2026年線性代數矩陣運算與行列式專題習題

2026年線性代數矩陣運算與行列式專題習題一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在線性代數中，矩陣的初等行變換不改變矩陣的（）性質，因此可用于求解線性方程組。A.秩B.轉置C.逆矩陣存在性D.行列式值解析：初等行變換包括交換兩行、某行乘以非零常數、某行加上另一行的倍數，這些操作不改變矩陣的秩，但會改變行列式的值（可能改變符號或乘以常數）。矩陣的轉置和逆矩陣存在性也受初等行變換影響。因此正確答案是秩。2.對于3階方陣A，若其伴隨矩陣A的行列式|A|=81，則矩陣A的行列式|A|為（）。A.9B.27C.243D.729解析：根據伴隨矩陣性質，|A|=|A|^(n-1)，其中n為矩陣階數。對于3階矩陣，|A|=|A|^2=81，解得|A|=9。3.已知矩陣A和B均為4階方陣，且|A|=2，|B|=3，則矩陣乘積AB的行列式|AB|等于（）。A.5B.6C.8D.24解析：根據行列式乘法性質，|AB|=|A||B|=2×3=6。4.若矩陣A的秩為2，則其3階伴隨矩陣A的秩為（）。A.0B.1C.2D.3解析：伴隨矩陣的秩與原矩陣的秩關系為：若r(A)=n-1，則r(A)=1；若r(A)<n-1，則r(A)=0。對于秩為2的3階矩陣，其伴隨矩陣秩為1。5.行列式|A|的元素a23的代數余子式A23等于（-1）^(2+3)乘以（3階子式），若該子式值為5，則A23等于（）。A.-5B.5C.-10D.10解析：代數余子式計算公式為Aij=(-1)^(i+j)|Mij|，其中Mij為刪除第i行第j列的子式。因此A23=(-1)^(2+3)×5=-5。6.若矩陣A可逆，且B為A的逆矩陣，則矩陣方程ABx=C的解x等于（）。A.B^-1AxB.A^-1CC.B^-1CD.AB^-1解析：根據矩陣乘法結合律，ABx=C可化為B^-1(AB)x=B^-1C，即Ax=B^-1C，進一步得x=A^-1B^-1C。由于B=A^-1，所以x=A^-1C。7.對于非零向量x，若Ax=0，則矩陣A的秩r(A)與n的關系為（）。A.r(A)=nB.r(A)=n-1C.r(A)<nD.r(A)=0解析：齊次線性方程組Ax=0有非零解的條件是矩陣A的秩小于未知數個數n，即r(A)<n。8.若矩陣A的元素滿足a11=a12=a13=1，其他元素均為0，則矩陣A的行列式|A|等于（）。A.1B.0C.-1D.3解析：該矩陣為上三角矩陣，其行列式等于主對角線乘積，即1×1×1=1。9.對于方陣A，若其特征值包括λ1=2和λ2=-3，則行列式|A|等于（）。A.-6B.6C.-5D.5解析：方陣的行列式等于其特征值的乘積，即|A|=λ1λ2=2×(-3)=-6。10.已知矩陣A的秩為3，且其第2行是第1行和第3行的線性組合，則矩陣A的行列式|A|等于（）。A.0B.5C.-5D.無法確定解析：若矩陣某行是其他行的線性組合，則矩陣的秩小于行數，因此|A|=0。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若矩陣A的元素a12=3，a23=-2，則其3階伴隨矩陣A中元素A32的值為________。解析：A32是刪除A的第3行第2列的2階子式，即|a11a13|=-2，因此A32=-2。2.對于n階方陣A，若其所有元素均為1，則其行列式|A|的值為________。解析：當n=1時，|A|=1；當n>1時，矩陣有全1行，因此行列式為0。3.若矩陣A的秩為2，且其第1列為(1,2,3)^T，第2列為(0,1,1)^T，則矩陣A的秩為2的充分必要條件是第3列為________。解析：第3列必須是前兩列的線性組合，即(1,2,3)^T的λ1倍加上(0,1,1)^T的λ2倍，如(1,3,4)^T。4.行列式|A|的元素aij的余子式Mij與代數余子式Aij的關系為________。解析：Aij=(-1)^(i+j)Mij。5.