樣本估計總體（基礎練）解析版

章統計

9.2樣本估計總體（基礎練）

一、單選題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

1.為考察A、B兩名運動員的訓練情況，卜面是A、B兩名運動員連續10天完成訓練指標任

務的綜合得分的折線圖，給出下列四個結論，其中錯誤的結論是（）

?"*4運動員5運動員

A.第3天至第10天兩名運動員綜合得分均超過80分；

B.第1天至第7天B運4員的得分逐日提高；

C.第2天至第3天A運助員的得分增量大于B運動員的得分增量：

D.在10天的得分統計中，A運動員得分的極差小于B運動員得分的極差.

【答案】D

【解析】由圖象可得，第3天至第10天兩名運動員綜合得分均超過80分，故A正確；

由圖象可得，第1天至第7天B運動員的得分逐日提高，故B正確；

第2天至第3天，A運動員得分增量大于2,B運動員得分增量小于2,所以第2天至第3

天A運動員的得分增量大于B運動員的得分增量，故C工確；

在10天的得分統計中，A運動員最小得分小于78,B運動員最小得分大于80,且兩運動員

最高得分相接近，所以A的極差大丁B的極差，故D錯誤.故選：D

2.張老師將某位高三學生10次選填題專測的成績進行統計，得到的統計結果如圖所示，但

學習委員在將成績登記在冊的時候將62與68均登記成了65,則兩個成績相比，不變的數

字特征是（）

5357

62358

7557

A.眾數B.中位數C.平均數D.方差

【答案】C

【解析】兩個成績比較，具體情況如下：

眾數中位數平均數方差

張老師75646567.4

學習委員65656565.6

觀察可知，平均數相同，眾數、中位數和方差均不相同.故選：C.

3.10名工人某天生產同一零件，生產的件數是15、17、14、10、15、17、17、16、14、

12.設其平均數為。，中位數為〃，眾數為c,則有()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.h>c>a

【答案】B

【解析】將生產的件數由小到大排列為：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17,

.?.。二卡(15+17+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7,中位數為〃=15，

眾數為c=17.因此，故選：B.

4.已知數據王,與，…，5，/的平均數為/，方差為s：,數據為,與，…，%的方差

為s；，則()

A.B.s：=s；

C.$；<學I),s：與s；的大小關系無法判斷

【答案】C

【解析】由N.…卜工”=九得z+x,+…+x“+f=?〃+1),

/?+1

所以西+￡+…+七=/〃，所以N+&+…+/=/,

n

故兩組數據的平均數都是1,

則=-[(Xj—t)2+(x—t)~+...+(x—t)2+(/—O~]?

〃+1ytl

^2=J[(N_/)2+(X，_/)2+...+(X“一力2]，

n

/.5,2<S?,故選：C.

n+1n

5.某組數據的莖葉圖如圖所示，其眾數為。，中位數為方，平均數為J則()

089

1357

201336

323

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>a>b

【答案】A

里四二2。.5

【解析】由圖中數據可得〃=23，b=

2

8+9+13+15+17+20+21+23+23+26+32+33

=20所以故選：A

12

二、多選題（共3小題，滿分15分，每小題5分，少選得3分，多選不得分）

6.某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低

氣溫的雷達圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃,B點表示四月的平均最低氣溫

約為5℃.下面敘述正確的有（）

七月

——平均最低氣溫——平均最高氣溫

A.各月的平均最低氣溫布在0℃以上

B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D.平均最高氣溫高于20c的月份有5個

【答案】ABC

【解析】對廣選項A,由圖易知各月的平均最低氣溫都在0℃以上，故A1E確；

對于選項B,七月的平均最高氣溫點與平均最低氣溫點間的距離大于一月的平均最高氣溫點

與平均最低氣溫點間的距離，所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大故，B正確；

對于選項C,三月和十一月的平均最高氣溫均為10℃,故C正確；

對于選項D,平均最高氣溫高于20℃的月份有七月、八月，共2個月份，故D錯誤.

