高等數學課件 第一章 函數、連續與極限

第一章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics函數、連續與極限高等數學e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內容導航第一章第二節數列的極限定義與計算第三節函數的極限定義與計算第四節極限的證明與性質第五節兩個重要極限第六節無窮小與無窮大第七節函數的連續性及其性質第一節

集合與函數課前導讀集合

習慣上，用大寫英文字母

表示集合，用小寫字母

表示集合的元素.3具有某種確定性質的對象的全體稱為集合（簡稱集），組成集合的個別對象稱為集合的元素.

表示

是集

的元素（讀作

屬于

），

表示

不是集

的元素（讀作

不屬于

）.

集合按照元素的個數分為有限集和無限集

，不含任何元素的集合稱為空集，記為.課前導讀函數4

如果按照某個法則，對每個數，變量總有唯一確定的值與之對應，則稱此對應法則為定義在上的函數，

與對應的值稱為在處的函數值，記作，即.

變量稱為自變量，稱為因變量.數集稱為定義域，

稱為函數的值域.一、集合的概念設

是兩個集合，圖1-1

一、集合的概念

我們把自然數的全體組成的集合稱為自然數集，記作.由整數的全體構成的集合稱為整數集，記為.

用

表示全體有理數構成的有理數集，

表示全體實數構成的實數集.顯然有.

注：

在本書中所討論的數集除特別說明外均為實數集.1.集合及其運算

由同時包含于

與

的元素構成的集合（見圖

1-2），稱為

與的交集（簡稱交），記作

，即

且

；

由包含于

或包含于

的所有元素構成的集合（見圖

1-3），稱為與

的并集（簡稱并），記作

，即

或

；集合的基本運算有四種：并、交、差、補.設

是兩個集合.圖1-2圖1-31.集合及其運算

由包含于

但不包含于

的元素構成的集合（見圖

1-4），稱為

與

的差集（簡稱差），記作

，即

且

；

特別地，若我們所討論的問題在某個集合（稱為基本集或全集，一般記為

）中進行，圖1-4圖1-5集合

是

的子集（見圖

1-5），此時稱

為

的余集（或補集），記作

或.1.集合及其運算關于集合的余集，我們有如下性質.性質1（對偶性質）設

是一個基本集，

是它的兩個子集，則01OPTION02OPTION1.集合及其運算

設

是兩個非空的集合，則由有序數對

組成的集合稱為

與

的直積.例如：設

即為

面上全體點的集合，

常記作.圖1-6則

，如圖

1-6所示.

除了集合的四種基本運算，我們還可以定義兩個集合的乘積.2.區間數集稱為開區間，記作（見圖1-7），即和稱為開區間的端點，其中為左端點，為右端點，且，

.類似地，數集稱為閉區間，記作（見圖1-8），

圖1-7設和都是實數，且，圖1-8和也稱為閉區間的端點，且，.abx(a,b)[a,b]abx2.區間數集及稱為半開區間，分別記作和(見圖1-9和圖1-10）.以上這些區間都稱為有限區間，數稱為這些區間的長度.從數軸上看，這些區間是長度為有限的線段.圖1-9圖1-10[a,b)(a,b]abxabx2.區間這些區間在數軸上表示長度無限的半直線，如圖1-11~1-14所示.圖1-11此外，對于這樣的集合：，，，，我們引進記號（讀作正無窮大）及（讀作負無窮大），則可類似的表示無限的半開區間或開區間：圖1-12圖1-13圖1-14全體實數的集合也記作，它也是無限的開區間.

ax

axbxbx3.鄰域圖1-15設與為兩個實數，且，數集稱為點的鄰域，記作

，即，其中稱作的中心，稱作的半徑.因此，也就是開區間.見圖1-15，顯然，這個開區間以點為中心，而長度為.