若矩陣A可逆，且B為A的逆矩陣，則矩陣方程ABx=C的解x等于________。解析：x=A^-1C。6.對于非零向量x，若Ax=0，則矩陣A的秩r(A)與n的關系為________。解析：r(A)<n。7.若矩陣A的元素滿足a11=a12=a13=1，其他元素均為0，則矩陣A的行列式|A|等于________。解析：|A|=1。8.對于方陣A，若其特征值包括λ1=2和λ2=-3，則行列式|A|等于________。解析：|A|=λ1λ2=-6。9.已知矩陣A的秩為3，且其第2行是第1行和第3行的線性組合，則矩陣A的行列式|A|等于________。解析：|A|=0。10.若矩陣A的秩為2，且其第1列為(1,2,3)^T，第2列為(0,1,1)^T，則矩陣A的秩為2的充分必要條件是第3列為________。解析：第3列為(λ1,2+λ2,3+λ2)的形式。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.初等行變換不改變矩陣的秩，但會改變矩陣的行列式值。（）解析：正確。初等行變換包括交換兩行、某行乘以非零常數、某行加上另一行的倍數，這些操作不改變矩陣的秩，但會改變行列式的值（可能改變符號或乘以常數）。2.若矩陣A的秩為n-1，則其伴隨矩陣A的秩為1。（）解析：正確。根據伴隨矩陣性質，若r(A)=n-1，則r(A)=1。3.對于方陣A，若其特征值包括λ1=2和λ2=-3，則行列式|A|等于λ1+λ2。（）解析：錯誤。方陣的行列式等于其特征值的乘積，即|A|=λ1λ2=-6，而不是特征值之和。4.若矩陣A的元素滿足a11=a12=a13=1，其他元素均為0，則矩陣A的行列式|A|等于1。（）解析：正確。該矩陣為上三角矩陣，其行列式等于主對角線乘積，即1×1×1=1。5.對于非零向量x，若Ax=0，則矩陣A的秩r(A)小于未知數個數n。（）解析：正確。齊次線性方程組Ax=0有非零解的條件是矩陣A的秩小于未知數個數n，即r(A)<n。6.若矩陣A可逆，且B為A的逆矩陣，則矩陣方程ABx=C的解x等于A^-1B^-1C。（）解析：錯誤。由于B=A^-1，所以x=A^-1C，而不是A^-1B^-1C。7.已知矩陣A的秩為3，且其第2行是第1行和第3行的線性組合，則矩陣A的行列式|A|等于0。（）解析：正確。若矩陣某行是其他行的線性組合，則矩陣的秩小于行數，因此|A|=0。8.行列式|A|的元素aij的余子式Mij與代數余子式Aij的關系為Aij=(-1)^(i+j)Mij。（）解析：正確。根據代數余子式定義，Aij=(-1)^(i+j)Mij。9.對于n階方陣A，若其所有元素均為1，則其行列式|A|的值為n。（）解析：錯誤。當n=1時，|A|=1；當n>1時，矩陣有全1行，因此行列式為0。10.若矩陣A的秩為2，且其第1列為(1,2,3)^T，第2列為(0,1,1)^T，則矩陣A的秩為2的充分必要條件是第3列為(1,3,4)^T。（）解析：錯誤。第3列必須是前兩列的線性組合，如(λ1,2+λ2,3+λ2)的形式，而不是固定值(1,3,4)^T。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.簡述矩陣的初等行變換及其在求解線性方程組中的作用。答：矩陣的初等行變換包括交換兩行、某行乘以非零常數、某行加上另一行的倍數。這些操作不改變矩陣的秩，但會改變矩陣的行列式值（可能改變符號或乘以常數）。在求解線性方程組時，通過初等行變換可以將增廣矩陣化為行簡化階梯形矩陣，從而方便求解方程組的解。2.解釋伴隨矩陣的定義及其與原矩陣的秩關系。答：伴隨矩陣是原矩陣的每個元素替換為其代數余子式后形成的矩陣的轉置。根據伴隨矩陣性質，若r(A)=n，則r(A)=n；若r(A)=n-1，則r(A)=1；若r(A)<n-1，則r(A)=0。3.說明方陣的行列式與其特征值之間的關系。答：方陣的行列式等于其特征值的乘積。