2026上海中考數學復習專題12相似三角形（7大考點+12大題型+6大易錯+9大技巧方法）（解析版）

專題12相似三角形

（7大考點+12大題型+6大易錯+9大方法+測試）

目錄

01錨?課標要求：指引命題方向，落實核心素養

02理?思維導圖：構建知識體系，呈現結構關系

03盤?知識梳理：兼顧主干細節，夯實基礎框架（7個核心考點）

考點01比例的性質及比例線段考點02相似圖形與相似多邊形

考點03平行線分線段成比例定理考點04相似三角形的判定與性質

考點05相似三角形的應用考點06位似與位似變換

考點07相似與位似的作圖問題

04探?重難題型：深度剖析重點，精準突破難點（12大重難題型）

題型01比例的性質題型02黃金分割題型03相似多邊形及性質

題型04平行線分線段成比例定理題型05相似三角形的判定

題型06相似三角形的性質題型07相似三角形的性質與判定

題型08相似三角形的應用題型09相似三角形的動點問題

題型10位似題型11相似與位似的作圖題型12相似綜合問題

05辨?易混易錯：警示常見誤區，辨析細微差別（6個易混易錯點）

易錯點01混淆相似三角形的相似比與面積比

易錯點02位似圖形的坐標求解時漏解

易錯點03相似三角形的對應邊不確定，沒有進行分類討論而出錯

易錯點04相似三角形與函數綜合應用時沒有正確列出函數關系式

易錯點05相似三角形解決動點問題時沒有正確進行分類討論

易錯點06相似三角形解決實際問題時沒有正確的建立模型

06拓?方法技巧：精煉方法技巧，精準突破難點（9大方法技巧）

技巧01：相似三角形基本模型：A字型技巧02：相似三角形基本模型：X字型

技巧03：相似三角形基本模型：母子型技巧04：相似三角形基本模型：K字型

技巧05：相似三角形基本模型：一線三等角型技巧06：相似三角形基本模型：旋轉型

技巧07：相似三角形與新定義問題技巧08：相似三角形與幾何探究綜合問題

技巧09：相似三角形與函數綜合問題

07測?實戰演練：鞏固核心考點，強化應試能力（24題）

考點01比例的性質及比例線段

1.比例的性質

（1）比例的基本性質：組成比例的四個數，叫做比例的項．兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做

比例的內項．

（2）常用的性質有：

①內項之積等于外項之積．若,則ad=bc．

??

?=?

②合比性質．若,則.

???+??+?

?=??=?

③分比性質．若,則.

????????

?=??=?

④合分比性質．若,則.

???+??+?

?=????=???

⑤等比性質．若（b+d+…+n≠0），則.

????+?+??+??

2.比例線段?=?=?=??+?+??+?=?

（1）對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如ab=cd

（即ad=bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．

（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之

比是否相等即可，求線段之比時，要先統一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系．

3.黃金分割

BCAB

如圖，點B把線段AC分割成AB和BC兩部分（AB＞BC），滿足（此時線段AB是線段AC,BC的

ABAC

比例中項），那么稱點B為線段AC的黃金分割點，AB與AC（或BC與AB）的比成為黃金比，它們的比值為

51

，近似值為0.618.

2

考點02相似圖形與相似多邊形

1.相似圖形

（1）相似圖形

我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形．

（2）相似圖形在現實生活中應用非常廣泛，對于相似圖形，應注意：

①相似圖形的形狀必須完全相同；

②相似圖形的大小不一定相同；

③兩個物體形狀相同、大小相同時它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況．

（3）相似三角形

對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形．

2.相似多邊形的性質

（1）如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形．

（2）相似多邊形對應邊的比叫做相似比．

（3）全等多邊形的相似比為1或相似比為1的相似多邊形是全等形．

（4）相似多邊形的性質為：

①對應角相等；

②對應邊的比相等．

考點03平行線分線段成比例定理

（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．

（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平

行于三角形的第三邊．

（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的

三邊與原三角形的三邊對應成比例．

考點04相似三角形的判定與性質

1.相似三角形的判定

（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；

這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應用時

要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形

（2）三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；

（3）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；

（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．

2.相似三角形的性質

相似三角形的定義：如果兩個三角形的對應邊的比相等，對應角相等，那么這兩個三角形相似．

（1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．

（2）相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；

相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比．

（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平方．

由三角形的面積公式和相似三角形對應線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平

方．

考點05相似三角形的應用

（1）利用影長測量物體的高度．①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性

質即相似三角形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．②測量方法：在同

一時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的長度．

（2）利用相似測量河的寬度（測量距離）．①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構造“A”