故選：ABC.

7.隨著人口紅利的消失和智能制造趨勢的演進，工業機器人逐漸成為企業提高產品質最、

向智能化轉型升級的核心力量.經過多年的發展，我國的工業機器人產業已經達到了定的規

模，不僅在焊接、裝配、搬運、沖壓、噴涂等專業領域涌現出大量的機器人產品，同時機器

人關鍵零部件方面也已經接近或達到了世界領先水平.如圖是“中投產業研究院”發布的

《2020-2024年中國機器人產業投資分析及前景預測報告》中關于2019年全國工業機器人

產量數據的統計圖數據來源：國家統計局根據統計圖分析，以下結論正確的是（）

2019年全國工業機器人產量數據（單位：萬套，%）

■本月廣?&三各月止，計-O本月的au■長?<>?本H止?計內比■長

A.2019年3~12月，全國工業機器人本月同比增長最低的是8月份，最高的是12月

B.2019年2~12月，全國工業機器人本月累計同比增長均在0%以下

C.2019年2~12月，全國工業機器人本月累計同比增長最低值是4月份

D.2019年3~12月，全國工業機器人在12月份同比增長超過15%

【答案】ABI）

【解析】由《2020-2024年中國機器人產業投資分析及前景預測報告》中關于2019年全國

工業機器人產量數據的統計圖，知：

對于選項A,由本月同比增長拆線圖得：

2019年3?12月，全國工業機器人本月同比增長最低的是8月份，最高的是12月份，故A

正確；

對于選項B,由本月累計同比增長拆線圖得：

2019年2~12月，全國工業機器人本月累計同比增長均在。％以下，故B正確：

對于選項C,由本月同比增長拆線圖得：

2019年2~12月，全國工業機器人本月累計同比增長最低值是8月份，故C錯誤；

對「選項D,2019年3~12月，生國「?業機器人在12月份同比增長超過15%，故D正確?

故選：ABD.

8.2020年11月23日，中國脫貧攻堅戰再傳捷報，貴州省宣布紫云縣、納雍縣、威寧縣等

9個縣退出貧困縣序列，至此，貨州全省66個貧困縣全部實現脫貧摘帽，標志著全國832

個貧困縣全部脫貧摘帽.某研究性學習小組調查了某脫貧縣的甲、乙兩個家庭、對他們過去

7年（2013年至2019年）的家庭收入情況分別進行統計，得到這兩個家庭的年人均純收入（單

位：千元/人）數據，繪制折線圖如圖：

2013年至2019年甲、乙家庭人均純收入（單位：千元/人）

的判斷，正確的是（）

A.過去7年，“甲”的極差小于“乙”的極差

B.過去7年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值

C.過去7年，“甲”的中位數小于“乙”的中位數

D.過去7年，“甲”的年平均增長率小于“乙”的年平均增長率

【答案】ACD

【解析】極差是一組數據中最大的數減去最小的數，甲的極差為：4.2-3.6=0.6,乙的極差

為：4.1-3.4=0.7；故A正確;

甲的平均值為：3.6+3.7+3.6+3.7+3.8+4.0+4.2=3；乙的平均數為：

77

3.4+3.6+3.8+3.6+3.9+4.0+4.126.4但

------------------------------=——；故8錯誤；

7---7

甲的中位數為：3.7；乙的中位數為：3.8,；故C正確；

過去7年甲的平均增長率為：乙的平均增長率為：而1±1—1；故。正確；

3.63.4

故選:AC1）.

三、填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分，一題兩空，第一空2分）

9.為了解學生課外閱讀的情況，隨機統計了〃名學生的課外閱讀時間，所得數據都在

［50,150］中,其頻率分布直方圖如圖所示.己知在［50,75）中的頻數為100,則u的值是

【解析】由圖可得在［50,75）中的頻率為0.004x25=0.1,

I（N）

所以一=1000,故答案為：1000.