+在數軸上，表示點與點的距離，因此點的鄰域在數軸上就表示與點距離小于的點的全體.由于等價于，即，所以3.鄰域有時用到的鄰域需要將鄰域中心去掉（見圖1-16），點的鄰域去掉中心后，稱為點的去心

鄰域，記作，即這里就表示.為了方便，有時將開區間稱為的左鄰域，而將開區間稱為

的右鄰域.如果不強調半徑，以點為中心的任何開區間稱為點的鄰域，記作.-+圖1-16綜合練習題（一）練習題（一）答案二、常用函數(α

是常數)y=xyy=x2

x11oy=x3(1,1)

圖1-171.基本初等函數當時，的定義域是；(１)冪函數:當時，的定義域是；當時，的定義域是（見圖1-17）；當時，的定義域是,冪函數的最小定義域是.1.基本初等函數

yx1Oyx(a>1)(0<a<1)1O圖1-18圖1-19當時是單調增加函數；當時是單調減少函數.以為底的指數函數記為，在工程技術上經常用到這個指數函數.(３)對數函數:1.基本初等函數yx1Oyx1O(a>1)(0<a<1)圖1-20圖1-21當時，

是單調減少函數(見圖1-21).當時的對數函數記為，稱為自然對數函數.對數函數的定義域是,其圖像位于

軸的右方且通過點..當

時，是單調增加函數(見圖1-20)；1.基本初等函數對數具有以下運算性質：對任意的，,（i）（ii）（iii）和互為反函數，它們的圖像關于直線對稱，且有，進一步，我們在以后的計算中經常會用到和.1.基本初等函數(４)三角函數正弦函數，余弦函數，正切函數，余切函數，正割函數和余割函數統稱為三角函數.圖1-22圖1-23的定義域是R，值域是[-1，1]，最小正周期是2π，它是奇函數(見圖1-22)；的定義域是R，值域是[-1，1]

，最小正周期是2π，它是偶函數(見圖1-23)；y1-1222Oπ2π3π4ππ3ππ-πxy1-1222O-π2π3π4ππππ3πx

R

R1.基本初等函數的定義域是，值域是，最小正周期是π，在定義域上是奇函數（見圖1-24）；圖1-24圖1-25的定義域是，值域是，最小正周期是π，在定義域上是奇函數（見圖1-25）；-ππ2π3π

x﹣ππ2π3π

xyy

1.基本初等函數正割、余割函數與余弦、正弦函數的關系式為1.基本初等函數(５)反三角函數定義１在區間上的正弦函數的反函數記作，定義域為，值域為，稱為反正弦函數(見圖1-26).yπ2π211Ox圖1-26

1.基本初等函數定義2在區間上的余弦函數的反函數記作，圖1-27定義域為，值域為，稱為反余弦函數(見圖1-27).y=arccosx,

[1,1]yπ-11Ox1.基本初等函數定義3在區間上的正切函數的反函數記作，定義域是，值域為，稱為反正切函數，在整個定義域上是單調遞增函數(見圖1-28)；圖1-28定義在區間上的余切函數的反函數為，定義域是

，值域為，稱為反余切函數，在整個定義域上是單調遞減函數(見圖1-29).三角函數的反函數統稱為反三角函數.圖1-29xOyπ2π2-,

yπxO,

2.幾類特殊的函數例1

函數，其中C為某確定的常數.它的定義域為，值域為，它的圖形是一條平行于x

軸的直線(見圖1-30)，這個函數稱為常數函數.Oxy圖1-30例2函數的定義域為，值域，它的圖形如圖1-31所示，這個函數稱為絕對值函數.Oxyxy=圖1-312.幾類特殊的函數例3函數的定義域為，值域，它的圖形如圖1-32所示,這個函數稱為符號函數.xy1Oy=sgnx-1圖1-322.幾類特殊的函數例4設為任一實數，比如，，，,-2-10123-1-212y=[x]xy圖1-33函數的定義域為，值域為整數集，它的圖形如圖1-33所示.

不超過的最大整數稱為的整數部分，記作.可以看出，它的圖形在的整數值處出現跳躍，而躍度為１，這個函數稱為取整函數.一般地，有

，當2.幾類特殊的函數在例２、例３等例子中看到，有時一個函數要用幾個式子表示，這種自變量在不同變化范圍中，對應法則用不同的式子來表示的函數稱為分段函數.

分段函數在實際問題中經常出現，我們應重視對它的研究.2.幾類特殊的函數例5函數

是一個分段函數,它的定義域

.當時，對應的函數值；當時，對應的函數值.它的圖形如圖1-34所示.例如，則；

，則.yy=f(x)y=x-1－1O1y=x3x1圖1-343.復合函數

則

設有函數

①②

不可少.(2)

(1)構成復合函數的條件

注

函數:

但函數

不能構成復合函數.可定義復合函數兩個以上函數也可構成復合函數.

