE=30\

“7“(Q+7)X

22

DGV3+7

11.(2024九年級?全國?競賽)如圖，點。為等腰直角△ABC斜邊BC的中點，0。與AB、AC分別相切

于點。、E,交OC于點尸，O尸的延長線交AC的延長線于點G