2025-2026學年高一數(shù)學下冊人教A版必修第二冊期末測試卷

高一下學期期末測試卷（人教A版必修第二冊）

一、單選題

1.“。=-1或〃=1”是“復數(shù)z=〃2-l+（a+l）i為純虛數(shù)”的（）

A.充分非必要條件B.充要條件

C.必要非充分條件D.既非充分也非必要條件

2.己知向量自，4不共線，且（21-&；）//（3冢+2可則實數(shù)九=（）

4

A.—B.1C.—2D.2

3

3.設/,m是兩條不同的直線，a,0是兩個不同的平面，以下說法正確的是（）

A.若m!la,則/_LaB.若/〃乃，aA./3,則/_La

C.若tn-LP,a工P,則/_1_夕D.若/_L5，m±p,則/_1_夕

4.一組數(shù)據(jù)從小到大排列為：3,4,5,6,7,9,12,14,若該組數(shù)據(jù)的笫25百分位數(shù)、

中位數(shù)、平均數(shù)分別是a,b,c,則（）

A.b<c<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

5.有4個分別標有數(shù)字1,2,3,4的相同小球，從中不放回地隨機取兩次，每次取1個球.

甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是3”，丙表

示事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是4”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5"，則下

列選項正確的是（）

A.甲與乙互斥B.丙與丁對立C.甲與西相互獨立D.乙與丁相互獨立

6.“方斗”是中國古代盛米的一種重要容器，其形狀是一個上大下小的正四棱臺.如圖，在

一個盛滿米的“方斗”容器中，AB=6.A與=4,若從中取出18.2kg米后，米的高度下降一

A.6.1kgB.9.1kgC.12.2kgD.13.65kg

7.已知中，角4B、C的對邊分別為久b、c,a=3,且＜?二力，則△4BC面積的

最大值為（）

3

A.3B.y/3C.2,\/3D.—

乙

8.如下圖，在四邊形ABC。中，8c=3,CD=DA=243,而6=0，C/5.加=6，E，

產(chǎn)分別為邊BC,CD上的動點，且EF=2,則荏?喬的最小值為（）

A.24B.36-66C.30D.20

二、多選題

9.某縣各小學為慶祝“六?一”兒童節(jié)，縣文藝團組織一次表演活動，8名裁判對某一節(jié)目進

行評分，統(tǒng)計結果是平均分為9.2,標準差為L2,為體現(xiàn)公平性，去掉一個最高分9.9和一

個最低分8.1（最高分和最低分只有一個），則（）

A,中位數(shù)不變，且極差變大B.中位數(shù)不變，且極差變小

C.平均分變小，且標準差變大D.平均分變大，且標準差變小

10.一個盒子中裝有標號為1,2,3,4,5的五張?zhí)柡灒瑥闹杏蟹呕氐仉S機選取兩張?zhí)柡?

每次取一張.事件A="第一次取到標號為1或2的號簽“，事件8="第二次取到標號為5

的號簽“，事件C="兩張?zhí)柡灅颂栔蜑?"，則（）

A.A與3獨立B.8與。對立

213

C.KAC）=—D.P（A+B）=—

2525

II.如圖，在棱長為2的正方體A5CQ-A萬G2中，點M在線段BG（不包含端點）上運

動，則下列結論正確的是（）

A.正方體A8CD-AqGR的外接球表面積為48乃

試卷第2頁，共4頁

B.異面直線AM與從。所成角的取值范圍是3

C.直線4"http://平面AC"

D.三棱錐R-AMC的體積隨著點M的運動而變化

三、填空題

12.設g,B為單位向量,才在/；上的投影向量為9，則附-6卜

13.已知在直三棱柱ABC-AMG中，8s=2石，BC=2,ZBAC=^,則該三棱柱外接

6

球的體積為.

14.某學校有男生400人，女生600人.為了調(diào)查該校全體學生每天體育鍛煉時間，采用分

層抽樣的方法抽取樣本，計算得男生每天體育鍛煉時間均值為2.5小時，方差為1,女生每

天體育鍛煉時間均值為1小時，方差為2.若男、女樣本量按比例分配，則可估計總體方差為

四、解答題

15.已知向量4=(1,2),b=(2,-1).

