湖南長沙市某中學2026年初中學業水平考試模擬試卷數學（二）含答案

湖南長沙市華益中學2026年初中學業水平考試模擬試卷數學（二）

一、單選題

1.下列實數中，比一3小的是（）

A.-2B.0C.-V5D.-4

)

A.V2+V3=V5B.a3-ra3=aC.(-a3)2=Q6D.a2-a3=G6

4.卜列調查中，最適宜采用全面調查方式的是()

A.調查國慶中秋假期游客對長沙熱門景點的滿意度

B.調查“神舟二十二號”飛船重要零部件的產品質量

C.了解我國中學生的視力情況

D.了解某品牌燈泡使用壽命

5若式子需在實數范圍內有意義,則無的取信范圍是()

A.x>一1且％H5B.x>-1

C.x>—1且工工5D.x>-1

6.如圖，8CJL4E,垂足為C,CD||AB,若乙4=40°,則的度數是)

B.50°C.60°D.70°

7.如圖，度4BCO的對角線4C,BO相交于點。，且AC+8。=8,40=3,則△BOC的周長是（）

C.10D.II

第1頁

8.求一組數據方差的算式為：s2=ix[(5-x)2+(6-x)2+(5-x)2+(4-x)2],對于這組數據，下列說

法正確的是()

A.九的值為4B.x=4C.眾數是6D.中位數是6

9.如圖，題目中的部分文字被墨水污染無法辨認，導致題目因缺少條件而無法解答.經查看答案解析發

現，若設第一次購買了無個魔方，則可列方程駕2-嚶=10進行解答.則被墨水污染部分的文字為

()

某校為魔方社團采購某款魔方，第一次

用1500元買了若干個，第二次用10()0元

在同一商家購買壁的默.

II求木左族界藐魔.

A.第二次購買時，每個魔方漲價10元，結果比第一次多買75個

B.第二次購買時，每個魔方漲價10元，結果比第一次少買了5個

C.第二次購買時，每個魔方優惠10元，結果比第一次多買了5個

D.第二次購買時，每個魔方優惠10元，結果比第一次少買了5個

10.在平面直角坐標系中，。為坐標原點，已知點P(m,1),Q(Lm)(租＞0且m=1),直線PQ分別與工

軸、y軸相交于4B兩點,連接。P,OQ,則下列結論中：①點P,Q在反比例函數y=9的圖象上；

@LOAB=45°；③4P=BQ；④乙尸OQ的值隨m的增大而增大.正確結論的序號為()

A.①③B.②④C.①③④D.①②③

二、填空題

11.稀土是寶貴的戰略資源，廣泛應用于尖端科技領域和軍工領域，被稱為“新材料之母我國是全球稀土

儲量最多的國家，截至2025年已探明稀土儲量44000000噸，約占全球總儲量的48%,數據44000000用科學

記數法表示為.

12.中國畫以墨代色，產生了墨分五色的說法，唐代張彥遠《歷代名畫記》中日：運墨而五色具，五色：

焦、濃、重、淡、清，美術老師想從這五色中隨機選擇一色讓學生重點練習，則選中濃的概率

為

13.在平面直角坐標系中，將點4(-3,2)向下平移3個單位長度得到點B,則點B的坐標是,

計算：碧—鬻

15.已知K=Q是一元二次方程%2一2%-4=0的一個根，則代數式十一2a+2026的值為

16.如圖，在。。中，M為直徑48上一點，弦CD經過點M.若4DMB=60。，AM=1,BM=5,則弦CO的

長為_________

第2頁

D

17?計算：V12-(2-V3)O+(1)1-2sin600-

r2x+1>-3

18.解不等式組：，1/X+5

X—JLU-每一

19.如圖，在矩形4BCD中，點E和點尸在邊8c上，且A"=OE.

（1）求證：△4BFW2DCE；

（2）若BC=11,EF=7,求BE的長.