若方陣A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則|A|=λ1λ2...λn。4.描述齊次線性方程組Ax=0有非零解的條件。答：齊次線性方程組Ax=0有非零解的條件是矩陣A的秩小于未知數個數n，即r(A)<n。此時方程組存在無窮多解。5.解釋矩陣可逆的定義及其與行列式的關系。答：矩陣可逆是指存在一個矩陣B，使得AB=BA=I，其中I為單位矩陣。方陣A可逆的條件是其行列式不為0，即|A|≠0。6.說明矩陣的秩與其行向量組線性無關性的關系。答：矩陣的秩等于其行向量組的最大線性無關組所含向量的個數。若矩陣的秩為r，則其行向量組中存在r個線性無關的向量，其余向量均可由這r個向量線性表示。7.描述行列式在矩陣運算中的基本性質。答：行列式的基本性質包括：①交換兩行（列）改變符號；②某行（列）乘以常數k，行列式乘以k；③某行（列）加上另一行（列）的倍數，行列式不變；④上（下）三角矩陣的行列式等于主對角線乘積；⑤若矩陣有全0行（列），則行列式為0。8.解釋線性方程組Ax=b與Ax=0解的關系。答：若線性方程組Ax=b有解，則其解可以表示為對應齊次方程組Ax=0的解加上特解。即若x0是Ax=b的解，xh是Ax=0的解，則x=x0+xh是Ax=b的通解。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.已知矩陣A為3階方陣，且其第1列為(1,2,3)^T，第2列為(0,1,1)^T，若矩陣A的秩為2，求矩陣A的第三列。解：設矩陣A的第三列為(x1,x2,x3)^T，由于矩陣A的秩為2，因此其第三列必須是前兩列的線性組合。設第三列為第一列的λ1倍加上第二列的λ2倍，即：(x1,x2,x3)^T=λ1(1,2,3)^T+λ2(0,1,1)^T解得：x1=λ1x2=2λ1+λ2x3=3λ1+λ2因此第三列可以表示為(λ1,2λ1+λ2,3λ1+λ2)^T的形式。2.已知矩陣A的伴隨矩陣A的行列式|A|=81，求矩陣A的行列式|A|。解：根據伴隨矩陣性質，|A|=|A|^(n-1)，其中n為矩陣階數。對于3階矩陣，|A|=|A|^2=81，解得|A|=9。3.已知矩陣A和B均為4階方陣，且|A|=2，|B|=3，求矩陣乘積AB的行列式|AB|。解：根據行列式乘法性質，|AB|=|A||B|=2×3=6。4.已知矩陣A的秩為2，且其第2行是第1行和第3行的線性組合，求矩陣A的行列式|A|。解：若矩陣某行是其他行的線性組合，則矩陣的秩小于行數，因此|A|=0。5.已知矩陣A的元素滿足a11=a12=a13=1，其他元素均為0，求矩陣A的行列式|A|。解：該矩陣為上三角矩陣，其行列式等于主對角線乘積，即1×1×1=1。6.已知矩陣A的秩為3，且其特征值包括λ1=2和λ2=-3，求矩陣A的行列式|A|。解：方陣的行列式等于其特征值的乘積，即|A|=λ1λ2=-6。7.已知矩陣A可逆，且B為A的逆矩陣，求矩陣方程ABx=C的解x。解：由于B=A^-1，所以ABx=C可化為B^-1(AB)x=B^-1C，即Ax=B^-1C，進一步得x=A^-1B^-1C。由于B=A^-1，所以x=A^-1C。8.已知矩陣A的秩為2，且其第1列為(1,2,3)^T，第2列為(0,1,1)^T，求矩陣A的秩為2的充分必要條件是第3列為________。解：第3列必須是前兩列的線性組合，即(λ1,2+λ2,3+λ2)的形式。六、案例分析（本大題共9小題，每小題2分，共18分）案例背景：某工程公司需要求解一個包含3個未知數和3個方程的線性方程組Ax=b，其中矩陣A的元素如下：A=|123||014||256|1.求矩陣A的秩r(A)。解：對矩陣A進行初等行變換化為行簡化階梯形矩陣：|123|→|123||014|→|014||256|→|010|因此矩陣A的秩為2。2.求矩陣A的行列式|A|。解：由于矩陣A的秩為2，小于行數3，因此|A|=0。3.求矩陣A的伴隨矩陣A。解：由于|A|=0，矩陣A不可逆，因此A無意義。4.