型或“X”型相似圖，三點應在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構造直角三角

形．②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應邊成比例可求出河的寬度．

（3）借助標桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三

角形的邊，利用視點和盲區的知識構建相似三角形，用相似三角形對應邊的比相等的性質求物體的高度．

考點06位似與位似變換

（1）位似圖形的定義：

如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形

叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．

注意：①兩個圖形必須是相似形；

②對應點的連線都經過同一點；

③對應邊平行．

（2）位似圖形與坐標

在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等

于k或-k．

考點07相似與位似的作圖問題

1.作圖—相似變換

（1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到．

（2）相似圖形的作圖在沒有明確規定的情況下，我們可以利用相似的基本圖形“A”型和“X”型進行簡單

的相似變換作圖．

（3）如果題目有條件限制，可根據相似三角形的判定條件作為作圖的依據．比較簡單的是把原三角形的三

邊對應的縮小或放大一定的比例即可得到對應的相似圖形．

2.作圖—位似變換

（1）畫位似圖形的一般步驟為：

①確定位似中心；②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；③根據位似比，確定能代表所作的

位似圖形的關鍵點；④順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．

借助橡皮筋、方格紙、格點圖等簡易工具可將圖形放大或縮小，借助計算機也很好地將一個圖形放大或縮

小．

（2）注意：①畫一個圖形的位似圖形時，位似中心的選擇是任意的，這個點可以在圖形的內部或外部或在

圖形上，對于具體問題要考慮畫圖方便且符合要求．②由于位似中心選擇的任意性，因此作已知圖形的位

似圖形的結果是不唯一的．

題型01比例的性質

ab3a

【典例1】（2025·湖南永州·模擬預測）若，則（）

b5b

1385

A．B．C．D．

2252

【答案】C

【分析】本題主要考查比例，根據比例的性質求解即可．

ab3

【詳解】解：∵，

b5

a3

∴1，

b5

a8

∴，

b5

故選：C．

【變式練習】

n1n

1．（2025·云南麗江·一模）若=，則的值為（）

m4mn

1134

A．B．C．D．

5445

【答案】A

n1n

【分析】本題考查了求代數式的值，根據=，可得：m4n，把m4n代入代數式，計算即可求

m4mn

出結果．

n1

【詳解】解：=，

m4

m4n，

nnn1

．

mn4nn5n5

故選：A．

2．（2025·上海寶山·一模）在比例尺為1:500的圖紙上，量得一座塔的高是2.2厘米，那么它實際的高度是

（）

A．11米B．110米C．22米D．220米

【答案】A

【分析】本題考查了比例，熟練掌握比例尺的定義“比例尺是圖上距離與實際距離之比”是解題關鍵．比例

尺是圖上距離與實際距離之比，依此列出算式計算即可得．

【詳解】解：設塔的實際的高度是x厘米，

由題意得：2.2:x1:500，

解得x1100，

因為1100厘米11米，

所以塔的實際的高度是11米，

故選：A．

3．（2025·上海長寧·一模）已知線段a3，b6，線段c是線段a、b的比例中項，那么線段c的長是．

【答案】32

【分析】本題考查比例中項的定義，解題的關鍵是掌握比例中項的定義：如果a、b，c三個量成連比例，

即a:bb:c，b叫做a和c的比例中項．（內項要相等時才稱為比例中項），比例中項又稱“等比中項”或“幾