0.1

10.若樣本數據M，與，…，的標準差為4，則方差為_;數據1-2*,

1-2々，…，1-2.%的標準差為

【答案】168

【解析】設原數據的平均數為X，則新數據的平均數為1-21,

2

則原數據的方差為專[(再7)2+(x2-x)+...+(xl0-x)']=16,

222

則新數據的方差為:，新一型-1+2X)+(1-2X2-1+2X)+...+(1-2XIO-1+2X)]

1一一)-

=4X—[(x,-xy+(x2-x)'+...+(為0-x)*]

=4x16=64.

故數據1-2不，1一2馬,…，1一2玉0的標準差為：8.故答案為：168

11.某校從高一新生中隨機抽取了一個容量為20的身高樣本，數據從小到大排序如下（單

位：cm）；

152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,170,

171,x,174,175,若樣本數據的第90百分位數是173,則工的值為________.

【答案】172

【解析】百分位數的意義就在于，我們可以了解的某一個樣本在整個樣本集合中所處的位置,

r+174

本題第90百分位數是173,所以^------二173,x=172,故答案為：172

2

四、解答題：（本題共3小題，共45分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

12.為了解某市家庭用電量的情況，該市統計局調查了10（）戶居民去年一年的月均用電量,

發現他們的用電量都在5QkW?h至350kW-h之間，進行適當分組后，畫出頻率分布直方圖

如圖所示.

（1）求a的值；

（2）求被調查用戶中，用電量大于250kW?h的戶數；

（3）為了既滿足居民的基本用電需求，乂提高能源的利用效率，市政府計劃采用階梯定價,

希望使80%的居民繳費在第一檔（費用最低），請給出第一檔用電標準（單位：kW-h）的建

議，并簡要說明理由.

【答案】⑴0.006：（2）18；（3）245.5kW-h.

【解析】（1）因為（0.0024+0.0036+a+0.0044+0.0024+0.0012）x50=l,所以

a=0.006:

(2)根據頻率分布直方圖可知：“用電量大于250kW-h”的頻率為

(O.(X)24+O.(X)12)x50=0.18,

所以用電量大于250kW-卜的戶數為：100x0.18=18,

故用電量大于250kW-h有18戶;

(3)因為前三組的頻率和為：(0.0024+0.0036+0.0C6)x50=0.6<0.8,

前四組的頻率之和為(00)24+0.0036+().006+().(XJ44)x50=0.82>0.8,

所以頻率為0.8時對應的數據在第四組，

所以第一檔用電標準為：200+08~06x50?245.5kW-h.

0.22

故第一檔用電標準為245.5kW?h.

13.一組數據中的每一個數據都乘以3,再減去50,得到一組新數據,，若求得新的數據的平

均數是1.6,方差是3.6,則求原來數據的平均數和方差.

【答案】17.2,0.4

【解析】設一組數據為七(，=1,2,3,…,〃)，平均數為工，方差為所得一組新數據為

上(=1,2,3,…,〃)，平均數為》，方差為s)

則乂=3%一50(?=1,2,3,，一〃)，yj+%++J.6,

n

所以3%—5°-3%2—5°++3x〃-5°=]6,

n

所以35—50=1.6,所以3=3=17.2,

3

由題意得$=：[()]—刃2+(力一9)2++(),,一刃2]=3.6,

2

所以)[(3石-50-1.6>+(3巧-50-1.6>++(3x,t-50-1.6)]=3.6,

所以，x9[(5-17.2)2+(4-17.2)2+,,+(._17.2)2]=36

所以/x9[(%-x)2+(&-工/++區-￡尸]=3.6.

所以9s；=3.6,所以s：=0.4.

14.高三數學考試中，一般有一道選做題，學生可以從選修4-4和選修4-5中任選一題作

答，滿分10分.某高三年級共有1000名學生參加了某次數學考試，為了了解學生的作答情

況，計劃從該年級1000名考生成績中隨機抽取一個容量為10的樣本，為此將1000名考生

的成績按照隨機順序依次編號為000~999.