若矩陣A的元素滿足a11=a12=a13=1，其他元素均為0，求矩陣A的行列式|A|。解：該矩陣為上三角矩陣，其行列式等于主對角線乘積，即1×1×1=1。5.已知矩陣A的秩為3，且其特征值包括λ1=2和λ2=-3，求矩陣A的行列式|A|。解：方陣的行列式等于其特征值的乘積，即|A|=λ1λ2=-6。6.已知矩陣A可逆，且B為A的逆矩陣，求矩陣方程ABx=C的解x。解：由于B=A^-1，所以ABx=C可化為B^-1(AB)x=B^-1C，即Ax=B^-1C，進一步得x=A^-1B^-1C。由于B=A^-1，所以x=A^-1C。7.已知矩陣A的秩為2，且其第2行是第1行和第3行的線性組合，求矩陣A的行列式|A|。解：若矩陣某行是其他行的線性組合，則矩陣的秩小于行數，因此|A|=0。8.已知矩陣A的秩為2，且其第1列為(1,2,3)^T，第2列為(0,1,1)^T，求矩陣A的秩為2的充分必要條件是第3列為________。解：第3列必須是前兩列的線性組合，即(λ1,2+λ2,3+λ2)的形式。9.若矩陣A的元素滿足a11=a12=a13=1，其他元素均為0，求矩陣A的行列式|A|。解：該矩陣為上三角矩陣，其行列式等于主對角線乘積，即1×1×1=1。七、論述題（本大題共11小題，每小題2分，共22分）1.論述矩陣的初等行變換在求解線性方程組中的作用。答：矩陣的初等行變換不改變矩陣的秩，但會改變矩陣的行列式值（可能改變符號或乘以常數）。在求解線性方程組時，通過初等行變換可以將增廣矩陣化為行簡化階梯形矩陣，從而方便求解方程組的解。具體步驟包括：①將增廣矩陣化為行簡化階梯形矩陣；②通過回代求解方程組的解；③判斷方程組是否有解以及解的個數。2.論述伴隨矩陣的定義及其與原矩陣的秩關系。答：伴隨矩陣是原矩陣的每個元素替換為其代數余子式后形成的矩陣的轉置。根據伴隨矩陣性質，若r(A)=n，則r(A)=n；若r(A)=n-1，則r(A)=1；若r(A)<n-1，則r(A)=0。伴隨矩陣在求解矩陣的逆和行列式時具有重要應用。3.論述方陣的行列式與其特征值之間的關系。答：方陣的行列式等于其特征值的乘積。若方陣A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則|A|=λ1λ2...λn。這一性質在求解矩陣的行列式和特征值時具有重要應用。4.論述齊次線性方程組Ax=0有非零解的條件。答：齊次線性方程組Ax=0有非零解的條件是矩陣A的秩小于未知數個數n，即r(A)<n。此時方程組存在無窮多解。這一性質在判斷線性方程組解的情況時具有重要應用。5.論述矩陣可逆的定義及其與行列式的關系。答：矩陣可逆是指存在一個矩陣B，使得AB=BA=I，其中I為單位矩陣。方陣A可逆的條件是其行列式不為0，即|A|≠0?？赡婢仃囋谇蠼饩€性方程組和矩陣運算中具有重要應用。6.論述矩陣的秩與其行向量組線性無關性的關系。答：矩陣的秩等于其行向量組的最大線性無關組所含向量的個數。若矩陣的秩為r，則其行向量組中存在r個線性無關的向量，其余向量均可由這r個向量線性表示。這一性質在判斷矩陣的秩和解線性方程組時具有重要應用。7.論述行列式在矩陣運算中的基本性質。答：行列式的基本性質包括：①交換兩行（列）改變符號；②某行（列）乘以常數k，行列式乘以k；③某行（列）加上另一行（列）的倍數，行列式不變；④上（下）三角矩陣的行列式等于主對角線乘積；⑤若矩陣有全0行（列），則行列式為0。這些性質在計算行列式和解線性方程組時具有重要應用。8.論述線性方程組Ax=b與Ax=0解的關系。答：若線性方程組Ax=b有解，則其解可以表示為對應齊次方程組Ax=0的解加上特解。即若x0是Ax=b的解，xh是Ax=0的解，則x=x0+xh是Ax=b的通解。這一性質在求解線性方程組時具有重要應用。9.論述矩陣的初等行變換在求解線性方程組中的作用。答：矩陣的初等行變換不改變矩陣的秩，但會改變矩陣的行列式值（可能改變符號或乘以常數）。在求解線性方程組時，通過初等行變換可以將增廣矩陣化為行簡化階梯形矩陣，從而方便求解方程組的解。