(1)若同=手，且(a+c)_Lj求向量值與向量e的夾角；

⑵若同=5,且儂+5)依求向量上的坐標.

16.某景區(qū)為更好地提升旅游品質(zhì)，隨機選擇100名游客對景區(qū)進行滿意度評分(滿分100

分)，根據(jù)評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，求工的值；

⑵求滿意度評分的中位數(shù)和平均數(shù).

⑶若采用按比例分層抽樣的方法從評分在[60,70).[70,80)的兩組中共抽取5人，再從這5

人中隨機抽取2人進行交流，求選取的2人評分分別在［60,70)和［70,80)內(nèi)各1人的概率.

17.如圖，在三棱柱4BC-A8G中，D,E分別是棱8CMB上一點，且2BC=3H￡),BE=2AE.

(1)證明：直線AE,G。，交于同一點；

V

⑵記三棱臺石B。-A蜴G的體積為匕，多面體4CDEAG的體積為匕，求昔的值.

18.在△48C中，角A,8,。的對邊分別為Q,b,c且acosC-〃+/=().

⑴求4;

(2)若4力8c的面積為2余山。且4ABC為銳角三角形，求4A8C周長的取值范圍.

19.如圖，四棱錐P-A8co中，尸D_L平面48CD,底面A8C0是正方形，PD=AB=2,E為

PC中點.

⑴求證：P4〃平面瓦洶；

⑵求證：OE_L平面PCA；

⑶求直線R4與平面PBD所成角的大小.

試卷第4頁，共4頁

參考答案

題號12345678910

答案CADCDCAABDACD

題號11

答案BC

1.C

【詳解】若復數(shù)Z=〃—l+(〃+l)i為純虛數(shù)，則“二:，解得。=1,

4+1W0

所以“a=-1或。=1”是“發(fā)數(shù)z=/-l+(a+l)i為純虛數(shù)”的必要非充分條件.

2.A

【詳解】因為向量I，.不共線，且(24-/1砧//(31+2初,

那么存在實數(shù)人使得21-/^=乂3家+2習，

2

2=3女3

則有Z2l解得

_4,

-3

3.D

【詳解】對于A,若〃"/a,貝i」/ua或///a或/與a相交，故A錯誤；

對于B,若/〃夕，c_L〃，則/ua或〃/a或/與〃相交，故B錯誤；

對于C,若/_L〃?，〃?_L〃，,則/ua或或！與a相交不垂直或/與a垂直，故C

錯誤；

對于D,若/_L〃，tn±P,則//"〃，又因為〃z_La,則/_La,故D正確.

4.C

【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排列為:3,4,5,6,7,9,12，14,

第25百分位數(shù)位置"，"％=8x；=2,為第2和第3項的平均值,

中位數(shù)的位置i=〃x50%=8x0.5=4,為第4和第5項的平均值,

故人=3

3+4+5+6+7+9+12+1415

平均數(shù)。=8-T

答案第1頁，共9頁

:.a<b<c.

5.D

【詳解】由題意可得兩次取球所有可能情況為。={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),

(30,(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共12種情況;

令事件A表示：第一次取出的球的數(shù)字是1,則其={(1,2),(1,3)。4)},

令事件8表示：第二次取出的球的數(shù)字是3,則8={。,3),(2,3),(4,3)},

顯然Ac3={(l,3)},所以甲與乙不互斥，故A錯誤：

令事件。表示：兩次取出的球的數(shù)字之和是4,則C={(1,3),(3.1)},

令事件D表示：兩次取出的球的數(shù)字之和是5,則。={(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)},

顯然所以內(nèi)與Jd、對立，故B錯誤：

由尸⑷WTP(O=WP(AC)=~所以P(AC)“(A)P(C),

所以甲與丙不獨立，故C錯誤：

又P⑻W,P(D)=d，尸(8D)=1=P(5)尸0),

所以乙與丁相互獨立，故D正確.

6.C

【詳解】從“方斗”中取出18.2kg米后，米的高度下降一半至平面4282c2。2處，

由題意可知正四棱臺A/C2-A4C'。和AMC'Q-A避Cd的高相等，設為/?.

