第九章 因式分解（知識清單）-蘇科版八年級數(shù)學(xué)下冊【含答案】

第九章因式分解

思維導(dǎo)圖

定義：多項式r幾個整式的積

與整式柒法：互逆變形

分解原則：必須分解徹底

結(jié)果要求：只含積，不含加減

找公因式：系數(shù)最大公約數(shù)+相同字母最低次現(xiàn)

1.提公因式法公式：ma+mb+mc=m(a+b+c)

易錯：首項為負(fù)要提負(fù)號、別漏寫1

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

二、常用方法完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2

3.十字相乘法ox2+：p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

因適用：四項及以上多項式

4.分組分解法

式?28:分組后可提公因式/套公式

一提:優(yōu)先提公因式

分

二套:套用乘法公式

三、一般步驟

解三分:分組繼續(xù)分解

四查:檢查是否徹底'符號正確

提公因式不徹底

提負(fù)號后不變號

混淆平方差與完全平方

分解不徹底

結(jié)果寫成加激形式

/一化簡求值

，/一簡便運算

五、熨際應(yīng)用

幾何面積計算

、一判斷三角形的形狀

知識清單

一、因式分解的概念

1.多項式的因式：

一般地，如果一個多項式可以表示成若干個整式的乘積，那么其中的每個整式都叫作這個多

項式的因式.

2.因式分解：把一個多項式表示成幾個整式的乘積形式,這樣的變形叫作多項式的因式分

解.因式分解也可稱為分解因式.

二、因式分解的方法和步驟：

1.提公因式法：

試卷第1頁，共6頁

當(dāng)多項式的各項含有公因式時,可以采用建括號的方法把公因式提到括號外，把多項式寫成

公因式與另一個多項式的積的形式,這種分解因式的方法叫作提公因式法.

ab+ac+ad=a[b+c+d)

2.公式法：

逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式進(jìn)行因公分解的方法叫作公式法.

a2-b2=(a+b)(a-b)

a'+2ab+b2=(a+b)~

a2-2ab+b2=(a-b)2

3.因式分解的方法步驟和目標(biāo)：

方法步驟：

(1)先提公因式;

(2)再運用公式;

(3)檢查檢查每個因式是否可以繼續(xù)分解.

目標(biāo)：

必須把每一個因式都分解到不能再分解為止.

易錯總結(jié)

一、因式分解的概念理解：

1.錯誤：混淆“因式分解”與“整式乘法”概念.

注意：

因式分解與整式乘法是互逆的過程，整式乘法是將積的形式變成多項式，而因式分解是將一

個多項式變成積的形式.

(I\

2.錯誤：認(rèn)為“42-4=/1一一”也是因式分解.

IX)

注意：因式分解是將多項式變成幾個因式積的形式，它是在整式范圍內(nèi)的一種整式恒等變

形，結(jié)果中不能含有不是整式的部分或因式.等號右邊括號中的」已經(jīng)不是整式了，所以

X

這個不是因式分解.

二、因式分解的方法和步驟

試卷第2頁，共6頁

1.錯誤：提取多項式的各項系數(shù)的公因數(shù)時，沒有提取最大公因數(shù)，導(dǎo)致提取不徹底.

注意：例如，對多項式8d-12x,提取公因式時，系數(shù)只提取2,得到2x（4.?6）,括號內(nèi)

仍可以繼續(xù)提取公因數(shù)2,所以導(dǎo)致因式分解不徹底.

2.錯誤：第一項系數(shù)為負(fù)數(shù)時，負(fù)號忘記提取

注意：當(dāng)多項式的第一項系數(shù)為負(fù)數(shù)時，通常把負(fù)號作為公因式的符號進(jìn)行因式分解.忘記

提取負(fù)號也是經(jīng)常見到的一種錯誤，所以拿到囚式分解題目時，首先認(rèn)真審題是非常重要的，

尤其是首項帶有負(fù)號的.