何中項”，即可．

【詳解】解：∵線段a3，b6，線段c是線段a、b的比例中項，

∴c2ab3618，

∴c132，c232（舍），

∴線段c的值為32．

故答案為：32．

題型02黃金分割

【典例2】（2025·四川成都·三模）如圖，點C是線段AB的黃金分割點（ACBC），若AB長為2，則線

段AC的長為（）

A．35B．35C．51D．51

【答案】A

51

【分析】本題考查了黃金分割，掌握較長線段是全線段的即0.618是解題的關鍵．

2

【詳解】解：∵點C是線段AB的黃金分割點，且ACBC，AB2，

5151

∴BCAB251，

22

∴AC2BC25135；

故選：A．

【變式練習】

4．（2026·福建泉州·模擬預測）黃金分割點是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部

分與較大部分的比值的分割點．已知線段AB2，點C是線段AB的黃金分割點，且ACBC，則AC的長

是（）

5151

A．51B．35C．D．

22

【答案】A

【分析】本題主要考查了黃金分割的應用，準確分析計算是解題的關鍵．

根據黃金分割點的定義，較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值，設AC為x，列出方程求

解

【詳解】AB2，ACBC，

設ACx，則BC2x，

x2x

，

2x

2

x22x，即x22x40，

解得x15或x15，

x>0，

x51，即AC51．

故選A．

5．（2025·山西長治·二模）如圖所示，相同的瓶子里裝入了不同的水量，用棒敲擊瓶子時，可發出不同音

調．通過實驗發現，當水面高度BC與瓶高AC之比為黃金比（約等于0.618）時，可以發出“sol”的音符．若

AC12cm，則水面高度BC為（）

A．4.6cmB．7.4cmC．12.6cmD．19.4cm

【答案】B

【分析】本題主要考查了黃金分割，熟知黃金分割的定義是解題的關鍵．根據黃金分割的定義進行計算即

可．

【詳解】解：由題知，

BC

0.618，

AC

因為AC12cm，

所以BC7.4(cm)．

故選：B．

6．（2021·陜西·模擬預測）大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，P

為AB的黃金分割點APPB，如果AB的長度為10cm，那么AP的長度為cm．

【答案】555

【分析】本題考查了黃金分割，根據P為AB的黃金分割點APPB，進行列式計算，即可作答．

【詳解】解：∵P為AB的黃金分割點APPB，且AB的長度為10cm，

AP51

∴，

AB2

51

即AP10555cm，

2

故答案為：555．

題型03相似多邊形及性質

【典例3】（2025·陜西渭南·一模）已知四邊形ABCD~四邊形A1B1C1D1，若AB3，A1B15，則四邊形ABCD

與四邊形A1B1C1D1的面積比為．

9

【答案】9:25/

25

【分析】本題考查了相似多邊形的性質，相似多邊形的面積比等于相似比的平方，根據對應邊AB和A1B1的

長度求出相似比，再計算面積比

【詳解】解：∵四邊形ABCD~四邊形A1B1C1D1，AB3，A1B15，

AB3

∴相似比k，

A1B15

2

239

∴面積比k．

525

故答案為9:25．

【變式練習】

7．（2025·河北唐山·一模）如圖，老師利用復印機將一張長為20cm，寬為8cm的矩形的數學檢測卷等比例

縮小，其中縮小后的長為10cm，則縮小后的矩形面積為（）

A．100cm2B．80cm2C．60cm2D．40cm2

【答案】D

【分析】本題考查相似多邊形的性質，由相似多邊形的對應邊成比例，即可求解．

【詳解】解：設縮小后的寬是xcm，

∵縮小前后的兩個矩形相似，

∴20:108:x，

∴x4，

∴放大后的寬是4cm，

放大后的矩形的面積10440cm2．

故選：D．

8．（2025·江蘇鹽城·二模）若兩個相似多邊形的對應邊長分別為4cm和8cm，則它們的面積比為．