20.根據2026年長沙體育中考詳細方案，2026年體育滿分從40分增加到50分，測試項目保持不變，.口.擬

于2028年在傳統三大球（籃球、足球、排球）的基礎上新增乒乓球和羽毛球.為了解某地區七年級學生對

這五項球類運動的喜愛情況，從該地區隨機抽取部分七年級學生進行問卷調查（參與問卷調查的每名同學只

能選擇其中一項運動），收集數據，并將調查得到的數據進行整理，繪制了如下兩幅不完整的統計圖表.

運動項目人數

羽毛球40

乒乓球100

籃球m

足球n

排球30

根據圖表中所給信息，解答下列訶題:

（1）計算出表中m,九的值;

第3頁

（2）求扇形統計圖中表示“足球”部分所對應的扇形的圓心角度數：

（3）若該地區七年級學生共有20000人，試估計該地區七年級學生中喜愛“羽毛球”類運動的學生有多少

人？

21.2025年，“湘”超湘味、“湘”當韻味的首屆湖南省足球聯賽（簡稱“湘超聯賽”）席卷三湘大地，賽場外以

紅嘴相思鳥和超級稻為原型的湘超聯賽吉祥物“湘湘”和“超超”玩偶深受喜愛.購買某商家生產的吉祥物玩偶

時，買4個湘湘比買3個超超多用10元，買1個湘湘和2個超超共用140元.

（1）湘湘和超超的單價分別是多少元？

（2）某公益組織決定購買湘湘和超超共60個送給學生做紀念品，總費用不超過2700元，則至少應購買

湘湘多少個？

22.2025年8月17日，岳麓山頂的長沙廣播電視發射塔（如國1）煥新升級后以“長沙之眼”觀景平臺的新

身份鳧相，在“長沙之眼”里踱著步，轉個圈，橘子洲、五一商圈、梅溪湖國際藝術中心等長沙地標就盡收眼

底.如圖2.“長沙之眼”高度為4B,從距離塔底A點26米的C點出發，沿著一段坡度為7：24的斜坡走50米

到達。點，此時回頭看塔頂B點，仰角剛好是45°,已知E點在。點的正下方，A,C,E三點在同一水平線

上.點4,B,C,D,E在同一平面內，請回答下列問題:

（2）求“長沙之眼”的高度A8.

23.如圖，48是。。的直徑，直線CE與。。相切于點C,過點力作4D1CE于點D.

（1）求證：2ABeAC。；

（2）若。。的半徑為4,^ACE=30°,求圖中陰影部分的面積.

第4頁

24.定義：在平面直角坐標系中，我們把直線y=QX+C稱為拋物線y=。/+6%+以。芯0)的“向陽線”.如

直線y=x-1足拋物線y=x24-2x-1的“向陽線

(1)求拋物線y=%2-2%+3與它的“向陽線”的交點坐標；

⑵拋物線y=/2+版+2聞交于48兩點，與它的“向陽線”相交于兩點，已知點A的橫坐標為

-2,點。不在y軸上，試說明：無論匕為何值.點D始終在一條確定的直線th：

(3)在(2)的條件下，設拋物線7=義/+以：+￡：的頂點為“，若點M和點8到直線，的距離相等，求b的

值.

25.如圖，將△4BC的邊繞點力逆時針旋轉a得到4D.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當a=50。時,連接BD,若ACJ.BD,求NB4c的大小；

(2)如圖2,當a=90。時，連接CD,若44BC+/4DC=180。，CD=4,BC=2,求AC的長：

(3)如圖3,當a=120。時，已知4B=4C,Z,ABC=60°,連接BD,CD,點M,N分別是邊BO,CO上

的動點(點M,N不與端點重合，且位于4C兩側)，連接4M,AN,/MAN=4BOC.是否存在實數3使得

代數式當譚Y為定值，若存在，求出實數￡的值：若不存在，請說明理由.

第5頁

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：一4<一3V-遮<一2V0

故答案為：D.

【分析】先估算-病的大小，再根據正數大于0,0大于負數，負數絕對值大的反而小解答即可.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：A.主視圖是矩形，俯視圖是圓，故本選項不合題意；

B.主視圖是一個矩形(矩形內部有一條縱向的虛線)，俯視圖是三角形，故本選項不合題意；

C.主視圖和俯視圖是圓，故本選項符合題意；

D.主視圖是三角形，三角形的內部有一條縱向的實線，俯視圖是四邊形，四邊形的內部有一點與三角形的四

個頂點相連，故本選項不合題意；

故答案為：C.