3.錯誤：因式分解通常分為3個步驟，第三步“檢查”常常被忽略，認(rèn)為檢查不檢查無所謂

提醒：因式分解一般步驟分為3步，一是提取公因式：二是運用公式；三是檢查.大部分同

學(xué)只注意第一二步，對于第三步檢查感覺無所謂，只要自己認(rèn)真點，第3步要不要無所謂,

其實，這是不對的.很多錯誤都是由于對第三步的輕視導(dǎo)致的，這一步非常關(guān)鍵，重視，才

會減少錯誤.

易錯訓(xùn)練

知識點1訓(xùn)練：利用因式分解的概念判斷

1.下列各式從左到右的變形為因式分解的是（）

A.x2-4=（x-2）2+4xB.X3-6.V+9=（X-3）2

C.=/D./-1+2。=（。++2。

2.下列式子從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）

.1（.1Y..

A.1-----=1+-1----B.x'-1=x-x-1

a~a八a

C.(a+b)(a-b)=a2-b22am+bm=m(2a+b)

3.下列因式分解正確的是（

2x2-4x=2x(x-4)X2+X-6=X(X+1)-6

C.X2+2=Xx+—X1-16=(x+4)(x-4)

X)

知識點2訓(xùn)練：找多項式各項的“最大公因式”

4.多項式6a3b3+12/#o-3/6中，各項的最大公因式是（

A.-azbzB.3/bC.3(rbcD.a2b

試卷第3頁，共6頁

5.把多項式2/+4.口分解因式，應(yīng)提取的公因式是()

A.XB.yC.2xD.2y

6.下列多項式中，各項的公因式為5/Z,的是()

A.30ab2-10/6B.15a%+20//

C.\Oa2b-2Oab3D.15a%+5"

知識點3訓(xùn)練：判斷能否利用公式進(jìn)行囚式分解

7.下列各式中，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是()

A.X2-10X-25B.a2+4t/+I6C.4.r2+4xD.4x2-8x+4

8.下列多項式中，不能用公式法因式分解的是()

A.-x2+16/B.-x2-lx-\

、21)、

C.nr——mn+—n2D.-x2-v2

39”

9.下列多項式：①4/一8。+4；②9/+16必一20。％：③彳―y+1;④/+2x+4；⑤

〃2_6“—9.其中能用完全平方公式因式分解的有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

知識點4訓(xùn)練：綜合運用提公因式法和公式法因式分解

10.把下列各式因式分解.：

(1)3w'-6w;

2

(2)4X-9/;

(3)*+4xy-4y2:

(4)(/+/>2)2-4a2b~.

11.因式分解：

(1)-6a'b+3ab’-12abc:

⑵/-6y%

(3)\6x2y+24xy+9yi

(4)4(x+?-16(x-y)2.

12.把下列各式因式分解..

試卷第4頁，共6頁

(1)3(X-3)2-12；

(2)-4x2y+16xy-\6y；

(3)25-10(x+y)+(x+y)2：

(4)6(x+?-2(.—)

知識點5訓(xùn)練：利用囚式分解求代數(shù)式的值

13.如果a+b=2,ab=]f那么如6+2/〃+加的值為()

A.1B.3C.4D.8

14.若6ab=6,貝lj的值為()

A.6B.12C.18D.24

15.若x+y+z=2,-(y+z『=6,則x-y_z=.

知識點6訓(xùn)練：因式分解的綜合應(yīng)用

16.運算能力從邊長為〃的正方形中剪掉一個邊長為。的正方形(如圖①)，然后將剩余部

分拼成一個長方形(如圖②).

圖①圖②

(1)上述操作能驗證的等式是一(填選項).

A.a1-b1=(?+/?)(?-/7)

B.a~-2ab+b2=(a-h\

C.a2+ab=a(a+b)

(2)若x+y=8,求T的值.

V；[2?)I32)I42JI20202)I20212J

17.通常情況下，用兩種不同的方法計算同一圖形的面積，可以得到一個恒等式，圖1可以

得到(。+8)2=/+2M+〃，基于此，請解答下列問題.