可定義復合函數:

例如:

3.初等函數例6設，求和.解01OPTION02OPTION03OPTION4.初等函數我們把由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次函數復合所構成的，并可以用一個算式表示的函數統稱為初等函數.例如都是初等函數，本書中討論的函數基本上都是初等函數.3.初等函數例７求函數的定義域.解所給函數由復合而成.從而，

的定義域是，因此，函數的定義域為.即，解這個關于的不等式，得，3.初等函數例8設的定義域是，求的定義域.解函數

由復合而成.因為

的定義域為，

因此，開區間

的并即為

的定義域.即.故必有的值域是，內容小結1.反函數反函數與直接函數互為反函數，它們的圖形在同一個坐標系里關于直線對稱.2.復合函數簡言之，復合函數就是函數的函數注意函數復合的條件.3.基本初等函數冪函數，指數函數，對數函數，1.反函數2.復合函數3.基本初等函數冪函數，指數函數，對數函數，三角函數，反三角函數.4.函數的分類內容小結4.函數的分類初等函數非初等函數(分段函數，有無窮多項的函數)代數函數超越函數無理函數有理函數有理整函數(多項式函數)有理分函數(分式函數)函數內容小結1.下列函數能否復合為函數若能,寫出其解析式、定義域、值域.課堂練習2.分析函數的復合結構.1.下列函數能否復合為函數若能,寫出其解析式、定義域、值域.解不能.的值域與的定義域之交集是空集.完2.分析函數的復合結構.解所給函數是由復合而成.隨堂測隨堂測答案:一、填空題:綜合練習題（二）練習題（二）答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內容導航第一章第一節集合與函數第三節函數的極限定義與計算第四節極限的證明與性質第五節兩個重要極限第六節無窮小與無窮大第七節函數的連續性及其性質第二節數列的極限定義與計算課前導讀51數列

:我們把這無窮多個數排成的序列稱為數列，其中稱為數列的首項，稱為數列的第n

項，或稱為數列的一般項(通項).等差數列

:公差，通項公式為，前n項求和公式為.等比數列

:公比，通項公式為，前n項求和公式為.一、數列極限的概念一尺之棰，日取其半，萬世不竭.———?莊子·天下篇?一尺長的木棍，每天截掉一半，每天截取的長度按照天數可排成一個數列:１.數列極限的引入

數列的通項為，當無限增大(記作，讀作趨于無窮大)時，

在數學上稱這個確定的數0是數列當時的極限.無限接近一個確定的數0.

１.數列極限的引入解決實際問題時，經常用到極限方法.極限方法作為高等數學中的一種基本方法，很有必要做進一步詳細的討論.先看下面的４個數列.，，，…，，…;，，，…，，…;，，，…，，…;，，，…，，…;（2）（1）（4）（3）它們的一般項依次為，，，.１.數列極限的引入在幾何上，數列

可看作數軸上的一個動點，如圖1-35所示，它依次取數軸上的點，，，，…x3x2

x1x4x5x6xnx圖1-35按函數的定義，數列

可看作自變量為正整數的函數，即，它的定義域是全體正整數，當自變量依次取時，對應的函數值就排列成數列.１.數列極限的引入現在我們所關心的問題是:(１)給定一個數列后，該數列的變化趨勢如何？

隨著的無限增大，能否無限接近某個常數?(２)如果能無限接近某個確定的數，則該常數是多少?數列(４)的一般項

將無限接近于常數1.

可以看出，在前面所列的4個數列中，當時，數列(１)的一般項將無限接近于常數0.而數列(２)的一般項卻在無限增大，它不接近于任何確定的數值.數列(３)的一般項始終交替地取值為1和-1，不接近于任何確定的數值.據此，我們可以認為，數列(１)和(４)是“有極限”的，而數列(２)和(３)是“無極限”的.１.數列極限的引入從上述各例觀察可以看到，數列的一般項變化趨勢有兩種情況:無限接近于某個確定的常數和不接近于任何確定的常數.這樣就可以得到數列的描述性定義.如果當數列

的項數無限增大時，它的一般項無限接近于一個確定的常數，記作或則稱為數列

的極限.此時也稱數列

收斂于，例如，.１.數列極限的引入如果當數列

的項數無限增大時，

它的一般項不接近于任何確定的常數，則稱數列

沒有極限，或稱數列

發散，習慣上記作不存在.例如，不存在.