(1)若采川系統抽樣法拍樣，從編號為000?999的成績中隨機確定的編號為026,求樣本

中的最大編號.

(2)若采用分層抽樣法，按照學生選擇選修4-4或選修4-5的情況將成績分為兩層，己

知該校共有600名考生選擇了選修4-4,400名考生選擇了選修4-5,在選取的樣本中，

選擇選修4-4的平均得分為6分，方差為2,選擇選修4-5的平均得分為5分，方差為

0.75.用樣本估計該校1000名考生選做題的平均得分和得分的方差.

【答案】(1)926；(2)平均得分為5.6,方差為1.74.

【解析】(1)根據系統抽樣法知，抽樣間隔為100,

所以最大編號為26+100x(10-1)=926.

(2)樣本中選擇選修4-4的考生有6人，4-5的考生有4人，

所以得分平均數為，x(6.《6+4x5)=5.6；

10

從選擇選修4-4的考生中抽取6人，分別記為%,…，％,

從選擇選修4-5的考生中抽取4人，分別記為乙，2,么，瓦,

則-x[(%-6)2+(必一6產+...+-6)2J=2,

6

所以a；+a；+…+4=228,

同理邛+以+4+反=103,

所以樣本得分的方差為：

-j—[(O]—5.6)~+…+(4~5.6)+(4-5.6)"+...+(4—5.6)"]

=x+...+a：+b；+…+〃；-11.2x(q+...+&+"[+...+Z?1)+10x5.6~]

=-ji-x[228+103-11.2x56+16x31.361

=1.74.

所以估計該校1000名考生選做題的平均得分為5.6,方差為1.74.

A級必備知識基礎練

1」探究點一]某班學生在一次數學考試中各分數段以及人數

的成績分布為：[0,80),2人;[80,90),6人;[90,100),4

人;[100,110）,8人;[110,120）,12人;[120,130）,5人;[130,140）,6

人;[140,150）,2人.則分數在[100,130）中的頻數以及頻率分別

為（）

A.25,0.56B.20,0.56

C.25,0.50D.13,0.29

2.[探究點一（角度2）]為了了解某學校學生的身體發育情況,

抽查了該校100名高中男生的體重情況，根據所得數據畫出

樣本的頻率分布直方圖如圖所示.根據此圖，估計該校2000

名高中男生中體重不小于70.5kg的人數為（）

f頻率/組距

os.

S

O6.

6

0.

中5⑥空5$5@505由3③525護.心心5體重/kg

A.300B.360C.420D.450

3」探究點三]已知甲、乙兩組數據（已按從小到大的順序排列）:

甲組27,28,39,40,機,50;

乙組:24以34,43,48,52.

若這兩組數據的第30百分位數、第80百分位數分別相等,

則;等于（）

121（

A."B."

7

C.aD.4

4.［探究點一（角度1）］為了幫助班上的兩名貧困生解決經濟困

難,班上的20名同學捐出了自己的零花錢.他們捐款數（單位:

元）如

下:19,20,25,30,24,23,25,29,27,27,28,28,26,27,21,30,20,19,22,2

0.班主任老師準備將這組數據制成頻率分布直方圖,以表彰

他們的愛心,制圖時先計算最大值與最小值的差

是.若取組距為2,則應分成組;若第一

組的起點定為18.5,則在［26.5,28.5）內的頻數為.

5.［探究點一（角度2）］統計某校1000名學生的數學測試成績,

得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示，規定不低于60分為及

格,不低于80分為優秀，則估計及格人數是;優秀

率是.