試卷第5頁，共6頁

(1)根據(jù)圖2,寫出一個代數(shù)恒等式：；

⑵利用(1)中的結(jié)論對多項式進(jìn)行因式分解：x2+5.r+6=；

(3)類似地，用兩種不同的方法計算幾何體的體枳同樣可以得到一些代數(shù)恒等式.圖3表示

的是一個邊長為x的正方體挖去一個長、寬、高分別為1，2,2的小長方體后重新拼成的一

個新長方體.請你根據(jù)圖3中兩個圖形的變化關(guān)系，寫出一個代數(shù)恒等式：.

18.如圖所示，騏膜中學(xué)勞動實踐基地有兩塊邊長分別為〃?，〃的正方形地塊，它們的公共

部分(圖中陰影所示部分)不能使用，其面積為S,左邊正方形能使用部分的面積為5左，

右邊正方形能使用部分的面積為S行.

(1)用含加，〃，S的代數(shù)式表示圖中能使用部分的面積之和為

(2)設(shè)兩個正方形能使用部分的面積差為：S笠=S「S右.

①求S差的值(用含加，〃的代數(shù)式表示)，并對S差分解因式：

②若S羌=56,且/〃+〃=]4,求〃?，〃的值各是多少？

試卷第6頁，共6頁

1.B

【分析】本題考查因式分解的定義，因式分解是將多項式化為幾個整式的積的形式，且變形

為從左到右，根據(jù)定義即可判斷各選項.

【詳解】解：???因式分解要求從左到右變形后，結(jié)果為幾個整式的積的形式，

??.A選項中右邊是和的形式，不是積的形式，不是因式分解；

B選項中，左邊是多項式，右邊(x-3『=(x-3)(x-3),是兩個整式的積的形式，變形正確，

是因式分解；

C選項中，左邊是積的形式，右邊是多項式，屬于整式乘法，不是因式分解；

D選項中，右邊是和的形式，不是積的形式，不是因式分解.

2.D

【分析】本題考查因式分解的定義，因式分解的定義是把一個多項式化為幾個整式的積的形

式，根據(jù)定義逐一判斷選項即"J得到答案.

【詳解】解：A、1-與是分式，不是多項式，而因式分解的對象必須是多項式，故該變形不

a'

屬于因式分解，不符合題意；

B、等式右邊不是整式積的形式，不屬于因式分解，不符合題意；

C、該變形是整式乘法，是將乘積化為多項式，不屬于因式分解，不符合題意；

D、符合因式分解的定義，將多項式化為兩個整式的積的形式，屬于因式分解，符合題意.

3.D

【分析】根據(jù)因式分解的定義，即把多項式化為幾個整式乘積的形式，結(jié)合提公因式法，平

方差公式對各選項逐一判斷即可.

【詳解】解：A、2X2-4X=2X(X-2)^2X(X-4),選項錯誤；

B、因式分解的結(jié)果需為幾個整式的乘積，選項結(jié)果是和差形式，且正確分解結(jié)果為

x2+x-6=(x+3)(x-2)^x(x+l)-6,選項錯誤；

C、因式分解要求每個因式都必須是整式，選項結(jié)果中工是分式，不是整式，選項錯誤；

X

D、X2-16=X2-42=(X+4)(X-4),選項正確.

4.B

【分析】此題考查了多項式的最大公因式.

根據(jù)最大公因式的定義，先確定各項系數(shù)的最大公約數(shù)，再確定各項都含有的字母的最低次

答案第1頁，共1()頁

鼎，結(jié)合選項判斷即可.

【詳解】解：?.?多項式+2c各項系數(shù)6、12、-3的絕對值的最大公約數(shù)是

3,各項都含有的字母為。、從。的最低次暴是2,6的最低次暴是1,

???該多項式的最大公因式可以為3a%,

故選：B

5.C

【分析】本題主要考查了用提公因式法分解因式，找出多項式各項系數(shù)的最大公因數(shù)和變量

的公共部分，組合即為公因式.

【詳解】解：???多項式為2.d+4個中系數(shù)2和4的最大公因數(shù)為2,變量部分/和中的公共

因子為x，

???應(yīng)提取的公因式為2x.

故選：C.

6.B

【分析】本題考杳公因式，熟練掌握確定公因式的方法是解題的關(guān)鍵.