具體步驟包括：①將增廣矩陣化為行簡化階梯形矩陣；②通過回代求解方程組的解；③判斷方程組是否有解以及解的個數。10.論述伴隨矩陣的定義及其與原矩陣的秩關系。答：伴隨矩陣是原矩陣的每個元素替換為其代數余子式后形成的矩陣的轉置。根據伴隨矩陣性質，若r(A)=n，則r(A)=n；若r(A)=n-1，則r(A)=1；若r(A)<n-1，則r(A)=0。伴隨矩陣在求解矩陣的逆和行列式時具有重要應用。11.論述方陣的行列式與其特征值之間的關系。答：方陣的行列式等于其特征值的乘積。若方陣A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則|A|=λ1λ2...λn。這一性質在求解矩陣的行列式和特征值時具有重要應用。【標準答案及解析】一、單項選擇題1.A2.B3.B4.C5.A6.B7.C8.A9.A10.A解析：2.初等行變換不改變矩陣的秩，但會改變矩陣的行列式值。3.伴隨矩陣的行列式等于原矩陣行列式的n-1次方。4.行列式乘法性質：|AB|=|A||B|。5.伴隨矩陣的秩與原矩陣的秩關系：若r(A)=n-1，則r(A)=1。6.代數余子式計算公式：Aij=(-1)^(i+j)|Mij|。7.矩陣乘法結合律：ABx=C可化為B^-1(AB)x=B^-1C，即Ax=B^-1C，進一步得x=A^-1B^-1C。8.齊次線性方程組Ax=0有非零解的條件是矩陣A的秩小于未知數個數n，即r(A)<n。9.上三角矩陣的行列式等于主對角線乘積。10.方陣的行列式等于其特征值的乘積。11.若矩陣某行是其他行的線性組合，則矩陣的秩小于行數，因此|A|=0。二、填空題1.-22.當n=1時，|A|=1；當n>1時，|A|=03.(λ1,2+λ2,3+λ2)4.Aij=(-1)^(i+j)Mij2.x=A^-1C6.r(A)<n7.18.λ1λ2...λn9.010.(λ1,2+λ2,3+λ2)解析：3.A32是刪除A的第3行第2列的2階子式，即|a11a13|=-2。4.當n=1時，|A|=1；當n>1時，矩陣有全1行，因此行列式為0。5.第三列必須是前兩列的線性組合，即(λ1,2+λ2,3+λ2)的形式。6.代數余子式計算公式：Aij=(-1)^(i+j)Mij。7.矩陣乘法結合律：ABx=C可化為B^-1(AB)x=B^-1C，即Ax=B^-1C，進一步得x=A^-1B^-1C。8.齊次線性方程組Ax=0有非零解的條件是矩陣A的秩小于未知數個數n，即r(A)<n。9.上三角矩陣的行列式等于主對角線乘積。10.方陣的行列式等于其特征值的乘積。11.若矩陣某行是其他行的線性組合，則矩陣的秩小于行數，因此|A|=0。12.第三列必須是前兩列的線性組合，即(λ1,2+λ2,3+λ2)的形式。三、判斷題1.√2.√3.×4.√5.√6.×7.√8.√9.×10.×解析：2.正確。初等行變換不改變矩陣的秩，但會改變矩陣的行列式值。3.正確。伴隨矩陣的秩與原矩陣的秩關系：若r(A)=n-1，則r(A)=1。4.錯誤。方陣的行列式等于其特征值的乘積，而不是特征值之和。5.正確。上三角矩陣的行列式等于主對角線乘積。6.正確。齊次線性方程組Ax=0有非零解的條件是矩陣A的秩小于未知數個數n，即r(A)<n。7.錯誤。由于B=A^-1，所以x=A^-1C，而不是A^-1B^-1C。8.正確。若矩陣某行是其他行的線性組合，則矩陣的秩小于行數，因此|A|=0。9.正確。代數余子式計算公式：Aij=(-1)^(i+j)Mij。10.錯誤。當n=1時，|A|=1；當n>1時，矩陣有全1行，因此行列式為0。11.錯誤。第三列必須是前兩列的線性組合，如(λ1,2+λ2,3+λ2)的形式，而不是固定值(1,3,4)^T。四、簡答題1.答：矩陣的初等行變換包括交換兩行、某行乘以非零常數、某行加上另一行的倍數。這些操作不改變矩陣的秩，但會改變矩陣的行列式值（可能改變符號或乘以常數）。在求解線性方程組時，通過初等行變換可以將增廣矩陣化為行簡化階梯形矩陣，從而方便求解方程組的解。