【答案】1:4

【分析】本題考查了相似多邊形的性質，熟記相似多邊形的面積的比等于相似比平方是解題的關鍵．

根據相似多邊形的面積的比等于相似比的平方解答即可求出結果．

【詳解】解：∵兩個相似多邊形的對應邊長分別為4cm和8cm，

∴兩個相似多邊形的相似比為4:81:2，

∴它們的面積比為12:221:4．

故答案為：1:4

9．（2025·陜西西安·模擬預測）如圖，矩形紙片ABCD的長ADa，寬ABb，E，F分別為AD，BC兩

邊的中點，若將這張紙片沿著直線EF對折，得到的兩個矩形與原矩形均相似，則a：b等于．

【答案】2:1

【分析】本題考查了相似多邊形的性質，矩形的性質，熟練掌握相似多邊形的性質是解題的關鍵．

利用相似多邊形的性質求解即可．

【詳解】解：四邊形ABCD是矩形，

ADBCa,ABCDb，

E，F分別為AD，BC兩邊的中點，

a

AEEDBFCF，

2

兩個矩形與原矩形相似，

AEAB

，

ABBC

a

b，

2

ba

a2:b22:1，

a0,b0，

a:b2:1，

故答案為：2:1．

題型04平行線分線段成比例定理

、、

【典例4】（2025·上海嘉定·一模）如圖，已知直線l1l2l3分別與直線m交于點A、B、C，與直線n交于點

，，

D、E、F，如果l1l2l33AB2BCDE6，那么DF．

【答案】15

【分析】本題考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例的計算方法，找準線段的比是解題的

ABDE2

關鍵．根據l∥l∥l，3AB2BC，得到，結合已知求出EF的長度，即可求解．

123BCEF3

【詳解】解：∵l1∥l2∥l3，

ABDE

∴，

BCEF

∵3AB2BC，

AB2

∴，

BC3

DE2

∴，

EF3

∵DE6，

62

∴，

EF3

∴EF9，

∴DF=DE+EF=15，

故答案為：15．

【變式練習】

10．（2022·河北石家莊·一模）如圖是某位同學用帶有刻度的直尺在數軸上作圖的方法，若圖中的虛線相互

平行，則點P表示的數是（）

10

A．1B．2C．D．5

3

【答案】D

【分析】本題考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵．設點P表示的數

是x，根據平行線分線段成比例列出方程，解出x的值即可．

【詳解】解：設點P表示的數是x，

圖中的虛線相互平行，

3

根據平行線分線段成比例可得，x，

2

103

解得：x5，

點P表示的數是5．

故選：D．

11．（2024·山東臨沂·二模）如圖，AD∥BE∥FC，它們依次交直線l1，l2于點A，B，C和點D，E，F，

DE

若AB2，BC3，則的值是．

DF

2

【答案】/0.4

5

【分析】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵．根據平行線分線段

DEAB

成比例可得，代入可求得答案．

DFAC

【詳解】解：∵AD∥BE∥FC，AB2，BC3，

DEABAB22

∴，

DFACABBC235

2

故答案為：．

5

12．（2025·上海·一模）在ABC中，AB3，AC2，分別反向延長AB、AC到D、E，若BD4，則

當AE時，BC∥DE．

2

【答案】

3

【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據平行得到比例式是解決本題的關鍵．

ADAE

根據平行線分線段成比例定理，當BC∥DE時，有，由已知AB3，BD4，可求AD，再代入

ABAC

比例式求AE

【詳解】解：∵BD4，AB3，且D在AB的反向延長線上，

∴ADBDAB431，

∵BC∥DE，

ADAE1AE

∴，即，

ABAC32

2

∴AE，

3

2

故答案為．

3

題型05相似三角形的判定

【典例5】（2025·云南·模擬預測）如圖所示，在ABC中，ACB90，D為邊AB上的點，連接CD，

添加一個條件，使△ADC∽△ACB．(只需寫出一個)