因為AB=6,A4=4,貝!4^2=5,

可得kc，,=*(42+4x5+52)=爭，入-m=%(52+5x6+6)="

設剩余的米的質(zhì)量為xkg,

答案第2頁，共9頁

61,

i7—hri

則也__3_=21-X

匕鵬）-91J91—18.2解得x=12.2.

A?n-?C>LA-/WCD------〃

3

7.A

【詳解】因為4=3,c=2b,由余弦定理：a2=lr+c2-2bc-cosA?

5/,2_g

BP9=/?2+4/?2-4b2cosA?所以cos4=2----?

4b2

"從-9丫_，-9伊-10/九9)

因為在△48C中，4e（0,兀），所以siM=Jl-cos2A=』1一,-,

YI4〃J4/r

所以S=-后n-2叵FL叵三亙，

224b24

b+c>a

令r=〃2,因為<4+Z?>c,得l〈b<3,即1<Z<9,

a+c>b

則-9(Z?4-10Z?2+9)=-9(r-10r+9)=-9(r-5)2+144,

這是關于/的二次函數(shù)，開口方向向下，所以當/=5時，二次函數(shù)取到最大值為144,

此時SmL；'而=3.

8.A

【詳解】設E尸中點為M,連接CM,

因為C方C5=0，

所以CBJ_CQ,CE_LCr,

所以CM=1E尸=1,

2

所以M的軌跡是以。為圓心，1為半徑的一段圓弧，

連接AC,AM,

則/L（配一方）2=|配F+|麗|2_2亞.礪=12+12+12=36,

所以|北|=6,

答案第3頁，共9頁

所以A三A戶=（4點_；而）（人力+；加）=砌2_；甌2

因為|再閆配1-1=5,

——.?21—.2

所以4E?A/=A"--EF225-1=24.

4

9.BD

【詳解】記8個評分從小到大依次為8.1,西，々，…，兒，99，

則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為"乜，去掉一個最高分和一個最低分后，中位數(shù)不變，極差變小，

故A錯B對.

由于9絲9+羅81=9<92,所以去掉一個最高分和一個最低分后，

平均分變大，數(shù)據(jù)更集中，所以標準差變小，故C錯D對.

10.ACD

【詳解】選項A,尸（A）=],P（B）=]且P（A8）=乳==

因為P（AB）=P（A>P（8）,所以A與8獨立.

選項B,因為P（C）=P（I,4）+P（2,3）+P（3,2）+P（4,1）=W，P（8）+P（C）",所以B與C

4J

不對立.

選項C,P（/lC）=P（h4）4-P（2,3）=lxl+lxl=^.

JJJJ/J

、21213

選項D,P（A^B）=P（A]P（B）-P（AB）=----=-.

+J+J2J

11.BC

【詳解】正方體對角線長為26,即為外接球直徑，因此球半徑為,一退，球表面積為

S=4nr~=12兀，A錯；

正方體中A3與GR平行且相等，八8CQ是平行四邊形，ADJ/BC、,

△A乃G是正三角形，4例與3G的夾角（銳角或直角）的范圍是（三段,因此B正確；

由上述知8G〃A。，而602平面AC。，4Ru平面AC",所以8G〃平面AC。，

同理AB//平面AC。，又ABCBC=B,A及8Gu平面ABG，

所以平面ABG〃平面AC。，而AMu平面A8G，所以AM//平面AC。，C正確；

答案第4頁，共9頁

由8CJ/平面AC。，因此M到平面AC"的距離不變，AACA面積確定,

所以％-AMC=^M-ACD,不變，D錯.

12.2x/2

9

1Ub1￡?1

【詳解】因為4在日上的投影向量為所以方力二1^,又B為單位向量，所以力3=9

3\b\03

所以附_/=yl(3@—b)=\l9a2—6ab+b2=^9xI2—6x^+12=2\/2.