確定多項式中各項的公因式，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項系數(shù)的最大公約數(shù);

②定字母，即確定各項的相同字母因式（或相同多項式因式）：③定指數(shù)，即各項相同字母

因式（或相同多項式因式）的指數(shù)的最低次品；據(jù)此即可求得答案.

【詳解】解：A、30a/、10/6的公因式為10c力，不符合題意；

B、"、20a2川的公因式為5的公符合題意；

C、10/力、20a1的公因式為10帥,不符合題意;

D、15a%、5a8的公因式為5M,不符合題意；

故選：B.

7.D

【分析】根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)］±2尤+/=（〃±力?，判斷各選項是否符合該公式結(jié)構(gòu)

即可.

【詳解】解：AX2-10X-25,常數(shù)項為-25,是負(fù)數(shù)，不滿足公式結(jié)構(gòu)，不符合要求：

B/+4a+16,若符合公式結(jié)構(gòu)，中間項4a=2xax2,對應(yīng)常數(shù)項應(yīng)為2?=4,不是16,

不匹配，不符合要求；

C4F+4X,只有兩項，缺少常數(shù)項，無法構(gòu)成完全平方的結(jié)構(gòu)，不符合要求：

答案第2頁，共1（）頁

D4/_以+4,首項（2xf,末項22,中間項-8x=-2-（2x）?2,符合完全平方公式結(jié)構(gòu)，分

解得4/_8x+4=（2x-2『=4"-1）2,符合要求.

8.D

【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可.

【詳解】解：A、-x2+\6y2=\6y2-x2=（4y+x）（4y-x）,故此選項不符合題意：

B、-x2-2x-l=-（x2+2.r+l）=-（x+l）2,故此選項不符合題意：

C、〃/一2〃〃7+2〃2故此選項不符合題意；

39I3J

D、-x2-/=-p+r）?不能用公式法分解因式，故此選項符合題意；

9.A

【分析】本題根據(jù)完全平方式的結(jié)構(gòu)特征：兩數(shù)平方和，加上（或減去）兩數(shù)乘積的2倍,

逐?判斷每個多項式是否符合該結(jié)構(gòu)，即可得出結(jié)果.

【詳解】完全平方公式因式分解的結(jié)構(gòu)要求為加2±2〃〃!+〃2=（〃?±〃）2,逐一判斷：

①對于442-84+4=4（/—24+1）=4（〃2-2々1+『）=4（4-1）2,

???①可以用完全平方公式因式分解；

②對于9/+1682-20。力=（34『一20Q》+（4》『，完全平方結(jié)構(gòu)要求中間項應(yīng)為

-2（34）（4力）=-24時工-20必,不符合完全平方結(jié)構(gòu)，

②不能用完全平方公式分解；

③對于己-y+l=（4-2A+l2=f^-ll,

③可以用完全平方公式因式分解：

④對于X2+2X+4=/+2X+22,完全平方結(jié)構(gòu)要求中間項為2N2=4X,與原式不符，不

能用完全平方公式分解；

⑤對于常數(shù)項為負(fù)數(shù)，無法寫成兩數(shù)平方和的形式，不符合完全平方結(jié)構(gòu)，

不能分解；

綜上，能用完全平方公式因式分解的多項式有①③共有2個.

答案第3頁，共1（）頁

10.(1)3/W(,H2-2)

⑵(2x+3y)(2x-3y)

⑶-(x-2?

(4)(a+b)2(a-by

【分析】(1)提取公囚式，即可得到答案；

(2)直接利用平方差公式分解因式即可得到答案；

(3)首先提取-1,再利用完全平方公式分解因式可得答案;

(4)利用平方差公式和完全平方公式分解因式可得答案.

【詳解】⑴解:3心6明

=-2)

(2)解：4x2-9y2

=(2葉-(3獷

=(2x+3y)(2x-3y)；

⑶解：*+4折4y2

=-(x2-4xy+4y2)

=-(x-2y)2；

(4)解：-4a濘

=(a2+b2^-(2ab)2

=(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)

=(a+b)~(a-b)2.