【答案】CDAB（答案不唯一）

【分析】本題考查添加條件使三角形相似，根據相似三角形的判定方法，添加條件即可．

【詳解】解：∵AA，ACB90，

∴當CDAB時，則：ADC90ACB，此時△ADC∽△ACB；

故添加的條件可以為：CDAB；

故答案為：CDAB（答案不唯一）．

【變式練習】

13．（2025·上海嘉定·一模）在ABC中，點M、N分別是邊AB、AC上的點，那么下列條件中不能推得

MN∥BC的是（）

AMANABACBMCNAMMN

A．B．C．D．．

BMCNAMANABACABBC

【答案】D

AMANAMAN

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，平行線的判定，根據可推出，則

BMCNABAC

ABAC

可證明AMN∽ABC得到AMNB，據此可判斷A；根據和AA可證明AMN∽ABC

AMAN

AMMN

得到AMNB，據此可判斷B；同理可判斷C；由無法證明MN∥BC，可判斷D．

ABBC

AMAN

【詳解】解：A、∵，

BMCN

AMAN1

∴可設k0，

BMCNk

∴BMkAM，CNkAN，

∴ABAMBM1kAM，ACANCN1kAN

AM1AN

∴，

AB1kAC

又∵AA，

∴AMN∽ABC，

∴AMNB，

∴MN∥BC，故A選項不符合題意，

ABAC

B、∵，AA

AMAN

∴AMN∽ABC，

∴AMNB，

∴MN∥BC，故B選項不符合題意，

BMCNAMAN

C、同理由可得，

ABACABAC

又∵AA，

∴AMN∽ABC，

∴AMNB，

∴MN∥BC，故C選項不符合題意，

AMMN

D、由無法證明MN∥BC，故D選項符合題意；

ABBC

故選：D．

14．（2023·河北邢臺·一模）如圖，在四邊形ABCD中，ADCBAC，則添加下列條件后，不能判定△ADC

和BAC相似的是（）

ACCDADCD

A．B．

BCACABAC

C．CA平分BCDD．DACABC

【答案】A

【分析】本題考查了相似三角形的判定定理．相似三角形的判定定理有：兩角分別相等的兩個三角形相似；

兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似．根據已知條件ADCBAC，

運用相似三角形的判定定理逐一分析每個選項是否能判定△ADC和BAC相似．

【詳解】A、滿足兩邊成比例，但比例邊的夾角不確定是否相等，故不能判定△ADC和BAC相似，符合

題意；

B、滿足兩邊成比例且夾角相等，故能判定△ADC和BAC相似，不符合題意；

C、滿足兩角分別相等，故能判定△ADC和BAC相似，不符合題意；

D、滿足兩角分別相等，故能判定△ADC和BAC相似，不符合題意；

故選：A．

15．（2024·云南曲靖·模擬預測）如圖，已知CAED90，點E在AB上，添加一個條件，使

ABC∽DAE．你添加的條件是．

【答案】AD∥BC（答案不唯一）

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，可添加一個條件AD∥BC，根據“兩直線平行，內錯角相等”

可得BDAE，再結合CAED90，由“兩角分別相等的兩個三角形相似”可證明ABC∽DAE．

【詳解】解：添加一個條件AD∥BC，則有BDAE，

∵CAED90

∴ABC∽DAE．

故答案為：AD∥BC（答案不唯一）．

題型06相似三角形的性質

【典例6】．（2025·云南西雙版納·二模）如圖，在ABC中，點D在邊BC上，連接AD，BADBCA

若AB5，BC8，△ABD的周長為12.5，則ABC的周長為（）

A．20B．25.5C．30D．35.5

【答案】A

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，掌握以上知識是解答本題的關鍵；先證得△BAD∽△BCA，