【分析】根據主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形進行分析.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：A、魚與值不是同類二次根式，不能合并，不符合題意；

B、a3-a3=a3-3=a°=l^a,選項計算錯誤,不符合題意；

C、(-aJ)2=(-l)2.(a3)2=a3x2=a6,選項計算正確,符合題意;

26

D、a2.a3=a^=aVa,選項計算錯誤，不符合題意；

故答案為：C.

【分析】根據二次根式的加法運算法則、同底數k的乘法、除法運算法則，幕的乘方、積的乘方運算法則一

一判斷即可.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：A.國慶假期游客數量多，范圍廣，不需要對每一名游客調查，因此適宜抽樣調查，不符

合題意；

B.飛船重要零部件的質量直接影響飛行安全，每?個零部件都必須檢查，不能出錯，因此最適宜采用全面調

查方式，符合題意；

C.我國中學生總數大，范圍廣，適宜抽樣調查，不符合題意；

D.測試燈泡使用壽命的過程具有破壞性，無法對所有燈泡進行測試，適宜抽樣調查，不符合題意.

故答案為：B.

【分析】根據調查對象的性質、范國及實際需求，判斷應選擇全面調查還是抽樣調查即可得到答案.

5.【答案】A

第6頁

【解析】【解答】解：式子臣華在實數范圍內有意義，

X—5

則｛露雪

解得得XN-1且xr5.

故答案為：A.

【分析】式子要在實數范圍內有意義，需滿足二次根式被開方數非負，分母不為零，據此求解即可.

x-5

6.【答案】B

【解析】【解答】解:VBCXAE

???ZBCE=90°

VCD//AB,ZA=40°

.\ZDCE=ZA=40°

???ZBCD=ZBCE-ZDCE=90°-40°=50°

故答案為：B.

【分析】根據垂直的定義得到NBCE=90。，由平行的性質得到/DCE=NA=40。，最后根據角E勺和差即可求解.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

AAC=2OC,BD=2OB,BC=AD=3

VAC+BD=8,AD=3,

.\2OC+2OB=8,

即0C-0B=4

???△BOC的周長為：OB+OC+BC=4+3=7

故答案為：B.

【分析】直接利用平行四邊形的性質得出AC=2cO,BD=2BO,BC=AD=3,再求出20B+20c=8,得出

0B+0C=4,即可得到答案.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：求一組數據方差的算式為：s2=ix[(5-x)24-(6-x)2+(5-x)2+(4-%)2]

???根據方差的定義，方差算式中?-君2的項數等于數據個數小

觀察算式可知，共有4個(勺-幻2項，

.*.n=4,選項A正確：

可得這組數據為4,5,5,6

??—4+5+5+6仁

?x=-----4-----=5

???選項B錯誤;

第7頁

??,數據中5出現次數最多

???眾數為5,選項C錯誤；

將數據從小到大排列為4,5,5,6,中間兩個數為5,5

???中位數為歲=5,選項D錯誤.

故答案為：A.

【分析】根據方差的定義確定數據個數n,再計算這組數據的平均數，眾數和中位數，逐一判斷選項即可.

9.【答案】D

【解析】【解答】解：根據題意列分式方程為國2一粵二io

xxb

???第二次購買魔方的單價比第一次低10元，

???被墨水污染部分的文字為：第二次購買時，每個魔方優惠10元，結果比第一次少買了5個，

故答案為：D.

【分析】由x表示第一次購買魔方的數量，可得出(x-5)表示第二次購買魔方的數量，進而可得出第二次比第

一次少買5個，利用單價=總價二數量，結合所列方程，可得出第二次購買魔方的單價比第一次低10元，進

而可找出被墨水污染部分的文字.