11.(1)-3"(2/-力+4。)

⑵(x+2y)(7,)2

⑶*4x+3『

(4)4(3x-y)(3y-x)

答案第4頁，共10頁

【詳解】(1)解：-6a3b-￥3ab2-\2abc

=-3ab(2a2一人+4c)；

(2)解：x4-8x2y2+16/

=(X2)2-2X2X4/+(4/)：

=(X2-4/)2

=[(X-2J，)(X+2疥

=(x+2y)2(x-2y)2-

(3)解：\6x2y+24xy+9y

=^(16X2+24X+9)

=>'(4x+3)2；

(4)解:4(x+y)2-16(j-y)'

=4[(x+4-4(x—y『

=4(x+y+2x-2y)(x+y-2x+2y)

=4(3x-y)(3y-x).

12.(l)3(x-5)(x-l)

⑵-4y(I)?

⑶(5-x-?

(4)4(x+y)(x+2y)

【分析】(1)先提公因式3,再利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；

(2)先提公因式-4y,再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；

(3)把K+V看作一個整體，直接利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可;

(4)直接利用提公因式法進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】(1)解：3(X-3)2-12

答案第5頁，共10頁

=3[(A3)2-4}

=3(x-3-2)(x-3+2),

=3(x-5)(x-l).

(2)解：-4x2y+16xy-\6y

=-4v(x2-4x+4),

=-4y(x-2)2.

(3)解：25-10(x+y)+(x+j)2

=[5-(x+j)]2,

=(5-A:-JV)2.

(4)解：6(x+y)~-2(x-y)(x+y)

=2(x+y)[3(x+y)-(x—)],

=2(x+y)(3x+3y-x+y),

=2(x+y)(2x+4y)t

=4(x+y)(x+2y).

13.C

【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是將所求代數(shù)式通過提取公因式和完全平方公式進(jìn)

行變形，轉(zhuǎn)化為用已知條件。+6和他表示的形式，再代入計算即可.

3223

【詳解】解：ab+2ab+ab

=ab(a2+lab+b1),

=ab(a+b)2,

將。+。=2,ab=l代入得：原式=1x2?=1x4=4：

故選：C.

14.A

【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，涉及了整體代入的思想方法.先對所求代數(shù)式因式分

答案第6頁，共10頁

解?，轉(zhuǎn)化為含已知條件的形式，再代入已知值計算求解.

【詳解】???日_2/〃+而3

=ab(a2-2ab+)

=ab(a-b)2

又，:b-a=-1

:.a-b=1

且a6=6

二原式=6x]2=6，

故選：A.

15.3

【分析】根據(jù)x2-(y+z)2=6可推出(x+y+z)(x—y—z)=6,結(jié)合己知條件可得答案.

【詳解】解：?.■x2-(y+z)2=6,

???[x+(y+z)][x_(y+z)]=6,

.,.(x+y+z)(x-y-z)=6,

?：x+y+z=2,

.-.x—y—z=3.

16.(I)A

⑵2

【分析】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，包括圖形驗證、代數(shù)求值，掌握平方差公式的變形

與交叉約分的技巧是解題的關(guān)鍵.

（1）通過比較剪拼前后圖形的面積，驗證平方差公式；

（2）利用平方差公式x2-/=（x+y）（x-y）,代入已知值求x-y；

（3）將每個括號內(nèi)的式子用平方差公式分解，再通過交叉約分簡化計算.

【詳解】（1）解：圖①面積：a2-b2

圖②面積：（a+b）（a-b）

因為剪拼前后面積相等，

答案第7頁，共1（）頁

所以驗證的等式是：a2-b2=(a+h)(a-b)

故選：A.

(2)vx2-/=(x+y)(x-^)=16,x+y=S,

.\8(x-^)=16,

：.x-y=2.

(3)解：原式

1

2O7F

13243520202022

二-X—X—X—X—X—X…X---X----

22334420212021

=\_2022

-2X202T

1011

=2021'

17.(1)x2+or+版+“6=(x+0)('+?；

⑵(x+2)(x+3)；

⑶/-4x=x(x-2)(x+2).

【分析】本題考查了因式分解在幾何圖形中的應(yīng)用.

(1)根據(jù)圖形，用兩種方法表示圖形的面積即可，

(2)把