然后根據相似三角形相似比等于周長比即可求解．

【詳解】解：∵BADBCA，BB，

∴△BAD∽△BCA，

CAB

∴△BAD=，

C△BCABC

∵AB5，BC8，△ABD的周長為12.5，

12.55

∴=，

C△BCA8

=

解得：C△BCA20，

【變式練習】

16．（2025·河南濮陽·一模）若△ABC∽△DEF，且ABC與DEF的相似比為1:3，則S△ABC:S△DEF為（）

A．1:3B．1:9C．1:3D．1:6

【答案】B

【分析】本題主要考查了對相似三角形的性質，相似三角形的面積比等于相似比的平方．根據相似三角形

的面積比等于相似比的平方，求解即可．

【詳解】解：∵△ABC∽△DEF，且ABC與DEF的相似比為1:3，

∴ABC與DEF的面積比是1:9，

故選：B．

17．（2025·云南昆明·二模）如圖，△ABC∽△ABC，AD和AD分別是ABC和ABC的高，若AD3，

ABBCAC

AD4，則值為（）

ABBCAC

A．9:16B．16:9C．4:3D．3:4

【答案】D

【分析】本題考查相似三角形的性質，根據相似三角形對應邊、對應高成比例直接求解即可得到答案；

【詳解】解：∵△ABC∽△ABC，AD和AD分別是ABC和ABC的高，

ABAD3

∴，

ABAD4

ABBCACAB3

∴，

ABBCACAB4

故選：D．

18．（2024·湖南·模擬預測）如圖，Rt△ABC中，C90，已知AB13cm，AC5cm，動點P從點B

出發沿射線BC以1cm/s的速度運動，動點Q從點A出發沿射線AB以2cm/s的速度運動，設運動時間為ts，

當以B，P，Q為頂點的三角形和ABC相似時，t的值為．

169156

【答案】s或s

3837

【分析】本題考查的是相似三角形的性質，分兩種情況討論，根據相似三角形的性質列方程求解即可．

【詳解】解：由題意可得：BPt，AQ2t，

∴BQ132t，

∵C90，AB13cm，AC5cm，

∴BCAB2AC212，

如圖，當BQP∽BCA時，

BQBP

∴，

BCBA

13-2tt

∴=，

1213

169

解得：t，

38

如圖，當△BPQ∽△BCA時，

BPBQ

∴，

BCBA

13-2tt

∴=，

1312

156

解得：t，

37

169156

綜上：當以B，P，Q為頂點的三角形和ABC相似時，t的值為s或s．

3837

169156

故答案為：s或s

3837

題型07相似三角形的性質與判定

【典例7】（2025·四川內江·一模）如圖，四邊形ABCD為菱形，點E在AC的延長線上，ACDABE．

(1)求證：ABC∽AEB；

(2)當AB6,AC4時，求SBCE

【答案】(1)見解析

(2)102

【分析】本題主要考查了菱形的性質，三角形相似的判定和性質，勾股定理．

（1）證明ACDBCA，可得ABEBCA，即可求證；

（2）連接BD交AC于點O，根據菱形的性質以及勾股定理可得OB42，再由ABC∽AEB，可得AE9，

從而得到CEAEAC5，即可求解．

【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，

∴BCCDADAB,AB∥CD，

∴△ABC≌△CDA，ACDBAC，

∴ACDACB，

∴ACDBCA，

∵ACDABE，

∴ABEBCA，

∵BACBAE，

∴ABC∽AEB；

（2）解：如圖，連接BD交AC于點O，

∵四邊形ABCD為菱形，AC4，

1

∴ACBD,OAAC2，

2

∵AB6，

∴OBAB2OA2622242，

∵ABC∽AEB，

ABAC64

∴，即，

AEABAE6

∴AE9，

∴CEAEAC5，

11

∴SCEOB542102．

BCE22

【變式練習】

19．（25-26九年級上·海南海口·月考）如圖，將邊長為6的等邊ABC沿直線EF折疊，使點A與BC邊上

的點D重合，點E、F分別在AB、AC邊上，若DC2BD，則BECF的值為（）

A．4B．6C．8D．12

【答案】C

【分析】首先由等邊三角形的性質得到ABBCAC6，ABC60，然后由DC2BD求出

BD2，CD4，由折疊得，AEDF60，證明出BEDFDC，得到△BDE∽△CFD，進而求解

即可．

此題考查了等邊三角形的性質，折疊的性質，相似三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是掌握以上知

