旋轉模型綜合問題-2026中考數學壓軸大題（學生版）

專題21旋轉模型綜合問題

經典例題

所在平面上一點，且/”8=/3。。=/。%=120°,則點

P叫做△ABC的費馬點.

⑴如果點尸為銳角△ABC的費馬點，且/4BC=60°.

①求證：f\ARPs/\RCP：

②若%=3,PC=4,則PB=.

(2)已知銳角△ABC,分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACQ,CE和B。相交于

P點.如圖(2)

①求NCP。的度數；

②求證：P點為△48C的費馬點.

(1)(2)

【例2】.如圖①，點M為銳角三角形48c內任意一點，連接4M、BM、CM.以A8為一

邊向外作等邊三角形△48E,將8M繞點8逆時針旋轉60。得到用V,連接EM

(I)求證：4AMB學4ENB；

(2)若AM+BM+CM的值最小，則稱點M為△4BC的費馬點.若點M為△48C的費馬點，

試求此時/4M從NBMC、NCMA的度數：

(3)小翔受以上啟發，得到一個作銳角三角形費馬點的簡便方法：如圖②，分別以AABC

的AB.AC為一邊向外作等邊△4BE和等邊△ACR連接CE、BF,設交點為M,則點

M即為△A8C的費馬點.試說明這種作法的依據.

【例3].如圖(1),尸為AABC所在平面上一點，且乙428=/8/3。=/。%=120°,則點

戶叫做△A8C的費馬點.

(1)若點尸是等邊三角形三條中線的交點，點P(填是或不是)該三角形的費馬點.

(2)如果點P為銳角△ABC的費馬點，且/4BC=60°.求證：MBPs△BCP、

⑶已知銳角△ABC,分別以4B、AC為邊向外作正和正△ACD,CE和BD相交于

P點.如圖(2)

①求NCP力的度數；

(1)已知，點尸是正方形4BCO內的一點，連以、PB、PC.將△陶8繞點8順時針旋轉

90°到△「'C4的位置(如圖1),設A4的長為a,PB的長為〃gVa),求△RW旋轉到

△P'C8的過程中邊附所掃過區域(圖1中陰影部分)的面積；

【實際運用工

(2)如圖2,點P是等腰Rt^ABC內一點，AB=BC,連接南,PB,PC.若以=2,PB

=4,PC=6,求N4PB的大?。?/p>

【拓展延伸】:

⑶如圖3,點P是等邊ZUBC內一點，以=3,PB=4,PC=5,則的面積是(直

接填答案)

培優訓練

1.如圖，P是正三角形A8C內的一點，且掰=6,PB=8,PC=10.若將△雨。繞點A逆

時針旋轉后，得到AP'A3.

⑴求點。與點P'之間的距離;

(2)求/4P8的度數.

B

2.(原題初探)(1)小明在數學作業本中看到有這樣一道作業題：如圖I,P是正方形力BCO

內一點，連結PA,PB,PC現將△以8繞點B順時針旋轉90°得到的△尸’CB,連接

PP'.若以=&，PB=3,NAPE=135°,則PC的長為,正方形ABC。的

邊長為.

(變式猜想)(2)如圖2,若點。是等邊△A8C內的一點，且以=3,PB=4,PC=5,請猜

想NAPB的度數，并說明理由.

(拓展應用)⑶聰明的小明經過上述兩小題的訓練后，善于反思的他又提出了如下的閏題：

如圖3,在四邊形A3C。中，AD=3,CD=2,ZABC=ZACB=AADC=^,則3。

的長度為.

3.問題：如圖1,在等邊△/WC'內部有一點尸，已知/%=3,/抻=4,〃C=5,求NA/個的

度數？

(I)請寫出常見四組勾股數：、、、.

(2)解決方法：通過觀察發現啊,PB,PC的長度符合勾股數，但由于附，PB,PC不在

一個三角形中，想法將這些條件集中在一個三角形，于是可將AABP繞A逆時針旋轉60°

到△AP'C,此時△ABPgZXACP：這樣利用等邊三角形和全等三角形知識，便可求出

NAPB=.請寫出解題過程.

(3)應用：請你利用⑵題的思路，解答下面的問題：

如圖2,在△A4C中，ZC4B=90°,A13=AC,E,F為3c的點，且N￡4F=45°,若

BE=m,FC=〃,請求出線段E尸的長度(用〃?、〃的代數式表示).

圖1圖2

4.(1)如圖1,點尸是等邊△ABC內一點，已知以=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度數.

分析：要直接求NAPB的度數顯然很困難，注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數，

因此考慮借助旋轉把這三邊集中到一個三角形內.

解：如圖2,作/以0=60°使A/)=AP,連接PD,C。，則△物D是等邊三角形.

/.=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=60a

???△ABC是等邊三角形

：.AC=AB,NB4C=60°AZBAP=

：,BP=CD=4,=ZADC

???在△PC￡>中，PD=3,PC=5,CD=4,PD1+CD2=PC2

???ZPDC=°

AZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=600+90°=150°

(2)如圖3,在△ABC中，AB=BC,NABC=90°，點P是△ABC內一點，%=1,PB=

2,PC=3,求NAPB的度數.

任意一點，連接啊,FB,PC,則以+PB+PC的最小值為.

5.如圖1,。、E、尸是等邊三角形A8C中不共線三點，連接A。、BE、CF,三條線段兩兩

分別相交于。、E、F.已知4尸=80,ZEDF=60°.