例如.當數列

的項數無限增大時，如果也無限增大，則數列

沒有極限.此時，習慣上也稱數列

的極限是無窮大，記作

，2.數列極限的定義在上述極限的描述性定義中，我們都是用“無限增大”和“無限接近”來描述極限概念的.為了給極限一個精確的定義，關鍵是要給予“無限增大”和“無限接近”以定量的刻畫.一般來說，兩個數a、b

的接近程度可用b-a

來度量.

我們以數列為例.2.數列極限的定義考慮，顯然，越大，就越“接近”1.這個數1就是的極限.

只要足夠大，就可以小于任何給定的正數.這時，，…均能使不等式成立.如果要求，即，只要，這時，，…均能使不等式成立.同樣，如果要求，即，只要，一般地，不論給定的正數

多么小，總存在一個正整數，使得對于

時的一切，不等式

均成立，這就是數列

當時無限“接近”于1的精確刻畫，2.數列極限的定義設為一數列，定義如果這樣的常數不存在，就稱數列沒有極限，或稱數列發散.

，或.或者稱數列

收斂于，記作如果存在一個常數，對于任意給定的正數，總存在一個正整數，使得對于

時的一切，不等式

均成立，則稱常數

是數列

的極限，2.數列極限的定義我們用“”表示“任意的”，用“”表示“存在”，就可以用更簡潔的語言來描述數列的極限.如果

，，當

時，恒有，則.

注

(１)定義中，

刻畫了和的接近程度，的“任意”性極其重要.只有這樣，

才能體現和的“無限接近”；

(２)正整數與任意給定的正數

有關.對于給定的

，相應的不是唯一的，即只要其存在，并沒有要求其達到最小；(３)由定義也可看出，的極限是否存在僅與它的發展趨勢有關.只要從某項開始，

即可，與前有限項的變化無關.若在數軸上標出，，…，，…及，2.數列極限的定義下面給出“數列

的極限為”的幾何解釋.數列極限幾何解釋再作的

鄰域(見圖1-36)，就會發現，當

時，點均落在內，至多有有限個(個)落在外.a-2a+

圖1-362.數列極限的定義例１已知，證明.必須指出，數列的定義可用于驗證是數列

的極限，但卻無法用于求極限.要使證明，即，故數列

的極限為0，取，則當

時，恒有，即2.數列極限的定義【舉一反三】

已知，證明.證明,即，由本題證明可以發現：對于任意的，都有.請感興趣的讀者自行證明.(不妨設，想想為什么可以這樣假設.)要使恒有，等式兩端同時取對數，，從而，取，則當

時，故數列

的極限為0，即二、數列極限的計算極限的定義只能用來驗證極限，而不能計算數列的極限，所以下面給出數列極限的運算法則.定理(數列極限的運算法則)若，，則

；(加減法則)（1）

；(乘法法則)（2）

；(交換法則)（3）

；(除法法則)（4）定理的證明見第一章第四節.二、數列極限的計算例2求下列數列的極限：（1）（3）（5）（2）（4）（6）二、數列極限的計算解(１)將分子、分母同時除以，則有（1）題二、數列極限的計算（2）利用等差數列求和公式，可得解（2）題二、數列極限的計算解（3）（3）題利用數列的交換法則，可得（4）二、數列極限的計算題（4）解

二、數列極限的計算解（5）（5）題先將分子有理化，再利用數列極限的運算法則，可得二、數列極限的計算題（6）（6）解利用等比數列求和公式，可得內容小結1.數列極限的概念理解極限的定義與極限的思想.當時，2.定義論證方法對找使當時，總有具體運用時，常用分析法倒推:具體運用時，常用分析法倒推:即從出發，將不等式左端變形解出取然后用定義敘述和下結論.3.數列極限的主要性質有界性，唯一性，保號性，子數列的收斂性.2.定義論證方法再令其若干步后內容小結1.數列極限的概念1.設證明數列的極限是0.課堂練習1.設證明數列的極限是0.證由于要使只要或所以，取則當時，成立，即就有隨堂測隨堂測答案:e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內容導航第一章第一節

集合與函數第二節數列的極限定義與計算第四節極限的證明與性質第五節兩個重要極限第六節無窮小與無窮大第七節函數的連續性及其性質第三節函數的極限定義與計算課前導讀80這一節介紹函數極限的定義.在前一節，我們探討了數列的極限.數列的通項可以看成一類特殊的函數，本節將介紹自變量趨于無窮大（）和自變量趨于固定值

（）時的兩種函數的極限.

