25.3 實際問題與一元二次方程 課件 2026-2027學年人教版數學九年級上冊

第二十五章一元二次方程2026人教版·九年級上冊25.3實際問題與一元二次方程第1課時數字問題與幾何圖形問題1.通過探究，學會分析幾何問題中蘊含的數量關系，列出一元二次方程解決幾何問題.2.通過探究，使學生認識在幾何問題中可以將圖形進行適當變換，使列方程更容易.3.通過實際問題的解答，再次讓學生認識到對方程的解進行檢驗的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合問題的實際意義為標準.學習目標以前，我們列方程（一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程）解決實際問題的一般步驟是什么？復習回顧1.審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；2.設(設未知數，有時會用未知數表示相關的量)；3.列(根據題目中的等量關系，列出方程)；4.解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；5.驗(檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）6.答(寫出答案，切忌答非所問).例1

是否存在三邊長是三個連續正整數的直角三角形？如果存在，這樣的三角形有多少個？思考：直角三角形的三邊關系滿足什么條件？a2＋b2＝c2追問：若存在這樣的直角三角形，該怎樣設未知數求解？例題分析例題分析例1

是否存在三邊長是三個連續正整數的直角三角形？如果存在，這樣的三角形有多少個？解：若存在這樣的三角形，設其三邊長依次為

x，x+1，x+2，其中x為正整數.由勾股定理，得

x2+(x+1)2=(x+2)2.解方程，得

x1=3，x2=–1（不符合題意，舍去）.因此，三邊長是三個連續正整數的直角三角形存在且只有一個，其三邊長分別為3，4，5.新知小結解決數字問題的關鍵是用代數式表示出其他數，設未知數時通常采用間接設元法，即設這個數為x，然后將其他數用含x的代數式表示出來，最后根據題中的數量關系列方程.即時即練1.

綠苑小區在規劃設計時，準備在兩幢樓房之間設置一塊面積為900平方米的矩形綠地，并且長比寬多10米，求綠地的寬.設綠地的寬為x米，根據題意，可列方程為

?.2.

一塊矩形菜地的面積是120m2，如果它的長減少2m，那么菜地就變成正方形，則原菜地的長是

m.x（x＋10）＝900

12例2

用一根長為40m的細繩，能否圍成一個面積為96m2的矩形區域？如果能圍成，這樣的矩形是否唯一？例題分析分析：假設細繩能圍成面積為96m2的矩形區域，則矩形的周長就是細繩的長度.設矩形一邊長為

xm，由周長為40m，可用含

x的式子表示出該邊的鄰邊長，再利用面積列方程求解.例2

用一根長為40m的細繩，能否圍成一個面積為96m2的矩形區域？如果能圍成，這樣的矩形是否唯一？解：設矩形的一邊長為

xm，由矩形的周長為40m，可得此邊的鄰邊長為(20–x)m；再由矩形的面積為96m2，得x(20–x)=96.解方程，得

x1=12，x2=8.因此，用一根長為40m的細繩可以圍成面積為96m2

的矩形區域，這樣的矩形唯一，其兩鄰邊長分別為8m，12m.例題分析追問：方程有兩個根，是否表示可以圍成兩個滿足條件的矩形區域？可知12m和8m分別是矩形區域的長和寬，只能圍成一個滿足條件的矩形區域.例2

用一根長為40m的細繩，能否圍成一個面積為96m2的矩形區域？如果能圍成，這樣的矩形是否唯一？例題分析因此，用一根長為40m的細繩可以圍成面積為96m2的矩形區域，這樣的矩形唯一，其兩鄰邊長分別為8m，12m.(2)可設一邊長為(10+x)m，那么其鄰邊長為

m；(10-

x)例題分析思考對于例2中的問題，設矩形的兩鄰邊長的方法有多種，例如：(1)可設一邊長為xm，那么其鄰邊長為

m；能根據以上設兩鄰邊長的方法列方程求解例2嗎？比較這些設法，說說它們各自的特點.解方程，得

x1=12，x2=8.方法二：可設一邊長為(10+x)m，那么其鄰邊長為(10-

x)m；根據矩形面積公式(10+x)(10-

x)＝96解方程，得

x1=2，x2=-2.則其兩鄰邊長分別為12m，8m.方法一：設一邊長為xm，鄰邊長為m.例題分析特點：方法一：直接利用面積公式列方程，思路直觀，但會得到分式方程，需要去分母轉化為一元二次方程.方法二：利用“周長為40，則長+寬=20”的對稱性設未知數，方程為整式方程，計算更簡便，且能直接體現長與寬的和為定值.新知小結即時即練3.要在一個8cm×12cm的照片外側的四周鑲上寬度相同的銀邊，并且要使銀邊的面積和照片的面積相等，設銀邊的寬為xcm，那么可列方程為

?

.12cm8cm(12+2x)(8+2x)=8×12×2課堂小結列一元二次方程解應題步驟與列一元一次方程解決實際問題基本相同：審題、設元、列方程、解方程、檢驗、作答.不同的地方是要檢驗根的合理性類型數字問題關鍵要設數位上的數字，要準確地表示出原數數字問題沙及的常見計算與證明有三角形的三邊關系、三角形全等、勾股定理、各種規則圖形的面積、體積或周長等課堂練習1.怎樣用一根長為40m的細繩圍成一個面積為75m2的矩形區域？能圍成一個面積為101m2

的矩形區域嗎？如果能，說明圍法；如果不能，說明理由.解：設矩形的長為

xm，寬為(20–x)m.當矩形面積為75m2時，x(20–x)=75，解方程，得x1=15，x2=5（不合題意，舍去）.所以，矩形的長為15m，寬為5m時，面積為75m2.當矩形面積為101m2時，x(20–x)=101，因為此方程無實數根，所以，不能圍成面積為101m2的矩形區域.（選自教材第21頁練習第1題）2.如圖，矩形ABCD的兩條鄰邊AD=1，DC=4，AB

上是否存在點

E，使得∠DEC為直角.課堂練習（選自教材第21頁練習第2題）DCAB14E課堂練習（選自教材第21頁練習第2題）DCAB14E3.某村計劃構建如圖所示的矩形蔬菜溫室，其長為28m，寬為14m.在溫室內，需設置人行通道，前側空地與其他三側內墻通道寬度的比值是3∶1.求當其他三側內墻通道寬度為多少時，蔬菜種植區域的面積為288m2？課堂練習前側空地蔬菜種植區域課堂練習解：設其他三側內墻通道寬度為xm，由題意，得（28－4x）（14－2x）＝288，整理，得x2－14x＋13＝0，解得x1＝1，x2＝13（不合題意，舍去）.答：當其他三側內墻通道寬度為1m時，蔬菜種植區域的面積為288m2.4.

一個矩形周長為56厘米.（1）當矩形面積為180平方厘米時，長、寬分別為多少？課堂練習解：（1）設矩形的長為x厘米，則寬為（28－x）厘米，依題意，得x（28－x）＝180，解得x1＝10（舍去），x2＝18.則28－x＝28－18＝10.答：長為18厘米，寬為10厘米；（2）能圍成面積為200平方厘米的矩形嗎？請說明理由.解：（2）不能圍成面積為200平方厘米的矩形.理由如下