10.【答案】D

【解析】【解答】解：對于①，當x=m時，y=9=3=1；

人fit

當x=l時，y=Y=Y=m：

???點P,Q在反比例函數y=?的圖象上：符合題意：

時于②，設直線PQ的解析式為y=kx+b,代入P,Q坐標得“性上匕=1

I(十。一771

解得

3=TH+1

，直線PQ的解析式為y=-x+m+l,

令y=0,得x=m+l,即A(m+1,0)；

令x=0,得產1力+1,即B(0,m+1)；

.*.OA=OB=m+l,

XVZAOB=90°

???△AOB是等腰直角三角形

/.ZOAB=45°；符合題意：

對于③，AP=yj(m+1—m)2+(0—l)2=yjl2+(—I)2=>/2

BQ=J(0-l)2+(m+l-m)2="(-1)2+M=近

第8頁

AAP=BQ,符合題意；

對于④，如圖，過點。作OC_LAD交于點C,過點Q作QD_LOP交于點D,

,:PQ=yj(m—I)2+(1—m)2=V2\m-1|?OP=y/m2+1,

又,.?S“0Q=聶Q.OC=^0PQD,

PQOC

:?QD=

OP

>j2\m-1\x^(m+1)

乙

m2—1

m2+1

當0<m<I時,

—m2+1—m2—1+2_]+2

s\nz.POQ=

m2+1m2+1m2+1

則當m增大時，sinZPOQ減小，即ZPOQ逐漸減小;

當m>l時.

m2—1m2+1—22

sinzPOQ=—z------=--------z----------=1-------5-------

m2+1m2+1m2+1

m增大，NPOQ逐漸增大，因此/POQ不隨m的增大一直增大，④錯誤，不符合題意;

故答案為：D.

【分析】根據反比例函數性質，待定系數法求一次函數解析式，等腰直角三角形性質，兩點間距離公式，逐

一判斷每個結論，即可得到答案.

11.【答案】4.4x10?

第9頁

【解析】【解答】解:44000000=4.4x107

故答案為:4.4x107.

【分析】科學記數法的表示形式為axion的形式,其中1樂|<10,n為整數.確定n的值時,要看把原數變成a

時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值大于或等于1()時，n是正整

數；當原數的絕對值小于1時，n是負整數.

12.【答案】1

【解析】【解答】解：由題意可知，從焦、濃、重、淡、清共5種顏色中隨機選擇一色，共有5種等可能的結

果，其中選中濃的結果有1種

???隨機選擇一色，選中濃的概率為1

故答案為：J.

【分析】直接利用概率公式求解即可.

13.【答案】(-3,-1)

【解析】【解答】解：將點A(?3,2)向下平移3個單位長度是(-3,2-3),即(3?1).

故答案為：(?3,-1).

【分析】根據平面直角坐標系平移的性質即可求解.

14.【答案】1

【解析】【解答】解：若一若二%竽2=失竽1=公|=1

故答案為：1.

【分析】根據同分母分式減法法則：分母相同，分子直接相減，化簡后即可得到結果.

15.【答案】2030

【解析】【解答】解：??"二&是一元二次方程x2-2x-4=0的一個根，

:.a2-2a-4=0

a2-2a=4,

???a2-2a+2026=4+2026=2030

故答案為：2030.

【分析】把x=a代入x2-2x-4=0并變形得到a2-2a=4,然后再整體代入求值.

16.【答案】2n

【解析】【解答】解：???AM=I,RM=5

.\AB=AM+BM=l+5=6

第10頁

???圓的半徑OD=OA=^AB=3

丁點0為AB的中點

???OA=3

/.OM=OA-AM=3-1=2

D

過點。作OE_LCD于點E,連接OD,J/_______k

CZy

VOE1CD

AZOEM=90°,CD=2DE

在RtAOME中,ZOME=ZDMB=60°

:-0E=OM?sin600=2x坐=遍

在RSODE中，OD=3,OF=V3

根據勾股定理得：DE=40D2-OE2=132-(75)2=V6

?"0=2DE=2V6

故答案為：2遍.

【分析】先求出OM,過點O作OE_LCD于點E,連接OD,解RMOME求出OE的長，再在RsODE中

利用勾股定理求出DE的長，最后根據垂徑定理求出CD的長.

17.【答案】解：原式=2百一1+3.4X空

=2

【解析】【分析】原式利用二次根式性質，零指數暴、負整數指數事法則，以及特殊角的三角函數值計算即可

得到結果.