那么數列極限就變成了，這里.

如果我們把函數的定義域擴充到，那么就變成了函數的極限.一、自變量趨于無窮大時的極限自變量趨于無窮大，包括三種情況:且無限增大，則記作；

且無限增大，則記作；如果既可以取正值，又可以取負值且無限增大，則記作.我們先觀察函數，和的圖像.對于函數的圖像(見圖1-37)，y1O1x(1,1)y=1xyx

O1

無限增大時，曲線無限接近于x軸，即對于函數的圖像(見圖1-38)，當

且無限增大時，曲線無限接近于直線，而當

且無限增大時，曲線無限接近于直線.圖1-37圖1-38一、自變量趨于無窮大時的極限一般地，我們假設函數

在(為某一正數)時有定義，，或.

定義１

如果在過程中，對應的函數值

無限接近確定的常數，則稱為函數

當時的極限.精確地說，就有如下定義.設函數

當大于某一正數時有定義，如果存在常數，對于任意給定的正數(不論它多么小)，總存在正數，使得當滿足不等式時，對應的函數值都滿足不等式，則就叫作函數當時的極限，記作一、自變量趨于無窮大時的極限定義１也可簡述為以下形式.若，

，當

時，恒有

，則.如果，

，當

時，恒有，則.同樣，我們也可以定義當時的函數

的極限.若

且，當

且

時，我們就得到時的函數

的極限定義.即時，有，或記為，如果，，當

時，恒有，則.即一、自變量趨于無窮大時的極限下面看一下極限

的幾何解釋.對任意給定的，作直線

及，總存在，當

時，

的圖形必位于這兩直線之間（見圖1-39）.-XoXxy

A

函數極限的幾何解釋(趨于無窮大)圖1-39一、自變量趨于無窮大時的極限顯然可以得到下面的結論.定理１

且.注一般地，如果

或，同理，不存在，因為.很容易看出，.直線稱為函數圖形的水平漸近線.直線和稱為函數圖形的水平漸近線.那么稱直線為函數

圖形的水平漸近線.一、自變量趨于無窮大時的極限例１證明.證明對，要使

，只需

，即，即恒有，取，則當時，二、自變量趨于有限值時的極限我們先看兩個實例，再給出當(為有限值)時函數極限的定義.

x

11O-12

x1O-112

圖1-40圖1-41二、自變量趨于有限值時的極限

所謂“

無限接近于確定的數值”，實質上等價要求

能任意小，這“任意小”又可用(其中

為任給的正數)來刻畫.而意小”是在的過程中實現的，又由于這“任也就是僅要求充分接近時，使就行了.二、自變量趨于有限值時的極限綜上所述，得到時函數極限的定義.定義2

或.定義2也可簡述為，，當時，恒有，那么.記作設函數

在點的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數，于任意給定的正數(不論它多么小)，對總存在正數，使得當滿足不等式時，對應的函數值

都滿足不等式，則稱為函數在時函數的極限，注這里與、有關.二、自變量趨于有限值時的極限的幾何解釋如下.任意給定一正數，作平行于軸的兩直線:及.存在，當時，曲線

位于兩條直線

及

之間(見圖1-42).x

O

A

函數極限的幾何解釋(趨于定點)圖1-42例2

(1)證明

(C為常數).證

故

對任意的

當

因此

總有成立.例2

(2)證明

證

對

取

當

因此

總有成立.二、自變量趨于有限值時的極限例3證明.證明，要使即，又要求，即，注同樣的方法可以證明.（這個結論可以推廣到更一般的n次根式）取，則當時，恒有.二、自變量趨于有限值時的極限【舉一反三】證明當時，.證明，不妨設，要使，即，只要