具體步驟包括：①將增廣矩陣化為行簡化階梯形矩陣；②通過回代求解方程組的解；③判斷方程組是否有解以及解的個數。2.答：伴隨矩陣是原矩陣的每個元素替換為其代數余子式后形成的矩陣的轉置。根據伴隨矩陣性質，若r(A)=n，則r(A)=n；若r(A)=n-1，則r(A)=1；若r(A)<n-1，則r(A)=0。伴隨矩陣在求解矩陣的逆和行列式時具有重要應用。3.答：方陣的行列式等于其特征值的乘積。若方陣A的特征值為λ1,λ2,...,λn，則|A|=λ1λ2...λn。這一性質在求解矩陣的行列式和特征值時具有重要應用。4.答：齊次線性方程組Ax=0有非零解的條件是矩陣A的秩小于未知數個數n，即r(A)<n。此時方程組存在無窮多解。這一性質在判斷線性方程組解的情況時具有重要應用。5.答：矩陣可逆是指存在一個矩陣B，使得AB=BA=I，其中I為單位矩陣。方陣A可逆的條件是其行列式不為0，即|A|≠0?？赡婢仃囋谇蠼饩€性方程組和矩陣運算中具有重要應用。6.答：矩陣的秩等于其行向量組的最大線性無關組所含向量的個數。若矩陣的秩為r，則其行向量組中存在r個線性無關的向量，其余向量均可由這r個向量線性表示。這一性質在判斷矩陣的秩和解線性方程組時具有重要應用。7.答：行列式的基本性質包括：①交換兩行（列）改變符號；②某行（列）乘以常數k，行列式乘以k；③某行（列）加上另一行（列）的倍數，行列式不變；④上（下）三角矩陣的行列式等于主對角線乘積；⑤若矩陣有全0行（列），則行列式為0。這些性質在計算行列式和解線性方程組時具有重要應用。8.答：若線性方程組Ax=b有解，則其解可以表示為對應齊次方程組Ax=0的解加上特解。即若x0是Ax=b的解，xh是Ax=0的解，則x=x0+xh是Ax=b的通解。這一性質在求解線性方程組時具有重要應用。五、應用題1.解：設矩陣A的第三列為(x1,x2,x3)^T，由于矩陣A的秩為2，因此其第三列必須是前兩列的線性組合。設第三列為第一列的λ1倍加上第二列的λ2倍，即：(x1,x2,x3)^T=λ1(1,2,3)^T+λ2(0,1,1)^T解得：x1=λ1x2=2λ1+λ2x3=3λ1+λ2因此第三列可以表示為(λ1,2λ1+λ2,3λ1+λ2)^T的形式。2.解：根據伴隨矩陣性質，|A|=|A|^(n-1)，其中n為矩陣階數。對于3階矩陣，|A|=|A|^2=81，解得|A|=9。3.解：根據行列式乘法性質，|AB|=|A||B|=2×3=6。4.解：若矩陣某行是其他行的線性組合，則矩陣的秩小于行數，因此|A|=0。5.解：該矩陣為上三角矩陣，其行列式等于主對角線乘積，即1×1×1=1。6.解：方陣的行列式等于其特征值的乘積，即|A|=λ1λ2=-6。7.解：由于B=A^-1，所以ABx=C可化為B^-1(AB)x=B^-1C，即Ax=B^-1C，進一步得x=A^-1B^-1C。由于B=A^-1，所以x=A^-1C。8.解：第3列必須是前兩列的線性組合，即(λ1,2+λ2,3+λ2)的形式。六、案例分析1.解：對矩陣A進行初等行變換化為行簡化階梯形矩陣：|123|→|123||014|→|014||256|→|010|因此矩陣A的秩為2。2.解：由于矩陣A的秩為2，小于行數3，因此|A|=0。3.解：由于|A|=0，矩陣A不可逆，因此A無意義。4.解：該矩陣為上三角矩陣，其行列式等于主對角線乘積，即1×1×1=1。5.解：方陣的行列式等于其特征值的乘積，即|A|=λ1λ2=-6。6.解：由于B=A^-1，所以ABx=C可化為B^-1(AB)x=B^-1C，即Ax=B^-1C，進一步得x=A^-1B^-1C。由于B=A^-1，所以x=A^-1C。7.解：若矩陣某行是其他行的線性組合，則矩陣的秩小于行數，因此|A|=0。8.解：第3列必須是前兩列的線性組合，即(λ1,2+λ2,3+λ2)的形式。9.解：該矩陣為上三角矩陣，其行列式等于主對角線乘積，即1×1×1=1。七、論述題1.答：矩陣的初等行變換不改變矩陣的秩