識點．

【詳解】∵等邊ABC的邊長為6

∴ABBCAC6，ABC60

∴BDEBED120

∵DC2BD

∴BD2，CD4

由折疊得，AEDF60

∴BDEFDC120

∴BEDFDC

又∵BC

∴△BDE∽△CFD

BDBE

∴，

CFCD

∴BECFBDCD248．

故選：C．

20．（2025·上海嘉定·一模）如圖，正方形DEFG的邊EF在ABC的邊BC上，頂點D、G分別在邊AB、AC

上，作AHBC于H，交DG于P，已知BCAH．下列結論中不正確的是（）

ADAP2

A．△ABC∽△ADGB．C．SSD．APPH

ABAHADG5ABC

【答案】C

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，正方形的性質，平行四邊形的判定與性質，根據正方形的

性質得出DG∥BC，DGDE，DEFGDE90，則可證明△ADG∽△ABC，根據相似三角形的性

ADAPDG

質得出，結合BCAH，可得APDGDE，證明四邊形DEHP是平行四邊形，得出

ABAHBC

2

SAP1

DEPHAP，然后根據相似三角形的性質可得出ADG，即可判斷．

SABCAH4

【詳解】解：∵四邊形DEFG是正方形，

∴DG∥BC，DGDE，DEFGDE90，

∴△ADG∽△ABC，即△ABC∽△ADG，故選項A正確；

∵DG∥BC，AHBC

∴AHDG，

∵△ADG∽△ABC，

ADAPDG

∴，故選項B正確；

ABAHBC

∵BCAH，

∴APDGDE，

∵AHDG，DEF90，

∴DE∥AH，

又DG∥BC，

∴四邊形DEHP是平行四邊形，

∴DEPH，

∴APPH，故選項D正確；

AP1

∴，

AH2

∵△ADG∽△ABC，

2

SAP1

∴ADG，

SABCAH4

1

∴SADGSABC，故選項C錯誤，

4

故選：C．

21．（2025·上海嘉定·一模）如圖，在ABC中，ACB90，點D是邊AB上一點，滿足AC2ADAB，

點E是AC的中點，連接ED并延長交CB的延長線于點F．求證：

(1)CDAB；

(2)BCCFACDF．

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，直角三角形的性質，余角的性質等知識，熟練掌握相關知

識是解題的關鍵；

（1）證明△ACD∽△ABC，然后根據相似三角形的性質和垂直的定義即可得證；

FCCDACCDACFC

（2）證明FCD∽BDF，得出，證明△ADC∽△CDB，得出，則，即可得證．

DFDBCBBDCBDF

【詳解】（1）證明：∵AC2ADAB，

ACAB

∴，

ADAC

又AA，

∴△ACD∽△ABC，

∴ADCACB90，

∴CDAB；

（2）證明：∵CDAB，點E是AC的中點，

1

∴DEAEAC，

2

∴AADE，

又ADEBDF，

∴ABDF，

∵CDAB，ACB90，

∴ABCD90ABC，

∴BCDBDF，即FCDBDF，

又FF，

∴FCD∽FDB，

FCCD

∴，

DFDB

∵ABCD，ADCCDB90，

∴△ADC∽△CDB，

ACCD

∴，

CBBD

ACFC

∴，

CBDF

∴BCCFACDF．

題型08相似三角形的應用

【典例8】．（2025·河南濮陽·一模）洛陽龍門西山石窟的盧舍那大佛是龍門石窟中的標志性造像，展現了

古代工匠的高超技藝．為了測量盧舍那大佛的高度、小明同學采取了如下方法：在地面上平放一面鏡子，

并在鏡子上做一個標記點C，然后人向后退，直至站在點D處恰好看到盧舍那大佛AB的頂端A在鏡子中

的像與鏡子上的標記點C重合（如圖所示）．其中B，C，D三點在同一條直線上．已知小明眼睛距離地面

的高度ED為1.54m，BC和CD的長分別為10.0m和0.9m，求盧舍那大佛AB的高度．（結果保留1位小數）

【答案】盧舍那大佛AB的高度約為17.1m．

【分析】本題考查了相似三角形的應用．熟練掌握相似三角形的應用是解題的關鍵．由題意證明

ABBC

ABC∽EDC，則，計算求解，然后作答即可．

EDDC

【詳解】解：由題意可知，FCBD，ECFACF，

ECDACB，

ABBD，EDBD，

\DABC=DCDE=90°，

ABC∽EDC，

ABBC

，

EDDC

ED1.54m，BC和CD的長分別為10.0m和0.9m，

AB10.0

．

1.540.9

解得AB17.1．

答：盧舍那大佛AB的高度約為17.1m．

【變式練習】

22．（2025·江西·二模）如圖是凸透鏡成像光路圖，跟主光軸MN平行的光線AC經凸透鏡折射后過焦點F，

通過光心O的光線AO，經凸透鏡折射后傳播方向不變，即A在AO的延長線上，一根長10cm的蠟燭AB，