取，則當時，恒有

即二、自變量趨于有限值時的極限上述

中的“”是指可以取左側的點()而趨于，也可以取右側的點()而趨于.有時我們只需考慮從的一側(左側或右側)趨于，這時就需要將上述情況分別討論.如果僅從的左側趨于

(記作)時，

趨于，則稱為

在時的左極限，記作.如果僅從的右側趨于

(記作)時，

趨于，則稱為

在時的右極限，記作.顯然有.因此如果、中有一個不存在，或兩個雖存在但不相等，則不存在.二、自變量趨于有限值時的極限例4函數由于，yy=x-1y=x+1-1-111xO則不存在（見圖1-43所示）；圖1-43，，再比如，不存在，因為.三、函數極限的計算方法極限的定義只能用來驗證函數的已知極限，那么如何計算(求)函數的極限呢？要討論極限的求法，首先要建立相關的一些運算規則，比如極限的四則運算法則、復合函數的極限運算法則等.

三、函數極限的計算方法定理２(函數極限的四則運算法則)設，，則定理２的證明見第一章第四節.（1）（2）（3）三、函數極限的計算方法推論

若

，存在，

則上述極限中將“”改為“”，結論仍然成立.（證明過程有所差別）（1）（2）（3）；若，則.；三、函數極限的計算方法例5計算下列函數的極限.（1）（3）（2）三、函數極限的計算方法注（1）設，則三、函數極限的計算方法（2）設，其中、為多項式，則三、函數極限的計算方法例6求.解因為，即分母的極限為零，所以不能直接應用極限運算法則.我們先利用多項式的因式分解，約去公因式后，再利用函數極限的四則運算法則進行運算.三、函數極限的計算方法例7

計算解因分母的極限為零，要先對函數做必要的變形，因分子中含有根式，通常用根式有理化，然后約去分子、分母中的公因子.三、函數極限的計算方法定理３(復合函數的極限運算法則)設函數

是由函數

與

復合而成的，在點的去心鄰域內有定義，若，，且存在，當時，有，則三、函數極限的計算方法例8求極限.解記，由于，故.三、函數極限的計算方法例9求極限.由于，故

解記，三、函數極限的計算方法【舉一反三】求極限.解一解二故原式令則當時，三、函數極限的計算方法例10

(１)求極限；（2）求極限.

解（1）當時，分母的極限為零，故不能直接應用商的極限運算法則.但若采取將分母有理化，即將分子與分母同時乘，則得（2）當時，分子與分母都沒有極限，極限運算法則，故也不能直接應用商的極需先將分子、分母同時除以.三、函數極限的計算方法例11已知,求之值.解因故解得1.函數極限的概念內容小結時刻，從該時刻以后，恒有過程時刻過程時刻從此時刻以后從此時刻以后內容小結1.判別下列極限是否存在，如果存在，求出其值.2.若且問：能否保證有的結論？試舉例說明.課堂練習1.判別下列極限是否存在，解（1）由于因此不存在.如果存在，求出其值.2.若且問：能否保證有的結論？試舉例說明.解不能保證.例如，設有但隨堂測隨堂測答案117一、填空題:綜合練習題118二、求下列各極限:綜合練習題練習題答案e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內容導航第一章第一節

集合與函數第二節數列的極限定義與計算第三節函數的極限定義與計算第五節兩個重要極限第六節無窮小與無窮大第七節函數的連續性及其性質第四節極限的證明與性質課前導讀121這一節介紹數列及函數極限性質，讀者可以深入理解和熟悉極限的定義，同時為引入新的極限計算方式打下基礎.本節可作為對極限要求較高的專業的選學內容.一、利用極限定義證明

證明，要使，則當時，即，取，恒有，

一、利用極限定義證明例2

證明.證明，要使即即，恒有取，則當時，一、利用極限定義證明例3

證明.證明，要使只要，取，則當時，有二、數列極限的性質定理１(極限的唯一性)

數列

不能收斂于兩個不同的極限.證明（反證法）假設同時有及，由可知，由可知

，取，當

時，，同時成立，矛盾.因此，數列不能收斂于兩個不同的極限.取.

不妨設，恒有，當

時，，恒有當

時，二、數列極限的性質定理2(收斂數列的有界性)如果數列收斂，則該數列一定有界.證明不妨設，數列

有界是指存在，使一切滿足.因此，取，如果數列無界，則其一定發散；則任何

，有.則，，當

時，恒有.取，即數列

有界.則對一切，均有，數列

有界，但發散.如果