頻率/組距

0.04

0.035

0.03

0.025

0.02

0.015

0.01

0.005

1V_____L_

0405060708090100分數

B級關鍵能力提升練

6.某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一

倍，實現翻番.為更好地了解該地區農村的經濟收入變化情況,

統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例.得

到如下扇形統計圖:

種植收入

建設前經濟收入構成比例

建設后經濟收入構成比例

則下面結論不正確的是（）

A.新農村建設后，種植收入略有增加

B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農村建設后，養殖收入不變

D.新農村建設后，種植收入在經濟收入中所占比重大幅下降

7.（多選題）［探究點三］已知100個數據的第75百分位數是9.3,

則下列說法不正確的是（）

A.這100個數據中一定有75個數小于或等于9.3

B.把這100個數據從小到大排列后,9.3是第75個數據

C.把這100個數據從小到大排列后,9.3是第75個數據和第76

個數據的平均數

D.把這100個數據從小到大排列后,9.3是第75個數據和第

74個數據的平均數

8.某城市為了解游客人數的變化規律，提高旅游服務質量，收

集并整理了2020年1月至2022年12月期間月接待游客量（單

位:萬人）的數據，繪制了下面的折線圖.

根據該折線圖，下列結論錯誤的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動

性更小，變化比較平穩

9.已知30個數據的第60百分位數是82這30個數據從小到

大排列后第18個數據是7.8,則第19個數據是

10.對某市“四城同創”活動中800名志愿者的年齡抽樣調查統

計后得到頻率分布直方圖（如圖）,但是年齡組為［25,30）的數據

不慎丟失，則依據此圖可得：

O.08

OS.07

06

O.05

O,04

OS.03

02

O.01

（1）［25,30）年齡組對應小矩形的圖度為

⑵由頻率分布直方圖估計志愿者年齡的85%分位數約為

歲.

11.某網絡營銷部門隨機抽查了某市200名網友在2022年11

月11日的網購金額，所得數據如下表：

網購金額（單位:千兀）人數頻率

[0.1)16().08

[1,2)240.12

⑵3)rP

[3,4)Vq

14.5)160.08

[5,6]140.07

合計2001.00

已知網購金額小于3千元與不小于3千元的人數比恰為3：

2.

（1）試確定x,y,p,q的值，并補全頻率分布直方圖（如圖）；

[頻率/組距

0,45[

0.35卜

Q.3Q\

0.25卜

0.20卜

0.15卜

o.ioLj__

嘴門I,m一

0123456金額/千元

⑵估計網購金額的第25百分位數（結果精確到0.001）.

c級學科素養創新練

12.首次實施新高考的八省（市）于2021年1月23日統一舉行

了新高考適應性考試，在聯考結束后,根據聯考成績，考生可了

解自己的學習情況,作出升學規劃，決定是否參加強基計劃,在

本次適應性考試中,某學校為了解高三學生的聯考情況，隨機

抽取了100名學生的聯考數學成績作為樣本,并按照分數段

[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]分組，繪制了如圖

所示的頻率分布直方圖.

⑴求出圖中a的值并估計本次考試及格率(“及格率”指得分

為90分及以上的學生所占比例)；

⑵估計該校學生聯考數學成績的第80百分位數.

參考答案

1.A由題意知該班總人數為2+6+4+8+12+5+6+2=45,其中成績在[100,130)的人數為

8+12+5=25,故分數在[100,13())中的頻數為25,頻率為后旬56.

2.B由題中頻率分布直方圖，得這100名高中男生體重不小于70.5kg的頻率是

(0.04+0.035+0.015)x2=0.18,所以估計該校2000名高中男生中體重不小于70.5kg的頻率

是0.18,則估計該校2000名高中男生中體重不小于7Q5kg的人數為2000x0.18=360.

3080

3.A因為所以第3()百分位數為〃=28,第8()百分位數為6=48,所以

m4812

7=2S=7

11

4.1165由題意知,極差為30-19=11;因為組距為2,2=5.5不是整數,所以取6組;捐款

數落在[26.5,28.5)內的有27,27,28,28,27共5個，因此頻數為5.

5.80020%及格率是1-(0.005+0.015)x10=0.8,所以估計及格人數是1000x0.8=800,優

秀率是(0.01+0.0l)x10=0,2=20%.

6.C因為該地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，不妨設建設前的

經濟收入為/小則建設后的經濟收入為2/%

A選項，從扇形統計圖中可以看到，新農村建設后，種