13.36TC

2o”BC=2

【詳解】設底面三角形ABC外接圓圓心。i，則?sin/B4C，.J-，即。乃=2,

sin—

6

設該三棱柱外接球球心為0，則OOJ網(wǎng)旦00'=爭當=后,

由OQ_L底面48C,且。產(chǎn)u底面48C,故。。_LO/,

即BO=Qoo：+()B=J(X/5)2+22=3，

則該三楂柱外接球的體積為4三7rx33=36兀.

14.2.14

【詳解】由題意，總體的均值為蕓x2.5+黑;xl=

1.6

I(XX)I()()()

根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，則總體的方差為

網(wǎng)■x「l+(2.5-1.6)1+您■x「2+(l-1.6)2]=0.724+1.416=2.14.

100()L'7J100()L'7J

15.⑴年

(2/=(4,3)或3=(-4,-3)

【詳解】(1)因為m+c)_L*所以(〃+c)Y=。，即q.d4^=o,

所以同洞COS(萬用+同2=0,即石X乎X8S(不?+；=0?

答案第5頁，共9頁

所以cos8?=-g,因為兀］,所以依*〉=用；

(2)因為。=(1,2),^=(2,-1),所以為+/；=(4,3),

因為(24+9/依設d=R2d+〃)=(443/l),

貝1」忖=后7=5,解得4=±1,

故守=(4,3)或1=(4-3).

16.(l)x=0.03

⑵86：(或竿)，84

*

【詳解】(1)(0.005+0.014-0.015+X+0.04)X10=1=>X=0.03；

(2)0.05+0.1+0.15=0.3：所以中位數(shù)在［80,90)內(nèi)，設中位數(shù)為m,

(m-80)x0.03=0.2=>m=861(或等).

x=55x0.05+65x0.1+75x0.15+85x0.3+95x0.4=84.

(3)［60,70)與［70,80)的頻率之比2:3,

所以5人中有2人來自［60,70)組，設為4，生，3人來自［70,80)組，設為乙也也，

C’63

P(A)=fU=^=￡,或者列舉法：%%,。瓦岫?,砧尸,a包,。2瓦,1他力四,b2b③共10種

情況，

符合條件的6種情況叫，哂，叫,她岫，她；尸⑷哈=|.

or\RFo)

17.(1)因為2BC=3BO,BE=2AE,所以—；————?所以DE//AC,DE——AC.

BCBA33

因為AC〃AG,AC=AG，所以。E〃AG，DEwAC，則直線AE與GD相交.

設直線AE與G。的交點為P,如圖.

因為點P在直線AE上，且AEu平面人即小，所以Pw平面4科人.

因為點尸在直線G。上，且GOu平面3CG4,所以Pw平面8CGg.

答案第6頁，共9頁

因為平面48AAe平面BCC.B,=%,所以點P在直線姐上,

即直線4］，G。，B乃交于點P.

【詳解】（1）略

（2）設AABC的面積為S,三棱柱48C-A4G的高為人

則三棱柱48c-AB|G的體積V=Sh.

因為OE//AC,所以△BDEs/CA,且照二彳，

BC3

4

所以△/〃)E的面積s；=§S,

則三校臺EBD-AMG的體積X=5"+S+6^)=黑?.

V；_19.f19s八_19

故u—=—Sch丁Sh----Sh=—.

以匕27127J8

18.(1)A=1

⑵(6+26,12+4@

【詳解】(1)因為acosC-8+,。=0,由正弦定理得sinAcosC-sinB+'sinC=0,

7.2

因為A+"+C=7t,

所以sinB=sin(7t—A—C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以cosAsinC=gsinC,因為AC?0,兀)，所以sin。。0,

所以cos4=g,A=y.

答案第7頁，共9頁

(2)因為SJBC=；absinC=2asinC,所以〃=4,

h

由正弦定理三菽有'

SUVAsinB

八2siM=△sin以地,b.廠4sinC

----sinC=-----

sinBsinB3sinBsinBsinB

所以a+c=+4sinC,因為A+8+C=7i,sinC=sinf-=—cosB+—sinB,

sinB\3)22

2>/^+2Gcos3+2sinB_rr1+cosB_2>/3.

g、【a+c=--------------------=2,3-------+2=-----+2

所以sinBsinBB?

tan