(2%4-1>-3?

以【答案】解亨②

解不等式2X+1N-3得，x>-2,

解不等式IV孚得，x<4,

，原不等式組的解集為-2Wx<4.

【解析】【分析】分別解每一個不等式，再取解集的公共部分作為不等式組的解集即可.

19.【答案】(I)證明：在矩形ARCD中，點E和點F在邊RC二，且AF=DE,

???矩形ABCD

第11頁

/.AB=CD,ZB=ZC=90°,

VAr=DE

ARtAABF^RtADCE(HL)

(2)解：VAABF^ADCE

.\BF=CE

:.BC-BF二BC-CE,即CF=BE.

VBC=11,EF=7

:.BE=CF=^(BC-EF)=2.

【解析】【分析】⑴利用HL證明即可4ABF^ADCE：

(2)由全等三角形的性質求得BF=CE,得到CF=BE,據此求解即可.

20.【答案】(1)解：喜愛乒乓球的有100人，百分比為20%,

???10(N20%=5()0(人).

???m=500x36%=180(人)，

貝ijn=500-40-100-180-30=150(A);

(2)解：360。乂揣=108°

(3)解：若該地區七年級學生共有20000人，試估計該地區七生級學生中喜愛"羽毛球'’類運動的學生有

40

20000x^r=1600(人)

???該地區七年級學生中喜愛"羽毛球'’類運動的學生約有1600人

【解析】【分析】(1)根據乒乓球的人數與百分比得到樣本容量，再算各項人數即可；

(2)由圓心角度數的計算方法求解即可；

(3)根據樣本估算總體數量即可.

21?【答案】(1)解：設湘湘的單價是x元，超超的單價是y元

根據題意得:｛第篇

解得E第

答：湘湘的單價是40元，超超的單價是50元.

(2)解：設應購買湘湘m個，則購買超超(60-m)個，

根據題意得：40m+50(60-m)<2700

解得：mN30

答：至少應購買湘湘30個.

【解析】【分析】(I)設湘湘的單價是x元，超超的單價是y兀，根據“買4個湘湘比買3個超超多用10兀,

買1個湘湘和2個超超共用140元”建立二元一次方程組，解方程組即可；

第12頁

（2）設購買湘湘m個，則購買超超（60-m）個，根據“總費用不超過2700元”建立一元一次不等式，解不等式即

可.

22.【答案】（1）解：根據題意可知CD=50米，且坡度為馬

.DE_7

''~CE~2A

設DE=7x,CE=24x,根據勾股定理，?DE2+CE2=CD2,

即（7XF+（24X）2=502

解得：x=2

???DE=14米，CE=48米

（2）解：如圖所示，過點D作DFJ_AB,交于點F,

根據題意知AC=26米，

???AE=CE+AC=48+26=74（米）

ZE=ZEAF=ZAFD=90°,

???AF二DE=14米，AE=DF=74米.

由題意可得：ZBDF=ZB=45°

.\BF=DF=74米

；?AB=BF+AF=74+14=88（米），

所以“長沙之眼”的高度是88米

【解析】【分析】⑴根據坡度可得作=務再設DE=7x,CE=24x,根據勾股定理可得答案；

（2）作DF_LAB,根據題意知AC=26米，再求出AE（米），然后根據矩形的性質可得AF,DF,接下來根據等

腰三角形的性質求出BF,最后根據AB=BF+AF得出答案.

23.【答案】（1）證明：AB是。。的直徑，直線CE與。O相切于點C,過點A作ADJ_CE于點D,連接

EDC

第13頁

〈AB是。0的直徑

???ZACD=ZOCA+Z1=90°

VOB=OC

AZB=Z1,

???直線CE與。。相切于點C,

:.ZOCD=ZOCA+ZACD=90°

AZACD=ZB

ZACB=ZADC=90°

???△ABC^AACD

(2)解：VZACE=30°,ZOCD=9()0

???ZOCA=60°

VOA=OC

/.△OCA是等邊三角形

:.ZCOA=60°,AC=OA=4.

VZACE=30°,ZADC=90°

=^AC=2,CD=\/AC2-AD2=2百，

?