放在三倍焦距處，已知焦距f10cm，則經過凸透鏡成像得到的AB的長為（）

10

A．6cmB．5cmC．4cmD．cm

3

【答案】B

【分析】該題考查了相似三角形的應用，連接OC，設CA與MN相交于點D，則

ABBOOD

ABO∽ABO,COD∽ABD，根據相似三角形的性質和ABCO得出，根據比例的性

ABOBDB

ABBOOD2f

質得出2，即可求解．

ABOBDBf

【詳解】解：如圖，連接OC，設CA與MN相交于點D，

根據題意知AB∥CO∥BA，

∴ABO∽ABO,COD∽ABD，

ABBOCOOD

,，

ABOBABDB

又∵ABCO，

ABBOOD

∴，

ABOBDB

ABBOOD2f

2，

ABOBDBf

1

ABAB5cm，

2

故選：B．

23．（2025·江蘇常州·三模）如圖，衣夾簡化的示意圖中夾臂AC，BD可分別繞點M，N旋轉，此時夾嘴閉

合（即C，D兩點重合），AMBN15mm，CMDN20mm，MN8mm．當夾子完全張開時（即A，

B兩點重合），能夾衣物的最大厚度是（）

5632

A．mmB．mmC．14mmD．16mm

33

【答案】A

【分析】本題考查相似三角形性質和判定的實際運用，根據題意證明VMAN∽VCAD，結合相似三角形性質

MN3

推出求解，即可解題．

CD7

【詳解】解：當夾子完全張開時（即A，B兩點重合），如圖所示：

AMBN15mm，CMDN20mm，MN8mm．

ACAD152035mm，

AMAN153

,MANCAD，

ACAD357

VMAN∽VCAD，

MN3

，

CD7

83

即，

CD7

56

解得CDmm；

3

故選：A．

24．（2025·陜西渭南·一模）富平陶藝村是國內首家以陶藝為主題，集生態觀光、休閑度假、餐飲住宿、參

觀購物為一體的陶文化交流中心．小明想利用所學知識測量陶藝村一個用于燒制陶瓷的舊煙囪頂部到地面

的高度AB（如圖）．小明在點C處豎立一根高為2米的標桿CD（即CD2米），此時標桿在陽光下的影

子頂端和舊煙囪在陽光下的影子頂端重合于地面上的點E處；小明在點F處放置一面平面鏡，隨后，小明

從點F處移動3米至點H處（即FH3米），眼睛位于點G處，此時恰好從平面鏡內看到舊煙囪頂端A

的像．經測量得知：CE1.6米，GH1.8米，CF14.6米，已知ABBH，DCBH，GHBH，點

B、C、E、F、H在一條直線上，圖中所有點均在同一平面內，請你幫助小明計算舊煙囪頂部到地面的

高度AB．（平面鏡的大小忽略不計）

【答案】15米

【分析】本題考查了相似三角形的實際應用，熟練運用相似三角形的比值關系是解題的關鍵．

ABBFABBC14.6ABBE

證出△ABF∽△GHF得到，即，再證出ABE∽DCE得到，即

GHHF1.83DCCE

AB1.6BC

，聯立兩個式子運算即可．

21.6

【詳解】解：由題意得：AFBGFH，

∵ABBH，GHBH，

∴ABHGHF90，

∴△ABF∽△GHF，

ABBFABBC14.6

∴，即①，

GHHF1.83

∵ABBH，DCBH，

∴ABEDCE90，

∵AEBDEC，

∴ABE∽DCE，

ABBEAB1.6BC

∴，即②，

DCCE21.6

聯立①②得AB15，

舊煙囪頂部到地面的高度AB為15米．

題型09相似三角形的動點問題

【典例9】（2025·江蘇南京·一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB5，AD4，CD0.8，AD120，

在邊AD上有一動點P，若以A、B、P為頂點的三角形與以C、D、P為頂點的三角形相似，則AP的長

為．

100

【答案】2或

29

【分析】由AD，可得出存在△ABP∽△DPC和△ABP∽△DCP兩種情況，設APm，則DP4m，

當△ABP∽△DPC時，利用相似三角形的性質，可列出關于m的分式方程，解之經檢驗后，可得出m的值

（即AP的長）；當△ABP∽△DCP時，利用相似三角形的性質，可列出關于m的分式方程，解之經檢驗

后，即可得出m的值（即AP的長）．

本題考查了相似三角形的性質，分△ABP∽△DPC和△ABP∽△DCP兩種情況，求出AP的長是解題的關

鍵．

【詳解】解：∵AD120，

∴存在△ABP∽△DPC和△ABP∽△DCP兩種情況．

設APm，則DPADAP4m，

APAB

當△ABP∽△DPC時，，

DCDP

m5

即，

0.84m

解得：m1m22，

經檢驗，m1m22是所列方程的解，且符合題意，

∴此時AP2；

APAB

當△ABP∽△DCP時，，

DPDC

m5

即，

4m0.8

100

解得：m，

29

100

經檢驗，m是所列方程的解，且符合題意，

29

100