(1)證明:EF=DF；

(2)如圖2,點M是EQ上一點，連接CM,以CM為邊向右作△CMG,連接EG.若EG

=EC+EM,CM=GM,ZGMC=ZGEC,證明：CG=CM.

(3汝口圖3,在(2)的條件下，當點M與點。重合時，若CO_LAQ,GO=4,請問在△4CO

內部是否存在點尸使得產到△AC。三個頂點距離之和最小,若存在請直接寫出距離之和

的最小值；若不存在，試說明理由.

6.如圖①，尸為△ABC所在平面上一點，且NAP8=N8PC=NC以=120°,則點尸叫做

△ABC的費馬點.

(I)如果點P為銳角三角形4BC的費馬點，且NABC=60°.

①求證：AABPsXBCP.,

②若%=3,PC=4,求的長.

(2)已知銳角三角形ABC,分別以/W、AC為邊向外作正三角形A6E和正三角形AC/),

CE和B。相交于P點，連結AP,如圖②.

①求NCP。的度數；

②求證：〃點為△ABC的費馬點.

①②

7.【問題情境】

如圖I,在△/WC中，乙4=120°,AB=AC,BC=5氏,則△/WC的外接圓的半徑值

為.

【問題解決】

如圖2,點P為正方形/WCO內一點，且NBPC=90'，若人8=4,求AP的最小值.

【問題解決】

如圖3,正方形A8C。是一個邊長為3?〃的隔離區域設計圖，CE為大門，點E在邊

6c上,CE=Mc/〃,點尸是正方形ABC。內設立的一個活動崗哨，到8、E的張角為120“，

即N8PE=I2O。，點缸。為另兩個固定崗哨.現需在隔離區域內部設置一個補水供給

點。使得。到A、。、P三個崗哨的距離和最小，試求Q4+QO+QP的最小值.(保留根

號或結果精確到3〃，參考數據加F.7,10.52=110.25).

8.問題提出

(1)如圖，點M、N是直線/外兩點，在直線/上找一點K,使得MK+NK最小.

問題探究

(2)在等邊三角形A8C內有一點P,且以=3,PB=4,尸。=5,求乙4PB度數的大小.

問題解決

⑶如圖，矩形ABCD是某公園的平面圖，43=38幾米，8C=60米，現需要在對角線

BD上修?涼亭￡,使得到公園出口4e。的距離之和最小.問：是否存在這樣的點E?

若存在，請畫出點E的位置，并求出EA+EB+EC的和的最小值；若不存在，請說明理由.

9.在平面直角坐標系中，二次函數丁=々1+隊-8的圖象與工軸交于A、B兩點，與)，軸交

于點C,直線)，=依+國(kWO)經過點A,與拋物線交于另一點R,已知。。=2。4,OB=

3

3OA.

(1)求拋物線與直線的解析式：

(2)如圖1,若點P是x軸下方拋物線上一點，過點尸做ZV/1AR于點凡過點P做PQ

〃工軸交拋物線于點Q,過點P做_Lx軸于點H',K為直線上一點，且PK

=2?PQ,點/為第四象限內一點，且在直線PQ上方,連接IP、IQ、IK,記/=W_pH」

24

PQ,m=IP+IQ+IK,當/取得最大值時,求出點尸的坐標,并求出此時用的最小值.

(3)如圖2,將點A沿直線AR方向平移13個長度單位到點M,過點“做的_1上?軸，交

拋物線于點N,動點D為x軸上一點，連接MD.DN,再將沿直線MD翻折為

△MDN'(點M、N、D、N'在同一平面內)，連接AN、AN'、NN',當△ANN'為等

腰三角形時，請直接寫出點。的坐標.

10.(1)如圖I,點P是等邊△ABC內一點，已知%=3,PB=4,PC=5,求的度數.

要直接求/A的度數顯然很困難，注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數，因此考慮

借助旋轉把這三邊集中到一個三角形內，如圖2,作/附0=60"使連接PO,

C7),則△物。是等邊三角形.

J=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=6Q°

:△ABC是等邊三角形

：.AC=AB,NBAC=60°

/.NBAP=

/.AABP^AACD

:?BP=CD=4,=ZADC

???在△PC。中，PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2

:.ZPDC=°

A^APB=ZADC=ZADP+^PDC=600+90°=150°

(2)如圖3,在△ABC中，AB=BC,NABC=90°，點P是△ABC內一點，M=l,PB=

2,PC=3,求NAP8的度數.

①如圖1,已知點P為等邊△4BC外接圓的BC上任意一點.求證：PB+PC=PA.

②定義：在△A4C所臺平面上存在一點尸，使它到二角形二頂點的距離之和最小，則稱

點P為△ABC的費馬點，此時以+P8+PC的值為△ABC的費馬距離.

(2)知識遷移

①我們有如下探尋△ABC(其中NA,NB,NC均小于120。)的費馬點和費馬距離的方法：

如圖2,在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCO及其外接圓，根據(1)的結論，易知

線段的長度即為△A8C的費馬距離.

②在圖3中，用不同于圖2的方法作出4c的費馬點P(要求尺規作圖).

(3)知識應用

①判斷題(正確的打J,錯誤的打X)：

i.任意三角形的費馬點有且只有一個：

ii.任意三角形的費馬點一定在三角形的內部.

②已知正方形43cO,。是正方形內部一點，且以+P3+PC的