???陰影部分的面積=鱉祟-1x4x273=^-473

obUZ3

【解析】【分析】(1)利用圓周角定理和切線的性質求得NACD=/B,根據NACB=NADC=90。，即可得到

△ABC^AACD；

(2)求得△OCA是等邊三角形，AD=^AC=2,CD=y/AC2-AD2=2>/3,據此求解即可.

24.【答案】(1)解：根據題意得,拋物線y=x2-2x+3的“向陽線”為y=x+3,

聯立拋物線與“向陽線''得?二/一iv3

(y=x+3

解瞰二弼;鼠

???拋物線y=x?-2x+3與它的響陽線”的交點坐標為(0,3)和(3,6).

(2)解：無論b為何值，點D始終在一條確定的直線1上.

???拋物線丫=*/+6%+。過點人(-2,0),

x(-2)2+bx(—2)+c=0?x4—2b+c=0,

解得c=2b-2.

?,?拋物線為y=十匕%十2b—2，

第14頁

???其“向陽線”為y=/x+2b—2,

y=oX2+bx+2b—2

聯立拋物線與“向陽線''得｛21

y=尹+2b-2

/.x2+(2b-l)x=0,

解得］%=0或C一1一勺

用"寸卜=2b-2弋y=b-^

,?,點D不在y軸上，

???點D的坐標為(1—2b,b--),

設直線的解析式為y=kx+m,

將D點代入直線1得，b―^=k(l-2b)+m?

???無論b為何值時，上式都成立，

l+2k=0

：.,3八

k+zn+2=0

解得k=~2

■TH=—1

???直線1的解析式為y=—即無論b為何值時，點D始終在直線'=一義工一1上

乙乙

(3)解：由(2)得，拋物線解析式為y=,%2+bx+2b—2,

b,

??,其頂點坐標的橫坐標為％=-7-r=一瓦

將x=-b代入拋物線中，得bx(-/))+2b-2=-482+2b-2.

???頂點M的坐標為(—6,-2/+2方_2),

令y=#+bx+2b-2,x2+2bx+4b-4=0,

設點B的橫坐標為xo,

丁點A的橫坐標為-2,

.*.-2+X3=-2b,即xo=2-2b,

???點B的坐標為(2-2b,0),

當直線MB與直線平行時，設直線MB解析式為y=kix+bi,

則自=-*

(—i(2-2b)+瓦=0

將點B和點M的坐標代入得12、

(一在一好+/二一評+2b-2

b2-5b+6=0,

第15頁

(b-2)(b-3)=O

解得b=2或b=3

當直線1經過線段MB的中點時,

則MB的中點坐標為(y2b,T"+M2+0)=(空,一b2T4)

???中點在直線上，

.,.-b2+6+2=0,

(b-2)(b+l)=0,

解得b=2或b=-I

由題意得，令y=+bx+2b—2=0,

.\A=(2b)2-4x1x(4b-4)=4(b-2)2

???當&>0時,b#2(b=2時A,B重合,不符合題意).

???若點M和點B到直線［的距離相等，則b的值為-1或3

【解析】【分析】(1)根據“向陽線”定義，拋物線y=x？-2x+3的向陀線為y=x+3,聯立/進行求

解即可；

⑵將A(-2,0)代入拋物線得c=2b-2,聯立拋物線與向陽線，解得0(1-2匕，力-3，由恒成立條件列方程

組，得直線的解析式為y=故D恒在該直線上；

⑶根據題意求出頂點(一人.一與2+2人一2)和B(2-2b,0),再分MB//1和過MB中點兩種情況，講行求解即

可.

25.【答案】(1)解：???將AABC的邊AB繞點A逆時針旋轉a得到AD,a=50。

AZBAD=a=50°,AB=AD,

VAC1BD,

1

=^BAD=25°

(2)解：連接BD,作DE_LAC于點E,

??,將△ABC的邊AB繞點A逆時針旋轉a得到AD,a=90°

.\AB=AD,ZBAD=90°

第16頁

/.ZABD=ZADB=45°

VZADC+ZADC=180°

AA,B,C,D四點共圓

A